邱宗如

(廈門市海滄區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 361000)

1 問題的提出

“倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式”是新課程改革的亮點之一，新課程實施以來，探究式教學(xué)在提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力方面發(fā)揮了重要的作用.然而，近幾年的課堂教學(xué)實踐表明：由于受到教學(xué)內(nèi)容和時間的制約，過程多、操作繁、耗時長的探究式教學(xué)的發(fā)展遇到了瓶頸，使之難以更好地適應(yīng)當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂.如何在有意義接受式學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，既能把“探究”元素融入課堂教學(xué)中，又能考慮時間因素，注重實效性呢？筆者在教學(xué)實踐中作了一些有益的嘗試，探索出適合數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一種有效途徑——“微型探究”.

“微型探究”是指教師根據(jù)教材特點與學(xué)生實際，選取一個適當(dāng)?shù)慕嵌?，將一?jié)課中的重點、難點、關(guān)鍵等內(nèi)容擬定適合學(xué)生開展的、短時間的、給學(xué)生一種探究機(jī)會與體驗的探究活動.“微型探究”作為數(shù)學(xué)探究的一種方式，屬于課內(nèi)或課外的定向探究，是由學(xué)生的需求與教師的經(jīng)驗相結(jié)合提出問題，具有“短”(用時短)、“小”(圍繞某個特定的知識點、切口小)、“實”(符合教學(xué)實際)、“活”(寬松靈活)等特點.從探究過程來看，“微探究”教學(xué)只需完成探究的一個或多個步驟，其他則以教師講授為輔，使探究式教學(xué)和接受式教學(xué)這兩種教學(xué)方式互補共存、和諧統(tǒng)一.以下筆者結(jié)合“方程的根與函數(shù)的零點”(第1課時)”這節(jié)課的幾個“微探究”案例，對如何優(yōu)化課堂教學(xué)，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)談?wù)勛陨淼囊恍┳龇ㄅc體會.

2 在課堂教學(xué)中開展“微型探究”的策略

2.1 在概念的形成過程中開展“微型探究”，激活學(xué)生思維

教材往往以定義的形式直接給出概念，學(xué)生對一些定義和符號一時接受比較困難.概念教學(xué)要講過程，因此，教師應(yīng)精心創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問題，通過設(shè)置“微型探究”活動，引導(dǎo)學(xué)生積極參與概念形成過程的分析、比較、歸納、抽象、概括等思維活動，使學(xué)生的直接經(jīng)驗獲得抽象與提升，自然地、水到渠成地實現(xiàn)“概念的形成”，從而實現(xiàn)對知識的意義建構(gòu).

微型探究教學(xué)片斷一：直觀感知，理性思考

問題1方程x-1=0，x2-2x-3=0有實數(shù)根嗎？如果有，是多少？

問題2方程x5+3x-1=0有實數(shù)根嗎？如果有，是多少？

(通過問題2，使學(xué)生認(rèn)識到大多數(shù)方程都不能像一元一次、一元二次方程那樣，用公式法求精確解，必須尋找新的方法，從而引發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突.五次及以上方程沒有根式解背后的數(shù)學(xué)史，更凸顯了數(shù)學(xué)文化的教育價值.)

師：次數(shù)越高，方程越復(fù)雜.數(shù)學(xué)史上，人們很希望能像低次方程那樣去求解高次方程，但經(jīng)過長期的努力，問題都沒有得到解決.1824年，年僅22歲的挪威天才數(shù)學(xué)家阿貝爾(N.H.Abel，1802—1829)成功地證明了五次及以上的一般方程沒有根式解.那么，我們是否還有其他的途徑解決方程是否有實數(shù)根的問題？

(學(xué)生思考后發(fā)表自己的看法)

圖1

生1：對于問題1，設(shè)f(x)=x-1，則f(x)是x的一次函數(shù)，方程x-1=0的根就是函數(shù)f(x)=x-1的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)(如圖1).

生2：方程x-1=0的根還是函數(shù)f(x)=x-1的值為0時自變量x的值.

師：很好！這樣我們就把函數(shù)與方程聯(lián)系起來了.

教師列表(表1)使各種關(guān)系更為清晰.

表1

類似地，教師給出函數(shù)f(x)=x2-2x-3的圖象(圖2)，引導(dǎo)學(xué)生觀察“-1”與“3”，得到表2.

