梅冠華， 康 燦， 張家忠

(1. 江蘇大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 江蘇 鎮(zhèn)江 212013； 2. 西安交通大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 西安 710049)

二維壁板顫振的本征正交分解降階模型研究

梅冠華1， 康 燦1， 張家忠2

(1. 江蘇大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 江蘇 鎮(zhèn)江 212013； 2. 西安交通大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 西安 710049)

針對(duì)二維壁板顫振問(wèn)題，基于Galerkin方法和本征正交分解(POD)方法，發(fā)展了兼具高效性和全局性的降階模型(ROM)。簡(jiǎn)述了二維壁板顫振的經(jīng)典Galerkin解法，及在物理空間上提取POD模態(tài)和建立ROM的傳統(tǒng)方法。為簡(jiǎn)化流程和提高效率，發(fā)展了一種在Galerkin基函數(shù)所張成的模態(tài)空間上進(jìn)行POD模態(tài)提取與ROM建立的新方法，并證明了該方法與傳統(tǒng)POD-ROM的等效性。隨后，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)典型響應(yīng)的POD模態(tài)分析，表明POD模態(tài)可高效反映系統(tǒng)的最本質(zhì)特征?；诨煦珥憫?yīng)下的POD模態(tài)建立了ROM，并用其詳細(xì)研究了系統(tǒng)的分岔特性和穩(wěn)定區(qū)域邊界。計(jì)算表明該P(yáng)OD-ROM與Galerkin方法的計(jì)算精度非常接近，計(jì)算效率卻有大幅提升。該方法可推廣應(yīng)用于其他復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)的ROM構(gòu)建。

壁板顫振； 氣動(dòng)彈性； 降階模型； 本征正交分解

由于質(zhì)量輕、強(qiáng)度大，壁板結(jié)構(gòu)被大量應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域。在外部氣動(dòng)載荷與結(jié)構(gòu)體自身的慣性力和彈性力的耦合作用下，飛行器表面的蒙皮結(jié)構(gòu)或其他壁板類(lèi)結(jié)構(gòu)極易發(fā)生自激振動(dòng)，即壁板顫振。作為典型的氣動(dòng)彈性不穩(wěn)定行為，壁板顫振嚴(yán)重威脅著飛行器的疲勞壽命與飛行安全。因此，就壁板顫振展開(kāi)深入研究，有助于揭示壁板各類(lèi)復(fù)雜行為的誘發(fā)與維持機(jī)理，可為高性能飛行器的壁板設(shè)計(jì)與顫振抑制提供依據(jù)，具有重要的理論與實(shí)際意義[1-2]。

隨著超音速和高超音速飛行器的研發(fā)熱潮，壁板顫振越來(lái)越引起人們的廣泛關(guān)注。從20世紀(jì)50年代開(kāi)始，大量學(xué)者針對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了廣泛而深入的研究，從數(shù)學(xué)模型、數(shù)值方法和分析方法等方面積累了眾多有價(jià)值的研究成果。一般來(lái)說(shuō)，氣動(dòng)載荷由活塞理論[3]逼近，或由基于Euler等[4-5]或Navier-Stokes方程[6]的計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)(CFD)方法獲取，壁板運(yùn)動(dòng)由Von Kármán大變形理論描述，推導(dǎo)出的壁板顫振模型為典型的偏微分控制方程。在數(shù)值方法方面，常采用Galerkin方法[7]、Rayleigh-Ritz方法[8]、有限元方法[9-10]等將該偏微分方程離散化為常微分方程，在時(shí)域上對(duì)壁板響應(yīng)展開(kāi)研究。就分析手段而言，常用的定性工具有位移時(shí)間歷程、頻譜圖、時(shí)空?qǐng)D、相圖、Poincare截面和分岔分析等，定量工具有Lyapunov指數(shù)和維數(shù)等[11]。

