喻 平

(南京師范大學課程與教學研究所 210097)

教育研究中，主要關(guān)心的是兩個或多個變量之間是否存在某種關(guān)系.例如，個體的數(shù)學閱讀成績與邏輯思維能力之間是否存在內(nèi)在聯(lián)系？單憑經(jīng)驗，人們可以認為兩者之間有聯(lián)系，但是從研究的角度看，必須要用一定的方法和數(shù)據(jù)去驗證它們之間的確存在內(nèi)在聯(lián)系.相關(guān)性研究，就是處理這類問題的一種方法.

相關(guān)性研究有兩個目的：①探索變量之間的聯(lián)系；②從被試在一個變量上的得分去預測他在另一個變量上的得分.在相關(guān)研究中，可以在相同的時間點或不同的時間點測量變量.在預測研究中，用于測量的變量必須在對被預測的變量進行測量之前作測量.[1]在數(shù)據(jù)分析方面，相關(guān)性研究的數(shù)據(jù)用相關(guān)系數(shù)和回歸分析處理，預測性研究主要用回歸分析處理.

1 相關(guān)性研究的設(shè)計

相關(guān)性研究的設(shè)計模式很簡單、固定，整個過程如圖1：

圖1 相關(guān)性研究設(shè)計

1.1 問題提出

作為整個研究的起點，問題提出關(guān)系到研究是否有意義和價值，是否具有可操作性，因此，問題提出是研究的關(guān)鍵.

因為相關(guān)性研究是研究變量之間的關(guān)系，給人的錯覺似乎可以把任意兩個變量聯(lián)系起來作為研究課題.例如，學生的邏輯思維發(fā)展可能與教師的教學方法有關(guān)系，但是與教師的生活習慣可能就沒有什么關(guān)系，將后者作為研究問題可能是沒有意義的.問題提出要基于幾種途徑：第一，對已有的研究進行全面考察，在別人研究的基礎(chǔ)上得到啟示，對別人的研究進行改造或拓展，從而提出新的問題.第二，在教學實踐中發(fā)現(xiàn)和提出問題.例如，批改作業(yè)是數(shù)學教師一項必須做的工作，這項工作單調(diào)、枯燥、繁重，那么可以思考：批改作業(yè)的量對學生數(shù)學學業(yè)成績有多大影響？作業(yè)批改方式對學生數(shù)學學業(yè)成績有多大影響？選擇這樣的問題研究既有一定理論價值又對教學實踐有直接的指導意義.第三，依據(jù)個人的經(jīng)驗提出問題.一線教師在長期的教學實踐中積累了大量經(jīng)驗，這些經(jīng)驗是對自己教學實踐的總結(jié)和提煉，于是可以判斷某些因素之間可能存在的內(nèi)在聯(lián)系，在經(jīng)驗基礎(chǔ)上提出的問題可以視為有一定依據(jù).

諸如下面一些問題可以考慮用相關(guān)性研究的方法：(1)數(shù)學問題表征與解題成績之間的關(guān)系；(2)個體認知結(jié)構(gòu)對解題遷移的影響；(3)自我監(jiān)控能力與數(shù)學思維品質(zhì)的相關(guān)性；(4)邏輯推理能力與問題提出能力的關(guān)系；(5)6個數(shù)學核心素養(yǎng)(數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析)之間的關(guān)系；(6)成就動機與數(shù)學學業(yè)成績的關(guān)系；(7)學習焦慮與數(shù)學學業(yè)成績的關(guān)系；(8)自我效能與數(shù)學學業(yè)成績之間的關(guān)系；(9)學生課堂參與對數(shù)學交流的影響；(10)教師提問方式與學生課堂參與的關(guān)系；(11)教師的知識結(jié)構(gòu)對教學設(shè)計的影響；(12)教師的認識信念對教學行為的影響；(13)教師的學科教學知識(PCK)與學生能力發(fā)展的關(guān)系.等等.當然，還可以考慮研究多個因素之間的關(guān)系，這些問題在教學實踐中是非常多的.

