曾達(dá)幸 王娟娟 樊明洲 岳曉博 侯雨雷

燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島，066004

基于主成分分析方法的并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化

曾達(dá)幸 王娟娟 樊明洲 岳曉博 侯雨雷

燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島，066004

以DELTA并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對象，求解該機(jī)構(gòu)的全域條件數(shù)、全域各向同性系數(shù)、全域最小奇異值指標(biāo)數(shù)據(jù)，建立多維全域性能指標(biāo)數(shù)據(jù)。基于主成分分析(PCA)法，對上述多維全域性能指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行降維、有效融合，去除指標(biāo)間的冗余信息，減小目標(biāo)函數(shù)對權(quán)重系數(shù)的人為依賴性，從而確定目標(biāo)函數(shù)。通過對不同結(jié)構(gòu)參數(shù)樣本進(jìn)行PCA分析，選出基于綜合全域性能最優(yōu)的結(jié)構(gòu)尺寸。將PCA優(yōu)化結(jié)果與各性能指標(biāo)值分布圖進(jìn)行比較分析，最優(yōu)和最差樣本均與各性能指標(biāo)分布圖的最優(yōu)和最差性能區(qū)域相對應(yīng)，從而驗(yàn)證PCA方法在并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化時的有效性。研究結(jié)果為多目標(biāo)下并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化提供了一種新思路。

參數(shù)優(yōu)化；并聯(lián)機(jī)構(gòu)；主成分分析；全域性能指標(biāo)

0 引言

隨著并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用領(lǐng)域的不斷深入與拓展，對其性能指標(biāo)的要求也愈加全面。根據(jù)實(shí)際工況任務(wù)的需求，對機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化成為影響設(shè)計(jì)優(yōu)劣的關(guān)鍵。目前并聯(lián)機(jī)構(gòu)多基于單一指標(biāo)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，如黃田等[1]基于全域靈活度實(shí)現(xiàn)對球面并聯(lián)機(jī)器人的尺度綜合；劉辛軍等[2]基于傳動角，定義了一種關(guān)于力/運(yùn)動性能傳遞的度量指標(biāo)，并對PVRRRPV(P和R分別表示移動副和轉(zhuǎn)動副，下標(biāo)V表示移動副P的運(yùn)動方向是豎直方向)并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行機(jī)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。而在機(jī)構(gòu)實(shí)際應(yīng)用中往往需要考慮多指標(biāo)之間的相互影響，希望基于多指標(biāo)選出滿意的機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸，因此機(jī)構(gòu)的參數(shù)優(yōu)化應(yīng)該是多目標(biāo)優(yōu)化問題。多目標(biāo)優(yōu)化問題的傳統(tǒng)分析方法(如主要目標(biāo)法、權(quán)重系數(shù)法等)是將多目標(biāo)問題變?yōu)閱文繕?biāo)優(yōu)化問題，從而使多目標(biāo)優(yōu)化成為可能，但此類方法并不是真正意義上的多目標(biāo)優(yōu)化[3]。智能仿生算法(如遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等)是基于群體進(jìn)行優(yōu)化，已被應(yīng)用于多目標(biāo)優(yōu)化中[4-6]。機(jī)構(gòu)的參數(shù)優(yōu)化還有一種方法是性能圖譜，該方法是在有限的空間內(nèi)用圖形表示性能指標(biāo)與設(shè)計(jì)參數(shù)之間的關(guān)系，但得到的最佳結(jié)果往往是模糊的。

主成分分析(principal component analysis，PCA) 法[7]是統(tǒng)計(jì)學(xué)中一種多元統(tǒng)計(jì)方法，該方法充分考慮各指標(biāo)間的信息重疊，在進(jìn)行數(shù)據(jù)簡化的同時能夠最大程度地保留原有信息，更客觀地確定各個指標(biāo)的權(quán)重，避免了主觀隨意性。目前，PCA法已應(yīng)用到水質(zhì)監(jiān)測[8]、環(huán)境質(zhì)量評價[9]、人臉識別[10-11]、機(jī)械故障特征融合[12-13]和診斷[14]以及工業(yè)數(shù)據(jù)中的去噪[15]等領(lǐng)域。文獻(xiàn)[16]將PCA法應(yīng)用于同一構(gòu)型不同尺度平面2R機(jī)械臂和三種不同構(gòu)型空間3R機(jī)械臂運(yùn)動靈活性綜合評價。文獻(xiàn)[17]應(yīng)用PCA法和核主成分分析(kernel principal component analysis,KPCA)法對不同尺度的PUMA560串聯(lián)機(jī)器人的全域性能進(jìn)行綜合評價。文獻(xiàn)[18]基于不同工作任務(wù)，使用PCA法和KPCA法對平面2-RR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的綜合性能進(jìn)行評價和比較分析。目前PCA法在并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化方面的應(yīng)用相對較少。