圖2

方程x2-2x-3=0函數(shù)f(x)=x2-2x-3的圖象函數(shù)f(x)=x2-2x-3根是-1和3 與x軸交點的橫坐標(biāo)是-1和3 函數(shù)值為0時自變量x的值是-1和3

師：好！此方法的要點是：將一元一次、一元二次方程的根轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)值為0時自變量x的值，是一種利用函數(shù)思想解決問題的方法.

問題3一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象有何聯(lián)系呢？

學(xué)生思考討論后得到如下結(jié)論：

方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根?函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)?函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的值為0時自變量x的值.

師：很好！函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的值為0時的實數(shù)x，起到了聯(lián)結(jié)方程與函數(shù)的作用，我們將這個數(shù)稱為函數(shù)的零點.

問題4你能給出函數(shù)y=f(x)零點的一般性定義嗎？

生3：我們把使函數(shù)y=f(x)的值為0的實數(shù)x稱為函數(shù)y=f(x)的零點.

師：大家能否從“數(shù)”與“形”兩個角度，談?wù)剬瘮?shù)y=f(x)的零點的理解？

教師認(rèn)真傾聽學(xué)生發(fā)言，并繪制如下流程圖.

師：在建立函數(shù)與方程的聯(lián)系過程中，實現(xiàn)了“動” 與“靜”的轉(zhuǎn)化——“方程的根是一個靜態(tài)的點，等價轉(zhuǎn)化為“函數(shù)的零點”就與運動變化聯(lián)系上了.

反饋評價1教師從學(xué)生最熟悉的一元一次、一元二次方程的問題入手，啟迪他們從三個角度認(rèn)識一元一次、一元二次方程的根，體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”、“動”與“靜”的轉(zhuǎn)化.通過列表、展示，三者的等價關(guān)系躍然紙上.由于三次和四次方程實際上都有求根公式，問題本質(zhì)與二次方程一樣，因此教者精心設(shè)計了單調(diào)的五次方程作為問題2，并順勢介紹著名數(shù)學(xué)家的成就，既可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的內(nèi)部和外部動力以及人類理性思維對數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的作用，形成正確的數(shù)學(xué)觀.有了二次函數(shù)零點的定義，得出一般函數(shù)零點的定義就水到渠成了.通過引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從簡單到復(fù)雜，從具體到抽象的概括過程的“微型探究”活動，不僅自然生成了“函數(shù)零點”這一概念，而且讓學(xué)生初步感受了研究函數(shù)的方法，使學(xué)生真正體驗到數(shù)學(xué)是自然的，不僅講邏輯，還講道理.

“微型探究”策略引導(dǎo)：設(shè)計“微型探究”問題時必須考慮學(xué)生已有的認(rèn)知，找準(zhǔn)探究情境與教學(xué)內(nèi)容之間的有效結(jié)合點，設(shè)計出合理的、具有思考價值的若干個問題串，通過“微型探究”，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)概念的抽象過程，領(lǐng)悟探索知識的思維方法，由“知其然”發(fā)展到“知其所以然”，并體會蘊涵其中的數(shù)學(xué)思想方法，從而實現(xiàn)學(xué)習(xí)價值的最大化和最優(yōu)化.

2.2 在定理的產(chǎn)生過程中開展“微型探究”，培養(yǎng)抽象能力

教材中的數(shù)學(xué)知識大多是以完整結(jié)論呈現(xiàn)的，因而掩去了知識的發(fā)生發(fā)展過程.因此，需要教師對教材進(jìn)行“二次開發(fā)”，并設(shè)置“微型探究”活動，把原本靜態(tài)形式的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為具體動態(tài)的教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生重走“發(fā)現(xiàn)之旅”，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)，高效學(xué)習(xí)，并使數(shù)學(xué)思想方法在潛移默化中得到領(lǐng)會和掌握.

微型探究教學(xué)片斷二：寓理于形，以數(shù)釋理

問題5求下列函數(shù)的零點.

(1)f(x)=3x-2；(2)f(x)=x2-3x+4；(3)f(x)=ex-2-1.

通過問題5，讓學(xué)生進(jìn)一步體會函數(shù)的零點即對應(yīng)方程的根.上面三個函數(shù)有的有零點，有的沒有零點，自然引導(dǎo)學(xué)生思考：函數(shù)存在零點的條件是什么？于是引出將要研究的問題：函數(shù)零點的存在性.