1.2 編制量表

相關(guān)性研究最困難的地方就是編制量表，你要研究學生的直觀想象能力，編制的量表卻是考察學生的知識理解水平，兩者差異太遠，研究就會毫無效度可言.因此，量表編制必須按照嚴格的程序進行(見《如何做實證：測量研究》).如果研究兩個變量之間的關(guān)系，就需要編制測量這兩個變量的兩份量表；如果研究多個變量之間的關(guān)系，就需要編制多份量表，每份量表測量一個變量.

1.3 正式測驗

正式測驗是指選擇一組被試進行兩次或多次測試.研究兩個變量間的關(guān)系，一組被試需要做兩份量表測試；研究多個變量之間的關(guān)系，一組被試需要做多份量表測試.如果只做相關(guān)性研究，那么兩次或多次測驗的時間可以不相同；如果要做預測性研究，那么兩次測試之間要間隔較長時間.

下面對圖1的后兩個階段作專門論述.

2 相關(guān)分析

2.1 相關(guān)關(guān)系的理解

我們知道，函數(shù)是討論兩個或多個變量之間的關(guān)系，一旦自變量給定一個值，因變量就有唯一的值對應，這是一種確定關(guān)系.相關(guān)關(guān)系不同，它是指兩個變量之間不精確、不穩(wěn)定的變化關(guān)系.例如，數(shù)學成績和語文成績有沒有關(guān)系？有的學生數(shù)學、語文成績都好，有的學生數(shù)學成績好，語文成績不好，有的學生正好相反.也就是說，數(shù)學成績與語文成績之間沒有準確的計算公式可以表達，兩個變量具有隨機性，因此數(shù)學成績和語文成績之間就是一種相關(guān)關(guān)系.

相關(guān)關(guān)系分為正相關(guān)、負相關(guān)和零相關(guān).正相關(guān)指兩個變量的變化方向相同；負相關(guān)指兩個變量的變化方向相反；零相關(guān)指兩個變量之間沒有相關(guān).

相關(guān)關(guān)系不等于因果關(guān)系.A和B之間的相關(guān)，只能說明A與B有內(nèi)在聯(lián)系，可以意味著A是B的決定條件，也可以意味著B是A的決定條件，還可以意味著第三個變量X既決定A又決定B，或者A與B之間的關(guān)系是由人為因素造成的.換句話說，A與B之間存在相關(guān)關(guān)系并不意味著兩者之間就是因果關(guān)系.

2.2 相關(guān)系數(shù)的計算

相關(guān)系數(shù)是一種特征量，用來描述兩個變量相互之間的密切程度.相關(guān)系數(shù)r的值在區(qū)間[-1，1]內(nèi)，其值越靠近-1或1，表明相關(guān)性越高.相關(guān)系數(shù)的計算有若干種方法，下面介紹兩種常用的方法.

積差相關(guān)系數(shù).這種方法是Pearson提出來的，其適用條件為：①兩個變量都是連續(xù)型隨機變量；②兩個變量的總體都呈正態(tài)分布或接近正態(tài)分布；③兩個變量的取值是一一對應數(shù)據(jù)；④兩個變量之間呈線性關(guān)系.

等級相關(guān)系數(shù).這種方法是Spearman提出來的，用來求兩個順序變量之間的相關(guān)系數(shù)，要求兩個變量都至少是順序變量(也可以是等距量表或比率量表)，但不一定要求它們服從正態(tài)分布.

相關(guān)系數(shù)的計算必須要作顯著性檢驗，因為是取的小樣本數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)計算出來的相關(guān)系數(shù)能否推廣到總體，即如果總體數(shù)據(jù)作相關(guān)性計算，結(jié)果是否還是一樣的.此時只能用樣本數(shù)據(jù)估計總體數(shù)據(jù)，估計就有犯錯誤的風險，于是用犯錯誤的概率來描述，這個過程就是顯著性檢驗.

2.3 用SPSS軟件計算相關(guān)系數(shù)

案例1抽測17名學生，他們的邏輯思維能力成績?yōu)閄，數(shù)學學業(yè)成績?yōu)閅，得到兩組數(shù)據(jù).請研究X與Y之間的相關(guān)性.