本文應(yīng)用PCA法對并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，以典型的DELTA并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對象，給定不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)樣本，基于運(yùn)動學(xué)全域性能指標(biāo)，運(yùn)用PCA法通過綜合性能評分得出性能最優(yōu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)樣本，開展機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化。而后繪制各性能指標(biāo)值分布圖，與PCA法優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對比分析，最優(yōu)和最差樣本均在各性能指標(biāo)值分布圖的最優(yōu)和最差區(qū)域內(nèi)，從而驗(yàn)證PCA法的有效性。

1 DELTA并聯(lián)機(jī)構(gòu)全域性能指標(biāo)確立

DELTA并聯(lián)機(jī)構(gòu)是目前應(yīng)用最成功的三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)之一，如圖1所示，該機(jī)構(gòu)是由定平臺、動平臺和三條均布并包含有平行四邊形結(jié)構(gòu)的支鏈組成。

圖1 DELTA并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖Fig.1 Simplified structure of DELTA parallel mechanism

DELTA機(jī)構(gòu)的基本尺寸如下：定平臺外接圓半徑為ra，圓心為O，動平臺外接圓半徑為rb，圓心為O′，AiBi(i=1,2,3)長度為l1，BiCi長度為l2。OAi與定坐標(biāo)系OXYZ的X軸正向之間的夾角αi分別為0°、120°、240°，AiBi與定坐標(biāo)系的OXZ平面之間的夾角為βi，平行四邊形機(jī)構(gòu)與定坐標(biāo)系的OXZ平面之間的水平面轉(zhuǎn)角為γi，平行四邊形機(jī)構(gòu)與定坐標(biāo)系OXYZ的Y軸負(fù)向之間的夾角為θi，定平臺與動平臺相互平行。

Bi、Ci點(diǎn)在定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

由BiCi=l2，可得表達(dá)式如下:

(1)

xi=rcosαi+l1cosαicosβiyi=-l1sinβi
zi=-rsinαi-l1sinαicosβi
r=ra-rbi=1,2,3

由式(1)可得

(2)

i=1,2,3

對式(2)進(jìn)行一階泰勒展開，并對時間求導(dǎo)得

(3)

式(3)轉(zhuǎn)換為矩陣形式，有

令

則可簡化為

則該機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣為

(4)

根據(jù)式(4)可求出DELTA機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靈活性指標(biāo)解析式多數(shù)與雅可比矩陣有關(guān)。確立全域條件數(shù)x1、全域各向同性系數(shù)x2、全域最小奇異值x3為優(yōu)化指標(biāo)，對DELTA機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，這三項(xiàng)性能指標(biāo)解析式都是基于雅可比矩陣求得，但是所具有的物理意義不同，在不同方面反映了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靈活度。各全域性能指標(biāo)具體信息如表1所示。

表1 全域性能指標(biāo)具體信息

表1中，w為機(jī)構(gòu)工作空間；min(SVD(J))為雅可比矩陣J的最小奇異數(shù)；KJ為條件數(shù)，Δ為各向同性系數(shù)，其表達(dá)式分別為

KJ=‖J‖·‖J-1‖

式中，m為機(jī)構(gòu)操作空間維數(shù)；λi(i=1,2,…,m)為雅可比矩陣J的特征值。

2 DELTA并聯(lián)機(jī)構(gòu)主成分分析過程

2.1 DELTA并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)量綱一化

為把DELTA并聯(lián)機(jī)構(gòu)多維無限尺寸空間變換到有限的三維空間中來，從而可以系統(tǒng)地研究機(jī)構(gòu)尺寸與性能的關(guān)系，將DELTA機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行量綱一化，即

(5)

量綱一化后的DELTA機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸為

(6)

