秦犖晟， 陳曉陽， 沈雪瑾

(上海大學(xué) 機(jī)械自動(dòng)化工程系,上海 200072)

小樣本下基于競爭失效的軸承可靠性評估

秦犖晟， 陳曉陽， 沈雪瑾

(上海大學(xué) 機(jī)械自動(dòng)化工程系,上海 200072)

軸承是機(jī)械產(chǎn)品中重要的組成部分，其性能和壽命與機(jī)械設(shè)備的運(yùn)行壽命密切相關(guān)。為獲得準(zhǔn)確的軸承可靠性評估結(jié)果，應(yīng)當(dāng)綜合考慮不同失效模式對軸承可靠性的影響。針對軸承試驗(yàn)中完全失效的數(shù)據(jù)，利用Bootstrap法構(gòu)造軸承壽命分布參數(shù)的先驗(yàn)分布，依據(jù)Bayes法估計(jì)出相應(yīng)的后驗(yàn)分布，并對后驗(yàn)期望修偏即可獲得軸承壽命分布參數(shù)。通過進(jìn)一步分析軸承的振動(dòng)性能退化數(shù)據(jù)，獲得軸承局部失效的壽命分布。利用Copula函數(shù)對軸承的完全失效的壽命分布模型和局部失效壽命模型進(jìn)行綜合分析，借助試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)Kendall相關(guān)秩估計(jì)Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)，求得軸承競爭失效下的可靠性分析結(jié)果，獲得的分析結(jié)果有助于尋找軸承設(shè)計(jì)過程中存在的缺陷，提高軸承的可靠度。

軸承；Bootstrap方法；Bayes法；性能退化；Copula函數(shù)；可靠性

近年來，軸承產(chǎn)品的使用性能以及軸承的可靠性分析得到了越來越多的關(guān)注，如何提高滾動(dòng)軸承的使用性能、使用壽命，以及如何提高軸承可靠性評估精度成為熱點(diǎn)。Dong等[1]基于支持向量機(jī)和馬爾科夫模型對軸承退化過程做了預(yù)測，并通過實(shí)例證明了所提出方法的有效性；Edwin等[2]介紹了三種可以通過軸承振動(dòng)退化數(shù)據(jù)估計(jì)球軸承剩余壽命的方法；Zhang等[3]介紹了如何選取合適的軸承運(yùn)行參數(shù)確定軸承的剩余使用壽命。

基于多種失效模式競爭失效的可靠性分析可以提高軸承可靠性評估的準(zhǔn)確性。王華偉等[4]通過構(gòu)造混合Weibull分布模型對航空發(fā)動(dòng)機(jī)的競爭失效進(jìn)行了分析；唐家銀等[5]通過使用Copula函數(shù)對多故障模式相關(guān)情況下的長壽命產(chǎn)品進(jìn)行了可靠性分析；常春波等[6]基于系統(tǒng)自然退化過程和沖擊過程的分布函數(shù)推導(dǎo)出基于競爭失效的系統(tǒng)可靠度函數(shù)。Bocchetti等[7]通過假設(shè)退化型失效和突發(fā)型失效相互獨(dú)立的情況下，給出了產(chǎn)品在競爭失效下的可靠性。

產(chǎn)品的可靠性試驗(yàn)常常存在樣本量少的問題，這會(huì)造成對產(chǎn)品可靠性模型參數(shù)的估計(jì)產(chǎn)生較大誤差?？煽啃灶I(lǐng)域中的小樣本問題得到了越來越多的重視，蔣喜等[8]應(yīng)用虛擬樣本增廣法解決了極小子樣下電主軸性能退化的可靠性分析；Xiong 等[9]針對小樣本的測試數(shù)據(jù)提出了一種計(jì)算方法，求解產(chǎn)品結(jié)構(gòu)安全的可靠性；Picheny 等[10]通過采用Bootstrap法對有限樣本下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析求得了產(chǎn)品的可靠度。近年來，Bayes方法也被廣泛應(yīng)用于對Weibull分布參數(shù)的估計(jì)[11-12]。金光[13]提出了一種綜合性能與壽命數(shù)據(jù)的Bayes-Bootstrap法，通過將Bayes方法與Bootstrap方法相結(jié)合，計(jì)算小樣本問題的可靠度。

