李 爽 王光明

(天津師范大學(xué)教師教育學(xué)院 300387)

勾股定理的證明方法據(jù)說(shuō)超過(guò)400種，而且不同的方法與不同的文化、不同種族的思維方式緊緊聯(lián)系在一起.[1]通過(guò)歸納、整理，可以將勾股定理證明方法分為：以歐幾里得《幾何原本》為代表的演繹法；以趙爽弦圖為代表的變換法；以及以伽菲爾德“總統(tǒng)方法”為代表的代數(shù)法等.通過(guò)對(duì)多種勾股定理證明方法的教學(xué)及其思想方法的比較，拓寬學(xué)生的視野，加深學(xué)生對(duì)勾股定理知識(shí)的理解，使其學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用.在“人教版”八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教科書(shū)中，例題中利用趙爽弦圖方法證明勾股定理，并在“閱讀與思考”板塊中對(duì)勾股定理的其他證明方法做了簡(jiǎn)單介紹.但在實(shí)際教學(xué)中，對(duì)勾股定理證明方法的教學(xué)形式單一，只講解一種證明方法，或是在講解兩者以上證明方法時(shí)，并沒(méi)有講解各證明方法之間的聯(lián)系.[2-8]從而導(dǎo)致學(xué)生沒(méi)有從多個(gè)視角去理解勾股定理的含義；或是由于沒(méi)有深刻理解，對(duì)公式進(jìn)行機(jī)械記憶.在教學(xué)中，如何才能讓學(xué)生掌握勾股定理，并對(duì)勾股定理的內(nèi)容產(chǎn)生興趣，這一問(wèn)題值得深思.認(rèn)知負(fù)荷理論者特別關(guān)注如何通過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)來(lái)降低學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的外在認(rèn)知負(fù)荷，由此也可以看出教學(xué)設(shè)計(jì)的重要性.這里將基于認(rèn)知負(fù)荷理論，著重介紹變換法中勾股定理的兩種常見(jiàn)證明方法——趙爽弦圖證明方法以及畢達(dá)哥拉斯證明方法(或稱(chēng)辛卜松證明方法)，對(duì)其進(jìn)行教學(xué)課件設(shè)計(jì)，提出教學(xué)指導(dǎo)建議.就如何加深、拓展學(xué)生對(duì)勾股定理的理解作進(jìn)一步的探討.

1 理論基礎(chǔ)

認(rèn)知負(fù)荷理論(Cognitive Load Theory)是由澳大利亞教育心理學(xué)家John Sweller等人于20世紀(jì)80年代末90年代初提出,[9-11]認(rèn)為人的認(rèn)知資源(工作記憶)容量是有限的，主張?jiān)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷、外在認(rèn)知負(fù)荷和相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷的總量應(yīng)該限制在工作記憶容量的范圍之內(nèi)，否則學(xué)習(xí)就會(huì)受到阻礙，甚至無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行下去.

1.1 內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷

內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷(Intrinsic Cognitive Load)取決于學(xué)習(xí)材料的復(fù)雜程度和學(xué)生本身已有的認(rèn)知圖式.如果學(xué)習(xí)材料的復(fù)雜程度很高，但學(xué)生缺乏這一領(lǐng)域的先驗(yàn)知識(shí)，在加工信息時(shí)必定會(huì)產(chǎn)生較高的內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷.由于內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷取決于學(xué)習(xí)材料的性質(zhì)及學(xué)習(xí)者的經(jīng)驗(yàn)水平，反映了獲得某種圖式所必須的同時(shí)在工作記憶中加工的信息元素的量，所以在既定學(xué)習(xí)條件下，較難改變.Sweller等人認(rèn)為，盡管內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷對(duì)教師來(lái)說(shuō)可能無(wú)能為力，但對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這可以通過(guò)兩種方式來(lái)降低：一是圖式的建構(gòu)把原本獨(dú)立的若干元素組織成一個(gè)單一元素；二是圖式的自動(dòng)化，信息加工從受控加工轉(zhuǎn)向自動(dòng)加工，從有意識(shí)的努力轉(zhuǎn)向無(wú)需有意注意，因而也能夠降低工作記憶負(fù)擔(dān).

1.2 外在認(rèn)知負(fù)荷

外在認(rèn)知負(fù)荷(Extraneous Cognitive Load)主要是由于不恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計(jì)所致，可以通過(guò)優(yōu)化學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)形式來(lái)控制外在認(rèn)知負(fù)荷.外在認(rèn)知負(fù)荷是由與學(xué)習(xí)過(guò)程無(wú)關(guān)的活動(dòng)引起的，不是學(xué)習(xí)者建構(gòu)圖式所必須的，因而又稱(chēng)無(wú)效認(rèn)知負(fù)荷(Ineffective cognitive load).認(rèn)知負(fù)荷理論者認(rèn)為，外部認(rèn)知負(fù)荷主要由教學(xué)設(shè)計(jì)引起，如果學(xué)習(xí)材料的設(shè)計(jì)和呈現(xiàn)方式不當(dāng)，就容易給學(xué)生帶來(lái)較高的外在負(fù)荷，干擾其學(xué)習(xí).

1.3 相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷

相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷(Germane cognitive load)指：如果認(rèn)知任務(wù)要求較低(帶來(lái)的內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷較低)，使得學(xué)習(xí)者還有充分的認(rèn)知資源可用，這時(shí)他就可以投入額外一些認(rèn)知資源來(lái)促進(jìn)圖式的建構(gòu).這種在建構(gòu)圖式時(shí)不是必須但投入后又有利于圖式建構(gòu)的認(rèn)知負(fù)荷.教學(xué)設(shè)計(jì)的本質(zhì)就是把外在認(rèn)知負(fù)荷向相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷轉(zhuǎn)變.