由式(5)、式(6)可得

r1+r2+r3=3

為使DELTA機(jī)構(gòu)滿足組裝和運(yùn)動要求，需滿足條件

00

2.2 性能指標(biāo)數(shù)據(jù)處理

根據(jù)表1中的解析式求得各指標(biāo)原始數(shù)據(jù)，構(gòu)成原始樣本矩陣X如下：

X由m個不同尺寸的DELTA并聯(lián)機(jī)構(gòu)樣本的n個全域性能指標(biāo)構(gòu)成。

根據(jù)表1中相應(yīng)的解析式，利用MATLAB編程，求取每個樣本的全域條件數(shù)x1、全域各向同性系數(shù)x2和全域最小奇異值x3，構(gòu)成樣本的指標(biāo)原始數(shù)據(jù)。選取100個參數(shù)樣本，其具體數(shù)值如表2所示。

表2 DELTA機(jī)構(gòu)性能指標(biāo)原始數(shù)據(jù)

各性能指標(biāo)原始數(shù)據(jù)隨尺寸改變會產(chǎn)生不同的優(yōu)劣趨勢變化。指標(biāo)x3是正向指標(biāo)，其值越大，機(jī)構(gòu)所對應(yīng)性能就越好。指標(biāo)x1、x2為適度指標(biāo)，其值越接近1，機(jī)構(gòu)所對應(yīng)性能越好。為了便于分析，在數(shù)據(jù)分析之前，先將數(shù)據(jù)正向化處理，使各指標(biāo)變?yōu)檎蛑笜?biāo)。正向化公式為

x′=1/|x-t|

(7)

式中，t為指標(biāo)最佳值。

利用式(7)對x1、x2作正向化處理，正向化后的性能指標(biāo)數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 DELTA機(jī)構(gòu)正向化后性能指標(biāo)數(shù)據(jù)

各指標(biāo)的量綱和數(shù)量級不同，指標(biāo)數(shù)據(jù)之間不具有可比性，需先將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理，使各指標(biāo)數(shù)值都處于同一個級別上，從而便于進(jìn)行綜合測評分析。

采用Z-Score變換對正向化后的性能指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，得到樣本標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)矩陣Z，其具體數(shù)值如表4所示。

標(biāo)準(zhǔn)化公式為

其中

表4 DELTA機(jī)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)化后性能指標(biāo)數(shù)據(jù)

2.3 求取相關(guān)系數(shù)矩陣

靈活性指標(biāo)之間存在一定的相關(guān)性，使數(shù)據(jù)存在一定的信息重疊，應(yīng)用相關(guān)系數(shù)可以充分反映靈活性指標(biāo)間的相關(guān)性，這是降維的首要條件[15]。

矩陣Z的相關(guān)系數(shù)矩陣為

(8)

根據(jù)式(8)，其具體數(shù)值如表5所示。由表5可知，x1與x2的相關(guān)系數(shù)為0.9631，相關(guān)系數(shù)較大，相關(guān)性較強(qiáng)。x1與x3相關(guān)系數(shù)為0.2798，x2與x3相關(guān)系數(shù)為0.1971，相關(guān)系數(shù)較小，相關(guān)性較弱。由此可知，三個指標(biāo)相互之間的相關(guān)程度不同。相關(guān)系數(shù)矩陣反映了各性能指標(biāo)間的內(nèi)部聯(lián)系。主成分則是基于指標(biāo)之間這些內(nèi)部聯(lián)系而確定的。

表5 相關(guān)系數(shù)矩陣

2.4 主成分的確定

求取矩陣R的特征值以及單位特征向量。每一個單位特征向量所對應(yīng)的特征值代表了相關(guān)系數(shù)矩陣在這一單位特征向量上的貢獻(xiàn)率(即能量)。由主成分的數(shù)學(xué)模型和統(tǒng)計(jì)特征知，主成分Fi的方差為R的第i大特征根λi，故各主成分方差貢獻(xiàn)率表示包含原始信息能量的多少，其方差貢獻(xiàn)率為

選取主成分的原則是不丟失主要信息，而衡量信息的指標(biāo)是主成分的方差，方差越大，說明包含主成分的信息量越大[19]。將特征值λi(i=1,2,…,n)進(jìn)行排序：λ1≥λ2≥…≥λn。各特征值對應(yīng)的單位特征向量為

vi=(vi1,vi2,…,vin)Ti=1,2,…,n

根據(jù)特征值的累計(jì)方差貢獻(xiàn)率Mi來確定主成分個數(shù)k，通常取累計(jì)方差貢獻(xiàn)率大于或等于85%[20]。其前p個主成分累計(jì)方差貢獻(xiàn)率Mi為