問題6圖3 是某地從0時到12時的氣溫變化圖，假設(shè)氣溫是連續(xù)變化的，請用兩種不同的曲線將圖形補充成完整的函數(shù)圖象.請問在這段時間內(nèi)，一定有某時刻的溫度為0℃嗎？為什么？

問題6起點低，直觀性強(qiáng)，且結(jié)論開放，適合不同層次學(xué)生探究.學(xué)生易想到可以用單調(diào)上升的曲線連接，但如何設(shè)計出另一種連接方法呢？

圖3

不拘一格，大膽嘗試.—種、兩種、三種……，出現(xiàn)了許多教師未曾預(yù)設(shè)的連接方法，其中包括在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有單一零點的函數(shù)圖象(單調(diào)或不單調(diào))，也有多個零點的函數(shù)圖象；有用線段連接的(如圖4，5等)，有用曲線段連接的(如圖6，7，8，9等)，還有因為沒有注意到條件要求而畫錯的圖形(如圖7)，這有利于糾正部分學(xué)生對函數(shù)概念理解的偏差.教師用實物投影展示(限于篇幅，文中只給出以下幾種連接方法).

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

師：是否存在含有無限個零點的連接圖呢？

生4：當(dāng)線段為與x軸重合時(如圖10)，其圖象是不間斷的，顯然該函數(shù)有無限多個零點，.

問題7如果0時的溫度和12時的溫度都在零上(下)，是否一定有溫度為0℃的時刻？

問題8對于一般的函數(shù)y=f(x)，在區(qū)間[a,b] 上有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在(a,b)一定存在零點嗎？

同學(xué)們議論起來，很快有學(xué)生說“不一定”.

問題9對于一般的函數(shù)y=f(x)，滿足什么條件時，f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點？

反饋評價2為了讓學(xué)生直觀感知零點存在的條件，教者沒有把結(jié)論直接告訴學(xué)生，而是從“溫度曲線”這一生活常識出發(fā)，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、思考和操作活動，讓學(xué)生從熟悉的問題情境中為新知識提供“?？奎c”.一組問題串并結(jié)合反例，讓“直觀想象”與“數(shù)學(xué)運算”比翼雙飛，“數(shù)學(xué)抽象”與“邏輯推理”并駕齊驅(qū)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的滲透無處不在.通過“微型探究”活動，順理成章地獲得了零點存在性定理，并把定理中“有”的內(nèi)涵解釋得一清二楚.獨特的思考，不同的感悟，使數(shù)學(xué)中的價值觀念、理性精神、思維方式都得到了充分的展現(xiàn).

“微型探究”策略引導(dǎo)：提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力是課堂探究教學(xué)的中心環(huán)節(jié)，因此在課堂中教師要設(shè)計富有思考性的“微型探究”活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一個從“形”到“數(shù)”的認(rèn)識過程，也就是要經(jīng)歷從幾何直觀到理性認(rèn)識的過程，使學(xué)生在探索、體驗和感悟中促成思考方法的不斷優(yōu)化，提升數(shù)學(xué)抽象能力，催生學(xué)習(xí)的智慧.

2.3 在知識的應(yīng)用中挖掘“微型探究”資源，提升思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)概念、定理內(nèi)涵豐富、外延廣泛，學(xué)生對它的認(rèn)識不可能一蹴而就，需要經(jīng)歷一個由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的循環(huán)往復(fù)的過程，因此，教師要為學(xué)生提供合適的時間和思維空間，挖掘“微型探究”資源，使學(xué)生在反思中達(dá)成對知識本質(zhì)的再認(rèn)識，領(lǐng)悟其奧妙，揭示其深刻性，從而不斷升華對概念、定理的理解，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

微型探究教學(xué)片斷三：揭示本質(zhì)，發(fā)展思維

第一步:引導(dǎo)反思，深化理解

得到了零點存在性定理之后，教師有意識為學(xué)生提供反思的時間，對公式的條件或結(jié)論進(jìn)行“再認(rèn)識”.

問題10若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且滿足f(a)·f(b)>0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有零點嗎？

問題11若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且滿足f(a)·f(b)<0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是否恰有一個零點？

問題12若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且滿足f(a)·f(b)<0，還需要滿足什么條件時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b) 內(nèi)恰有一個零點？

問題13若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b] 區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，在區(qū)間(a,b) 內(nèi)恰有一個零點.是否一定有f(a)·f(b)<0？

通過質(zhì)疑探究，能加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識內(nèi)涵與外延的理解，領(lǐng)悟定理本質(zhì)；有利于培養(yǎng)學(xué)生將知識遷移到新的問題情境中的能力，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)；有助于培養(yǎng)學(xué)生善于質(zhì)疑、樂于探究、求異創(chuàng)新的精神，這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的終極價值.

