李錫均，程敏熙

(華南師范大學(xué) 物理與電信工程學(xué)院，廣東 廣州 510006)

基于數(shù)碼設(shè)備測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

李錫均，程敏熙

(華南師范大學(xué) 物理與電信工程學(xué)院，廣東 廣州 510006)

介紹了Matthaios測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法，針對(duì)其實(shí)驗(yàn)誤差來(lái)源進(jìn)行了改進(jìn). 采用視頻分析技術(shù)，輔以手機(jī)傳感器測(cè)量了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，測(cè)量過(guò)程簡(jiǎn)便，誤差小于1%.

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Tracker；智能手機(jī)

對(duì)于物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量，國(guó)內(nèi)高等院校開(kāi)設(shè)的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目主要采用的方法有三線(xiàn)擺法、落體法、扭擺法等，這些實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目在加深學(xué)生對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律的認(rèn)識(shí)上起到了重要作用[1]. 然而，這些傳統(tǒng)測(cè)量方法的測(cè)量結(jié)果存在較大誤差，且也有著一定的局限性. 如三線(xiàn)擺法和復(fù)擺法難以對(duì)較大的物件進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量[2]，扭擺法系統(tǒng)誤差較大[3]，落體法由于儀器構(gòu)造關(guān)系測(cè)量結(jié)果還需要減去儀器轉(zhuǎn)軸和線(xiàn)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等[4]. 而且，這些傳統(tǒng)方法都需要相應(yīng)的特定實(shí)驗(yàn)儀器才能實(shí)施測(cè)量.

隨著社會(huì)科技的不斷發(fā)展，近年來(lái)越來(lái)越多的研究者在物理實(shí)驗(yàn)中引進(jìn)了現(xiàn)代設(shè)備，并取得了良好的實(shí)驗(yàn)效果. 文獻(xiàn)[5]提出了僅用斜面和智能手機(jī)就能測(cè)出物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的簡(jiǎn)單方法. 該方法簡(jiǎn)便高效，大幅降低了實(shí)驗(yàn)難度和設(shè)備要求，為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量提供了全新的思路. 但該方法仍存在一定的局限性，而且測(cè)量誤差較大. 因此，本文擬對(duì)此方法進(jìn)行改進(jìn)，并采用更為精確的視頻分析測(cè)量手段，縮減實(shí)驗(yàn)誤差.

1 Matthaios的方法介紹及評(píng)析

此方法將智能手機(jī)固定在質(zhì)量為m、半徑為R的剛體上(如圖1所示)，并將該剛體放置在傾角為θ的斜面頂端自由釋放. 在斜面向下滾動(dòng)的過(guò)程中，其受到重力、支持力及摩擦力，由于重力和支持力對(duì)剛體的力矩為0，剛體受到的合外力矩即為摩擦力的力矩：

L=fR=(mgsinθ-maC)R,

(1)

其中aC為剛體質(zhì)心的加速度. 另一方面，綁定在剛體上的智能手機(jī)可通過(guò)內(nèi)置的角速度傳感器記錄剛體角速度ω隨時(shí)間t的變化關(guān)系，從而得出剛體的角加速度ar. 由于

aC=Rar,

(2)

L=Iar,

(3)

聯(lián)立(1)～(3)式，可得到剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式

(4)

在已知R，m，g和θ的情況下，只要測(cè)出剛體在斜面上滾動(dòng)的角加速度ar，便可求得其繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

圖1 Matthaios實(shí)驗(yàn)方法示意圖

文獻(xiàn)[5]的方法優(yōu)點(diǎn)在于其使用的實(shí)驗(yàn)裝置極其簡(jiǎn)單,實(shí)驗(yàn)操作簡(jiǎn)便，而且采用智能手機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，在一定程度上也能激發(fā)學(xué)生的興趣. 然而，智能手機(jī)必須綁定在剛體上才能對(duì)角速度進(jìn)行測(cè)量，而其自身的體積和質(zhì)量將會(huì)對(duì)測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生影響. 為了減小這種影響所帶來(lái)的誤差，文獻(xiàn)[5]中挑選了質(zhì)量十分大的杠鈴作為待測(cè)剛體，減少手機(jī)對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響. 但即便如此，Matthaios最后測(cè)得的數(shù)據(jù)和理論值相比，仍有8%的誤差. 因此這種方法不僅誤差較大，而且對(duì)待測(cè)物體也有所限制，對(duì)于一些質(zhì)量和體積較小的物體，將會(huì)因手機(jī)不能綁定在其上而無(wú)法測(cè)量.

