本刊記者 范國(guó)軒

靜心做科研 追逐數(shù)理的風(fēng)景
——記北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院特聘研究員蔡云峰

本刊記者 范國(guó)軒

在美國(guó)大蒂頓國(guó)家公園

若仔細(xì)算來(lái)，我國(guó)“算學(xué)”的概念由來(lái)以久。《九章算術(shù)》中的方程術(shù)、正負(fù)術(shù)，劉徽的割圓術(shù)，以及《數(shù)書(shū)九章》中的大衍求一術(shù)等,古人較早地將這些算法隔頁(yè)而立，任憑它們?cè)跉q月的洪流中翻滾、沖蕩。

與中國(guó)古代“算法”“算術(shù)”的興起和含義有所不同，現(xiàn)代計(jì)算數(shù)學(xué)是在1946年世界第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)問(wèn)世之后，建立在馮·諾依曼和他的同事起草并向美國(guó)海軍部遞交的一份報(bào)告《高階線性方程組的解》之上。正是這份報(bào)告，標(biāo)志了計(jì)算數(shù)學(xué)或者叫數(shù)值分析作為一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科正式誕生。

“計(jì)算數(shù)學(xué)屬于一個(gè)比較傳統(tǒng)、基礎(chǔ)的方向，同時(shí)也是很重要的發(fā)展方向。”北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院特聘研究員蔡云峰的觀點(diǎn)是，“初入計(jì)算數(shù)學(xué)這道門(mén)，有一定的數(shù)學(xué)功底就能夠讀懂一些，但若要深入其中就會(huì)發(fā)現(xiàn)它的博大精深，需要多方面的基礎(chǔ)作為研究保障?！?/p>

數(shù)據(jù)時(shí)代，計(jì)算必不可少

歷經(jīng)半個(gè)世紀(jì)的打磨，伴隨著現(xiàn)代科技發(fā)展迭起的數(shù)據(jù)噴薄現(xiàn)象，計(jì)算數(shù)學(xué)作為行之有效的研究問(wèn)題的方法論，在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通運(yùn)輸業(yè)以及醫(yī)療衛(wèi)生、文化教育等行業(yè)有著廣泛且實(shí)用的價(jià)值前景。

“在大數(shù)據(jù)時(shí)代，傳統(tǒng)的將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為向量或矩陣的方式限制了人們處理數(shù)據(jù)的能力，人們亟需更多處理數(shù)據(jù)的工具。當(dāng)前，越來(lái)越多的學(xué)者在以相反的方式來(lái)處理數(shù)據(jù)——將數(shù)據(jù)張量化，進(jìn)而利用張量分解工具來(lái)處理數(shù)據(jù)?！睋?jù)蔡云峰介紹，在過(guò)去的20年里，張量分解被成功應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，多種基于優(yōu)化的方法被提出，多個(gè)軟件被開(kāi)發(fā)。當(dāng)然在發(fā)展過(guò)程中，基于優(yōu)化的方法也遇到了不容忽視的各類問(wèn)題，例如沒(méi)有好的初解，方法可能會(huì)收斂緩慢，甚至是收斂到退化解。

代數(shù)方法作為一種證明方法，是把證明過(guò)程轉(zhuǎn)換為代數(shù)式之間的推導(dǎo)和計(jì)算。它可以完全克服優(yōu)化類方法所遇到的上述問(wèn)題，并且可以深入挖掘張量的更多特性。蔡云峰對(duì)于張量分解代數(shù)方法積累了豐富的研究經(jīng)驗(yàn)，在矩陣聯(lián)合塊對(duì)角化（簡(jiǎn)稱JBD，是三階張量的一種分解）的研究中，他針對(duì)JBD/盲JBD問(wèn)題在盲源信號(hào)分離、獨(dú)立成分分析中的應(yīng)用，結(jié)合傳統(tǒng)求解方法（即要么將盲JBD問(wèn)題當(dāng)作聯(lián)合對(duì)角化問(wèn)題來(lái)求解，利用重排矩陣恢復(fù)塊對(duì)角矩陣結(jié)構(gòu)；要么基于C*代數(shù)，求解盲JBD問(wèn)題的正交解），提出了新的代數(shù)方法。

