沈 婕 梁 棟

(1.天津市中小學(xué)教育教學(xué)研究室300200；2.天津市楊村第一中學(xué) 301700)

課堂教學(xué)的效果，取決于教師對教學(xué)的理解，取決于教師把教育理念、教學(xué)思想物化為教學(xué)行為的能力，這是筆者聽完一節(jié)公開課后最深的感觸．這節(jié)公開課的授課教師是天津市一位特級教師，學(xué)生來自天津市一所重點中學(xué)的高二年級，授課內(nèi)容是“兩條直線的平行與垂直的判定”(人教社A版教材必修2第三章)．

1 教學(xué)過程

1.1 學(xué)生的疑問

新課的導(dǎo)入和“l(fā)1∥l2?k1=k2”的得出一共只用了幾分鐘時間，教師對教材中的例3、例4沒做處理，隨即進入“l(fā)1⊥l2?k1k2=-1”的教學(xué)(研究完兩條直線平行，接著研究兩條直線垂直，更加緊湊流暢)．

教材中得出“l(fā)1⊥l2?k1k2=-1”的過程為：

設(shè)兩條直線l1與l2的傾斜角分別為α1與α2(α1，α2≠90° )．

如圖1，如果l1⊥l2，這時α1≠α2，由三角形任意外角等于其不相鄰的兩內(nèi)角之和，得

α2=90° +α1，

圖1

因為l1與l2的斜率分別為k1，k2，且α2≠90° ，

由于《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》對余切函數(shù)不作要求，教材中也就沒有

而這里又要用到這個公式，此處應(yīng)是教學(xué)的一個節(jié)點．

果然，有學(xué)生提出“這個公式是怎么來的”．教師對此早有預(yù)料，教師不慌不忙地讓學(xué)生自己尋找證明方法，很快有學(xué)生給出了證明：

證明的思路容易想到，證明過程也不復(fù)雜，但有學(xué)生提出，教材中的推導(dǎo)方法是以(*)為基礎(chǔ)，由于以前沒學(xué)過(*)，因此得到tanα2=tan (90° +α1)后，也就想不到去證明(*)，這種情況下該怎么想？

教師給出建議：直線的斜率是其傾斜角的正切，由α2=90° +α1，很自然想到轉(zhuǎn)化為角的正切相等，即tanα2=tan (90° +α1)，在不知道(*)的前提下，可能不知如何對tanα2=tan (90° +α1)變形，此時可變換角度，這樣想：既然求90° +α1的正切遇到困難，可以求其正弦或余弦試一試，畢竟角的正切與正弦、余弦是有密切關(guān)系的．

在教師的提示下，有學(xué)生得到了下面的方法：

由α2=90° +α1，得

sinα2=sin (90° +α1)=cosα1，

①

由α2=90° +α1，得

cosα2=cos (90° +α1)=-sinα1，

②

很多學(xué)生恍然大悟：原來還可以這樣證明！

根據(jù)直線斜率的定義，由α2=90° +α1得到tanα2=tan (90° +α1)是第一反應(yīng)，當此路不通時，轉(zhuǎn)而想到①②則是深一層的反應(yīng)，是思維深化的表現(xiàn)．

就在筆者認為問題已經(jīng)圓滿解決，學(xué)生的思維也被激活，應(yīng)進入下一個教學(xué)環(huán)節(jié)時，提問那個學(xué)生遲疑片刻說出了自己新的困惑：我還是想不通，求角的正弦和余弦實際上也是在證明(*)，知道這個公式就容易想到證明方法，問題是我不知道這個公式，得到tanα2=tan (90° +α1)后，想不到①②，您說該怎么辦？

學(xué)生的話讓筆者一驚，的確，上述環(huán)節(jié)看似學(xué)生積極主動思考了，(*)的證明方法也是學(xué)生想出來的，①②求角的正弦和余弦的方法還開拓了學(xué)生的思路，按常理，教學(xué)效果已經(jīng)非常好了．但冷靜想一想，學(xué)生的證明也好，①②求角的正弦、余弦也罷，都是被(*)牽著走，都是為這個莫名其妙的結(jié)論尋找理由，并沒有真正意義的探索！要是不知道(*)，有多少學(xué)生會想到如此變形？

1.2 學(xué)生探究

這個學(xué)生的疑問在其他同學(xué)中產(chǎn)生了共鳴，學(xué)生有的沉默思索，有的互相交流．

教師不動聲色，向?qū)W生布置任務(wù)：既然有的同學(xué)對這種方法不太認可，那么大家就想一想，不用這個公式，能不能得出k1與k2的關(guān)系？

冷靜想想，剛才學(xué)生一切活動都是圍繞著教材中的方法進行的，學(xué)生的思路受“三角形任意外角等于其不相鄰的兩內(nèi)角之和”及(*)的影響，是順著教材思考的，如果沒看到教材的方法，學(xué)生會怎么想？教室里安靜下來，幾分鐘后，陸續(xù)有學(xué)生說出自己的想法．

圖2

思路1如圖2，設(shè)l1與l2交于點P，l1與x軸交于點A，l2與x軸交于點B，PC垂直x軸于點C.

