劉永睿,尹長明,孫晗

(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣西 南寧 530000)

協(xié)變量維數(shù)趨于無窮的復(fù)合次序模型的GEE估計(jì)的漸近性質(zhì)

劉永睿,尹長明,孫晗

(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣西 南寧 530000)

研究了協(xié)變量維數(shù)趨于無窮的復(fù)合次序Logisti回歸縱向數(shù)據(jù)模型.首先在響應(yīng)變量為k個(gè)有序“狀態(tài)”之一時(shí),給出了該模型下的廣義估計(jì)方程,然后給出了該廣義估計(jì)方程估計(jì)的漸近存在性,相合性以及漸近正態(tài)性定理,并在較弱的條件下給出了定理的證明過程,證明了該模型的可用性以及結(jié)果的穩(wěn)定性,推廣了文獻(xiàn)中的相關(guān)結(jié)果.

屬性數(shù)據(jù);高維協(xié)變量;相合性;漸近正態(tài)性

1 引言

復(fù)合次序模型是多維廣義線性模型中的一種,主要研究目標(biāo)變量Y取k個(gè)有序“狀態(tài)”,而這k個(gè)狀態(tài)又被自然分成幾個(gè)小類,每個(gè)小類性質(zhì)接近.建模時(shí),首先對不同類之間進(jìn)行建模,然后對每個(gè)小類用不同的參數(shù)進(jìn)行建模.如藥物對病人治療效果可分為三類:改善,沒有變化,惡化.而第一類改善又分為有很大改善,有改善,第三類惡化又分為一般惡化,嚴(yán)重惡化[1].廣義估計(jì)方程 (GEE)是Liang和 Zeger[2]于 1986年提出,用于分析縱向數(shù)據(jù) (longitudinal data)或集團(tuán)數(shù)據(jù)(cluster data)的一種模型,是廣義線性模型的推廣.文獻(xiàn)[3]詳細(xì)討論了縱向數(shù)據(jù)下的GMM方法以及GEE,并針對縱向數(shù)據(jù)下廣義估計(jì)方程給出了兩種經(jīng)驗(yàn)似然方法,得到了參數(shù)的極大經(jīng)驗(yàn)似然估計(jì).文獻(xiàn)[4]討論了Logit模型的參數(shù)估計(jì).本文運(yùn)用了Logit模型的基本思想,討論了協(xié)變量維數(shù)趨于無窮的復(fù)合次序模型的廣義估計(jì)方程的相關(guān)性質(zhì),解決了一些高維數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)推斷問題,并將廣義估計(jì)方程的應(yīng)用領(lǐng)域擴(kuò)展至目標(biāo)變量取個(gè)有序“狀態(tài)”之一的屬性數(shù)據(jù),推廣了文獻(xiàn)[5]中的相關(guān)結(jié)果.

2 模型介紹

設(shè)對第i個(gè)個(gè)體的第j次觀測,得到q×1維響應(yīng)變量Yij,pn×q維協(xié)變量Zij,i=1,···,n,j=1,···,m,q=k?1.設(shè)來自不同個(gè)體的觀測值相互獨(dú)立,來自相同個(gè)體觀測值則是相關(guān)的,但相關(guān)系數(shù)未知.令Yij=(Yij1,···,Yijq)T的期望

其中h是聯(lián)系函數(shù),βn是pn×1維未知回歸參數(shù)(pn可以趨于無窮),βn0為參數(shù)的真值,T表示轉(zhuǎn)置.記

Yi的期望記為:

方差記為:

當(dāng)Yij服從0,1分布(觀察次數(shù)是1的二項(xiàng)分布),期望

即

就得到經(jīng)典的Logit模型.

若Yij服從五項(xiàng)分布(觀測次數(shù)是1),即q=4,期望

即

其中n1,n2,n3,n4,n1+n2+n3+n4=0,1,就得到復(fù)合次序Logit模型[1].

文獻(xiàn)[5]在一定條件下證明了經(jīng)典Logit廣義估計(jì)方程:

3 主要結(jié)果

為了后面定理敘述簡單，引入以下假設(shè)條件:

(A2)未知參數(shù)βn屬于緊子集B?Rpn,真正參數(shù)值βn0是集合B的內(nèi)點(diǎn),并且存在正常數(shù)c,

使得λmin(Ai(βn0))≥c,其中λmin,λmax分別表示矩陣的最小,最大特征值;

(A3)存在兩個(gè)正的常數(shù)c1,c2,滿足:

(A4)

定理3.1對復(fù)合次序模型,假設(shè)(A1)-(A5)成立,則方程Sn(βn)=0存在一個(gè)根?βn,且滿足如下條件:

進(jìn)一步假設(shè) (A6)成立，則?αn∈Rpn,‖αn‖=1,有

其中

注3.1對經(jīng)典Logit模型,

方程(7)就簡化為文獻(xiàn)[5]中方程(3.1).

