賈小文

(陸軍軍事交通學(xué)院 基礎(chǔ)部，天津 300161)

1887年，赫茲發(fā)現(xiàn)當(dāng)入射光照射到金屬表面時，會有電子從金屬表面逸出. 1905年，愛因斯坦提出了“光電子”的概念，從量子力學(xué)的角度完美地解釋了光電效應(yīng). 由于光電子攜帶了材料內(nèi)部電子結(jié)構(gòu)的信息，因此可以通過探測光電子來研究材料的電子結(jié)構(gòu)，角分辨光電子能譜就是該原理的具體應(yīng)用[1-3]. 實(shí)驗(yàn)上，通過電子能量分析器探測出射的光電子，得到數(shù)據(jù)為某一方向立體角內(nèi)電子的統(tǒng)計數(shù). 從實(shí)驗(yàn)得到的光電子統(tǒng)計數(shù)是按照角度分布的. 為了方便研究，需要將角度轉(zhuǎn)換為動量(實(shí)際上是動量在kx-ky面上的投影)，經(jīng)過轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)為光電子統(tǒng)計數(shù)隨動量(kx,ky)的分布. 在角度空間分布于一條線上的光電子(目前主流探測器都是這種模式)，轉(zhuǎn)換到動量空間的分布是一條彎曲的曲線. 因此要獲得某個動量平面內(nèi)所有光電子的分布，就要求對各個不同角度下(通常這個角度就是測量樣品的取向)的測量數(shù)據(jù)進(jìn)行拼接[4]. 在拼接數(shù)據(jù)時，傳統(tǒng)的方法先由角度換算為動量，然后在動量空間進(jìn)行均勻插值，這種方法存在耗時較大的缺點(diǎn). 由于角分辨光電子能譜實(shí)驗(yàn)要求極度清潔的樣品表面，如果耗時過長，樣品清潔度將會下降，從而導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)失敗. 因此無論是從數(shù)據(jù)處理效率還是從開展實(shí)驗(yàn)的角度來看，都需要對傳統(tǒng)的方法進(jìn)行改進(jìn).

本文充分考慮了角分辨光電子能譜實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相鄰傾角數(shù)據(jù)基本類似的特點(diǎn)，提出了快速數(shù)據(jù)拼接算法，該算法首先生成均勻分布的動量點(diǎn)，然后逆用角度動量轉(zhuǎn)換公式獲取對應(yīng)的角度值，最后在角度空間進(jìn)行插值. 由于避開了普通插值的三角剖分和幾何排序等復(fù)雜過程，可將運(yùn)算速度提高2個數(shù)量級.

1 角分辨光電子能譜實(shí)驗(yàn)原理及數(shù)據(jù)的拼接

角分辨光電子能譜實(shí)驗(yàn)的基本原理是光電效應(yīng)，如圖1所示. 探測器收集電子的窗口是1條狹縫，1次收集1個狹長立體角空間的所有電子. 原始數(shù)據(jù)為網(wǎng)格化的矩陣，橫坐標(biāo)是動能，縱坐標(biāo)是角度，數(shù)據(jù)表示光電子的譜重，如圖2所示. 處理數(shù)據(jù)時，需要將角度轉(zhuǎn)換成動量，轉(zhuǎn)換的公式取決于樣品與電子探測器相對方位的布局和定義. 以文獻(xiàn)[4]為例，分析器相對于樣品的角度定義取圖3所示定義：將與狹縫平行的方向定義為偏轉(zhuǎn)角度φ，與狹縫垂直的方向定義為傾角θ，樣品轉(zhuǎn)過的角度定義為旋轉(zhuǎn)角ω[4-5]. 動量(kx和ky面的投影)和實(shí)驗(yàn)測量角度的轉(zhuǎn)換公式為

(1)

式(1)中，k0表示出射電子的動量，由式(2)決定：

(2)

從式(1)中可以看到，探測器探測到的動量實(shí)際上是水平方向的動量，因此角分辨光電子能譜經(jīng)常用于研究電子結(jié)構(gòu)二維性較好的材料.

