王家璇，曹遠(yuǎn)鵬，黃其柏

（1.華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢430074；2.湖北省專用汽車研究院，湖北 隨州441300）

計(jì)及框架參數(shù)的動(dòng)力吸振器建模與優(yōu)化研究

王家璇1，曹遠(yuǎn)鵬2，黃其柏1

（1.華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢430074；2.湖北省專用汽車研究院，湖北 隨州441300）

傳統(tǒng)的動(dòng)力吸振器理論模型多為二自由度系統(tǒng)，由于在工程應(yīng)用中，動(dòng)力吸振器安裝框體質(zhì)量、剛度對系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生影響，使其動(dòng)力學(xué)模型更接近于三自由度。本文建立了三自由度動(dòng)力吸振模型，比較了二、三自由度模型的差異。利用MATLAB中的遺傳算法模塊對模型中的兩個(gè)待定參數(shù)進(jìn)行了編程優(yōu)化，得到了動(dòng)力吸振器在最優(yōu)參數(shù)下的減振特性與效果。

動(dòng)力吸振；三自由度；動(dòng)力放大系數(shù)；遺傳算法

動(dòng)力吸振器（Dynamic vibration absorber，DVA）是抑制結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)共振，降低周期性噪聲的有效手段，時(shí)至今日，國內(nèi)外對此進(jìn)行了大量的研究[1-2]。傳統(tǒng)的動(dòng)力吸振器通常采用二自由度系統(tǒng)，忽略了動(dòng)力吸振器框架質(zhì)量和剛度對系統(tǒng)特性的影響，致使動(dòng)力吸振器在實(shí)際使用過程中設(shè)計(jì)的吸振頻率與實(shí)際中存在差異，特別是當(dāng)被吸振體質(zhì)量較輕或連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)力吸振時(shí)，其差異更為明顯。因此，研究考慮動(dòng)力吸振器質(zhì)量、剛度的三自由動(dòng)力吸振系統(tǒng)模型，將更接近于實(shí)際情況。

本文將類比傳統(tǒng)的二自由度動(dòng)力吸振模型，推導(dǎo)考慮框架等效質(zhì)量和剛度的三自由度系統(tǒng)中動(dòng)力吸振模型，分析在相同參數(shù)情況下兩種模型動(dòng)力放大系數(shù)的差異。在此基礎(chǔ)上應(yīng)用MATLAB的遺傳算法模塊進(jìn)行編程，通過仿真計(jì)算與參數(shù)優(yōu)化，得到動(dòng)力吸振的優(yōu)化特性，驗(yàn)證優(yōu)化前后的動(dòng)力吸振效果。

1 動(dòng)力吸振器模型

1.1 傳統(tǒng)的兩自由度動(dòng)力吸振模型

傳統(tǒng)DVA多采用二自由度模型，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 傳統(tǒng)二自由度模型

其主系統(tǒng)M對于激振p(t)的動(dòng)力放大系數(shù)公式為[3]

1.2 計(jì)及框架參數(shù)的動(dòng)力吸振模型

當(dāng)考慮DVA安裝框架的質(zhì)量和剛度時(shí)，其動(dòng)力吸振系統(tǒng)模型可表示為如圖2所示的三自由度系統(tǒng)，其中m2表示外框質(zhì)量，k2則表示外框與主系統(tǒng)的連接剛度。由振動(dòng)理論可得圖2所示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程組為：

圖2 三自由度模型

因而其傳遞函數(shù)矩陣G（jω）的表達(dá)式為：

式中的Aij表示矩陣D（jω）第i行，第j列的代數(shù)余子式。因而通過化簡，可以得出質(zhì)量塊m1的位移對于作用于其上的激勵(lì)力p(t)的傳遞函數(shù)表達(dá)式為：

1.3 兩種模型的比較分析

若動(dòng)力吸振系統(tǒng)為兩自由度模型，其外框質(zhì)量是直接加在被吸振體上的，即m2與m1合為一體，連接剛度k2趨于無窮大。為了分析兩自由度動(dòng)力吸振模型與三自由度動(dòng)力吸振模型的差異，比較框架連接剛度對吸振特性的影響，本節(jié)擬從外框剛度較大（f2=10）與較?。╢2=1）兩種情況進(jìn)行分析。

當(dāng)動(dòng)力吸振器外框剛度較?。╢2=1）時(shí)，兩自由度系統(tǒng)模型與三自由度系統(tǒng)模型的動(dòng)力放大系數(shù)如圖3所示。由圖可知，采用三自由度系統(tǒng)，其動(dòng)力放大系數(shù)有三個(gè)明顯的峰值，與兩自由度模型差異較大。