在直角三角形BCP中，

這種思路是以初中平面幾何知識為基礎(chǔ)，用到學(xué)生比較熟悉的銳角正切函數(shù)定義和相似三角形性質(zhì)，tan (180° -α2)=-tanα2也是學(xué)生熟知的．

因為△PAB是直角三角形，由勾股定理得

PA2+PB2=AB2，

③

由于③的左邊較為復(fù)雜，特征不明顯，與k1，k2的關(guān)系難以迅速發(fā)現(xiàn)，因此學(xué)生得到③后陷入困境．

這是一種富有智慧的簡捷的方法，想法雖然和思路1類似，都是利用銳角的正切函數(shù)定義，但由于是在一個“大的”直角三角形APB中考慮，k1與k2的關(guān)系一目了然，展現(xiàn)了寬闊的解題視野．相比之下，思路1作輔助線的方法則暴露出學(xué)生習(xí)慣借助“正規(guī)”“標準”圖形思考問題的缺陷．

至此，雖然學(xué)生還在冥思苦索，但已沒有新的進展．

1.3 教師點撥

教師對思路1和思路3并沒有過多點評，而是在思路2的基礎(chǔ)上稍作改進，得到新的思路．

思路4如圖2，設(shè)P(x0，y0)，A(x1，0)，B(x2，0)，

因為l1⊥l2，所以

④

④的兩邊同除以(x0-x1)(x0-x2)，

教師啟發(fā)：我們得到了四種發(fā)現(xiàn)k1k2=-1的方法，但是教材中的方法簡單直觀，也是很好的思路，只因為沒學(xué)過(*)就半途而廢，實在可惜．能不能在α2=90° +α1的基礎(chǔ)上得出結(jié)論呢？

提出疑問的那個學(xué)生站起來說出了自己的想法．

這種想法有些“大膽”，明知90° 的正切不存在，還求正切，不是“自尋死路”嗎？其他學(xué)生也覺得這種想法有點不可思議，但“移項”得α2-α1=90° 又提供了一種新的思考途徑，還是很有啟發(fā)性的．

教師提問：90° 的正切為什么不存在？

有學(xué)生不太放心：這種方法是否“嚴謹”？

教師總結(jié)：無論如何這是一種思考的途徑，能得到結(jié)論說明有它的合理性，至于大家關(guān)心的是否嚴謹，回去請大家繼續(xù)思考．不過，把α2=90° +α1變形為α2-α1=90° 讓我們思路開闊了，這也是一種常用的變形，能不能在此基礎(chǔ)上，找到一種你認為“嚴謹”的方法？

反應(yīng)快的學(xué)生已經(jīng)有了結(jié)果：

思路6由α2-α1=90° ，得cos (α2-α1)=cos 90° =0，

從而cosα2cosα1+sinα2sinα1=0，

又α1，α2≠90° ，

故1+k1k2=0，k1k2=-1．

……

2 課后交流

課后，筆者就關(guān)心的問題和授課教師進行了溝通交流．

(1)“l(fā)1∥l2?k1=k2”的教學(xué)過程幾乎是“照本宣科”，這樣處理是不是過于簡單？

這個結(jié)論的發(fā)現(xiàn)和證明對學(xué)生來說沒有任何難度，既然如此簡單，為什么還要人為搞得復(fù)雜呢？如果教材呈現(xiàn)的方式好，而你又沒有更好的方式，完全可以“照本宣科”．現(xiàn)在有一種認識，講課時如果和教材完全一樣，就顯得沒水平，尤其是公開課或比賽課，就更不能和教材一樣，一定要搞出點花樣來．這種認識是片面的，知識呈現(xiàn)的方式是為了讓學(xué)生更容易接受，求異不是目的，不能為了求異而求異．

(2)由l1⊥l2發(fā)現(xiàn)k1k2=-1是個難點，教學(xué)中您并沒引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論，比如，用幾何畫板動態(tài)演示兩條互相垂直的直線斜率之間的關(guān)系，或者讓學(xué)生計算兩條直線傾斜角分別為30° 和120° ，60° 和150° ，45° 和135° 時，k1與k2的關(guān)系，由特殊猜想出一般的結(jié)論，然后再進行證明．您是開門見山，直接讓學(xué)生尋找k1與k2的關(guān)系，這樣做是不是為后面的教學(xué)多留一些時間？