圖1 角分辨光電子能譜實(shí)驗(yàn)基本原理示意圖

圖2 典型角分辨光電子能譜原始數(shù)據(jù)圖譜

(a)繞樣品面法向旋轉(zhuǎn)角度為0時，偏轉(zhuǎn)角度φ、 傾角θ與動量的換算關(guān)系

(b)繞樣品面法向旋轉(zhuǎn)ω角度后動量的換算關(guān)系圖3 實(shí)驗(yàn)中樣品、探測器狹縫取向與動量換算幾何關(guān)系

為了得到不同動量區(qū)域的光電子信息，需要不斷地改變狹縫相對于樣品的傾角θ，并將這些數(shù)據(jù)拼接在一起. 在拼接時，圖2中的原始數(shù)據(jù)在角度空間是均勻分布的，但是利用式(1)轉(zhuǎn)換到動量空間(其實(shí)是kz=C的某個平面)后，(kx,ky)就不再是均勻的網(wǎng)格分布了，有些動量點(diǎn)有數(shù)據(jù)，有些動量點(diǎn)則沒有數(shù)據(jù)，如圖4所示.

圖4(a)所示為鐵基超導(dǎo)體FeSe0.3Te0.7在20 K下費(fèi)米能級處譜重隨動量的分布(光子能量22.218 eV，光電子能譜儀為Scienta公司的R4000),可以看到圖4(a)的數(shù)據(jù)分布并不均勻，有些點(diǎn)有數(shù)據(jù)，有些點(diǎn)沒有數(shù)據(jù)(相當(dāng)于譜重等于0)，是非均勻分布的數(shù)據(jù)圖. 出現(xiàn)這種情況的原因有：1)角度到動量的轉(zhuǎn)換算法[式(1)]是非線性的，連續(xù)均勻的角度分布換算到動量空間就不再是連續(xù)均勻分布了；2)探測器在傾角方向分辨率太大(傾角人為設(shè)定，一般是1°～2°，遠(yuǎn)大于探測器狹縫方向的角度分辨率)，數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的條狀分布. 這種非均勻分布的數(shù)據(jù)給后續(xù)的分析帶來不便，實(shí)踐中需要將圖4(a)的結(jié)果通過插值拼接成分布連續(xù)、光滑的數(shù)據(jù)，如圖4(b)所示. 拼接的過程中需要解決數(shù)據(jù)不均勻分布的問題，即非均勻數(shù)據(jù)網(wǎng)格化.

(a) 直接將角度轉(zhuǎn)換成動量

(b)插值拼接以后的結(jié)果 圖4 費(fèi)米能級處譜重隨動量的分布

2 非均勻數(shù)據(jù)網(wǎng)格化

非均勻數(shù)據(jù)網(wǎng)格化是常見的數(shù)據(jù)處理方法，有非常成熟的數(shù)值算法，其過程是先對自變量空間進(jìn)行三角剖分，再利用三角剖分結(jié)果重新抽樣. 很多軟件(如Igor，Matlab等)都有相應(yīng)的函數(shù)完成上述運(yùn)算. 這里介紹Igor下的做法[6-7].

首先創(chuàng)建N×3維的矩陣M，對每個傾角下的譜應(yīng)用式(1)計算(kx,ky)，分別記錄在M的第1列和第2列，M的第3列存放對應(yīng)的測量值. 然后利用ImageInterpolate命令進(jìn)行插值運(yùn)算：

Imageinterpolate/S={x0,dx,x1,y0,dy,y1}

Voronoi,M

以上做法是目前角分辨光電子能譜實(shí)驗(yàn)中數(shù)據(jù)拼接的傳統(tǒng)做法，圖4(b)的結(jié)果就是利用該方法計算得到的，其缺點(diǎn)是運(yùn)算時間過長，通常需要1 min左右(取決于譜的數(shù)量)，甚至更長. 耗時來源于三角剖分過程及以三角剖分為條件的插值幾何排序過程.