為保證計(jì)算精度，傳統(tǒng)的數(shù)值方法往往存在離散方程的自由度數(shù)目龐大和計(jì)算消耗大等不足之處。因此為提高計(jì)算效率，多種降階方法被應(yīng)用于壁板顫振降階模型(ROM)的構(gòu)建中，如特征模態(tài)法、諧波平衡法、系統(tǒng)辨識(shí)法、時(shí)滯慣性流形法(IMDs)[12-13]、本征正交分解法(POD)[14-15]等。其中，POD方法可從系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)中提取出最本質(zhì)的特征，故用其構(gòu)建的ROM具有階數(shù)少和精度高的優(yōu)點(diǎn)，已成為當(dāng)前最主流的降階技術(shù)。針對(duì)二維和三維壁板非線性顫振，基于POD方法建立的ROM可顯著縮減系統(tǒng)階數(shù)，大幅節(jié)省計(jì)算時(shí)間[16-18]。然而，目前POD-ROM中POD模態(tài)的提取及ROM的建立過(guò)程皆較為繁瑣和耗時(shí)，具體表現(xiàn)為：POD模態(tài)提取所需的快照矩陣要由大量的時(shí)間和空間數(shù)據(jù)來(lái)組成，而ROM的建立需對(duì)系統(tǒng)原始偏微分控制方程進(jìn)行離散化處理。此外，由特定參數(shù)下響應(yīng)中獲取的POD模態(tài)所建立的ROM并不一定適用于全局參數(shù)下系統(tǒng)特性的分析。

近年來(lái)，Amabili等[19]在研究?jī)?chǔ)水圓柱殼于外部激勵(lì)下的流固耦合特性時(shí)，從Galerkin模態(tài)與POD模態(tài)的投影關(guān)系出發(fā)，推導(dǎo)出了在Galerkin模態(tài)空間上提取POD模態(tài)的表達(dá)式。Epureanu等[20]在研究二維壁板氣彈特性時(shí)，基于POD模態(tài)采用模態(tài)解法針對(duì)有限差分方法已經(jīng)離散好的常微分方程開(kāi)展了ROM的構(gòu)建。那么，借鑒上述兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，將POD模態(tài)的提取以及ROM的構(gòu)建皆在Galerkin模態(tài)空間上進(jìn)行，則可顯著改善當(dāng)前POD-ROM在處理二維壁板顫振問(wèn)題時(shí)繁瑣和耗時(shí)的不足之處。

為此，本文發(fā)展了一種兼具高效性和全局性的POD-ROM方法。該方法基于經(jīng)典的二維壁板顫振Galerkin解法，直接在Galerkin模態(tài)函數(shù)所張成的基函數(shù)空間上進(jìn)行POD模態(tài)的提取，而ROM的構(gòu)建也并非針對(duì)原偏微分控制方程展開(kāi)離散化處理，而是直接對(duì)Galerkin方法已離散好的常微分控制方程進(jìn)行，從而極大地簡(jiǎn)化了POD模態(tài)的提取和ROM的建立，顯著提高了計(jì)算效率，通過(guò)推導(dǎo)證明了該方法與經(jīng)典POD-ROM的等效性。進(jìn)一步，選用混沌響應(yīng)的POD模態(tài)，建立了全局性的ROM，并對(duì)系統(tǒng)的分岔特性和穩(wěn)定性區(qū)域進(jìn)行了分析。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，該P(yáng)OD-ROM擁有與Galerkin方法相近的計(jì)算精度，并可大幅提升計(jì)算效率。

1 二維壁板顫振方程

若壁板的展向尺寸遠(yuǎn)大于弦長(zhǎng)，則可采用無(wú)限展長(zhǎng)假設(shè)的二維壁板顫振模型，以便問(wèn)題分析。圖 1給出了二維壁板顫振模型，考慮壁板所承受的初始拉伸面內(nèi)外力N0、非線性大變形引發(fā)的中面拉伸載荷Nx、慣性力和氣動(dòng)載荷Δp，給出壁板的運(yùn)動(dòng)方程：

(1)

式中

(2)

圖1 二維壁板顫振模型Fig.1 Schematic of two-dimensional panel flutter

(3)

引入無(wú)量綱參數(shù)

可推得無(wú)量綱形式的控制方程：

(4)

2 Galerkin方法求解

2,…。并將壁板位移由前M項(xiàng)基函數(shù)的疊加形式近似表示：

(5)

(6)

事實(shí)上，Galerkin方法的求解過(guò)程相當(dāng)于將原物理空間上的壁板位移投影到了有限階基函數(shù)所張成的空間上去，從而將原無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)近似為有限維動(dòng)力系統(tǒng)。為方便處理，將式整理為矩陣形式：

(7)