2 實(shí)驗(yàn)方法的改進(jìn)

由于綁定在剛體上的手機(jī)是實(shí)驗(yàn)誤差的主要來(lái)源，若采用非接觸測(cè)量的視頻分析方法，將可以從根源上消除這一實(shí)驗(yàn)誤差.

關(guān)于視頻分析的工具，當(dāng)下較為流行的是一款名為T(mén)racker的視頻軌跡分析軟件. 該軟件從2012年由丁曉彬和董晨鐘從國(guó)外引進(jìn)國(guó)內(nèi)后[6]，就得到了不少?lài)?guó)內(nèi)研究者的關(guān)注. Tracker通過(guò)追蹤視頻中物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，可以簡(jiǎn)便快捷地分析出物體的速度、加速度等運(yùn)動(dòng)信息，目前已被成功運(yùn)用到拋體運(yùn)動(dòng)的研究[7]、液體黏度的測(cè)量[8]、彈簧振子的研究[9]及驗(yàn)證動(dòng)量守恒[10]等諸多實(shí)驗(yàn)中.

本文在文獻(xiàn)[5]的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上，改用視頻分析工具Tracker進(jìn)行測(cè)量，具體操作如下：

1)以質(zhì)量為m、半徑為R的木質(zhì)圓柱為待測(cè)物體，在其上表面的圓心處畫(huà)1個(gè)黑點(diǎn)(方便后期軌跡追蹤)，并將其放置在斜面頂端自由滾下.

2)在斜面?zhèn)让娣胖?臺(tái)攝像機(jī)(如圖2所示)，記錄下物體的運(yùn)動(dòng)圖像.

圖2 利用視頻分析測(cè)量物體質(zhì)心加速度

3)將圖像傳至電腦，利用Tracker追蹤物體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡，通過(guò)圖像擬合分析，得到物體質(zhì)心的加速度aC.

4)聯(lián)立(1)～(3)式，原方法中的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表達(dá)式(4)則變?yōu)?/p>

(5)

在已知m，g，R，θ的情況下，便可得出物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I.

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的測(cè)量、處理及分析

3.1 斜面傾角的確定

在文獻(xiàn)[5]中，斜面傾角θ是直接給出的，作者并沒(méi)有提及測(cè)定的方法. 傳統(tǒng)測(cè)量斜面傾斜角的工具為量角器，若放置斜面的桌面和地面并不平行，則量角器測(cè)得的角度不能?chē)?yán)格等于θ值，從而產(chǎn)生測(cè)量誤差.

對(duì)此，本文利用了智能手機(jī)中“水平儀”的軟件，通過(guò)調(diào)用手機(jī)內(nèi)部的重力感應(yīng)器和陀螺儀(測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)角度的傳感器元件)，可以自動(dòng)計(jì)算出手機(jī)所在平面與水平面的夾角. 因此只需將手機(jī)平行放置在斜面上，便可通過(guò)“水平儀”快速準(zhǔn)確地得到斜面和水平面的夾角θ(如圖3所示).

圖3 水平儀自動(dòng)測(cè)量?jī)A角

3.2 剛體質(zhì)心加速度的分析測(cè)量

在利用攝像機(jī)得到剛體的運(yùn)動(dòng)圖像后，將其導(dǎo)入到視頻分析軟件Tracker中. 首先以斜面的斜邊長(zhǎng)度(0.58 m)對(duì)畫(huà)面內(nèi)的長(zhǎng)度進(jìn)行定標(biāo)，同時(shí)建立坐標(biāo)軸，并使x軸與剛體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方向平行. 然后使用軟件的軌跡追蹤功能，每隔0.02 s記錄1次剛體質(zhì)心在圖像中的位置，從而得到剛體的運(yùn)動(dòng)軌跡(如圖4所示).