表1 10名學生的原始分數(shù)

這個問題測驗用的兩個量表都是以百分制記分的，屬于連續(xù)隨機變量，因此要采用積差相關(guān)系數(shù)的計算方法.

打開SPSS頁面

(1)點擊[變量視圖]，定義兩個變量X，Y.

(2)點擊[數(shù)據(jù)視圖]，輸入數(shù)據(jù).

(3)依次點擊[分析]、[相關(guān)]、[雙變量]，得到<二元變量相關(guān)分析>主對話框.

(4)將對話框左邊變量X，Y調(diào)入右邊下的<變量>矩形框內(nèi).

(5)選擇Pearson，點擊[確定].

對于多個變量的相關(guān)分析同樣操作.

結(jié)果如表2：

表2 邏輯思維能力與數(shù)學成績的相關(guān)性

**.在 .01 水平(雙側(cè))上顯著相關(guān).

表2表明，邏輯思維能力與數(shù)學學習成績之間的相關(guān)系數(shù)為0.921，相關(guān)系數(shù)大，且在0.01水平上呈顯著相關(guān).

該研究中，需要編制一份邏輯思維能力測試量表，數(shù)學學業(yè)成績可以用被試多次數(shù)學考試的平均成績作為數(shù)據(jù).表2的下半部分是重復數(shù)據(jù)，在論文寫作中可以省略下半部分.

案例2教師對學生課堂參與程度采用10個等級的評價方式，如果兩名教師對10名學生的評分等級如表3，試分析兩名教師評分的相關(guān)程度.

表3 兩名教師對10名學生的評分等級

這個問題是等級評定方式，因此應當采用等級相關(guān)系數(shù)的計算方法.首先，將X的樣本X1，X2，…，Xn按由小到大排列為1，2，…，n.將Y的樣本Y1，Y2， …，Yn作相應的調(diào)整.得到

表4 排序后的數(shù)據(jù)分布

這個問題的計算與前面積差相關(guān)的計算方法步驟一樣，只需在上面的計算程序第(5)步選擇改為“Spearman或Kendall’s tau-b”即可.輸出結(jié)果為：

表5 兩個教師評價的相關(guān)系數(shù)

表5的結(jié)果表明，兩個教師對學生的評價相關(guān)性很低(r=0.321)且沒有顯著性相關(guān)(0.365>0.05).

3 回歸分析

3.1 回歸方程概念

研究兩個或多個變量之間聯(lián)系的緊密程度可以采用相關(guān)分析方法，如果要根據(jù)一個或一組變量來估計或預測另一個變量的值，就需要建立變量間的回歸方程，用回歸分析的方法來完成.一般說來，如果用相關(guān)分析的方法發(fā)現(xiàn)兩個變量之間相關(guān)性較高，那么可以考慮對其進行回歸分析，這可以在一定程度上說明兩者的依存關(guān)系.

在回歸模型中，凡是變量之間存在線性關(guān)系的都稱為線性回歸模型，否則稱為非線性回歸模型.隨機變量X和Y的樣本點，在坐標系中是一個散點圖，如果這些散點分布在一條直線周圍，散點到該直線的距離之和最小，那么該直線就是這些點的線性回歸方程.線性方程可以用最小二乘法求得.求出的線性方程必須檢驗，包括其一，檢驗自變量與因變量之間的關(guān)系能否用線性模型來表示；其二，檢驗各自變量對因變量的影響是否顯著.求線性回歸方程、檢驗過程都可以用SPSS軟件完成.

3.2 線性回歸方程的SPSS計算方法

1.一元線性回歸的計算

案例3以案例1為例，探討邏輯思維能力對數(shù)學學業(yè)成績的預測作用.

(1)點擊[變量視圖]，定義變量X，Y.

(2)點擊[數(shù)據(jù)視圖]，輸入數(shù)據(jù).

(3)依次單擊[分析]、[回歸]、[線性]，彈出對話框.將左邊源變量Y送入 <因變量>小框中，將X送入<自變量>小框中.

(4)點擊[確定]，輸出結(jié)果.

表6 模型匯總

a.預測變量: (常量),X.