式(7)在時(shí)域內(nèi)的求解采用Runge-Kutta-Fehlberg數(shù)值積分方法，該方法可根據(jù)誤差估計(jì)自動(dòng)調(diào)整時(shí)間步長(zhǎng)，從而保證了解的收斂性。為方便計(jì)算，可基于式預(yù)先計(jì)算并存儲(chǔ)相關(guān)系數(shù)矩陣。同時(shí)，為節(jié)省存儲(chǔ)空間和計(jì)算時(shí)間，存儲(chǔ)和計(jì)算過(guò)程僅針對(duì)矩陣的非零元素進(jìn)行。

3 POD模態(tài)的提取

POD是一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)分析工具。其實(shí)質(zhì)是從數(shù)值模擬或?qū)嶒?yàn)所獲得的數(shù)據(jù)中提取出最優(yōu)的空間信息，以反映系統(tǒng)的時(shí)間-空間復(fù)雜特性及本質(zhì)屬性。其目的在于獲取高維過(guò)程的低維近似描述，或是揭示系統(tǒng)最主要的物理特征。

3.1 POD模態(tài)提取的傳統(tǒng)方法

(8)

計(jì)算相關(guān)函數(shù)矩陣：

(9)

求解如下特征值問(wèn)題：

(10)

將特征值按降序排列，并同時(shí)整理對(duì)應(yīng)的特征向量：

(11)

3.2 POD模態(tài)提取的新方法

事實(shí)上，POD模態(tài)的提取無(wú)需在物理空間上針對(duì)壁板的真實(shí)位移進(jìn)行，而是可以直接在由基函數(shù)所張成的模態(tài)空間上進(jìn)行，由于模態(tài)空間的維數(shù)較小，故可顯著簡(jiǎn)化計(jì)算流程，提高計(jì)算效率，該方法(方法2)的具體過(guò)程如下：

(12)

一般地，Galerkin模態(tài)數(shù)M遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于時(shí)間點(diǎn)數(shù)目Ntime，因此與式不同，相關(guān)函數(shù)矩陣按下式計(jì)算：

Φ=QQT

(13)

對(duì)Φ求取特征值和特征向量：

Φvj=λjvj

(14)

將特征值從大到小進(jìn)行排列，并調(diào)整所對(duì)應(yīng)的特征向量：

λ1≥λ2≥…≥λM

v1,v2,…,vM

所得特征值λj為各階POD模態(tài)的能量，而特征向量vj則為基函數(shù)空間(模態(tài)空間)上的各階POD模態(tài)，由式將其向物理空間轉(zhuǎn)換即可獲取反映壁板真實(shí)位移的POD模態(tài)。事實(shí)上，如下一節(jié)所述，由于降階模型也可在基函數(shù)空間上直接構(gòu)建，故無(wú)需作此轉(zhuǎn)換。

3.3 兩方法的等效性

下面證明上述兩種POD提取方法的等效性：

C=

(15)

(16)

由于矩陣C的列向量是滿足正交關(guān)系的，故CTC為對(duì)角矩陣，且對(duì)角元素相等，設(shè)其為c，則

(17)

(18)

式(18)兩端同時(shí)左乘方法2中快照矩陣Q，得：

(19)

(20)

將方法2中的特征向量轉(zhuǎn)化到物理空間上的真實(shí)POD模態(tài)ψj：

ψj=Cvj

(21)

綜上所述，方法1和方法2是等效的。然而，在方法2中，快照矩陣直接由基函數(shù)系數(shù)組裝而成的，因此計(jì)算流程極為簡(jiǎn)便，且相關(guān)函數(shù)矩陣的維數(shù)較低(與基函數(shù)的截?cái)嚯A數(shù)相同，量級(jí)一般為個(gè)位數(shù))，故特征值和特征向量的求解也十分快捷。

4 ROM的構(gòu)建

基于POD模態(tài)構(gòu)建ROM的傳統(tǒng)方法是在物理空間上進(jìn)行的：截取有限階POD模態(tài)作為新的基函數(shù)，并將壁板位移近似為其疊加形式，采用Galerkin方法對(duì)原偏微分控制方程進(jìn)行離散處理即可建立ROM。

實(shí)際上，ROM的構(gòu)建也可在已有的基函數(shù)所張成的模態(tài)空間上完成，采用在該空間上所提取的POD模態(tài)，對(duì)已經(jīng)離散好的常微分控制方程進(jìn)行降維處理即可，該過(guò)程類(lèi)似于計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的模態(tài)解法。該方法構(gòu)建ROM的具體流程如下。