如果學(xué)生頭腦中一片空白，發(fā)現(xiàn)k1k2=-1確實有一定的難度，也許還真有必要采取類似你說的方式，讓學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)再證明．問題是，教師有教材，學(xué)生也有教材，每個有學(xué)習(xí)欲望的學(xué)生都很清楚預(yù)習(xí)的重要性，每個教師也會提前布置預(yù)習(xí)的作業(yè)，且不說學(xué)生獲取知識的途徑很多，就是翻開教材，學(xué)生一眼就能看到k1k2=-1，而且也一定看過了證明方法．如果對這一事實視而不見，還絞盡腦汁設(shè)計所謂探究問題，設(shè)置所謂的“懸念”，煞有介事地“引導(dǎo)”學(xué)生探究，不是浪費時間和精力嗎．以您說的幾何畫板為例，你還沒演示，學(xué)生就知道結(jié)果了，這時再提出“同學(xué)們，你們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？”不覺得很滑稽嗎？知道結(jié)果再去發(fā)現(xiàn)這個結(jié)果沒有任何意義．另外，演示時，學(xué)生怎么會想到要觀察k1k2，而不是觀察k1+k2？本節(jié)內(nèi)容更適合讓學(xué)生熟悉推理論證的方法．教學(xué)方法和教學(xué)重點不能離開教學(xué)內(nèi)容．

尊重學(xué)生的認知基礎(chǔ)，首先要清楚學(xué)生知道什么不知道什么，k1k2=-1學(xué)生是知道的，它就清晰地印在書上，而且還加了引起學(xué)生重視的方框．新課的導(dǎo)入一定要尊重事實，不能掩耳盜鈴，一廂情愿．基于這種考慮，我把本節(jié)課的教學(xué)重心放在了“由l1⊥l2，推出k1與k2的關(guān)系”上，這也是本節(jié)課內(nèi)容的核心所在，也是其價值所在．由于l1⊥l2有明顯的幾何特征，借助幾何直觀發(fā)現(xiàn)關(guān)系、推出結(jié)論是容易完成的．在這個過程中，k1與k2的具體關(guān)系并不重要，也就是說是k1k2=-1還是k1k2=-2對探索沒有影響，重要的是從l1⊥l2得到k1與k2關(guān)系的思考和推理過程．

(3)公式(*)是本節(jié)課的熱點，可以說沒有這個公式就沒有后來豐富多彩的解法．您是否想到那個學(xué)生會提出“不知道公式怎么想”的問題？幾種證明的方法是否都有所準備？

盡管證明公式不是好的問題，但還是花時間讓學(xué)生證明，這是回避不了的，其中①②求角的正弦和余弦的證明方法，是為后面的探究做準備，這種準備的功效在思路6上得以體現(xiàn)，可以說，沒有這個準備，學(xué)生不可能想到思路6，而沒有思路6，前面的準備也失去意義．教學(xué)中首先要順應(yīng)學(xué)生的思維習(xí)慣，幫助學(xué)生學(xué)會思考，同時還要不斷發(fā)展學(xué)生的思維，用新的方法、新的思想豐富學(xué)生的思維，促進學(xué)生不斷更新、完善自己的認知結(jié)構(gòu)．思路6就是基于這種考慮的產(chǎn)物．

至于幾種證明方法，課前都有準備，但不都是自己想出來的，很多是以前的學(xué)生想出來的．課前設(shè)想只有思路3和思路4必講，尤其是思路4，用向量的方法解決問題是一種意識，教材中雖有所涉及，但不夠系統(tǒng)，需教師自己去總結(jié)．至于其它方法如果學(xué)生不提出來，可能略講或不講，一切取決于學(xué)生的需求．解題方法的呈現(xiàn)要有適當?shù)臅r機，要有充分的理由，也就是說要講理．

很多教師有這樣一種觀點，認為解題能力的培養(yǎng)必須通過難度大的綜合題的訓(xùn)練才能實現(xiàn)，其實學(xué)習(xí)解題一定要從新授課開始，從簡單題開始，這是學(xué)生最容易接受的途徑，關(guān)鍵是教師要善于利用教材資源，挖掘其內(nèi)在的教學(xué)價值．“l(fā)1⊥l2?k1k2=-1”是個簡單問題，但通過探究得到了很多富有啟發(fā)性的解決方法，其對學(xué)生思維的影響是講幾道難題、介紹幾種解題方法不能相比的．沒有方法不可怕，不會思考才可怕．