第二步: 領(lǐng)悟本質(zhì)，走向深刻

問題14函數(shù)f(x)=lnx+2x-6.(1)函數(shù)f(x)有零點嗎？若有，指出零點的大致區(qū)間；(2)函數(shù)f(x)有幾個零點？為什么？

(一是可以根據(jù)零點存在定理求出零點的大致區(qū)間；二是引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)f(x)有且僅有一個零點；三是引導(dǎo)學(xué)生將本題轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)g(x)=lnx，g(x)=6-2x圖象交點的個數(shù)和交點橫坐標(biāo)的取值范圍.)

問題15函數(shù)f(x)=lnx+x2-a在區(qū)間(1，2)內(nèi)有一個零點，求a的取值范圍.

反饋評價3當(dāng)方程的根用公式法不能求解時，可通過其相應(yīng)函數(shù)的零點來解決，這正是“方程的根與函數(shù)的零點”的教學(xué)靈魂.問題14表面上是求函數(shù)零點的個數(shù)，實質(zhì)上是為徹底解決方程根的問題尋求新的出路.通過上述問題，讓學(xué)生體會解方程求函數(shù)零點和利用函數(shù)零點存在性定理探尋零點的差異，同時，讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟零點的惟一性證明，需要借助函數(shù)的單調(diào)性并滲透數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，加深了對函數(shù)與方程關(guān)系的認(rèn)識與理解，提高了學(xué)生解決問題能力.

“微型探究”策略引導(dǎo)： 在進(jìn)行“微探究”活動

中，教師要根據(jù)學(xué)生的元認(rèn)知情況，精心設(shè)計問題，讓學(xué)生通過“微型探究”活動，深化知識內(nèi)涵，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，感悟解題方法.在具體問題解決后應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)提煉一般方法，使學(xué)生對問題的理解與思考達(dá)到新的高度.

3 關(guān)于實施課堂“微型探究”教學(xué)的思考

3.1 創(chuàng)設(shè)有效“問題串”，以問題驅(qū)動“微型探究”活動

與一般的探究教學(xué)相比，微型探究教學(xué)有更明確的知識目標(biāo)；與接受式教學(xué)相比，微型探究教學(xué)是讓學(xué)生經(jīng)歷知識的生成過程，通過學(xué)生的自主建構(gòu)獲得更多的體驗和感悟，從而既保證了課堂教學(xué)的有效性，又達(dá)到了探究教學(xué)的目的.因此，教師要在潛心研究教材、真正理解教材的基礎(chǔ)上，充分考慮學(xué)生的身心發(fā)展“節(jié)律”與“最近發(fā)展區(qū)”，將課本提供的“靜態(tài)內(nèi)容”激活，巧妙重組教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計有效“問題串”，引發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的“欲達(dá)彼岸”的心理需求和“樂此不彼”的求知欲，引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷概念、定理的建構(gòu)過程，在體驗與感悟中培養(yǎng)主動探索、敢于實踐、勇于發(fā)現(xiàn)的科學(xué)精神，從而有效促進(jìn)學(xué)生思維能力和核心素養(yǎng)的提升和發(fā)展.[1]

3.2 滲透數(shù)學(xué)思想，用思想促成數(shù)學(xué)建構(gòu)

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)知識向能力轉(zhuǎn)化的橋梁.提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識，提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想方法的能力.因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的滲透與概括，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟具體內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法.統(tǒng)領(lǐng)本節(jié)課的數(shù)學(xué)思想方法是函數(shù)思想，從認(rèn)知的過程來看，學(xué)生要經(jīng)歷一個從直觀的“形”到抽象的“數(shù)”的概括過程.在教學(xué)中，教師通過問題為學(xué)生構(gòu)建一個從從特殊到一般、從具體到抽象的過程，讓學(xué)生在具體例子中概括出共同本質(zhì)特征，讓數(shù)學(xué)概念、定理的產(chǎn)生和發(fā)展過程和學(xué)生認(rèn)知過程通過數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)領(lǐng)而有機(jī)融合，彰顯了數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，從而實現(xiàn)學(xué)習(xí)績效的最大化.

總之，在實施“微型探究”教學(xué)中，教師要善于在知識形成的“關(guān)鍵點”，在運用數(shù)學(xué)思想方法解決問題策略的“關(guān)節(jié)點”，在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，提出恰當(dāng)?shù)?、具有思考價值的問題串，引發(fā)學(xué)生的思考與探索，啟迪學(xué)生思維的深層參與，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)，高效學(xué)習(xí)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)意識和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不斷得以提升！