李 哲， 胡宇達(dá)

(1. 燕山大學(xué) 建筑工程與力學(xué)學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué) 河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004)

橫向磁場(chǎng)中旋變運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電圓板的參強(qiáng)聯(lián)合共振

李 哲1,2， 胡宇達(dá)1,2

(1. 燕山大學(xué) 建筑工程與力學(xué)學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué) 河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004)

研究變速旋轉(zhuǎn)圓板的非線性磁彈性參強(qiáng)聯(lián)合振動(dòng)問題。給出旋轉(zhuǎn)圓板在磁場(chǎng)中的磁彈性振動(dòng)方程，應(yīng)用伽遼金法離散變量，得到橫向磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)圓板軸對(duì)稱參強(qiáng)聯(lián)合振動(dòng)微分方程。運(yùn)用多尺度法求解振動(dòng)微分方程，分析久期項(xiàng)得到系統(tǒng)發(fā)生參強(qiáng)聯(lián)合共振時(shí)的兩種共振狀態(tài)，并分別給出兩種狀態(tài)下系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程。通過數(shù)值計(jì)算，給出圓板的協(xié)調(diào)參數(shù)、磁場(chǎng)、轉(zhuǎn)速、激勵(lì)力等參數(shù)變化對(duì)振動(dòng)特性的影響，對(duì)比兩種共振條件下的幅值-參數(shù)曲線，討論不同參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。通過系統(tǒng)的全局分岔圖，討論分岔參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。

磁彈性；圓板；參強(qiáng)聯(lián)合共振；旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；多尺度法；穩(wěn)定性

旋轉(zhuǎn)圓板、圓環(huán)類構(gòu)件在航空航天、大型發(fā)電機(jī)組、機(jī)械工程等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，其在電磁場(chǎng)、機(jī)械場(chǎng)等復(fù)雜環(huán)境下系統(tǒng)初始條件和物理參數(shù)的變化可能導(dǎo)致圓板大幅振動(dòng)以至失穩(wěn)，甚至?xí)p害系統(tǒng)。因此，分析旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)參數(shù)變化引起的動(dòng)態(tài)響應(yīng)是十分重要的。針對(duì)結(jié)構(gòu)磁彈性振動(dòng)國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了許多理論研究。Bekhoucha等[1]研究了磁場(chǎng)中非線性旋轉(zhuǎn)組合梁的強(qiáng)迫振動(dòng)，給出了系統(tǒng)響應(yīng)曲線并分析角速度對(duì)系統(tǒng)的影響；Pratiher等[2]針對(duì)懸臂梁的磁彈性非線性振動(dòng)和頻率特性進(jìn)行了系統(tǒng)的分析，給出系統(tǒng)的響應(yīng)方程，通過多尺度法進(jìn)行求解并分析各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響；胡宇達(dá)等[3-5]推導(dǎo)出了磁場(chǎng)中圓板及矩形板的基本方程，對(duì)系統(tǒng)自由振動(dòng)及強(qiáng)迫振動(dòng)問題進(jìn)行了分析；胡宇達(dá)等[6]針對(duì)磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)圓板，推導(dǎo)了磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)圓板的振動(dòng)方程并對(duì)軸對(duì)稱問題進(jìn)行了分析，為研究圓板的復(fù)雜振動(dòng)問題提供了基礎(chǔ)；Hu等[7]針對(duì)磁場(chǎng)中矩形板的諧波振動(dòng)進(jìn)行分析，研究了其分岔和混沌行為，為控制系統(tǒng)振動(dòng)提供了理論基礎(chǔ)。針對(duì)系統(tǒng)的參數(shù)振動(dòng)及參強(qiáng)聯(lián)合振動(dòng)，?zhan等[8]分析了非線性連續(xù)系統(tǒng)的主參數(shù)共振問題，運(yùn)用多尺度法得到近似解析解并討論了穩(wěn)態(tài)解及其穩(wěn)定性；Shahgholi等[9]對(duì)非軸對(duì)稱系統(tǒng)的主共振和參數(shù)共振進(jìn)行了研究，討論了偏心主軸和外部阻尼對(duì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響并運(yùn)用數(shù)值模擬驗(yàn)證了多尺度法的結(jié)果；胡宇達(dá)等[10-11]針對(duì)磁場(chǎng)中軸向運(yùn)動(dòng)矩形薄板的參數(shù)振動(dòng)及主參數(shù)共振進(jìn)行了研究，分析各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；張偉等[12]研究了參數(shù)與強(qiáng)迫激勵(lì)聯(lián)合作用下非線性系統(tǒng)的分差問題，給出了分叉集和分叉響應(yīng)曲線，得到了許多有價(jià)值的結(jié)論；康厚軍等[13]針對(duì)斜拉索大幅振動(dòng)問題進(jìn)行了研究，分析在參數(shù)振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)激勵(lì)下斜拉索的非線性振動(dòng)問題，給出了引起系統(tǒng)參強(qiáng)聯(lián)合共振的條件；賈啟芬等[14]研究了機(jī)電系統(tǒng)的參強(qiáng)聯(lián)合激勵(lì)作用下系統(tǒng)的分岔問題，分析了參數(shù)激勵(lì)、強(qiáng)迫激勵(lì)聯(lián)合作用下的動(dòng)力學(xué)特征，為有效控制電機(jī)的穩(wěn)定運(yùn)行提供理論依據(jù)。本文在給出旋轉(zhuǎn)圓板的磁彈性橫向振動(dòng)方程的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)參強(qiáng)聯(lián)合共振微分方程并通過多尺度法對(duì)其進(jìn)行求解，得到兩種系統(tǒng)共振的條件并分別對(duì)其求解。通過算例，分析系統(tǒng)不同物理參數(shù)和初始條件對(duì)共振特性的影響。

