河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 丁海麗

解析幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)與拓展

河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 丁海麗

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

詳見(jiàn)本期封二。

二、知識(shí)拓展

1.直線的傾斜角與斜率的關(guān)系。

例1 已知直線xs i nα+y=0,則該直線的傾斜角的變化范圍是____。

思路點(diǎn)撥:直線斜率k=t a nβ(β為直線的傾斜角)在[0,π)上是不單調(diào)的且不連續(xù)。由直線的斜率求傾斜角的范圍問(wèn)題,一般借助正切函數(shù)在[0,π)上的圖像,數(shù)形結(jié)合確定斜率與傾斜角的范圍。

解析:由題意得直線xs i nα+y=0的斜率k=-s i nα。因?yàn)?1≤s i nα≤1,所以-1≤k≤1。

2.直線方程的分類討論。

例2 (1)a為何值時(shí),直線l1:x+2a y-1=0與直線l2:(3a-1)x-a y-1=0平行?

(2)a為何值時(shí),直線l3:2x+a y=2與直線l4:a x+2y=1垂直?

思路點(diǎn)撥:求直線方程,特別是研究含參數(shù)的直線方程問(wèn)題時(shí),一定要對(duì)直線的斜率存在還是不存在進(jìn)行討論,這是避免出錯(cuò)的重要方法。

解析:(1)①當(dāng)a=0時(shí),兩直線的斜率不存在,直線l1:x-1=0,直線l2:x+1=0,此時(shí),l1∥l2。

(2)①當(dāng)a=0時(shí),直線l3的斜率不存在,直線l:x-1=0,直線l:y-=0,此34時(shí)l3⊥l4。

②當(dāng)a≠0時(shí),直線l3:y=-x +與直線l4:y=-x+,直線l3的斜率為k3=-, 直線l4的斜率為k4=,要使兩直線垂直,必須k3·k4=-1,即-·(-)=-1,不存在實(shí)數(shù)a使得方程成立。

綜合①②可得,當(dāng)a=0時(shí),兩直線垂直

跟蹤練習(xí)2.已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=4,則過(guò)點(diǎn)(3,5)且與圓C相切的切線方程為_(kāi)___。

3.圓錐曲線方程的焦點(diǎn)位置。

思路點(diǎn)撥:在求解圓錐曲線方程問(wèn)題過(guò)程中,當(dāng)焦點(diǎn)位置不明確時(shí)要注意依焦點(diǎn)所在位置分情況進(jìn)行討論,以免造成漏解。

綜上,m=1或1 6。

跟蹤練習(xí)3.以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心,兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線C的一條漸近線的傾斜角為,求雙曲線C的離心率。

4.定點(diǎn)問(wèn)題。

例4 已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F作兩條相互垂直的弦A B,C D,設(shè)弦A B,C D的中點(diǎn)分別為M,N。求證:直線MN恒過(guò)定點(diǎn)。

思路點(diǎn)撥:直線恒過(guò)定點(diǎn)是指無(wú)論直線如何變動(dòng),必有一個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)適合這條直線的方程,問(wèn)題就歸結(jié)為用參數(shù)把直線的方程表示出來(lái),無(wú)論參數(shù)如何變化這個(gè)方程必有一組常數(shù)解。本題容易出錯(cuò)的地方有兩個(gè):一是在用參數(shù)表示直線MN的方程時(shí)計(jì)算錯(cuò)誤;二是在得到了直線系MN的方程后,對(duì)直線恒過(guò)定點(diǎn)的意義不清楚,找錯(cuò)方程的常數(shù)解。

跟蹤練習(xí)4.已知雙曲線C-=1(a＞0,b＞0)的焦距為2 7,其一條漸近線的傾斜角為θ,且t a nθ=。以雙曲線C的實(shí)軸為長(zhǎng)軸,虛軸為短軸的橢圓記為E。

(1)求橢圓E的方程。

(2)設(shè)A是橢圓E的左頂點(diǎn),P,Q為橢圓E上異于點(diǎn)A的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),若直線A P,A Q的斜率之積為-,問(wèn):直線P Q是否恒過(guò)定點(diǎn)?若恒過(guò)定點(diǎn),求出該點(diǎn)坐標(biāo);若不恒過(guò)定點(diǎn),說(shuō)明理由。

由①②解得a2=4,b2=3,所以橢圓E的方程為+=1。

當(dāng)m=2k時(shí),直線P Q的方程為y=k x+2k=k(x+2),此時(shí)直線P Q過(guò)定點(diǎn)(-2,0),顯然不適合題意。

當(dāng)m=-k時(shí),直線P Q的方程為y=k x-k=k(x-1),此時(shí)直線P Q過(guò)定點(diǎn)(1 0)。

綜上,直線P Q恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)。

(責(zé)任編輯 劉鐘華