注 3.2該定理的假設(shè)條件與文獻(xiàn)[5]一樣,參看文獻(xiàn)[5].

4 定理3.1的證明

定理的證明需要用到以下引理:

引理4.1設(shè)G是Rn中的有界開集,記G的閉包和邊界分別是,?G.若函數(shù)是連續(xù)的,并且對某個(gè)x0∈G和所有的x∈?G有(x?x0)TF(x)≤0,則F(x)=0有一個(gè)根在中.參見文獻(xiàn)[6].

下面5個(gè)引理的證明分別與文獻(xiàn)[3]引理3.1,引理3.3,引理3.4,引理3.5,引理3.7類似,在此省略.

引理 4.2若假設(shè)條件(A1)-(A5)成立,則

引理 4.3若假設(shè)條件(A1)-(A5)成立,則?Δ＞0,an,bn∈Rpn,有

其中

引理 4.4若假設(shè)條件(A1)-(A5)成立,則?Δ＞0,an,bn∈Rpn,有

引理 4.5若假設(shè)條件(A1)-(A5)成立,則?Δ＞0,an,bn∈Rpn,有

引理 4.6若假設(shè)條件(A1)-(A4)及pn/n→0成立,則?α∈Rpn,‖αn‖=1有

定理 3.1的證明根據(jù)引理4.1,證明方程Sn(βn)=0根的存在性且(8)成立,只需證明?ε＞0,存在一個(gè)Δ＞0,對足夠大的n有如下式子成立:

由微分中值定理,有

由Hi(βn0),Yi的定義知其有界,由假設(shè)(A2)和(A4)分別知和都有界,再由 (A3),有

其中,εi(βn)=Yi?hi(βn). 所以

由引理4.2及假設(shè)(A5)可得：

對于In3有,

由引理4.3和假設(shè)(A5)可得,

由引理4.4和引理4.5及假設(shè)(A5)可得,

而由假設(shè)(A2),(A3)和(A4)可得,

可見當(dāng)Δ足夠大時(shí),(10),(8)成立.

下面證(9)式成立.

由假設(shè)條件(A4)和(A2)可得,

再由假設(shè)條件(A3),引理4.2和(A5)可得,

同理,運(yùn)用(8),引理4.4,引理 4.5,假設(shè) (A3),(A6)可得,

由(19),(21)-(24)式,引理4.6和Slutsky定理可知,(9)式成立.

[1]Fahrmeir L,Tutz G.Multivariate Statistcal Modelling Based on Generalized Linear Models Equation Concerning[M].New York:Springer-Verlag,1994.

[2]Liang K Y,Zeger S L.Longitudinal data analysis using generalized linear models[J].Biometrika,1986,73:13-22.

[3]趙目,陳柏成,周勇.縱向數(shù)據(jù)下廣義估計(jì)方程估計(jì)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào):中文版,2012,55(1):1-16.

[4]孫海云.Logit模型參數(shù)估計(jì)方法的研究[D].浙江:浙江大學(xué),2016.

[5]Wang L.GEE analysis of clustered binary data with diverging number of covariates[J].Ann.Statist.,2011,39:389-417.

[6]Ortega J M,Rheinboldt W C.Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables[M].San Diego:Academic Press,1970.

Asymptotic properties of compound order logit model with diverging number of covariates

Liu Yongrui,Yin Changming,Sun Han,
(Guangxi University,Academy of Mathematics and Information Sciences,Nanning 530000,China)

In this paper,we study the compound ordinal logit regression model with diverging number of covariates.First,we propose the GEE of this modle on condation that the response variable denote one of status.Then we bring up the asymptotic existence,consistency and asymptotic normality theorem and under some mild conditons,we provide the evidentiary process.The practicability and stabilization of this model is proved.We extend the relevant results in the literature.

categorical data,high-dimensional covariates,consistency,asymptotic normality

2010 MSC:62J12,62F12

O212.1

A

1008-5513(2017)06-0578-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.06.004

2017-10-20.

國家自然科學(xué)基金(11061002);廣西自然科學(xué)基金(2015GXNSFAA139006).

劉永睿(1990-),碩士生,研究方向：統(tǒng)計(jì)學(xué).