1 變速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)圓板的參數(shù)振動(dòng)方程

考慮導(dǎo)電旋轉(zhuǎn)圓板在外加橫向磁場(chǎng)B0z中以轉(zhuǎn)速Ω做變速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，并受到均布橫向載荷Pz的作用。如圖1所示，圓板半徑為R，板厚為h?；趧?dòng)能、應(yīng)變能的表達(dá)式，通過哈密頓原理可推導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)圓板的磁彈性橫向振動(dòng)微分方程為[6]

(1)

圖1 磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)圓板力學(xué)模型Fig.1 The mechanical model of rotating circular plate in magnetic field

將彎矩內(nèi)力和電磁力矩表達(dá)式代入到振動(dòng)方程中，得到旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)圓板關(guān)于橫向撓度的磁彈性軸對(duì)稱非線性振動(dòng)方程：

(2)

設(shè)滿足邊界條件的位移解為如下展開形式：

(3)

將式(3)代入到方程(2)中，應(yīng)用伽遼金法進(jìn)行積分，得到橫向磁場(chǎng)中圓板的振動(dòng)微分方程：

A5f3(t)+A6Pz=0

(4)

其中，

設(shè)轉(zhuǎn)速Ω=Ω0+Ω1cosω1t；載荷Pz=P1cosω2t。其中，Ω0為恒定速度，Ω1為變速度擾動(dòng)量，P1為強(qiáng)迫激勵(lì)幅值，ω1為轉(zhuǎn)速變化頻率，ω2為強(qiáng)迫激勵(lì)頻率。代入方程(4)中，得到變速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)圓板的參數(shù)振動(dòng)方程：

η4f3(t)+η5P1cosω2t=0

(5)

2 旋轉(zhuǎn)圓板磁彈性參強(qiáng)聯(lián)合共振問題的理論分析

(6)

下面應(yīng)用多尺度法[15]對(duì)方程(6)進(jìn)行求解。選用兩個(gè)時(shí)間變量(T0,T1)，設(shè)系統(tǒng)參強(qiáng)聯(lián)合共振的一次近似解為

q(τ,ε)=q0(T0,T1)+εq1(T0,T1)+O(ε2)

