郭麗莎，金凌輝

(1 中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074；2 武漢科技大學(xué) 城市學(xué)院，武漢 430083；3 武漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，武漢 430072)

帶離散輔助協(xié)變量的AFT模型的B-J估計(jì)

郭麗莎1，金凌輝2,3，*

(1 中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074；2 武漢科技大學(xué) 城市學(xué)院，武漢 430083；3 武漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，武漢 430072)

為處理協(xié)變量隨機(jī)缺失的AFT模型的參數(shù)估計(jì)問題，首先利用離散輔助協(xié)變量對缺失的協(xié)變量進(jìn)行了插補(bǔ)，再結(jié)合Buckley-James方法提出了帶輔助信息的AFT模型的一種參數(shù)估計(jì)方法.此方法作為B-J估計(jì)在不完全協(xié)變量情形下的一個(gè)推廣，無須指定模型誤差項(xiàng)的分布，在應(yīng)用上有一定的便利性.數(shù)據(jù)模擬表明：此方法具有較好的估計(jì)效果.

AFT模型；輔助協(xié)變量；B-J估計(jì)；生存分析

在臨床醫(yī)學(xué)研究中，由于財(cái)力所限或技術(shù)原因，有些目標(biāo)協(xié)變量信息很難搜集或存在測量誤差.然而，通常我們可以比較容易獲得與目標(biāo)協(xié)變量有著較高關(guān)聯(lián)度的輔助協(xié)變量，從而利用這些輔助協(xié)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，這樣的問題稱之為輔助協(xié)變量問題.關(guān)于這個(gè)問題已經(jīng)有了很多重要的研究成果，如文獻(xiàn)[1,2]研究了Cox模型的輔助協(xié)變量問題，文獻(xiàn)[3,4]探討了加法危險(xiǎn)率模型的輔助協(xié)變量問題.相對于上述兩種模型，加速失效時(shí)間模型(AFT Model)的協(xié)變量對失效時(shí)間，即響應(yīng)變量的解釋更為直接，因此也有著廣泛應(yīng)用.在這里我們嘗試探討AFT模型的輔助協(xié)變量問題.

1 AFT模型和B-J估計(jì)

(1)

(2)

定義估計(jì)方程：

(3)

或：

(4)

2 帶輔助協(xié)變量的B-J估計(jì)

(5)

3 數(shù)值模擬

把參數(shù)的真值設(shè)置為β=(β1,β2)=(ln1.5,ln2)=(0.405,0.693)，樣本量n設(shè)置為200，重復(fù)計(jì)算1000次.表1為刪失率取0.2，ρ分別取0.7和0.5以及σe設(shè)為0.2和0.6時(shí)的參數(shù)估計(jì)結(jié)果.其中Est為1000次參數(shù)估計(jì)的平均值，SD為估計(jì)值的平均樣本標(biāo)準(zhǔn)差，SE是估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差的平均值，其結(jié)果通過50次重抽樣的bootstrap方法計(jì)算所得.95%CP表示置信度為95% 置信區(qū)間覆蓋參數(shù)真值的覆蓋率.

表1 n=200,刪失率為20%的模擬結(jié)果Tab.1 Simulation results for n=200 and censoring rate is 20%

表2 不同樣本量下95%CP的比較結(jié)果

4 結(jié)語

本文基于Buckley和James的方法，給出了帶離散輔助協(xié)變量的AFT模型的B-J估計(jì).數(shù)據(jù)模擬的結(jié)果表明：我們所提出的方法有著較好的估計(jì)效果.這種方

法相對于傳統(tǒng)的基于似然函數(shù)的方法而言，不需要對誤差項(xiàng)的分布進(jìn)行指定，在使用上有一定的便利性.另外，為充分利用輔助信息，也可考慮使用連續(xù)的輔助協(xié)變量，但這方面的已有結(jié)果主要還是集中在COX模型上，關(guān)于AFT模型還有許多方面值得進(jìn)一步研究.

[1] Zhou H, Pepe M S. Auxiliary covariate data in failure time regression analysis[J]. Biometrika, 1995, 82(1): 139-149.

[2] Liu Y, Zhou H, Cai J. Estimated pseudopartial-likelihood method for correlated failure time data with auxiliary covariates[J]. Biometrics, 2009, 65: 1184-1193.

[3] Kulich M, Lin D. Additive hazards regression with covariate measurement error[J]. Journal of the American Statistical Association, 2000,95:238-248.

[4] Shi X, Liu Y, Wu Y. Continuous auxiliary covariate in additive hazards regression for survival data[J]. Journal of Systems Science & Complexity, 2014, 26(6):1247-1262.

[5] Buckley J，James I. Linear regression with censored data[J]. Biometrika, 1979, 66(3):429-436.

[6] James I，Smith J. Consistency results for linear regression with censored data[J]. Annals of Statistics, 1984, 12(2):145-146.

[7] Lai T,Ying Z. Large sample theory of a modified Buckley-James estimator for regression analysis with censored data[J]. Annals of Statistics, 1991, 19(3):1370-1402.

[8] Jin Z, Lin D, Ying Z. On least-squares regression with censored datas [J]. Biometrika, 2006, 93(1):147-161.

B-JEstimatorofAFTModelwithDiscreteAuxiliaryCovariates

GuoLisha1,JinLinghui2,3

(1 College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China；2 City College of Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430083, China;3 College of Mathematics and Statistics, Wuhan University, Wuhan 430072, China)

To handle the parametric estimate problem of AFT model when covariates missing at random, we used the discrete auxiliary covariates to impute the missing covariates, then utilized the estimate method of Buckley-James to get the estimator of unknown parameter. The distribution of the error is unspecified, so our method is convenient in practical application. The results of simulation showed that our method has good effect in estimation.

AFT model；auxiliary covariates；B-J estimator；survival analysis

2017-06-10 *

金凌輝，研究方向：生物統(tǒng)計(jì)，E-mail：jinlinghui163@163.com

郭麗莎(1980-)，女，講師，博士，研究方向：生物統(tǒng)計(jì)，E-mail: lsgscuec@hotmail.com

全國統(tǒng)計(jì)科學(xué)研究項(xiàng)目(2014LY102)；湖北省教育廳科研計(jì)劃項(xiàng)目(B2017427)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(CZW15066)；武漢科技大學(xué)城市學(xué)院重點(diǎn)科研項(xiàng)目(2016CYZDKY003)

O212.2

A

1672-4321(2017)04-0146-03