新方法解決了傳統(tǒng)方法中缺乏理論保證和問(wèn)題范圍受限的難點(diǎn)。基于所建立理論而導(dǎo)出的PEAR算法，不但簡(jiǎn)單、易于編程，還在實(shí)際數(shù)值模擬中表現(xiàn)出高效、穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)?；诰仃嚨哪撤N可交換性，蔡云峰開(kāi)創(chuàng)性、嚴(yán)格地給出了盲JBD問(wèn)題解的存在性、唯一性的充分必要條件。在該條件的基礎(chǔ)上對(duì)JBD問(wèn)題進(jìn)行擾動(dòng)分析，得出全新的、富有啟發(fā)性的結(jié)論，對(duì)實(shí)際應(yīng)用中的噪聲高抗性研究意義重大。

因?yàn)橄矚g，所以不會(huì)放棄

“知之者不如好知者，好知者不如樂(lè)知者?！睉{借著對(duì)數(shù)學(xué)與生俱來(lái)的興趣，蔡云峰于2004年被保送至北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院攻讀博士學(xué)位，徐樹(shù)方教授成為他的授業(yè)導(dǎo)師。徐教授曾這樣評(píng)價(jià)他，“善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，能沉下心來(lái)鉆進(jìn)去?！笔芤嬗诖?，加上素來(lái)勤快的習(xí)慣，蔡云峰積極思考導(dǎo)師拋出的問(wèn)題，累積大量閱讀經(jīng)驗(yàn)，很快便是適應(yīng)了研究?jī)?nèi)容、研究方式的轉(zhuǎn)變。

然而眼看著身邊的同學(xué)、朋友陸續(xù)地工作，這讓還身處學(xué)校的蔡云峰有些著急。“我覺(jué)得是不是自己也應(yīng)該選擇和多數(shù)同學(xué)一樣，干脆就找一份工作算了”。導(dǎo)師的勸導(dǎo)讓蔡云峰有了動(dòng)搖，而真正讓他放棄這個(gè)念頭的，還是如他自己說(shuō)的那樣，“打小就喜歡數(shù)學(xué)，憑著這份喜歡走到今天，感覺(jué)到肩頭更有了種責(zé)任和義務(wù)?！?/p>

這番小插曲過(guò)后，蔡云峰的科研道路頗為順暢。2009年博士畢業(yè)后，他進(jìn)入中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)所開(kāi)展博士后研究，后赴美國(guó)加州大學(xué)戴維思分校繼續(xù)深造。當(dāng)時(shí)他的主攻研究方向是電子結(jié)構(gòu)計(jì)算中的病態(tài)特征值問(wèn)題的高效算法。

在傳統(tǒng)方法（planewave、有限差分、有限元等）中，離散方程得到的特征值問(wèn)題往往規(guī)模大，數(shù)值求解困難。特征值問(wèn)題的求解成為了利用第一原理進(jìn)行電子結(jié)構(gòu)計(jì)算的一大瓶頸。介于這樣的境況，蔡云峰所在的研發(fā)團(tuán)隊(duì)利用單位有限元方法（partition of unity finite element method—PUFEM）對(duì)方程進(jìn)行離散，極大降低了需要求解問(wèn)題的規(guī)模。同時(shí)，他們研究了求解此類問(wèn)題的梯度類方法，發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)鍵問(wèn)題是預(yù)處理的選擇與實(shí)現(xiàn)。對(duì)此一種局部加速最速下降方法應(yīng)運(yùn)而生?！霸谶@種方法中，預(yù)處理矩陣是動(dòng)態(tài)的，不定的，大大加速了算法收斂。但是與此同時(shí)，也帶來(lái)了困難——預(yù)處理方程的求解會(huì)很耗時(shí)。于是，我們采用了一種混合預(yù)處理策略，最大程度上節(jié)省了運(yùn)算量。在我們的數(shù)值模擬當(dāng)中，以往我們單次模擬的時(shí)間往往需要一周，而現(xiàn)在我們只需要兩小時(shí)。”

聚沙成塔，每天都要有所收獲

2012年8月，在北大“百人計(jì)劃”人才引進(jìn)的召喚下，蔡云峰入職北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，任特聘研究員。即便人言國(guó)外的月亮如何圓，在他眼里似乎總少了份明亮。