(9)

由式(9)可計(jì)算主成分的累計(jì)方差貢獻(xiàn)率，PCA分析過程中具體信息如表6所示。由表6可知，第一主成分累計(jì)方差貢獻(xiàn)率為68.9%，該值小于85%，不滿足確定主成分條件；第一主成分和第二主成分方差貢獻(xiàn)率達(dá)到98.8%，該值大于85%，故確定主成分個數(shù)為2。

表6 樣本PCA分析計(jì)算結(jié)果

2.5 綜合性能評價函數(shù)確定

第一主成分能代表指標(biāo)x1、x2的信息，第二主成分則主要代表指標(biāo)x3的信息。將特征根對應(yīng)的單位特征向量作為主成分模型中的權(quán)重系數(shù)，確定主成分表達(dá)式，這樣就排除了人為設(shè)定參數(shù)計(jì)算過程的干預(yù)，保證了評價過程中的客觀性。

主成分的數(shù)學(xué)模型為

Fi=ei1Z1+ei2Z2+…+einZn

(10)

其中ei=(ei1，ei2，…，ein)T為Fi的系數(shù)向量。多元統(tǒng)計(jì)學(xué)已經(jīng)證明，ei是R特征根λi對應(yīng)的特征向量vi[19]?，F(xiàn)選取兩個主成分，由式(10)得第一主成分表達(dá)式為

F1=0.680Z1+0.668Z2+0.301Z3

(11)

第二主成分的表達(dá)式為

F2=0.167Z1+0.258Z2-0.951Z3

(12)

根據(jù)各指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，結(jié)合各指標(biāo)的具體物理意義，若主成分Fi越大，機(jī)構(gòu)的靈活性能越好，則主成分Fi正向；若主成分Fi非正向，則需對主成分Fi進(jìn)行正向化處理[21]。對式(12)可進(jìn)行正向化處理，即

(13)

PCA法根據(jù)相關(guān)系數(shù)矩陣反映的信息，求取其特征值和單位特征向量，客觀地賦予各指標(biāo)權(quán)重系數(shù)，對并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行綜合性能評價。構(gòu)造并聯(lián)機(jī)構(gòu)綜合性能評價函數(shù)：

(14)

則由式(11)～式(14)得DELTA機(jī)構(gòu)的綜合性能評價函數(shù)表達(dá)式為

(15)

3 評價結(jié)果分析與驗(yàn)證

選取的性能指標(biāo)都是反映DELTA機(jī)構(gòu)靈活性的指標(biāo)，故綜合性能評分越高，代表DELTA機(jī)構(gòu)的靈活性能越好。根據(jù)式(15)，繪制得出100個樣本PCA優(yōu)化結(jié)果圖譜，10個樣本為一組，如圖2所示。

圖2 PCA優(yōu)化結(jié)果圖譜Fig.2 Atlas of optimization results by PCA method

由圖2可知，每組樣本的綜合性能評分大致趨勢為先增后減，規(guī)律相似。各組樣本的最高評分宏觀上也呈先增后減的趨勢。綜合性能評分最高的是樣本33，該樣本具體信息如表7所示。

得分排名第2的樣本是樣本12，得分排名第99的樣本是樣本28，得分最低的樣本是樣本49。樣本33、12、28、49性能指標(biāo)對比如表8所示。

表7 樣本33具體信息

表8 4個樣本性能指標(biāo)值與各性能指標(biāo)極值對比表

由表8可知，在所有樣本的全域條件數(shù)x1中，樣本33的x1是最優(yōu)值，樣本12的x1接近最優(yōu)值，樣本28的x1是最差值，樣本49的x1接近最差值。在所有樣本的全域各向同性系數(shù)x2中，樣本33的x2是最優(yōu)值，樣本12的x2接近最優(yōu)值，樣本28和樣本49的x2較為相近，且接近最差值。在所有樣本的全域最小奇異值x3中，樣本12比樣本33的x3更接近最優(yōu)值，樣本49比樣本28的x3更接近最差值。由以上分析以及表5可知，各指標(biāo)不會在同一樣本中同時出現(xiàn)最優(yōu)值。最優(yōu)樣本33和最差樣本49的各個性能指標(biāo)值與所對應(yīng)的性能指標(biāo)最優(yōu)值和最差值也極為接近，表明了PCA方法優(yōu)化的有效性。