在Tracker自帶的數(shù)據(jù)分析工具中，可導(dǎo)出剛體質(zhì)心的位移x隨時(shí)間t的數(shù)據(jù)變化圖. 利用拋物線(xiàn)方程

x=At2+Bt+C

，

(6)

對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合，可得到擬合參量A，B，C(如圖5所示). 對(duì)比勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)公式

(7)

可知，剛體的質(zhì)心加速度

aC=2A.

(8)

圖4 利用Tracker進(jìn)行軌跡追蹤

圖5 Tracker數(shù)據(jù)工具的擬合圖及擬合參量

3.3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

通過(guò)調(diào)節(jié)斜面的傾斜角度，在相同的實(shí)驗(yàn)條件下拍攝多段視頻，同時(shí)采用前文所述的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，得到多組θ與aC的值，將其代入(5)式中，便可得到剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I，如表1所示(其中剛體半徑R為0.59 m，質(zhì)量m通過(guò)電子秤測(cè)得為0.187 kg，廣州地區(qū)重力加速度g為9.788 m/s2,I的理論值為3.255×10-4kg·m2).

表1 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I的測(cè)量結(jié)果

從表1可看出，幾次測(cè)得的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I值十分接近，且與理論值的相對(duì)偏差較小.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)分析文獻(xiàn)[5]中測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)

的誤差來(lái)源，對(duì)其實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行了改進(jìn)，采用視頻分析的非接觸測(cè)量方法，在保留了操作簡(jiǎn)便性的同時(shí)(利用Excel軟件的自動(dòng)計(jì)算功能，平均測(cè)定一次轉(zhuǎn)動(dòng)慣量所需時(shí)間為3～4 min)，也大幅縮減了實(shí)驗(yàn)誤差. 除了規(guī)則的圓柱體外，此方法理論上適用于一切可以自由滾動(dòng)的物體(塑料水管、圓形水杯、汽車(chē)車(chē)輪等)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量. 由于數(shù)碼設(shè)備已逐漸在學(xué)生中普及，故相比起傳統(tǒng)測(cè)量手段，此方法使得學(xué)生的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)可以不被限制在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)，即使在宿舍或者戶(hù)外有斜坡的地方也可進(jìn)行實(shí)驗(yàn).

[1] 龐瑋,李志偉,蔡培婷,等. 黏滯摩擦下轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的分析與測(cè)量[J]. 大學(xué)物理,2014,33(2):41-44.

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Measuringrotaryinertiabydigitalinstrument

LI Xi-jun, CHENG Min-xi

(School of Physics and Telecommunication Engineering,South China Normal University, Guangzhou 510006, China)

A convenient way to measure rotary inertia was introduced. By analyzing the error of the experiment, some improvements were made. The improved experiment adopted video-analysis technology and used smart phone sensor to measure the rotary inertia. The measuring process was convenient, and experiment error was less than 1%.

rotary inertia; Tracker; smart phone

2017-06-29

廣東省高等教育學(xué)會(huì)實(shí)驗(yàn)室管理專(zhuān)業(yè)委員會(huì)2016年度研究基金項(xiàng)目(No.GDJ2016055)

李錫均(1994-)，男，廣東廣州人，華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院2016級(jí)研究生，研究方向?yàn)樾畔⒓夹g(shù)在物理教學(xué)中的應(yīng)用.

程敏熙(1962-)，男，廣東四會(huì)人，華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院副教授，博士，研究方向?yàn)楣怆娂夹g(shù)與系統(tǒng)、物理課程與教學(xué)論.

O313.3

A

1005-4642(2017)12-0017-04

尹冬梅]