選擇北京大學(xué)的原因很簡(jiǎn)單。蔡云峰說(shuō)，北京大學(xué)本身是中國(guó)最為優(yōu)質(zhì)學(xué)術(shù)資源平臺(tái)的代表，自己從這里走出去，如今有機(jī)會(huì)回母校任職，他感到很驕傲。

職業(yè)生涯翻開(kāi)嶄新的一頁(yè)，蔡云峰刻苦鉆研的腳步從未停歇。立足矩陣聯(lián)合塊對(duì)角化問(wèn)題，在原有基礎(chǔ)上拓寬、推廣，將張量分解的理論、算法與應(yīng)用作為新一輪的挑戰(zhàn)。通過(guò)蔡云峰的解讀，記者了解到張量分解現(xiàn)階段最著名的方法分為3種：CP分解、高階奇異值分解（HOSVD）及BTD。其中，BTD可以可看作為CP分解和HOSVD的一種自然推廣，是兩者的綜合，也成為目前涵蓋范圍最廣的分解方法。

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針對(duì)BTD，蔡云峰帶領(lǐng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)展開(kāi)深入探討，從BTD及其變種——耦合的BTD、盲BTD、特殊張量的特殊BTD，到BTD的存在性、唯一性及擾動(dòng)理論，再到實(shí)現(xiàn)分解的計(jì)算方法、軟件開(kāi)發(fā)的應(yīng)用?！把芯緽TD的方案其實(shí)與我們研究盲JBD問(wèn)題的基本框架是一致的，但是由于處理對(duì)象更加復(fù)雜，在研究過(guò)程中，每個(gè)步驟所需要考慮的因素、處理的細(xì)節(jié)也更多。特別是計(jì)算方法在高階張量規(guī)模很大時(shí)，算法的具體實(shí)現(xiàn)將是巨大的挑戰(zhàn)?！贝竽懖孪?，小心論證；理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合，以期取得好的研究成果，這是蔡云峰對(duì)項(xiàng)目推進(jìn)的希望，也是他科研多年的一貫作風(fēng)。

所謂“如切如磋，如琢如磨”，在蔡云峰看來(lái)，搞研究、做學(xué)問(wèn)，往往需要的是細(xì)致耐心，踏實(shí)誠(chéng)懇以及絕不滿足的進(jìn)取精神。所以，他每天堅(jiān)持工作12小時(shí)，全身心地投入到治學(xué)當(dāng)中。蔡云峰坦言，有時(shí)甚至?xí)驗(yàn)樗伎家粋€(gè)問(wèn)題忘記吃中飯，直到晚上餓得胃疼才想起來(lái)。而且每天工作結(jié)束后，他都會(huì)捫心自問(wèn)“今天我做了哪些工作，取得了哪些進(jìn)展？”他希望能夠在這樣的總結(jié)中自省，亦在自省中自勉。

這樣一種嚴(yán)謹(jǐn)自律的治學(xué)態(tài)度同樣體現(xiàn)在他的教學(xué)之中。在交談中他強(qiáng)調(diào)，學(xué)生是中國(guó)的希望，對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)，結(jié)果固然重要，但求學(xué)過(guò)程中的態(tài)度也需著重培養(yǎng)。因此，在他的課堂上，首先要杜絕一切抄襲、投機(jī)取巧的行為，“第一堂課，我就會(huì)和學(xué)生點(diǎn)明獨(dú)立完成課業(yè)是最基本的要求，這是態(tài)度問(wèn)題也是素養(yǎng)問(wèn)題?！蓖瑫r(shí)，每堂課前，他都會(huì)花時(shí)間，精心設(shè)計(jì)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，思考學(xué)生可能存在的難點(diǎn)，在課堂上重點(diǎn)突破，希望自己的每一節(jié)都能使學(xué)生有所收獲。5年時(shí)間，兩名博士生，兩名碩士生，這是他為祖國(guó)注入新鮮血液交出的一份答卷。

他熱愛(ài)這份工作，并盡心竭力地在領(lǐng)域內(nèi)開(kāi)疆?dāng)U土。靜心追逐，細(xì)水長(zhǎng)流，在計(jì)算數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)道路上，蔡云峰漸行漸遠(yuǎn)。