將式(7)中的待求系數(shù)向量表示為前L階POD模態(tài)的疊加形式：

(22)

式中：V=[v1,v2,…,vL]為POD模態(tài)矩陣；b=[b1,b2,…,bL]T為系數(shù)向量。將式(22)代入式(7)，并左乘VT，利用POD模態(tài)的正交性，即可得到如下ROM系統(tǒng)：

(23)

式中各矩陣為

這樣，便將原M維的高階系統(tǒng)縮減成了L維的低階系統(tǒng)，完成了降階模型的構(gòu)建。本質(zhì)上，Galerkin方法將物理空間上壁板的真實(shí)位移投影到了有限維基函數(shù)所張成的模態(tài)空間上，而ROM則進(jìn)一步將其縮減到了更低維數(shù)的POD模態(tài)空間上。

事實(shí)上，若將基函數(shù)空間上提取到的POD模態(tài)轉(zhuǎn)化為物理空間上真實(shí)的POD模態(tài)，并依據(jù)傳統(tǒng)的ROM構(gòu)建方法，將壁板真實(shí)位移表達(dá)為其疊加形式，采用標(biāo)準(zhǔn)Galerkin方法對(duì)系統(tǒng)原偏微分控制方程進(jìn)行離散處理，則可獲得與式完全一樣的ROM，但這樣的ROM構(gòu)建方法無(wú)疑是繁瑣和耗時(shí)的。

5 數(shù)值模擬與結(jié)果分析

5.1 POD模態(tài)的特性分析

POD模態(tài)作為從快照數(shù)據(jù)中提取出的一組最優(yōu)模態(tài)，可以用最少的數(shù)目來(lái)逼近壁板的真實(shí)運(yùn)動(dòng)。而且由系統(tǒng)在不同參數(shù)下的響應(yīng)所獲取的POD模態(tài)往往具有普適性，可反映系統(tǒng)的通有特征。為此，選取壁板的五種典型穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：屈曲(Rx=-4π2，λ=50)、極限環(huán)(Rx=0，λ=450)、倍周期(Rx=-5π2，λ=160)、準(zhǔn)周期(Rx=-5π2，λ=140)和混沌(Rx=-5π2，λ=150)，以穩(wěn)態(tài)響應(yīng)數(shù)據(jù)作為快照矩陣，計(jì)算POD模態(tài)及特征值。

表1 POD模態(tài)提取方法效率對(duì)比Tab.1 Efficiency compare of POD modes extraction methods

計(jì)算表明，為了獲得收斂的POD模態(tài)，屈曲可選用最后0.1個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，極限環(huán)和倍周期可選用一個(gè)周期的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，而準(zhǔn)周期和混沌則需要選取多個(gè)擬周期的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，此外，在物理空間上均布60個(gè)離散點(diǎn)即可。計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于同樣的壁板穩(wěn)態(tài)響應(yīng)數(shù)據(jù)，第3節(jié)給出的兩種POD計(jì)算方法所得POD模態(tài)與各階模態(tài)的能量比重均完全相同，而新方法的計(jì)算效率則要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)方法，如表 1所示，其較傳統(tǒng)方法的計(jì)算耗時(shí)少了多個(gè)數(shù)量級(jí)。