(7)

式中：T0=τ；T1=ετ。

將式(7)代入方程(6)中，令ε同次冪相等，得到：

(8)

(9)

式中：D0=?/?T0；D1=?/?T1。

設(shè)方程(8)解的復(fù)數(shù)表達(dá)形式為

(10)

將式(10)代入方程(9)中，得：

(11)

為了避免方程中的久期項(xiàng)的出現(xiàn)，函數(shù)A應(yīng)滿足：

(12)

此時(shí)設(shè)：

(13)

此條件下久期項(xiàng)為

(14)

(15)

(16)

式中：φ1=2σ1T1-2β;φ2=σ2T1-β。

(17)

(18)

為了便于對(duì)方程(17)、(18)求解，進(jìn)行變量變換，設(shè)：

M=acosφ2N=asinφ2

(19)

同時(shí)考慮方程(15)、(16)，可以得到：

(20)

(21)

對(duì)于穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，應(yīng)有M′=N′=0，解出M和N：

(22)

(23)

再由M2+N2=a2，得到旋轉(zhuǎn)圓板參強(qiáng)聯(lián)合共振下的幅頻響應(yīng)方程：

(24)

此時(shí)設(shè)：

(25)

此條件下久期項(xiàng)為

(26)

(27)

(28)

式中：φ1=σ1T1-2β；φ1=σ2T1-β。

參照狀態(tài)(1)的求解方法，最終可以得到旋轉(zhuǎn)圓板軸對(duì)稱參強(qiáng)聯(lián)合共振下的幅頻響應(yīng)方程：

(29)

3 算例分析

針對(duì)銅制圓板磁彈性參強(qiáng)聯(lián)合共振的問題進(jìn)行計(jì)算分析。主要參數(shù)：密度ρ=8 920 kg/m3，板厚h=5 mm，半徑R=0.5 m，電導(dǎo)率σ0=5.714 3×107(Ω·m)-1，波松比μ=0.33，彈性模量E=108 GPa。

3.1 穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)下的共振幅值特性

圖3給出了共振振幅a隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度B0z變化的曲線圖(選取參數(shù)為：Ω0=5 000 r/min，Ω1=100 r/min，P1=50 N/m2)。圖中顯示共振振幅曲線以B0z=0 T為對(duì)稱軸呈左右對(duì)稱分部。曲線變化規(guī)律對(duì)協(xié)調(diào)參數(shù)的變化比較敏感。隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度的增大，共振振幅變化不是十分明顯，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度增加到某一值時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)鞍結(jié)靜態(tài)分岔，共振振幅急劇變小。由此可以得到在保持系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)速度、強(qiáng)迫力不變時(shí)，通過調(diào)整磁感應(yīng)強(qiáng)度可以起到控制系統(tǒng)共振振幅的目的。

圖4給出了共振振幅隨著激勵(lì)力P1變化的曲線圖(選取參數(shù)為：Ω0=5 000 r/min，Ω1=100 r/min)。從圖4(a)和圖4(b)中可以看出磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)的多值性以及共振振幅有著較大的影響。圖4(c)和圖4(d)給出了不同協(xié)調(diào)參數(shù)下系統(tǒng)的共振振幅隨著激勵(lì)力變化的曲線。綜合圖3和圖4，可以得到，隨著協(xié)調(diào)參數(shù)減小、磁感應(yīng)強(qiáng)度的增加，系統(tǒng)的多值性逐漸消失。

