文/鄧革周

生活中的二次函數(shù)

文/鄧革周

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，它在生活中的應(yīng)用非常廣泛，涉及到橋梁建筑、市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)、體育競(jìng)技等方面.請(qǐng)看下面的例子.

一、噴泉、橋梁

例1小明家附近的廣場(chǎng)中央新修一個(gè)圓形噴水池（如圖1），在水池中心豎直安裝了一根高為2米的噴水管.它噴出的拋物線形水柱在與水池中心的水平距離為1米處達(dá)到最高，水柱落地處離池中心3米．

（1）請(qǐng)你建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出水柱拋物線的解析式；

（2）求出水柱的最大高度是多少.

圖1

圖2

解：（1）如圖2所示，以水管與地面交點(diǎn)為原點(diǎn)，以原點(diǎn)與水柱落地點(diǎn)所在直線為x軸、水管所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

由已知，可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）2+h，

評(píng)注：利用二次函數(shù)解決噴泉、橋梁和拱門(mén)等建筑設(shè)計(jì)類問(wèn)題時(shí)，要把數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)，從而確定解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題.

二、市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)

例2某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規(guī)定每千克售價(jià)不低于成本，且不高于80元.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，每天的銷售量y（千克）與每千克售價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)銷售該商品每天的總利潤(rùn)為W（元），求W與x的函數(shù)表達(dá)式（利潤(rùn)=收入-成本）；

（3）試說(shuō)明（2）中總利潤(rùn)W隨售價(jià)x的變化而變化的情況，并指出售價(jià)為多少元時(shí)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？

解：（1）設(shè)y=kx+b，由已知得

∴y=-2x+200.

（2）由題意可得，W=（x-40）（-2x+200）=-2x2+280x-8000，

即W=-2x2+280x-8000.

（3）∵W=-2x2+280x-8000=-2（x-70）2+1800，40≤x≤80，

當(dāng)40≤x≤70時(shí)，W隨x的增大而增大，當(dāng)70≤x≤80時(shí)，W隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x=70時(shí)，總利潤(rùn)W取得最大值，此時(shí)W=1800.

答：每千克售價(jià)為70元時(shí)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是1800元．

評(píng)注：二次函數(shù)在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用，可分為投資策略、銷售定價(jià)、貨物存放等方面.它們的共同點(diǎn)就是要求利潤(rùn)最大化，需要建立函數(shù)關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)求解.

三、體育競(jìng)技

例3甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，羽毛球飛行的路線為拋物線的一部分，如圖3，甲在O點(diǎn)正上方1m的P處發(fā)出一球，羽毛球飛行的高度y（m）與水平距離x（m）之間滿足函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=a（x-4）2+h，已知點(diǎn)O與球網(wǎng)的水平距離為5m，球網(wǎng)的高度為1.55m．

①求h的值；

②通過(guò)計(jì)算判斷此球能否過(guò)網(wǎng)．

（2）若甲發(fā)球過(guò)網(wǎng)后，羽毛球飛行到離點(diǎn)O的水平距離為7m，地面高度為m的Q處時(shí)，乙扣球成功，求a的值．

將點(diǎn)P（0，1）代入，得

圖3

②把，得

∵1.625＞1.55，

∴此球能過(guò)網(wǎng).

評(píng)注：籃球、排球、羽毛球的運(yùn)動(dòng)路徑就是拋物線.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員對(duì)球落點(diǎn)的預(yù)判離不開(kāi)二次函數(shù).

四、共享單車(chē)

例4隨著地鐵和共享單車(chē)的發(fā)展，“地鐵+單車(chē)”已成為很多市民出行的選擇.李華從文化宮站出發(fā)，先乘坐地鐵，準(zhǔn)備在離家較近的A，B，C，D，E中的某一站出地鐵，再騎共享單車(chē)回家.設(shè)他出地鐵的站點(diǎn)與文化宮距離為x（單位：千米），乘坐地鐵的時(shí)間y1（單位：分鐘）是關(guān)于x的一次函數(shù)，其關(guān)系如下表：

地鐵站x（千米）y1（分鐘）A 8 1 8 B 9 2 0 C 1 0 2 2 D 1 1.5 2 5 E 1 3 2 8

（1）求y1關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）李華騎單車(chē)的時(shí)間（單位：分鐘）也受x的影響，其關(guān)系可以用來(lái)描述.請(qǐng)問(wèn)：李華應(yīng)選擇在哪一站出地鐵，他從文化宮回到家所需的時(shí)間最短？并求出最短時(shí)間.

解：（1）設(shè)y1=kx+b，將（8，18），（9，20），代入得

∴y1=2x+2.

（2）設(shè)李華從文化宮回到家所需的時(shí)間為y，則

∴當(dāng)x=9時(shí)，y有最小值，最小值為39.5.

答：李華在B站出地鐵，從文化宮回到家所需的時(shí)間最短，最短時(shí)間為39.5分鐘．評(píng)注：在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍.

五、判斷說(shuō)理

例5某農(nóng)場(chǎng)擬建一間矩形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻（墻足夠長(zhǎng)），已知建筑材料可建圍墻的總長(zhǎng)為50m．設(shè)飼養(yǎng)室長(zhǎng)為x（m），占地面積為y（m2）．

（1）如圖4，問(wèn)飼養(yǎng)室長(zhǎng)x為多少時(shí)，占地面積y最大？

（2）如圖5，現(xiàn)要求在圖中所示位置留2m寬的門(mén)，且仍使飼養(yǎng)室的占地面積最大.小敏說(shuō)：“只要飼養(yǎng)室長(zhǎng)比（1）中的長(zhǎng)多2m就行了.”請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算，判斷小敏的說(shuō)法是否正確．

圖4

圖5

解：（1）因飼養(yǎng)室長(zhǎng)xm，則它的寬為

∴當(dāng)x=25時(shí)，占地面積最大，即飼養(yǎng)室的長(zhǎng)為25m時(shí)，占地面積y最大.

（2）飼養(yǎng)室長(zhǎng)xm，中間位置留2m寬的門(mén)，則飼養(yǎng)室的寬為

∴當(dāng)x=26時(shí)，占地面積最大，即飼養(yǎng)室的長(zhǎng)為26m時(shí)，占地面積y最大.

∵26-25=1≠2，

∴小敏的說(shuō)法不正確．

評(píng)注：用自變量表示矩形的長(zhǎng)和寬，從而得出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

王二喜