圖3 外框剛度較?。╢2=1）時(shí)對比圖

當(dāng)外框剛度較大（f2=10）時(shí)，此時(shí)外框質(zhì)量將接近于疊加于主振系上，此時(shí)三自由度系統(tǒng)逼近于兩自由度系統(tǒng)。為了驗(yàn)證這種情況下二自由度吸振模型與三自由度吸振模型的差異，針對兩種模型，選取相同質(zhì)量、剛度參數(shù)，其中二自由度模型將外框質(zhì)量直接等效到主系統(tǒng)上。通過仿真計(jì)算可得其吸振系統(tǒng)動(dòng)力放大系數(shù)曲線如圖4所示。

圖4 外框剛度較大（f2=10）時(shí)對比圖

由圖4可知，兩自由度系統(tǒng)和三自由度系統(tǒng)均只顯示了兩個(gè)主要峰值，但三自由度系統(tǒng)的兩個(gè)主要峰值頻率比兩自由度系統(tǒng)要低，三自由度系統(tǒng)的第三個(gè)峰值出現(xiàn)的頻率偏高，峰值較小。

圖5所示為f2取值逐漸增大時(shí)的曲線變化趨勢圖。對于三自由度模型，隨著k2值的增大，其動(dòng)力放大系數(shù)曲線與兩自由度的峰值逼近。

圖5 不同取值下的動(dòng)力放大系數(shù)對比

由上述分析可知，當(dāng)剛度較小時(shí)，三自由系統(tǒng)具備明顯的三個(gè)峰值，與二自由度的二個(gè)峰值存在較大的差異。當(dāng)剛度較大時(shí)，盡管兩自由度模型和三自由度模型二者曲線走勢基本一致，但在頻率大小上仍存在一定的差異，這種頻率的偏移是由于外框質(zhì)量以不同程度等效到主系統(tǒng)上引起的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性改變所致。因此，選取三自由度動(dòng)力吸振模型將更符合工程實(shí)際。

2 優(yōu)化與仿真

2.1 參數(shù)優(yōu)化

使用MATLAB的遺傳工具箱對上一節(jié)中所得到的吸振系統(tǒng)動(dòng)力放大系數(shù)公式中的及進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，從而得出最優(yōu)的DVA參數(shù)。

由于MATLAB遺傳算法工具箱完整地集成了許多函數(shù)，其編程的難度[4]可得到了較大的簡化。在優(yōu)化過程中，可通過確定 μ2，μ3，f2與 ζ的值來優(yōu)化出最優(yōu)參數(shù) ζ3opt及 f3opt.此處取 μ2=0.1，μ3=0.05，f2=1 或10，ζ3=0.05.首先構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，本文中的目標(biāo)函數(shù)為式（9）對于自變量g的最大值，優(yōu)化目標(biāo)為求解最優(yōu)ζ3與f3來使得這個(gè)最大值最小。遺傳算法當(dāng)中，采用輪盤賭選擇方式，遺傳代數(shù)為40代，變量的維數(shù)為2，初代種群的個(gè)數(shù)為40個(gè)。編碼方式采用二進(jìn)制編碼，交叉采用交叉率為0.7的單點(diǎn)交叉方式，變異方式則為離散變異。

對于外框剛度較小（f2=1）的情況，將前四個(gè)確定參數(shù)（其中f2=1）代入遺傳算法當(dāng)中，通過遺傳算法 優(yōu)化 得到 最 優(yōu)參 數(shù) ζ3opt與 f3opt，結(jié) 果 為 ζ3opt=0.316 4，f3opt=0.646 3，min_maxA（g，ζ3，f3）=3.06.

當(dāng)外框剛度較大（f2=10）時(shí)，可得結(jié)果為ζ3opt=0.137 4，f3opt=0.897 5，min_maxA（g，ζ3，f3）=4.3156.

遺傳算法性能追蹤圖如圖6所示，從圖中可以看到該遺傳算法所計(jì)算出來的最優(yōu)解具有相當(dāng)?shù)闹眯哦龋瑢?yōu)化出來的數(shù)值代入原公式，同時(shí)取未經(jīng)優(yōu)化的參數(shù)數(shù)值代入原公式，畫出動(dòng)力放大系數(shù)對比圖如圖7所示，未經(jīng)優(yōu)化的動(dòng)力放大系數(shù)曲線圖的峰值為 7.314（7.691） 遠(yuǎn)大于優(yōu)化之后的 3.06（4.316）。從圖中我們不難發(fā)現(xiàn)，兩種情況下，經(jīng)過參數(shù)優(yōu)化之后曲線峰值會(huì)明顯降低，且主要峰值為兩個(gè)等高峰值。對比傳統(tǒng)的二自由度動(dòng)力吸振放大系數(shù)的PQ兩點(diǎn)優(yōu)化定理[5]，此處具有相同的規(guī)律，即當(dāng)一個(gè)峰值降低時(shí)，另外一個(gè)會(huì)升高，當(dāng)峰值相等時(shí)，模型為最優(yōu)解。所以，在此情況下三自由度模型及其優(yōu)化算法是正確的。