(4)思路4基本上是您自己包辦的，在提示用向量知識后，估計多數(shù)學(xué)生能獨立完成，您為什么不讓學(xué)生動手完成？

教學(xué)中常常有這樣的現(xiàn)象：學(xué)生解題遇到障礙，教師及時點撥，學(xué)生茅塞頓開，然后學(xué)生投入到后續(xù)的解題之中．學(xué)生熱情高漲，積極思考，自始至終都在動腦動手，不時還有激烈的爭論，最后多數(shù)學(xué)生得出正確結(jié)論．這樣的一節(jié)課下來，教師講得清清楚楚，學(xué)生聽得明明白白．如此高效的課堂，學(xué)生解題能力應(yīng)當很高才對，而事實是，當學(xué)生自己做題時還是不會，有時講過幾遍的題考試時仍然做錯．

為什么會這樣？一個重要的原因是我們忽視了思維的起點．以思路4為例，由于教材使用順序的不同，學(xué)生在高一上學(xué)期就學(xué)習(xí)了平面向量，再加之平時應(yīng)用不多，此時很難想到以其為工具推導(dǎo)k1與k2的關(guān)系，這里的“用平面向量知識”就是思維的起點，這個起點往往就是學(xué)生思維的障礙．他們不是不知道，而是想不到，你提示，他們就能明白，接下來的推理比較簡單，他們會迅速完成，完成之后還會有一絲成就感，表面看，他們懂了、會了、掌握了，但由于思維起點是教師提示的，因此他們實際上只知道了一個數(shù)學(xué)題解法，思維并沒有增進，當面對其它問題時仍不知如何處理．思路3同樣如此，如果提示學(xué)生在直角三角形PAB中，如何表示tanα1和tanα2(這同樣是思維起點)？學(xué)生會很快得出結(jié)論，然而，絕大多數(shù)學(xué)生自己想不到這一點．我們必須清醒地認識到，在提示下想到和自己獨立想到，是有天壤之別的，提示下想到和獨立想到看起來只差一點點，而這一點點恰恰就是能力．換個角度想，如果學(xué)生沒看過教材，有幾個學(xué)生會想到用“三角形任意外角等于其不相鄰的兩內(nèi)角之和”？思維起點是思維過程中最重要的一環(huán)，忽視思維起點，探究的效益就大打折扣．

本節(jié)課的幾種推導(dǎo)方法，過程都不復(fù)雜，關(guān)鍵是思維的起點，而思維的起點正是“為什么這樣想”的問題，因此，本節(jié)課我側(cè)重解題思路對學(xué)生思維的觸發(fā)作用，多給學(xué)生提供激活思維的機會，逐步積累他們的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗．后續(xù)的推導(dǎo)過程一是簡單，二是并非真正意義上的思維活動，學(xué)生只是在驗證教師的想法，因此沒給學(xué)生太多所謂動手的時間．

(5)本節(jié)課在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面是如何考慮的？

3 幾點思考

課后筆者和部分學(xué)生也進行了簡單交談，筆者了解到，學(xué)生不僅預(yù)習(xí)了本節(jié)內(nèi)容，而且書后的習(xí)題也做了，基本沒遇到困難，但預(yù)習(xí)時只是讀了兩遍課本，沒想那么多，上課時才發(fā)現(xiàn)證明“l(fā)1⊥l2?k1k2=-1”原來有那么多好的、簡單的方法．學(xué)生普遍反映這幾種思路對自己啟發(fā)很大．這促使筆者對以下問題進行了思考：

(1)新授課的內(nèi)容對學(xué)生來說不全是新的，教師要正視這一點，教學(xué)設(shè)計時不要在結(jié)論、結(jié)果上做表面文章，要在概念中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法上、定理和性質(zhì)證明的思考過程中設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，學(xué)會思考．教學(xué)設(shè)計應(yīng)簡單真實．

(2)學(xué)生活動時間長不等于學(xué)生的參與度高，關(guān)鍵要看學(xué)生活動中動腦和動手是不是相輔相成，是不是統(tǒng)一的整體．在思路5中，得到α2-α1=90° 后，教師提示“既然求角的正切值行不通，那么求余弦值會怎樣？大家試一試．”和教師提示“既然求角的正切值行不通，大家看看有沒有其他辦法？”兩種提示下，學(xué)生都要動手嘗試，但前者只是被動的活動，學(xué)生思維并沒有真正參與，“為什么求余弦”這個重要的“思維起點”被忽視了；后者則是腦與手聯(lián)動，如果學(xué)生自己意識到求余弦時，動手的活動就具有思維的含量了，如果多數(shù)學(xué)生意識不到，那么教學(xué)重心應(yīng)放在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“求余弦”上．總之，不要讓學(xué)生成為驗證教師想法的工具．

(3)教學(xué)方法通過教師賦予該方法的內(nèi)容發(fā)揮作用，好的教學(xué)設(shè)想，如果沒有好的內(nèi)容支撐，就是蒼白無力的空想，因此，多挖掘教學(xué)資源蘊含的教學(xué)價值是達成教學(xué)目標的必經(jīng)之路.