為更好地理解POD模態(tài)是時(shí)間-空間最優(yōu)模態(tài)這一特性，將POD模態(tài)與壁板真實(shí)變形進(jìn)行比對(duì)。上述不同穩(wěn)態(tài)響應(yīng)下參考點(diǎn)的相圖如圖 2所示，壁板的位移時(shí)空?qǐng)D如圖 3所示，壁板的瞬態(tài)最大變形與前三階POD模態(tài)對(duì)比如圖 4所示(為便于比對(duì)，進(jìn)行了單位化處理)。對(duì)于極限環(huán)響應(yīng)，從圖 3(a)中可見(jiàn)壁板的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)出很強(qiáng)的規(guī)律性，其呈現(xiàn)出駐波形式的振動(dòng)，其最大振幅大約位于x=0.75a附近，在圖 4(a)中，壁板的瞬態(tài)最大位移與一階POD模態(tài)幾乎重合在一起，即對(duì)于極限環(huán)振動(dòng)這種較為簡(jiǎn)單的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，一階POD模態(tài)可揭示出系統(tǒng)最重要和最本質(zhì)的特征。圖 3(b)所給出的倍周期響應(yīng)具有周期性，然而其運(yùn)動(dòng)形式更為復(fù)雜，由多個(gè)成比例(可互約)的頻率組分耦合而成，由圖 4(b)可見(jiàn)一階POD模態(tài)與壁板瞬時(shí)最大位移是大致吻合的，它們之間的細(xì)微差別則由2階和3階POD模態(tài)彌補(bǔ)，即，POD模態(tài)仍舊反映了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律。圖 2(c)和圖 3(c)所展示的準(zhǔn)周期響應(yīng)整體上看呈現(xiàn)出擬周期特性，然而每個(gè)擬周期內(nèi)的振幅與速度卻并不相同，這是由于多個(gè)不可互約的頻率組分共同作用所致，圖 4(c)可見(jiàn)，一階POD模態(tài)與壁板瞬時(shí)最大變形的趨勢(shì)是一致的，但是在壁板前半部分出現(xiàn)了一些偏差，這是由于運(yùn)動(dòng)形式的復(fù)雜導(dǎo)致單獨(dú)一階POD模態(tài)已不足以表征系統(tǒng)的全部特征，考慮到2階和3階POD模態(tài)對(duì)此偏差的修正，前3階POD模態(tài)可描述該準(zhǔn)周期振動(dòng)。對(duì)于更為復(fù)雜的混沌運(yùn)動(dòng)，圖 3(d)所給出的時(shí)空響應(yīng)表現(xiàn)為外在的無(wú)序性與內(nèi)在的規(guī)律性，對(duì)該混沌響應(yīng)求取最大Lyapunov指數(shù)[21]，發(fā)現(xiàn)其大于0，從而判定了該響應(yīng)是混沌運(yùn)動(dòng)。在圖 4(d)中，一階POD模態(tài)與壁板瞬時(shí)最大變形的差別并不大，這說(shuō)明即便是對(duì)于混沌這樣復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)形式，POD模態(tài)依舊可以有效反映系統(tǒng)的最主要特征，同時(shí)也表明了外在無(wú)序的混沌運(yùn)動(dòng)內(nèi)部蘊(yùn)含著特定的規(guī)律性。

表2 不同響應(yīng)下前I階POD模態(tài)能量比重Tab.2 Energy proportions of former Ith POD modes fordifferent responses %

(a)極限環(huán)振動(dòng)(b)倍周期

(c)準(zhǔn)周期(d)混沌

圖2 壁板典型響應(yīng)的相圖(Galerkin)

Fig.2 Phase portrait of typical panel responses (Galerkin)

(a) 極限環(huán)振動(dòng)

(b) 倍周期

(c) 準(zhǔn)周期

(d) 混沌圖3 壁板位移的時(shí)空?qǐng)D(Galerkin)Fig.3 Time-space diagram of panel deflections (Galerkin)

圖 4還對(duì)比了第3節(jié)的兩種POD提取方法所得結(jié)果，顯然兩方法所得POD模態(tài)完全一致，這驗(yàn)證了第3節(jié)的理論推導(dǎo)，即，兩種POD獲取方法是等效的。

(a)極限環(huán)振動(dòng)(b)倍周期

(c)準(zhǔn)周期(d)混沌

— 壁板變形，- -ψ1···ψ2-·-ψ3經(jīng)典方法，□ψ1○ψ2△ψ3本文方法

圖4 壁板真實(shí)變形對(duì)比兩種方法所得POD模態(tài)

Fig.4 Panel deflections VS POD modes by two methods

5.2 局部ROM的精確性驗(yàn)證

由于POD模態(tài)是由特定參數(shù)下的系統(tǒng)響應(yīng)所獲取的，首先驗(yàn)證截取有限階POD模態(tài)所構(gòu)建的ROM能否精確反映原有系統(tǒng)的特性。針對(duì)5.1節(jié)中的極限環(huán)、倍周期、準(zhǔn)周期和混沌這四類(lèi)典型動(dòng)態(tài)響應(yīng)，依據(jù)所占能量應(yīng)在99.99%以上的原則，極限環(huán)響應(yīng)截取前兩階POD模態(tài)，而后三者截取前三階POD模態(tài)來(lái)建立ROM，所得響應(yīng)如圖 5所示，與圖 2對(duì)比可見(jiàn)，ROM與原系統(tǒng)不論是定性上還是定量上均吻合較好，其用較少POD模態(tài)便可精確反映原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。