3 快速數(shù)據(jù)拼接算法

三角剖分法適用的范圍廣，但某些應(yīng)用場合效率較低. 實(shí)際上，角分辨光電子能譜實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有自己的特點(diǎn)：數(shù)據(jù)的自變量并非完全隨機(jī)分布，相鄰狹縫之間除了傾角不同，其他的實(shí)驗(yàn)條件完全相同. 根據(jù)這個特點(diǎn)構(gòu)建了快速拼接算法：逆用式(1)從動量值反過來推算角度，利用角度值在原始數(shù)據(jù)中插值，將插值作為該動量處的結(jié)果. 快速拼接算法的優(yōu)點(diǎn)是：

1)在動量空間，可以預(yù)先定義均勻分布的網(wǎng)格數(shù)據(jù)，省去了重新抽樣的過程；

2)在角度空間，由于數(shù)據(jù)的分布是完全均勻的，可直接通過線性插值來獲取插值結(jié)果，省去了三角剖分的計算過程.

快速拼接算法的復(fù)雜度為O(n)，因此運(yùn)算速度非?？? 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:快速拼接算法要比傳統(tǒng)算法運(yùn)算速度提高2個數(shù)量級.

快速拼接算法的詳細(xì)描述如下：

1)創(chuàng)建矩陣M(kx,ky).

2)取出(kx,ky)，逆用式(1)計算(θ,φ).

3)對原始測量數(shù)據(jù)通過偏轉(zhuǎn)角、傾角進(jìn)行排序，找出相鄰傾角θ1和θ2，使得θ1<θ<θ2，φmin<φ<φmax.φmin和φmax為原始譜最小角和最大角加上偏轉(zhuǎn)角φ.

4)設(shè)θ1對應(yīng)的原始數(shù)據(jù)是data1，θ2對應(yīng)的原始數(shù)據(jù)是data2，利用雙線性插值分別獲取2個值z1=data1(0)(φ)，z2=data2(0)(φ). 這里0表示費(fèi)米能級.

5)通過線性插值得到(θ,φ)處數(shù)據(jù)：

6)將M中(kx,ky)處相應(yīng)的值設(shè)置為z.

下面是算法具體實(shí)現(xiàn)(Igor代碼)：

variable N

Make/O/N=(N,N) M_FS

〈setscale〉

〈get wtheta, wphi, womega, wdatas〉

Sort {wtheta, wphi} wtheta, wphi, womega, wdatas

M_FS=render_FS(x, y, wtheta, wphi, wdatas)

Function render_FS(kx, ky, wtheta, wphi, womega, wdatas)

variable kx, ky

wave wtheta, wphi, womega wave/wave wdatas

variable omega=womega[0]

variable kx1, ky1, theta, phi

variable k0=sqrt(2*me*e0)/hb*sqrtEk/1E10*LA/pi

kx1=kx*cos(omega)-ky*sin(omega)

ky1=kx*sin(omega)+ky*cos(omega)

phi=asin(kx1/k0)

theta=asin(ky1/k0/cos(phi))

theta=theta*180/pi

phi=phi*180/pi

〈get ipos using (theta, phi) from wtheta, wphi〉

wave w1=wdatas[ipos]

wave w2=wdatas[ipos+1]

z1=w1(0)(phi)

z2=w2(0)(phi)

return (z2-z1)/(theta2-theta1)*(theta-theta1)+z1

end

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

以圖4所示數(shù)據(jù)拼接為例，對上述算法進(jìn)行測試. 測試數(shù)據(jù)一共有77張譜，每張譜在角度方向的數(shù)據(jù)長度為360.

圖5是快速拼接算法給出的插值結(jié)果. 可以看到圖5(a)和圖4(b)的結(jié)果幾乎沒有區(qū)別. 為了進(jìn)一步確認(rèn)快速拼接算法的可靠程度，圖5(b)給出了沿不同方向切面[ProfileLine，方向如圖5(a)中紅色虛線箭頭所指]的動量分布曲線(Momentum distribution curves，MDC)，為了方便比較，曲線都進(jìn)行了歸一化. 可以看出快速拼接算法在曲線數(shù)據(jù)特征如峰位、半高全寬等方面與傳統(tǒng)算法是一致的. 盡管如此，如果仔細(xì)觀察，傳統(tǒng)算法和快速拼接算法還是存在一些微小的差異. 出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因主要是插值機(jī)制的區(qū)別. Igor下傳統(tǒng)算法使用的泰森多邊形插值(Voronoi interpolation)是平滑插值方法，而本文中的快速拼接算法則完全采用線性插值. 另外，由于計算過程不同，計算機(jī)的舍入誤差也會給插值結(jié)果帶來一些差別.