本文將結(jié)合Bootstrap方法以及Bayes分析方法，分析處理軸承試驗(yàn)中的小樣本數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)小樣本試驗(yàn)數(shù)據(jù)下壽命分布參數(shù)的估計(jì)；運(yùn)用Copula函數(shù)建立滾動(dòng)軸承在不同失效模式下競爭失效的可靠性評估模型，并結(jié)合Kendall相關(guān)秩給出一種Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)的簡便方法，實(shí)現(xiàn)對競爭失效下滾動(dòng)軸承的可靠性評估，提高滾動(dòng)軸承可靠性評估的準(zhǔn)確度。

1 機(jī)械產(chǎn)品失效模式的分類

Blanche等[14]提出的失效模式分類，指出產(chǎn)品喪失既定功能的失效被稱為擴(kuò)展失效，擴(kuò)展失效可分為完全失效(Complete Failures)和局部失效(Partial Failures)。完全失效即產(chǎn)品完全喪失既定功能的失效，局部失效即產(chǎn)品喪失部分既定功能的失效。

在機(jī)械產(chǎn)品實(shí)際使用過程中，機(jī)械產(chǎn)品發(fā)生的失效可以認(rèn)為是完全失效和局部失效的競爭失效。

2 多失效模式的軸承可靠性評估模型

2.1 軸承壽命分布模型

由于Weibull分布可以很好地模擬多種分布，因此假設(shè)滾動(dòng)軸承的試驗(yàn)壽命t服從參數(shù)為(β,η)的二參數(shù)Weibull分布，其中β為Weibull分布的形狀參數(shù)，η為Weibull分布的尺度參數(shù)，Weibull分布的概率密度函數(shù)如式(1)所示。

(1)

則產(chǎn)品試驗(yàn)壽命t的分布函數(shù)如式(2)所示。

(2)

2.2 完全失效的滾動(dòng)軸承可靠性評估模型

在小樣本情況下，應(yīng)用Bayes-Bootstrap法來估計(jì)Weibull分布參數(shù)，求出滾動(dòng)軸承完全失效下的壽命分布。

2.2.1 Bayes-Bootstrap方法的實(shí)現(xiàn)

Bootstrap方法是一種再抽樣理論，肖支才等提出了一種非參數(shù)的Bootstrap抽樣方法，這種抽樣方法獲得的再生樣本點(diǎn)不僅包含原始樣本點(diǎn)，還適當(dāng)?shù)卦谠紭颖军c(diǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展。抽樣方法的具體步驟如下：

(1)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生[0,1]區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)δ;

(2)令θ=(n-1)δ，i=[θ]+1，[·]為向下取正；

(3)令t*=ti+(θ-i+1)(ti+1-ti)；

其中ti是原始樣本t1,t2,…,tn按從小到大排序后得到的第i個(gè)樣本數(shù)據(jù)，則t*即為所產(chǎn)生的再生樣本數(shù)據(jù)。

重復(fù)上述過程B次，就可以獲得B組Weibull分布參數(shù)β和η的估計(jì)值，從而構(gòu)造β和η的先驗(yàn)概率密度π1(β)和π2(η)。本文假設(shè)參數(shù)(β,η)是相互獨(dú)立的，且β和η的先驗(yàn)概率分布均為正態(tài)分布，則β和η的聯(lián)合先驗(yàn)概率密度為

π(β,η)=π1(β)π2(η)

(3)