圖6 遺傳算法性能跟蹤圖

圖7 優(yōu)化前后的吸振特性圖

本文優(yōu)化過程中，只考慮了吸振器的剛度和阻尼，由于論文所采用的是多自由度遺傳算法，當(dāng)需要優(yōu)化更多的參數(shù)時(shí)，只需改變程序中的變量維數(shù)即可。

2.2 吸振效果的性能仿真

吸振系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化后，其實(shí)際吸振效果如何，可利用MATLAB中Simulink模塊進(jìn)行驗(yàn)證。圖8為所建立的動(dòng)力吸振性能Simulink仿真模型圖，其外界激勵(lì)力為正弦信號輸入模塊，其中主系統(tǒng)響應(yīng)視窗表示m1的位移波形圖。

圖8 Simulink仿真圖

由優(yōu)化后曲線的分析可知，峰值在g=1左右，本文中列舉的參數(shù)中主系統(tǒng)固有頻率為10 Hz，因此系統(tǒng)對10 Hz左右的激勵(lì)響應(yīng)最大。因而若在給定頻率為10 Hz的正弦激勵(lì)信號時(shí)系統(tǒng)具備吸振效果，則該三自由度系統(tǒng)動(dòng)力吸振器具備良好的寬帶吸振效果。取與上一節(jié)中優(yōu)化前后相同的參數(shù)進(jìn)行仿真以驗(yàn)證優(yōu)化前后的效果。加裝優(yōu)化前后動(dòng)力吸振器的主系統(tǒng)振動(dòng)曲線如圖9所示。圖中左邊為f2=1時(shí)優(yōu)化前后主系統(tǒng)振動(dòng)對比圖，右邊則是在f2=10時(shí)優(yōu)化前后主系統(tǒng)振動(dòng)對比圖。由圖對比可知，安裝最優(yōu)參數(shù)動(dòng)力吸振器后的主系統(tǒng)在受到穩(wěn)態(tài)激勵(lì)力作用時(shí)，其振動(dòng)幅值有明顯降低，故而該動(dòng)力吸振器具備良好的吸振特性，而且，外框剛度值較小時(shí)，有利于提高其吸振效果。

圖9 參數(shù)優(yōu)化前后的主系統(tǒng)振動(dòng)曲線對比

3 結(jié)束語

通過本文的研究，可得以下幾點(diǎn)結(jié)論：

（1）建立了考慮外框質(zhì)量與剛度參數(shù)的三自由度動(dòng)力吸振模型，推導(dǎo)了其動(dòng)力放大系數(shù)，比較了三自由度系統(tǒng)與傳統(tǒng)二自由度系統(tǒng)的差異。

（2）應(yīng)用遺傳算法對三自由度動(dòng)力吸振系統(tǒng)進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化，給出了其兩個(gè)待定參數(shù)優(yōu)化的遺傳算法，并列舉了優(yōu)化案例。

（3）通過MATLAB仿真，比較了主系統(tǒng)在DVA安裝前后以及DVA參數(shù)優(yōu)化前后的振動(dòng)特性，其研究結(jié)果對利用動(dòng)力吸振器進(jìn)行吸振控制具有參考作用。

[1]Shen Y，Chen L，Yang X，et al.Improved design of dynam ic vibration absorber by using the inerter and its application in vehicle suspension[J]，Journal of Sound&Vibration，2015（361）：148-158.

[2]Silva A D G，Jr A A C，Jr V S.Fuzzy Robust Design of Dy namic Vibration Absorbers[J].Shock&Vibration，2016（1）：1-10.

[3]丁文鏡.減振理論[M].北京：清華大學(xué)出版社，2014.

[4]龔 純.精通MATLAB最優(yōu)化計(jì)算[M].北京：電子工業(yè)出版社，2014.

[5]Ormondroyd，J.and Den Hartog，J.P.，The Theory of the Dynamic Vibration Absorber[J].Trans ASME，1928（50）：7.

Modeling and Optimization of Dynamic Vibration with Considered Parameters of Frame

WANG Jia-xuan1，CAO Yuan-peng2，HUANG Qi-bai1
（1.School of Mechanical Science&Engineering of HUST，Wuhan Hubei 430074，China；2.Hubei Institute of Specialty Vehicle，Suizhou Hubei 441300，China）

Most of the traditional theoretical models of dynamic vibration absorber are two degree of freedom system.However，in engineering application the mass and stiffness of frame may has a certain impact on the system，which makes the dynamic model similar to three degrees of freedom system.In order to prove that，a three degree of freedom model has been established.After that the differences between two degree of freedom and three degree of freedom model was drawn according to a series of comparison.Furthermore，the genetic algorithm toolbox in MATLAB was used to calculate the optimal two parameters of the amplification coefficient formula，which verified that the DVA have a better vibration damping effect under the optimal parameters.

dynamic vibration absorber；three degree of freedom model；amplification formula；genetic algorithm for optimization

TB535.2

A

1672-545X（2017）10-0021-05

2017-07-27

王家璇（1994-），男，湖北仙桃人，碩士研究生，主要研究方向：機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，振動(dòng)與噪聲控制。