圖5為系統(tǒng)初始狀態(tài)變化時(shí)的動(dòng)相平面軌跡圖(選取參數(shù)為：B0z=3 T，Ω0=5 000 r/min，Ω1=100 r/min，P1=50 N/m2)，箭頭方向?yàn)橄到y(tǒng)軌跡方向。圖中可以看出夾支和簡(jiǎn)支邊界條件下選取不同協(xié)調(diào)參數(shù)時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定解的變化。在圖5(a)中存在一個(gè)穩(wěn)定焦點(diǎn)S1，其幅值大小為S1=0.332 6，記為S1(0.332 6)。在圖5(b)中存在兩個(gè)穩(wěn)定焦點(diǎn)S1(0.138 7)、S3(0.448 7)和一個(gè)鞍點(diǎn)S2(0.359 4)。圖5(c)中存在一個(gè)穩(wěn)定焦點(diǎn)S1(0.362 3)。圖5(d)中存在兩個(gè)穩(wěn)定焦點(diǎn)S1(0.078)、S3(0.570 2)和一個(gè)鞍點(diǎn)S2(0.500 7)。這與圖2(a)和圖2(b)兩圖中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的幅值大小一致，可以推斷出當(dāng)圖2中的曲線出現(xiàn)三個(gè)解時(shí)，最大和最小的解是穩(wěn)定的，中間的解是不穩(wěn)定的。在圖3和圖4中的曲線也有相同的性質(zhì)。

(a) 夾支邊界

(b) 簡(jiǎn)支邊界

(c) 夾支邊界

(d) 簡(jiǎn)支邊界

(f) 簡(jiǎn)支邊界圖2 幅頻響應(yīng)曲線Fig.2 Frequency response curves

(a) 夾支邊界

(b) 簡(jiǎn)支邊界圖3 幅值-磁感應(yīng)強(qiáng)度曲線Fig.3 Amplification-magnetic induction intensity curves

(a)夾支邊界(σ=0.03)(b)簡(jiǎn)支邊界(σ=0.03)(c)夾支邊界(B0z=4T)(d)簡(jiǎn)支邊界(B0z=4T)

圖4 幅值-激勵(lì)力曲線

Fig.4 Amplification-forced excitation curves

圖6給出了夾支和簡(jiǎn)支條件下，改變磁感應(yīng)強(qiáng)度時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定焦點(diǎn)位置的變化圖(選取參數(shù)為：Ω0=5 000 r/min，Ω1=100 r/min，P1=50 N/m2)。圖6(a)中三個(gè)焦點(diǎn)分別為：焦點(diǎn)S1(0.393 3)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B0z=3 T；焦點(diǎn)S2(0.148 3)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B0z=5 T；焦點(diǎn)S3(0.087 8)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B0z=7 T。圖6(b)中三個(gè)焦點(diǎn)分別為：焦點(diǎn)S1(0.570 2)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B0z=3 T；焦點(diǎn)S2(0.076 8)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B0z=5 T；焦點(diǎn)S3(0.073 3)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B0z=7 T。對(duì)比圖6(a)和圖6(b)，可以得出磁感應(yīng)強(qiáng)度的增加可以抑制系統(tǒng)的共振振幅，并且能更快的到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。

(a)夾支邊界(εσ=0.01)(b)夾支邊界(εσ=0.03)(c)簡(jiǎn)支邊界(εσ=0.05)(d)簡(jiǎn)支邊界(εσ=0.2)

圖5 動(dòng)相平面軌跡圖

Fig.5 The phase plane curves

(a) 夾支邊界(εσ=0.02)

(b) 簡(jiǎn)支邊界(εσ=0.02)圖6 動(dòng)相平面軌跡圖Fig.6 The phase plane curves

綜合圖5和圖6，可以看出，物理量的變化以及初值對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有著明顯的影響，同時(shí)系統(tǒng)的初值決定了系統(tǒng)在存在多值解時(shí)取哪一個(gè)穩(wěn)態(tài)解。

3.2 磁場(chǎng)變化時(shí)系統(tǒng)的不同動(dòng)力響應(yīng)