假設(shè)某一產(chǎn)品試驗(yàn)壽命值為t1,t2,…,tn，該產(chǎn)品的試驗(yàn)壽命值服從Weibull分布，則該樣品的壽命t1,t2,…,tn在給定參數(shù)β和η條件下的極大似然估計(jì)可以表示為

(4)

(5)

在β和η的聯(lián)合先驗(yàn)概率密度為π(β,η)=π1(β)π2(η)的情況下，根據(jù)Bayes公式，有

f(β,η|t1,t2,…tn)=

(6)

式(6)中，Θ表示(β,η)的取值空間。由式(3)、式(6)可知，Weibull分布參數(shù)β和η的后驗(yàn)概率密度分別為

(7)

(8)

式(7)、(8)中，Θ1表示β的取值空間，Θ2表示η的取值空間。由于式(7)、(8)中的積分不容易求解，因此參數(shù)β和η的后驗(yàn)分布很難得到具體的形式，可以用β和η的后驗(yàn)期望作為β和η的Bayes點(diǎn)估計(jì)值。由(7)、(8)可以得到β和η的Bayes點(diǎn)估計(jì)值:

(9)

(10)

在可靠性試驗(yàn)的評估結(jié)果中，β和η的值分別存在一定有界的范圍[β1,β2]和[η1,η2]，使得式(11)和式(12)成立。

(11)

(12)

這樣式(9)、(10)可以被進(jìn)一步改寫成式(13)、(14)的形式。

(13)

(14)

對式(13)、(14)作有限范圍內(nèi)的數(shù)值積分，求出β和η后驗(yàn)分布的期望值作為Weibull分布參數(shù)的估計(jì)值。

(15)

(16)

2.2.2 模型的驗(yàn)證

利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)生成5個(gè)服從分布參數(shù)已知的Weibull分布隨機(jī)數(shù)，運(yùn)用2.2.1提出的方法分別估計(jì)5個(gè)隨機(jī)數(shù)的Weibull分布參數(shù)。針對不同的分布參數(shù)分別進(jìn)行試驗(yàn)，獲得的結(jié)果如表1所示。

表1Weibull分布參數(shù)估計(jì)結(jié)果對比

Tab.1ThecomparisonoftheWeibulldistributionparametersestimatedbydifferentmethods

真實(shí)值(β,η)極大似然估計(jì)值(β,η)2.2.1方法計(jì)算結(jié)果(β,η)(1.5,1500)(1.08,1196.08)(1.25,1343.6)(1.8,1800)(1.49,1248.83)(1.75,1467.73)(2,1600)(1.42,1083.27)(1.6,1282.31)(2.5,2000)(1.79,1745.78)(1.94,1923.36)(2.5,2200)(2.07,1690.88)(2.31,1937.76)(3,2000)(2.49,1606.1)(3.00,1939.39)

由表1的計(jì)算結(jié)果可知在樣本量較小的情況下，2.2.1的方法求得的結(jié)果更準(zhǔn)確。

2.3 局部失效的滾動(dòng)軸承可靠性評估模型

軸承的局部失效壽命數(shù)據(jù)可以通過追蹤其性能參數(shù)獲得?；谛阅芡嘶漠a(chǎn)品可靠性評估目前已有多種較為成熟的計(jì)算模型[17-18]，對于滾動(dòng)軸承產(chǎn)品，也可以選取其性能指標(biāo)，考慮采用擬合退化軌跡的方法估計(jì)出滾動(dòng)軸承達(dá)到失效閾值所需要的時(shí)間，如圖1所示。

圖1 性能退化軌跡圖Fig.1 The figure of the performance degradation trace

通過退化軌跡所求得的軸承達(dá)到失效閾值的時(shí)間即軸承的失效時(shí)間，由此運(yùn)用2.2提出的計(jì)算方法即可計(jì)算軸承的性能退化壽命分布。