表7 方差分析b

a.預測變量: (常量),X.b.因變量:Y

表8 系數(shù)a

a.因變量: Y

(1)在模型匯總表中，R是自變量與因變量的相關(guān)系數(shù)，R方是因變量的變異中被回歸方程解釋的比例，即數(shù)學成績Y有84%是由邏輯思維X引起的.

(2)方差分析表檢驗回歸模型，p=0.000，表示回歸顯著，即回歸方程有較好的代表性.

(3)回歸系數(shù)及檢驗表反映了回歸系數(shù)和各系數(shù)的顯著性檢驗，p=0.000，p=0.000，表明自變量對因變量的影響顯著.

回歸模型方程為Y=32.301+1.232X.

2.多元回歸的計算

案例4假設(shè)因變量Y受到四個因素(X1，X2，X3，X4)的影響，數(shù)據(jù)見表9，建立回歸方程.

表9 案例4的數(shù)據(jù)

(1)點擊[變量視圖]，將因變量定義為Y.將四個自變量依次定義為X1、X2、X3、X4.

(2)點擊[數(shù)據(jù)視圖]，輸入數(shù)據(jù).

(3)依次單擊[分析]、[回歸]、[線性]，彈出對話框.將左邊源變量Y送入 <因變量>小框中，將X1、X2、X3、X4送入<自變量>小框中.

(4)單擊[確定].

計算的結(jié)果見表10：

表10 方差分析

表11 系數(shù)a

由表11，得到回歸方程：Y=-54.449-4.721X1-1.786X2+0.090X3+4.674X4.

表10顯示，雖然回歸模型顯著(p=0.000<0.01)，但是系數(shù)b2，b3相應的顯著性概率分別為0.185，0.344，它們均大于0.05，這兩個變量在模型中不是重要變量，因此要刪除X2和X3再進行回歸.操作步驟就是在上面的計算程序第(3)步中，只將X1、X4送入<自變量>小框中.然后計算，結(jié)果見12，表13.

表12 刪除X2和X3之后的方差分析

表13 刪除X2和X3之后的系數(shù)a

因此，最后得到的回歸方程為：Y=-51.104+5.066X1+5.011X4.

對于多元回歸，有時計算出來的結(jié)果，會出現(xiàn)自變量的系數(shù)相應的顯著性概率均大于0.05，此時可以考慮使用逐步回歸的方法.逐步回歸的基本思想是：首先將作用最顯著的變量引入模型，在此基礎(chǔ)上引進對模型作用最顯著的第二個變量，引進變量后立即對原來引進的變量進行顯著性檢驗，剔除不顯著的變量，然后再引進新變量，直至既不能再引進變量又不能從模型中剔除變量為止.

案例5假定有一組變量，其中X1，X2，X3，X4是自變量，Y是因變量，自變量對因變量有影響，測得的數(shù)據(jù)如表14.試求Y對X1，X2，X3，X4的最佳線性模型.

表14 案例5的數(shù)據(jù)

作SPSS計算過程前面四步同案例4，計算結(jié)果見表15，表16.

表15 方差分析

表16 系數(shù)a

由表16知，回歸方程為：Y=261.509+6.495X1+2.133X2+0.426X3-0.605X4.

從表15知，p=0.000<0.01，回歸模型非常顯著.但是從表16中看到，系數(shù)b1，b2，b3，b4相應的顯著性概率均大于0.05，所以沒有一個變量在模型中是重要變量，因此需要對變量進行篩選，采用逐步回歸法重新建立回歸模型.方法是在前面四步的基礎(chǔ)上，增加：

(5)選擇<逐步回歸>，點擊[確定].

結(jié)果見表17，表18(輸入/移出的變量表略，模型匯總表略，已排除的變量表略)：

表17 逐步回歸后的方差分析c

a.預測變量: (常量),X4.b.預測變量: (常量),X4,X1.c.因變量:Y

表18 逐步回歸后的系數(shù)a

表17顯示，第一個模型的p=0.001，第二個模型的p=0.000，它們的回歸檢驗均具有非常高的顯著性.由表18可知，第一次引進的變量X4得到的模型為：Y=492.239-3.09X4，第二次引進的變量X1得到的模型為：Y=431.636-2.57X4+6.031X1，這是最好的回歸模型.