為進(jìn)一步分析系統(tǒng)在參強(qiáng)共振下呈現(xiàn)的其他非穩(wěn)態(tài)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，直接對(duì)微分方程(6)進(jìn)行數(shù)值求解，圖7繪制了以磁感應(yīng)強(qiáng)度B0為分岔控制參數(shù)的系統(tǒng)響應(yīng)全局分岔圖。由分岔圖可知，在磁感應(yīng)強(qiáng)度B0<0.2 Τ時(shí)，系統(tǒng)近似處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度值的增加，系統(tǒng)逐漸出現(xiàn)概周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)B0>0.5 Τ時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)倍周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?？傮w而言，隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度的增大，系統(tǒng)從最初的類似混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)逐漸變?yōu)楦胖芷谶\(yùn)動(dòng)狀態(tài)，最終變?yōu)楸吨芷谶\(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并保持相對(duì)穩(wěn)定。

圖7 磁感應(yīng)強(qiáng)度B0的全局分岔圖(P1=2 000 N/m2)

Fig.7 Global bifurcation of magnetic induction intensityB0(P1=2 000 N/m2)

圖8給出當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度比較小時(shí)，龐加萊映射點(diǎn)陣截面呈現(xiàn)出封閉曲線。系統(tǒng)時(shí)程圖表現(xiàn)為往復(fù)周期運(yùn)動(dòng)方式。從功率譜圖中發(fā)現(xiàn)，振動(dòng)能量主要分布在0.16倍頻和0.29倍頻，相軌跡圖多圈相套。系統(tǒng)近似處于混沌狀態(tài)。

圖9給出當(dāng)B0=0.25 T時(shí)，龐加萊映射點(diǎn)陣截面呈現(xiàn)多個(gè)封閉曲線形式。系統(tǒng)時(shí)程圖表現(xiàn)為往復(fù)周期運(yùn)動(dòng)方式。從功率譜圖中發(fā)現(xiàn)，振動(dòng)能量主要分布在0.16倍頻和0.29倍頻，相軌跡圖多圈相套。系統(tǒng)出現(xiàn)概周期運(yùn)動(dòng)。

圖10給出當(dāng)B0=0.79 T時(shí)，龐加萊映射點(diǎn)呈現(xiàn)分散的五點(diǎn)形式，此時(shí)系統(tǒng)做五倍周期運(yùn)動(dòng)，時(shí)程圖也可以驗(yàn)證此結(jié)論。從功率譜圖中可以發(fā)現(xiàn)，振動(dòng)能量不只有五個(gè)主要頻率，由此可知此時(shí)振動(dòng)是由多個(gè)倍頻疊加而成。

(a)龐加萊映射圖(b)時(shí)程圖(c)功率譜圖(d)相圖

圖8 B0=0.1 T時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)圖Fig.8 Response diagram of system with B0=0.1 T

圖9 B0=0.25 T時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)圖Fig.9 Response diagram of system with B0=0.25 T

圖10B0=0.79 T時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)圖

Fig.10 Response diagram of system withB0=0.79 T

3.3 兩種組合共振特性比較

圖11 幅頻響應(yīng)曲線(B0z=4 T, P1=50 N/m2)Fig.11 Frequency response curve(B0z=4 T, P1=50 N/m2)

圖12 幅值-磁感應(yīng)強(qiáng)度曲線(εσ=0.03, P1=50 N/m2)Fig.12 Amplification-magnetic induction intensity curve(εσ=0.03, P1=50 N/m2)

圖13 幅值-激勵(lì)力曲線(εσ=0.04, B0z=4 T)Fig.13 Amplification-forced excitation curve (εσ=0.04, B0z=4 T)

4 結(jié) 論

本文針對(duì)磁場(chǎng)中變速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)圓板，給出了參數(shù)振動(dòng)微分方程。運(yùn)用多尺度法求解方程，得出了兩種不同共振狀態(tài)的幅頻響應(yīng)方程，數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明：