2.4 競爭失效的滾動(dòng)軸承可靠性評估模型

針對多失效模式競爭可靠性分析，運(yùn)用Copula函數(shù)分析求解基于多失效模式滾動(dòng)軸承可靠度評估模型。

由Sklar定理[19]可知，聯(lián)合概率密度f(x,y)可以表示為式(17)的形式：

f(x,y)=c(F(x),G(y))f(x)g(y)

(17)

式中，c(F(x)和G(y))表示相應(yīng)的Copula密度函數(shù)，f(x)和g(y)分別為F(x)、G(y)的概率密度函數(shù)。

在常見的Copula函數(shù)形式中，Gumbel Copula函數(shù)結(jié)構(gòu)與Lee[20]提出的一類二元Weibull分布的生存函數(shù)結(jié)構(gòu)相似，因此選用Gumbel Copula對軸承進(jìn)行競爭失效分析。令F(x)=u，G(y)=v，則Gumbel Copula的函數(shù)結(jié)構(gòu)如式(18)所示。

θ∈(0,1]

(18)

對Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)有多種估計(jì)方法，但計(jì)算過程復(fù)雜，不便于工程應(yīng)用。然而利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)Kendall相關(guān)秩估計(jì)Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)，可以簡化計(jì)算，便于工程應(yīng)用。

Kendall相關(guān)秩被描述為任意兩對數(shù)據(jù)和諧的概率與不和諧的概率之差[19]。如果用τ表示Kendall相關(guān)秩，假設(shè)數(shù)據(jù)組{(x1,y1),(x2,y2),…(xn,yn)}是連續(xù)隨機(jī)變量向量(X,Y)的n個(gè)隨機(jī)觀測值，如果(xi-xj)(yi-yj)>0，則稱數(shù)據(jù)對(xi,yi)與數(shù)據(jù)對(xj,yj)是和諧的；如果(xi-xj)(yi-yj)<0,則稱(xi,yi)與(xj,yj)是不和諧的，用P[(xi-xj)(yi-yj)>0]表示兩個(gè)數(shù)據(jù)對和諧的概率，P[(xi-xj)(yi-yj)<0]表示兩個(gè)數(shù)據(jù)對不和諧的概率，則Kendall相關(guān)秩τ可以表示為

(19)

由文獻(xiàn)[21]可知，Gumbel Copula函數(shù)的參數(shù)θ與其相應(yīng)的Kendall相關(guān)秩τ存在如下關(guān)系：

τ=1-θ

(20)

因此，可以將試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)Kendall相關(guān)秩看作Gumbel Copula函數(shù)的Kendall相關(guān)秩τ，這樣就可以快速而又簡便的估計(jì)出Gumbel Copula函數(shù)參數(shù)θ的值。

3 實(shí)例分析

針對某型號滾動(dòng)軸承進(jìn)行4 000 h的定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)。試驗(yàn)采用CGS3-8型高溫高速微型軸承試驗(yàn)機(jī)，試驗(yàn)轉(zhuǎn)速58 000 r/min，軸向載荷5 N。在試驗(yàn)的過程中測量軸承的振動(dòng)加速度值，根據(jù)客戶的要求，試驗(yàn)軸承的振動(dòng)加速度值超過1.5 g時(shí)，就認(rèn)定軸承已失效，并停止試驗(yàn)。試驗(yàn)中投入了7套軸承，共失效5套，軸承的壽命數(shù)據(jù)如表2所示，其中樣品1和樣品2均因?yàn)檎駝?dòng)加速度值超過閾限停止試驗(yàn)，樣品6、樣品7均未發(fā)生失效，所注壽命時(shí)間為截尾時(shí)間。

表2 軸承試驗(yàn)數(shù)據(jù)Tab.2 Test data of the ball bearings

為預(yù)測樣品3、樣品4、樣品5、樣品6、樣品7的局部失效發(fā)生時(shí)間，截取這5套軸承失效前600 h的振動(dòng)數(shù)據(jù)，如圖2、圖3、圖4所示；截取樣品6和樣品7截尾時(shí)間前600 h的振動(dòng)數(shù)據(jù)，如圖5、圖6所示。

