田海慧 湖南省長沙市第一中學(xué)

高中數(shù)學(xué)中概率的基本性質(zhì)

田?；?湖南省長沙市第一中學(xué)

日常生活中，經(jīng)常會(huì)遇到一些無法事先預(yù)料結(jié)果的事情，它們被稱為隨機(jī)事件。比如，拋擲一枚硬幣，它將正面朝上還是反面朝上、購買本期福利彩票是否能夠中獎(jiǎng)等，這些事情的結(jié)果都有不確定性，是無法預(yù)知的，但當(dāng)我們把隨機(jī)的事件都放在一起時(shí)，它們可能會(huì)表現(xiàn)出令人驚訝的規(guī)律性。為了研究這種隨機(jī)事件的規(guī)律性，高中數(shù)學(xué)中引進(jìn)了概率，概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，本人將探討概率的基本性質(zhì)。

概率 不可能事件 隨機(jī)事件

1 事件概念

一般地，我們把在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫做相對(duì)于條件S的必然事件，簡稱必然事件。

在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫做相對(duì)于條件S的不可能事件，簡稱不可能事件。

必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)于條件S的確定事件，簡稱確定事件。

在條件S下肯定能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件，簡稱隨機(jī)事件。

2 概率的概念

概率，又稱或然率、機(jī)會(huì)率、機(jī)率(幾率)或可能性，是概率論的基本概念。概率是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的度量，一般以一個(gè)在0到1之間的實(shí)數(shù)表示一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小。越接近1，該事件更可能發(fā)生；越接近0，則該事件更不可能發(fā)生。人們常說某人有百分之多少的把握能通過這次考試，某件事發(fā)生的可能性是多少，這都是概率的實(shí)例。

3 事件的關(guān)系與運(yùn)算

思考：在擲骰子試驗(yàn)中，我們用集合形式定義如下事件：

C1＝｛出現(xiàn)1點(diǎn)｝，C2＝｛出現(xiàn)2點(diǎn)｝，C3＝｛出現(xiàn)3點(diǎn)｝，C4＝｛出現(xiàn)4點(diǎn)｝，C5＝｛出現(xiàn)5點(diǎn)｝，C6＝｛出現(xiàn)6點(diǎn)｝，D1＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1｝，D2＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于4｝，D3＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于6｝，E＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7｝，F(xiàn)＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6｝，G＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)｝，H＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)｝，等等。你能寫出這個(gè)試驗(yàn)中出現(xiàn)其它一些事件嗎？類比集合與集合的關(guān)系，運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系和運(yùn)算嗎？上述事件中哪些是必然事件？哪些是隨機(jī)事件？哪些是不可能事件？

①顯然，如果事件C1發(fā)生，則事件H一定發(fā)生，這時(shí)我們說事件H包含事件C1，記作

一般地，對(duì)于事件A和B，如果事件A發(fā)生時(shí)，事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A（或稱事件A包含于事件B）記作B A(或

②如果C1發(fā)生，那么事件D1一定發(fā)生，反過來也對(duì)，這時(shí)我們說這兩個(gè)事件相等，記作C1=D1。一般地，若B?A，且A?B，則稱事件A與事件B相等，記作A=B。

③若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)，記作A∪B(或A+B)。

例如，在擲骰子的試驗(yàn)中，事件C1∪C5表示出現(xiàn)1點(diǎn)或5點(diǎn)這個(gè)事件，即C1∪C5={出現(xiàn)1點(diǎn)或5點(diǎn)}。

④若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作A∩B（或AB）。

例如，在擲骰子的試驗(yàn)中D2∩D3=C4。

⑤若A∩B為不可能事件，即A∩B=φ，那么稱事件A與事件B互斥。其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生。

例如，上述試驗(yàn)中的事件C1與事件C2互斥，事件G與事件H互斥。

⑥若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，則稱事件A與事件B互為對(duì)立事件，其含義是：事件A與事件B有且只有一個(gè)發(fā)生。在上述試驗(yàn)中，G∩H為不可能事件，G∩H為必然事件，所以G與H互為對(duì)立事件。

4 概率的幾個(gè)基本性質(zhì)

①由于事件的頻數(shù)總是小于或等于試驗(yàn)的次數(shù)，所以頻率在0～1之間，從而任何事件的概率在0～1之間，即

0≤P(A)≤1

②每次試驗(yàn)中，必然事件一定發(fā)生，因此它的頻率為1，從而必然事件的概率為1，如，在擲骰子試驗(yàn)中，由于出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)最大是6，因此P(E)=1。

③每次試驗(yàn)中，不可能事件一定不出現(xiàn)，因此他的頻率為0，從而不可能事件的概率為0。如，在擲骰子試驗(yàn)中，P(F)=0。

④當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，A∪B發(fā)生的頻數(shù)等于A發(fā)生的頻數(shù)與B發(fā)生的頻數(shù)之和，從而A∪B的頻率Fn(A∪B)=Fn(A)+Fn(B)。

由此得到概率的加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)。

⑤特別地，若事件A與B為對(duì)立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)。

隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生是不確定的，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件的發(fā)生是有規(guī)律的，概率就是要尋找這種規(guī)律性。

[1]龔先貴,高中數(shù)學(xué)概率教學(xué)研究經(jīng)營管理者.[J].湖南師范大學(xué),2013(09)

[2]司存瑞,利用概率性質(zhì)解數(shù)學(xué)分析問題.[J].陜西教育學(xué)院學(xué)報(bào),1995（02)