(a) 快速拼接算法對費(fèi)米面附近譜重隨動量分布的拼接結(jié)果

(b)動量分布曲線圖5 快速拼接算法結(jié)果

表1給出了Igor Pro (Ver 6.37)下二者所用時間的對比. 從表1可以看出快速拼接算法的運(yùn)算速度要比傳統(tǒng)算法提高了近200倍.

利用多線程技術(shù)，還可以將快速拼接算法并行分配到多個處理器(多線程)，能夠進(jìn)一步將運(yùn)算速度提高到300多倍. 多線程實(shí)現(xiàn)的方法如下(Igor代碼)：

1)將渲染函數(shù)render_FS聲明為線程安全函數(shù).

Threadsafe function render_FS(…)〈function body〉End

2)利用multithread指令調(diào)用渲染函數(shù)對M_FS賦值.

Multithread M_FS=render_FS(x, y, wtheta, wphi, wdatas)

快速拼接算法(多線程)和傳統(tǒng)三角剖分算法運(yùn)行消耗時間比較如表1所示.

表1 快速拼接算法、多線程和傳統(tǒng)三角剖分算法運(yùn)行消耗時間比較

注：CPU I3-3320 4核處理器，3.3 GHz. RAM：2.00 G.

5 討 論

原始數(shù)據(jù)譜的數(shù)量不同，每張譜的分辨率不同，無論是傳統(tǒng)算法還是快速拼接算法，所用的時間都是不同的. 大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對于常見的角分辨光電子能譜實(shí)驗(yàn)，傳統(tǒng)算法插值需要的時間集中在30 s～3 min，而快速拼接算法時間基本不會超過1 s，因此快速拼接算法對于速度的提升和本文中的例子(～200倍)基本一致，大概2個數(shù)量級. 在實(shí)踐中，采用快速拼接算法，可以實(shí)時獲取插值結(jié)果，這在使用傳統(tǒng)算法時是不可能實(shí)現(xiàn)的.

快速拼接算法的適用范圍要比傳統(tǒng)算法的適用范圍窄. 當(dāng)測量不同動量空間是通過旋轉(zhuǎn)樣品(以樣品面法向?yàn)樾D(zhuǎn)軸)進(jìn)行時，快速拼接算法就不再適用了.

對于常見的角分辨光電子能譜實(shí)驗(yàn)，通常是通過改變樣品相對于分析器的傾角來測量不同的動量空間，相鄰傾角(通常少于2°)之間的數(shù)據(jù)差別不是很大. 快速拼接算法正是利用了這一特點(diǎn)對相鄰傾角之間不存在的角度用兩相鄰數(shù)據(jù)線性插值結(jié)果來代替，這和傳統(tǒng)插值算法從插值原理上來說并沒有本質(zhì)區(qū)別(此時平滑插值可以用線性插值近似)，因此快速拼接算法和傳統(tǒng)插值算法的插值結(jié)果一致. 但是由于跳過了三角剖分和插值幾何排序等復(fù)雜耗時的計算過程，快速拼接算法提高了運(yùn)算速度.

需要注意的是無論是快速拼接算法還是傳統(tǒng)算法，都是通過已測數(shù)據(jù)推斷未測量點(diǎn)的數(shù)據(jù)，從這點(diǎn)來說，本文所述傳統(tǒng)方法亦不能作為絕對的參考，真正的插值效果有賴于待插值的數(shù)據(jù)環(huán)境. 事實(shí)上，還有其他的不同的插值方法，如最近鄰法、克里金法(Kriging)等，這些方法同樣能將非均勻分布的數(shù)據(jù)拼接為均勻分布的數(shù)據(jù)，但是插值的結(jié)果之間必然會存在一些差別.

利用快速拼接算法，可以實(shí)時查看不同結(jié)合能處譜重隨動量的分布，還可以動態(tài)顯示譜重動量分布隨結(jié)合能的變化，這可以提高角分辨光電子能譜數(shù)據(jù)處理效率.

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