蔡明建

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院,武漢430074)

帶消失位勢Choquard方程解的存在性

蔡明建

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院,武漢430074)

研究了一類非局部Schr?dinger方程解的存在性.運用山路引理和Ekland變分法，利用泛函幾何結(jié)構(gòu)和極小化序列得到了方程解的存在性.首次將半線性橢圓方程的相關(guān)結(jié)果推廣到Choquard型消失位勢Schr?dinger方程.

Choquard方程；山路引理；Ekland變分法；消失位勢

1 主要問題及結(jié)果

本文考慮一類帶消失位勢Choquard方程：

(1)

Choquard型方程解的存在性的研究，近年來一直吸引著研究者的興趣.文[3]中Moroz和Schaftingen考慮了基態(tài)解的存在性，文[4]討論該類方程解的存在集中性，其他相關(guān)解的存在性問題見文[5-7].本文的主要結(jié)果是定理1.

定理1 假設(shè)條件(i)～(ⅳ)，(H1)～(H4)成立,那么方程(1)在D1,2(RN)中至少存在兩個非平凡解.

2 預(yù)備知識

與方程組(1)所對應(yīng)的能量泛函可以寫為：

其中

由Hardy-Littlewood不等式[8]知：

(2)

當(dāng)u∈E滿足：

設(shè)E為一實的希爾伯特空間，泛函I∈C1(E,R).我們說{un}為I的P.S.序列:如果當(dāng)n→∞時,有I(un)→c,I′(un)→0.泛函I在指標(biāo)c∈R處滿足P.S.條件是指,上述{un}存在一個收斂的子序列.若I(u)=c,I′(u)=0時，稱u為I在E上的臨界點，c為I的臨界值.

引理1I∈C1(E,R)且I滿足：

(1) 存在β,ρ>0使得I(u)≥β對任意‖u‖=ρ時都成立；

(2) 存在e∈E,‖e‖>ρ且使得I(e)<0.

由此可知,存在足夠小的ρ>0使得‖u‖=ρ時：

由此可知當(dāng)t→+∞時，I(tu)<0成立，故證存在e∈E,‖e‖>ρ且使得I(e)<0.

3 定理1的證明

在這一部分將證明主要結(jié)果定理1.

引理2 如果(i)～(ⅳ)，(H1)～(H4)成立，則有I滿足P.S.條件.

證明1)任取{un}?E滿足I(un)→c并且I′(un)→0,那么{un}有界.

事實上：

由條件(H4)可知存在c1，使得：

因此：

c(1+‖u‖)≥k‖u‖2-c1,可知{un}有界.

‖un-u‖2=I′(un)-I′(u),un-u-K(x)(f(un)-f(u))(un-u)dx-Q(un-u,un-u)dx.

由文[1,2],有：

(3)

(4)

n→∞時，

(5)

由文[9]有：

(6)

這里當(dāng)n→∞時，

I′(u)-I′(un),un-u→0.

(7)

由(5)～(7)式可知n→∞時，‖un-u‖→0.

綜上可知，方程(1)在D1,2(RN)中至少存在兩個非平凡解u1,u2.

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ExistenceofSolutionsofChoquardTypeEquationswithVanishingPotentials

CaiMingjian

(College of Mathematics and Statistics,South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074,China)

In this paper，a class of nonlocal Schr?dinger equations were studied. The Mountain Pass Lemma and Ekland variational principle were used to prove the existence of solutions. Some new results about Choquard type Schr?dinger equations with vanishing potentials were obtained by related results in the semilinear elliptical equations.

Choquard type equations; Mountain Pass Lemma；Ekland variational principle；vanishing potentials

2017-09-12

蔡明建(1981-)，男，講師，博士，研究方向：偏微分方程，E-mail: cmj9904@mail.scuec.edu.cn

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助項目(CZQ12014)

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1672-4321(2017)04-0149-03