為了更為直觀地驗(yàn)證PCA法優(yōu)化的有效性，繪制出該DELTA機(jī)構(gòu)的綜合性能評分三維圖和各性能指標(biāo)值分布圖，見圖3和圖4，圖中*為最優(yōu)樣本33，?為最差樣本49。

圖3 綜合性能評分三維圖Fig.3 Map of comprehensive performance score

觀察圖3和圖4可知，圖3綜合性能評分三維圖與圖4a、圖4b單個性能指標(biāo)值的分布圖相似但不相同，圖3所呈現(xiàn)的效果是圖4a～圖4c三者的結(jié)合。由圖4可知，x1與x2的指標(biāo)值分布圖相似度較高，x1和x3、x2和x3的指標(biāo)值分布圖相似度較低。在各性能指標(biāo)值分布圖中，最優(yōu)樣本33位于性能優(yōu)秀的樣本區(qū)域內(nèi)，最差樣本49位于性能較差的樣本區(qū)域內(nèi)。由此驗(yàn)證了PCA法在DELTA并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化應(yīng)用中的有效性。

(a)全域條件數(shù)x1

(b)全域各向同性系數(shù)x2

(c)全域最小奇異值x3圖4 DELTA并聯(lián)機(jī)構(gòu)各性能指標(biāo)值分布圖Fig.4 Distribution map of the performance index values of DELTA mechanism

4 結(jié)論

(1)將主成分分析法應(yīng)用于DELTA并聯(lián)機(jī)構(gòu)的參數(shù)優(yōu)化，克服了性能圖譜方法優(yōu)化結(jié)果不唯一的弊端；通過求取各指標(biāo)之間的相關(guān)系數(shù)以及相關(guān)系數(shù)的特征值和特征向量，確立主成分，進(jìn)而確立目標(biāo)函數(shù)，得出綜合性能評分最高的樣本結(jié)構(gòu)尺寸，對并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度綜合具有指導(dǎo)意義。

(2)通過對主成分分析法優(yōu)化結(jié)果以及各性能指標(biāo)值分布圖的對比和分析，驗(yàn)證了優(yōu)化結(jié)果的有效性。本研究是對并聯(lián)機(jī)構(gòu)綜合性能優(yōu)化方法的擴(kuò)展，可為不同構(gòu)型并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化提供新的思路。

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ParameterOptimizationofParallelMechanismsBasedonPCA

ZENG Daxing WANG Juanjuan FAN Mingzhou YUE Xiaobo HOU Yulei

School of Mechanical Engineering,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei，066004

A DELTA parallel mechanism was treated as the research object, the global conditioning index, the global isotropic and the global minimum singular value of the mechanism were solved to build multi-dimensional global performance indices. Based on PCA, the multi-dimensional global performance indices were dimensionally reduced, effectively integrated. Redundant data dimensions among kinematic indicators and target function dependence of weight coefficient were reduced to obtain more objective target function. The different structure parameter samples were analyzed by PCA thereby optimal structure dimensions were obtained based on the comprehensive global performance. The optimization results of PCA and the distribution of the performance index values were compared and analyzed, the best and the worst samples corresponded to the best and the worst performance areas of distribution map of every global performance index respectively, and then the effectiveness of applying PCA in parameter optimization of parallel mechanisms was verified. These contents of the research provide a new idea for multi-target optimization of the parallel mechanisms.

parameter optimization; parallel mechanism; principal component analysis(PCA); global performance index

2016-08-11

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51205339，51775473)；河北省高等學(xué)?？茖W(xué)技術(shù)研究青年基金資助項(xiàng)目(QN2014175)；河北省重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃資助項(xiàng)目(15211826)；燕山大學(xué)研究生創(chuàng)新資助項(xiàng)目(2017XJSS009)

TH112

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.24.001

(編輯蘇衛(wèi)國)

曾達(dá)幸，男，1978年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授。主要研究方向?yàn)椴⒙?lián)機(jī)構(gòu)型綜合、 并聯(lián)機(jī)器人和重型工程機(jī)械設(shè)計(jì)。王娟娟，女，1991年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。樊明洲，男，1992年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。岳曉博，女，1990年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。侯雨雷(通信作者)，男，1980年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。E-mail：ylhou@ysu.edu.cn。