(a)極限環(huán)振動(dòng)(b)倍周期

(c)準(zhǔn)周期(d)混沌

圖5 壁板穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相圖(ROM)

Fig.5 Phase portrait of panel steady state responses (ROM)

5.3 全局性ROM的建立與精確性驗(yàn)證

雖然ROM可以精確反映原系統(tǒng)的特性，然而由特定參數(shù)下響應(yīng)所獲取的POD模態(tài)不一定適用于其他參數(shù)下的ROM。事實(shí)上，將圖 4所給出的四種典型響應(yīng)形式下的各階POD模態(tài)進(jìn)行對(duì)比，可見(jiàn)它們?cè)诙可洗嬖谝欢ú顒e，然而定性上，它們的趨勢(shì)是一致的，例如一階POD模態(tài)的最大值大約位于x=0.7a左右，而二階POD模態(tài)的最大值與最小值位置也大致相似?？梢栽O(shè)想，由于混沌系統(tǒng)具有很強(qiáng)的非線性特性，包含了系統(tǒng)的大量信息，故采用混沌響應(yīng)下的POD模態(tài)所建立的ROM將能適用于全局參數(shù)下的系統(tǒng)求解。因此，截取上述混沌系統(tǒng)的前3階POD模態(tài)，建立全局性的ROM。

為給出該ROM與Galerkin方法的全面對(duì)比，在參數(shù)平面R-λ上選取大量離散點(diǎn)，并將各參數(shù)下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)做以辨識(shí)，繪制出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)圖譜，如圖 6所示。ROM與Galerkin方法所獲取的平面穩(wěn)定區(qū)域和屈曲區(qū)域完全相同，極限環(huán)振動(dòng)區(qū)域和非諧振動(dòng)(包含準(zhǔn)周期、倍周期、混沌運(yùn)動(dòng))區(qū)域也幾乎一樣，僅在極限環(huán)振動(dòng)區(qū)域與非諧振動(dòng)區(qū)域的交界處略有不同。這是由于在該邊界附近的非線性效應(yīng)較為強(qiáng)烈，系統(tǒng)比較容易受到擾動(dòng)影響，ROM對(duì)于高階POD模態(tài)的舍棄相當(dāng)于對(duì)原系統(tǒng)施加了小擾動(dòng)，因此導(dǎo)致了結(jié)果與Galerkin方法的細(xì)微差別?？傊?，在整個(gè)參數(shù)區(qū)域上，ROM和Galerkin方法所得結(jié)果取得了很好的一致，說(shuō)明了雖然該ROM是基于特定混沌響應(yīng)的POD模態(tài)建立的，卻能夠很好地反映原系統(tǒng)的整體特性。

(a)Galerkin(b)ROM

- 平面穩(wěn)定，|屈曲，○極限環(huán)振動(dòng)，●非諧振動(dòng)

圖6 壁板穩(wěn)態(tài)響應(yīng)區(qū)域劃分

Fig.6 Division of panel steady state responses

為從定量上比較ROM和Galerkin方法，固定λ=150，考察位移峰值隨參數(shù)-Rx/π2的分岔特性，結(jié)果如圖 7所示。隨著分岔參數(shù)的增大，壁板發(fā)生了Hopf分岔，由平面穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)闃O限環(huán)振動(dòng)，并進(jìn)一步演化為準(zhǔn)周期振動(dòng)、倍周期運(yùn)動(dòng)，最終發(fā)展成了混沌振動(dòng)。不同參數(shù)下兩方法所得相圖的比較情況匯總于圖 8中，極限環(huán)運(yùn)動(dòng)如圖 8(a)所示，圖 8(b)和(d)給出了倍周期運(yùn)動(dòng)，準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)在圖 8(c)和(e)中展示，圖 8(f)則描繪了混沌運(yùn)動(dòng)的特性。不管是定性上還是定量上，ROM與Galerkin方法所繪制的分岔圖和相圖都近乎完全一樣，從而表明了該ROM可以精確反映原有系統(tǒng)的特性。

在計(jì)算消耗方面，對(duì)于相同的硬件條件和同樣的計(jì)算任務(wù)，ROM所需的計(jì)算時(shí)間僅為Galerkin方法的30%左右。這說(shuō)明了ROM在保留計(jì)算精度的同時(shí)，可大幅節(jié)省計(jì)算時(shí)間。