(1)系統(tǒng)發(fā)生參強(qiáng)聯(lián)合共振時(shí)，共振振幅隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度和旋轉(zhuǎn)速度的增加、激勵(lì)力振幅的減小而減?。浑S著初始條件和物理變量的變化，系統(tǒng)的共振振幅出現(xiàn)多值性。同時(shí)隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度的增加，系統(tǒng)逐漸從類似混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)楸吨芷谶\(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可見控制磁感應(yīng)強(qiáng)度可以使系統(tǒng)更快的達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

(2)對(duì)比夾支和簡(jiǎn)支兩種不同的邊界條件，可以得出夾支邊界條件下振幅對(duì)協(xié)調(diào)參數(shù)變化比較敏感：當(dāng)協(xié)調(diào)參數(shù)在一定范圍內(nèi)發(fā)生微小變化時(shí)系統(tǒng)振幅急劇變化，隨著協(xié)調(diào)參數(shù)繼續(xù)增加系統(tǒng)快速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

(3)當(dāng)速度激勵(lì)頻率取二倍固有頻率時(shí)，系統(tǒng)的最大穩(wěn)定解和不穩(wěn)定解要比速度激勵(lì)頻率取一倍固有頻率的解要高，同時(shí)共振振幅的峰值也會(huì)大大增加；而最小穩(wěn)定解卻比一倍固有頻率的解低。其他的系統(tǒng)共振特性在兩種情況下均有相同的體現(xiàn)。

[1] BEKHOUCHA F, RECHAK S, DUIGOU L, et al. Nonlinear forced vibrations of rotating composite beams with internal combination resonance[J]. Design and Modeling of Mechanical Systems, 2013, Part II: 159-166.

[2] PRATIHER B, DWIVEDY S K. Nonlinear vibrations and frequency response analysis of a cantilever beam under periodically varying magnetic field[J]. Mechanics Based Design of Structures and Machines, 2011, 39(3): 378-391.

[3] 胡宇達(dá), 徐耀玲, 白象忠. 橫向磁場(chǎng)中圓板的軸對(duì)稱振[J]. 振動(dòng)與沖擊, 1998, 17(4): 71-74.

HU Yuda, XU Yaoling, BAI Xiangzhong. The axial symmetric vibration of circular plate in transverse magnetic field[J]. Journal of Vibration and Shock, 1998, 17(4): 71-74.

[4] 胡宇達(dá). 軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電薄板磁彈性耦合動(dòng)力學(xué)理論模型[J]. 固體力學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 34(4): 417-425.

HU Yuda. Magneto-elastic coupled dynamics theoretical model of axially moving current-conducting thin plate[J]. Chinese Journal of Solid Mechanics, 2013, 34(4): 417-425.

[5] 胡宇達(dá), 杜國(guó)君. 磁場(chǎng)環(huán)境下導(dǎo)電圓形薄板的磁彈性強(qiáng)迫振動(dòng)[J]. 工程力學(xué), 2007, 24(7): 184-188.

HU Yuda, DU Guojun. Forced vibration of a thin round conductive plate in magnetic field[J]. Engineering Mechanics, 2007, 24(7): 184-188.

[6] 胡宇達(dá), 李哲. 旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電圓板電磁彈性耦合振動(dòng)方程[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào), 2017, 34(1):38-42.

HU Yuda，LI Zhe.Electromagnetic elastic coupling vibration equations of a conductive rotating circular plate[J].Chinese Journal of Applied Mechanics,2017，34(1):38-42.

[7] HU Yuda, HU Peng, ZHANG Jinzhi. Strongly nonlinear subharmonic resonance and chaotic motion of axially moving thin plate in magnetic field[J]. Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, 2015, 10(2): 021010-(1-12).

[8] ?ZHAN B B, PAKDEMIRLI M. Principal parametric resonances of a general continuous system with cubic nonlinearities[J]. Applied Mathematics and Computation, 2012, 219(5): 2412-2423.

[9] SHAHGHOLI M, KHADEM S E. Primary and parametric resonances of asymmetrical rotating shafts with stretching nonlinearity[J]. Mechanism and Machine Theory, 2012, 51: 131-144.