圖2 樣品3振動(dòng)退化數(shù)據(jù)Fig.2 The vibration data of Sample 3

圖3 樣品4振動(dòng)退化數(shù)據(jù)Fig.3 The vibration data of Sample 4

圖4 樣品5振動(dòng)退化數(shù)據(jù)Fig.4 The vibration data of Sample 5

圖5 樣品6振動(dòng)退化數(shù)據(jù)Fig.5 The vibration data of Sample 6

圖6 樣品7振動(dòng)退化數(shù)據(jù)Fig.6 The vibration data of Sample 7

依據(jù)文中局部失效和完全失效的定義可判定樣品1和樣品2失效類型為局部失效，而樣品3、樣品4、樣品5在發(fā)生失效時(shí)振動(dòng)未超過閾值，因此可判定樣品3、樣品4、樣品5的失效類型是完全失效。

3.1 軸承完全失效的壽命分布計(jì)算

由試驗(yàn)數(shù)據(jù)可知樣品3、樣品4、樣品5為完全失效，失效時(shí)間分別為2 472 h、2 506 h、3 382 h，而樣品1在1 313 h未發(fā)生完全失效，樣品2在2 288 h未發(fā)生完全失效，樣品6和樣品7在4 000 h均未發(fā)生失效。結(jié)合數(shù)據(jù)類型，可將滾動(dòng)軸承完全失效的壽命數(shù)據(jù)看作隨機(jī)截尾試驗(yàn)，由參考文獻(xiàn)[22]可知，壽命分布參數(shù)β和η可通過求解方程(21)獲得。

(21)

式中:β和η分別是Weibull分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù);ti是失效數(shù)據(jù);則λi=1；如果ti是截尾數(shù)據(jù)，則λi=0。

結(jié)合參考文獻(xiàn)[23]對小樣本下定時(shí)截尾試驗(yàn)壽命數(shù)據(jù)的處理方法，應(yīng)用Bootstrap方法重復(fù)抽樣5 000次。再利用2.2中的壽命分布參數(shù)估計(jì)方法對Weibull分布參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，得到軸承完全失效的壽命曲線如圖7所示。

圖7 軸承完全失效壽命分布曲線

Fig.7 Life distribution curve of bearings under complete failure

3.2 軸承局部失效的壽命分布計(jì)算

這里選用指數(shù)形式的退化軌跡y=a·exp(bt)來擬合軸承的振動(dòng)數(shù)據(jù)。計(jì)算所得軸承振動(dòng)值達(dá)到失效閾值的時(shí)間即軸承的局部失效壽命時(shí)間，如表3所示，并采用2.2.1提出的方法進(jìn)行計(jì)算，得到軸承局部失效的壽命曲線如圖8所示。

表3 軸承局部失效的壽命數(shù)據(jù)Tab.3 Lifetime data of the ball bearings under partial failure

圖8 軸承局部失效壽命曲線Fig.8 Life distribution curve of bearings under partial failure

3.3 競爭失效下軸承可靠性評估

4 結(jié)果與討論

4.1 基于競爭失效評估結(jié)果的比較

文中2.3提出的模型充分考慮了不同失效模式之間的相關(guān)性，不同失效模式競爭下的軸承可靠度計(jì)算結(jié)果如表4和圖10所示。

圖9 競爭失效的軸承可靠性曲線

Fig.9 Reliability curve of bearings under competing failure modes

從圖10中可以看出不考慮失效模式之間的相關(guān)性會(huì)使得可靠性的評估結(jié)果偏低，結(jié)合可靠性試驗(yàn)，該型號7套軸承在試驗(yàn)前1 300 h沒有發(fā)生失效，由表4的計(jì)算結(jié)果可知利用Copula函數(shù)求得的可靠性評估結(jié)果更符合試驗(yàn)情況。