(a)Galerkin(b)ROM

圖7 壁板隨-Rx/π2分岔特性(λ=150)Fig.7 Bifurcation analysis of panel peak deformation with -Rx/π2 (λ=150)

(c)-Rx/π2=3.9(d)-Rx/π2=4.4

(e)-Rx/π2=4.5(f)-Rx/π2=6.0

— Galerkin，- - POD-ROM

圖8 壁板穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相圖(λ=150)

Fig.8 Phase portrait of panel steady state responses (λ=150)

6 結(jié) 論

基于Galerkin方法和POD方法，發(fā)展了一種適用于二維壁板顫振分析的ROM，顯著改善了傳統(tǒng)POD-ROM中POD模態(tài)提取過(guò)程繁瑣耗時(shí)以及ROM構(gòu)建中需復(fù)雜推導(dǎo)的不足。計(jì)算表明該P(yáng)OD-ROM可保留與Galerkin方法相近的計(jì)算精度，并可顯著提升計(jì)算效率。

(1) 在該方法中，POD模態(tài)的提取和ROM的建立直接在Galerkin基函數(shù)所張成的模態(tài)空間上進(jìn)行，而并非像傳統(tǒng)POD-ROM那樣在物理空間上進(jìn)行，從而極大簡(jiǎn)便了計(jì)算流程，提高了計(jì)算效率，推導(dǎo)和計(jì)算亦證明了該方法與傳統(tǒng)方法的等效性。

(2) 基于混沌響應(yīng)下的POD模態(tài)建立了全局性的ROM，通過(guò)在參數(shù)平面上繪制壁板穩(wěn)態(tài)響應(yīng)圖譜，以及研究壁板位移峰值隨參數(shù)的分岔特性，表明該ROM不管是在定性上還是在定量上，都與Galerkin方法所得結(jié)果吻合較好，從而說(shuō)明采用混沌響應(yīng)下的POD模態(tài)構(gòu)建的ROM可以在全局參數(shù)下保留與Galerkin方法相近的計(jì)算精度。

(3) 為保證計(jì)算精度，Galerkin方法需要6階模態(tài)，而ROM僅需3階POD模態(tài)。在計(jì)算時(shí)間上，ROM僅為Galerkin方法的30%左右。這說(shuō)明該ROM可大幅縮減系統(tǒng)維數(shù)，并具有很高的計(jì)算效率。

今后將針對(duì)貼近實(shí)際且更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)開(kāi)展POD-ROM研究，以為實(shí)際問(wèn)題提供更為精確和高效的求解與分析手段。

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Reducedordermodelbasedonproperorthogonaldecompositionfortwo-dimensionalpanelflutter

MEI Guanhua1, KANG Can1， ZHANG Jiazhong2

(1. School of Energy and Power Engineering, Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China; 2. School of Energy and Power Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

Here, a reduced order model (ROM) was developed based on Galerkin method and the proper orthogonal decomposition (POD) with higher effectiveness and wholeness for two-dimensional panel flutter. Firstly, the classic Galerkin method, the traditional POD mode extraction method and the ROM construction method for two-dimensional panel flutter were introduced briefly. Then, in order to simplify the process and improve the efficiency, a new method was proposed to extract POD modes and construct ROM in the modal space spanned with Galerkin basis functions, the equivalence of this method to the traditional POD-ROM method was proved. Furthermore, through the POD modal analysis of typical responses of a panel, it was clarified that the POD modes can effectively reflect the most intrinsic characteristics of the system. Finally, a global ROM for the panel flutter was established based on POD modes in the case of a chaotic response of a panel, and it was employed to study the bifurcation behavior and boundaries of the stable region of the system in detail. The calculation results showed that the accuracy of this POD-ROM is very close to that of Galerkin method, its efficiency, however, is highly improved; the proposed method can be extended to construct ROMs for other complicated dynamic systems.

panel flutter; aeroelasticity; reduced order model (ROM); proper orthogonal decomposition (POD)

國(guó)家973計(jì)劃(2012CB026002)；國(guó)家科技支撐計(jì)劃(2013BAF01B02)；江蘇大學(xué)高級(jí)人才科研啟動(dòng)基金(15JDG155)；江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目

2016-06-14 修改稿收到日期：2016-09-17

梅冠華 男，博士，講師，1984年11月生

康燦 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1978年8月生

O323

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.021