[10] 胡宇達(dá), 孫建濤, 張金志. 橫向磁場(chǎng)中軸向變速運(yùn)動(dòng)矩形板的參數(shù)振動(dòng)[J]. 工程力學(xué), 2013, 30(9): 299-304.

HU Yuda, SUN Jiantao, ZHANG Jinzhi. Parametric vibration of axially accelerating rectangular plate in transverse magnetic field[J]. Engineering Mechanics, 2013, 30(9): 299-304.

[11] HU Yuda, ZHANG Jinzhi. Principal parametric resonance of axially accelerating rectangular thin plate in magnetic field[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2013, 34(11): 1405-1420.

[12] 張偉, 霍拳忠. 參數(shù)激勵(lì)與強(qiáng)迫激勵(lì)聯(lián)合作用下非線性振動(dòng)系統(tǒng)的分叉[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào), 1991, 23(4): 464-474.

ZHANG Wei, HUO Quanzhong. Bifurcations of nonlinear oscillation system under combined parametric and forcing excitation[J]. ACTA Mechanica Sinica, 1991, 23(4): 464-474.

[13] 康厚軍, 趙躍宇, 蔣麗忠. 參數(shù)振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)激勵(lì)下超長(zhǎng)拉索的面內(nèi)非線性振動(dòng)[J]. 中南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2011, 42(8): 2439-2445.

KANG Houjun, ZHAO Yueyu, JIANG Lizhong. In-plane nonlinear vibration of super long stay cables under parametric and forced excitations[J]. Journal of Central South University, 2011, 42(8): 2439-2445.

[14] 賈啟芬, 于雯, 邱家俊, 等. 機(jī)電非線性振動(dòng)系統(tǒng)參、強(qiáng)聯(lián)合激勵(lì)的分岔[J]. 機(jī)械強(qiáng)度, 2003, 25(6): 624-627.

JIA Qifen, YU Wen, QIU Jiajun, et al. Bifurcation on nonlinear by the combined parametric and forced resonances in an electromechanical vibration system[J]. Journal of Mechanical Strength, 2003, 25(6): 624-627.

[15] 劉延柱, 陳立群. 非線性振動(dòng)[M]．北京: 高等教育出版社, 2001.

Magnetoelasticresonanceofaconductivecircularplaterotatingwithvaryingvelocityundercombinedparametricandforcedexcitations

LI Zhe1,2, HU Yuda1,2

(1. School of Civil Engineering and Mechanics, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China； 2. Hebei Provincial Key Lab for Mechanical Reliability of Heavy Equipment and Large Structures, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)

Magneto-elastic resonance of a conductive circular plate rotating with varying velocity under combined parametric and forced excitations was investigated. The conductive circular plate was subjected to parametric excitations due to the time-varying rotating speed and magnetic field forces. The magneto-elastic parametric vibration equations of the variable-velocity rotating conductive circular plate were established, its axisymmetric vibration differential equation under combined parametric and forced excitations was obtained through the application of Galerkin method. Then, the multi-scale method was applied to derive two conditions for resonance occurring, two corresponding amplitude-frequency response equations were deduced, respectively. The influences of plate’s coordination parameters, magnetic field parameters, rotating speed and excitations on the vibration performance of the circular plate were studied. Amplitude-parameter curves of two resonance conditions were compared, and the influences of parameters on the system’s stability were discussed. According to the global bifurcation diagram of the system, the influences of changes of bifurcation parameters on the system dynamic characteristics were discussed.

magneto-elastic; circular plate; resonance under combined parametric and forced excitations; rotary motion; multi-scale method; stability

國(guó)家自然科學(xué)基金(11472239)；河北省自然科學(xué)基金(A2015203023)；河北省高等學(xué)?？茖W(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(ZD20131055)；河北省研究生創(chuàng)新(2016SJBS023)

2016-04-27 修改稿收到日期：2016-09-09

李哲 男，博士生，1990年5月生

胡宇達(dá) 男，博士，教授，1968年11月生

O442; O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.012