4.2 軸承可靠性評估結(jié)果的分析

圖11截取了前1 500 h完全失效與局部失效的概率進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)在軸承運(yùn)轉(zhuǎn)的過程中完全失效與局部失效都有存在。在1 100 h之前，軸承發(fā)生局部失效的可能性相對較大，而在1 100 h之后，軸承發(fā)生完全失效的可能性相對較大。由此可知，在軸承運(yùn)行的早期，軸承更容易發(fā)生局部失效，需要進(jìn)一步尋找引起失效的原因，提高軸承的早期的可靠度；在1 100 h后，軸承的失效率主要由完全失效引起的，需要進(jìn)一步尋找軸承完全失效的具體原因，以提高軸承整體的可靠度。

表4 可靠度計(jì)算結(jié)果對比Tab.4 The comparison of the reliability assessment

圖10 不同計(jì)算方法的可靠性結(jié)果Fig.10 Reliability assessment result calculated by different ways

圖11 完全失效與局部失效失效率對比

Fig.11 The comparison of the failure rate under complete failure and partial failure

5 結(jié) 論

(1) 軸承的失效是多種失效模式競爭失效的結(jié)果，在對軸承的可靠性評估中需要考慮多種失效模式對軸承可靠度的影響以及不同失效模式之間的相關(guān)性。

(2) 針對小樣本試驗(yàn)數(shù)據(jù)，運(yùn)用Bootstrap方法構(gòu)造試驗(yàn)樣本的先驗(yàn)信息，采用Bayes的方法估計(jì)出相應(yīng)的后驗(yàn)結(jié)果，并與原始試驗(yàn)數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果融合，獲得小樣本下分布參數(shù)的估計(jì)結(jié)果。

(3) 應(yīng)用Gumbel Copula函數(shù)模型，實(shí)現(xiàn)對滾動(dòng)軸承競爭失效可靠度的評估。通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)Kendall相關(guān)秩估計(jì)Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)，計(jì)算過程簡便，易于工程應(yīng)用。

(4) 通過對滾動(dòng)軸承實(shí)例的分析，發(fā)現(xiàn)如果不考慮失效模式之間的相關(guān)性可能會(huì)低估軸承運(yùn)轉(zhuǎn)的可靠性。

(5) 對滾動(dòng)軸承競爭失效下的可靠性分析有助于提高滾動(dòng)軸承可靠性評估的準(zhǔn)確度，為制定提高軸承可靠性的相關(guān)決策提供依據(jù)。

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Reliabilityassessmentofbearingsbasedoncompetingfailureundersmallsampledata

QIN Luosheng, CHEN Xiaoyang, SHEN Xuejin

(Department of Mechanical Automation Engineering, Shanghai University, Shanghai 200072, China)

Bearings are important parts in machinery products. Their performance and life are closely related to operating lives of mechanical systems. It is necessary to consider the effects of different failure modes on rolling bearings’ reliability. Here, aiming at the full failure data in bearings’ reliability tests, the prior distributions of bearing life distribution parameters were established with Bootstrap method. Then, the corresponding posterior distributions were estimated using Bayes method. The bearing life distribution parameters were obtained through the posterior expectation reduction. The life distribution model of bearing local failure was gained through further analyzing bearings’ vibration performance degradation data. Copula function was used to analyze comprehensively the life distribution model of bearing full failure and that of bearing local failure. The relative parameters of Copula function were estimated with the experience Kendall relative ranks of test data. Finally, the reliability assessment results of bearings under competing failure were achieved. The results were helpful to find defects in bearing design and improve the bearing reliability.

bearings; Bootstrap method;Bayes method; performance degradation; Copula function; reliability

國家“十二五”規(guī)劃項(xiàng)目(D.50-0109-15-001,D.71-0109-14-197)

2016-05-30 修改稿收到日期：2016-09-12

秦犖晟 男，碩士生,1992年生

沈雪瑾 女,博士,教授,1963年生

TH133.33;TB114.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.036