多媒體作品中，適當(dāng)?shù)男畔⒊尸F(xiàn)方式在降低外在認(rèn)知負(fù)荷的同時(shí)，還會(huì)提高學(xué)習(xí)者的注意力、興趣和動(dòng)機(jī)，從而增加相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷.這里重點(diǎn)探討以減少外在認(rèn)知負(fù)荷為目的的勾股定理證明PPT教學(xué)設(shè)計(jì)，加深學(xué)生對(duì)勾股定理的理解.

2 勾股定理PPT教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程

趙爽弦圖證明方法(如圖1)以及畢達(dá)哥拉斯證明方法(如圖2)是勾股定理比較常見(jiàn)的兩種方法，“人教版”課本中對(duì)兩種證明方法進(jìn)行分開(kāi)呈現(xiàn)，但在教學(xué)過(guò)程中建議對(duì)兩者進(jìn)行一起教學(xué).

圖1 趙爽弦圖證明方法

圖2 畢達(dá)哥拉斯證明方法

圖3

設(shè)計(jì)意圖兩種證明方法在過(guò)去的教學(xué)中都是進(jìn)行分開(kāi)、個(gè)別教學(xué)，并沒(méi)有講解兩者之間的關(guān)系，建議在教學(xué)過(guò)程中對(duì)兩者進(jìn)行一起教學(xué).從代數(shù)、幾何兩種角度來(lái)分析兩者之間的關(guān)系：從代數(shù)角度看，這兩個(gè)證明的表達(dá)式非常接近，趙爽弦圖證明方法中第一個(gè)表達(dá)式為：c2等于小正方形的面積加上四個(gè)全等直角三角形的面積，畢達(dá)哥拉斯證明方法中第一個(gè)表達(dá)式為：c2等于大正方形的面積減去四個(gè)全等直角三角形的面積；從幾何角度看，雖然兩個(gè)圖形從外表觀察有差異，但是通過(guò)仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，它們都是以斜邊c為基準(zhǔn)，畢達(dá)哥拉斯證明方法是內(nèi)接直角三角形，構(gòu)造出c2；趙爽弦圖證明方法是外接直角三角形，構(gòu)造出c2.勾股定理不僅是代數(shù)問(wèn)題而且是幾何問(wèn)題，在以往教學(xué)中教師很少讓學(xué)生感知在圖形移動(dòng)中圖形與代數(shù)推演過(guò)程的關(guān)系，建議把兩種證明方法一起教學(xué)，用數(shù)形結(jié)合的方法讓學(xué)生感知勾股定理，提高思維整合能力.

并且，課件展示兩種證明方法可以拼接在一起(如圖3)，加深學(xué)生對(duì)勾股定理的理解，這樣在同一思維下，兩個(gè)證明變得相關(guān)且有意義，突出教學(xué)課件的溝通性，同時(shí)增加學(xué)生對(duì)勾股定理的學(xué)習(xí)興趣.在勾股定理課件制作過(guò)程中，教師要善于對(duì)課件中呈現(xiàn)的信息進(jìn)行合理地分割、分塊，利用圖像與聲音相結(jié)合，讓學(xué)生做到“眼到、耳到、感覺(jué)隨之就到”.[12]

2.1 趙爽弦圖證明方法

趙爽弦圖證明方法：以斜邊c為基準(zhǔn)，內(nèi)接直角三角形，構(gòu)造c2.

第一步：在對(duì)圖形進(jìn)行移動(dòng)之前，先把原圖復(fù)制一份(如圖4①).

第二步：把復(fù)制圖形中所有字母去掉(如圖4②)，并對(duì)復(fù)制圖形進(jìn)行步驟化移動(dòng)：把上方三角形下移(如圖4③)，右邊三角形左移(如圖4④)，為了避免線條對(duì)視覺(jué)的干擾，去掉線條邊框(如圖4⑤).移動(dòng)后得到兩個(gè)正方形，把得到的兩個(gè)正方形邊框加粗(如圖4⑥)，其邊長(zhǎng)分別為a和b(如圖4⑦).

① ② ③ ④

⑤ ⑥ ⑦圖4

第三步：把原圖與復(fù)制圖形中多余的信息去掉，得到對(duì)應(yīng)面積分別為c2和a2、b2(如圖5).

圖5

第四步：教師引導(dǎo)學(xué)生得出勾股定理：c2=a2+b2.

設(shè)計(jì)意圖在過(guò)去的教學(xué)當(dāng)中，對(duì)圖形進(jìn)行移動(dòng)時(shí)，通常是在原圖中進(jìn)行移動(dòng)，移動(dòng)過(guò)程中會(huì)造成原來(lái)圖形的改變，學(xué)生需要在工作記憶中保存先前呈現(xiàn)信息的表象表征，增加了認(rèn)知負(fù)荷.為了避免這一現(xiàn)象的產(chǎn)生，在對(duì)圖形進(jìn)行移動(dòng)時(shí)，可以先對(duì)原圖進(jìn)行復(fù)制，在復(fù)制圖形中進(jìn)行移動(dòng).使學(xué)生記得原來(lái)圖形的形狀，以便于學(xué)生在頭腦中對(duì)圖形進(jìn)行信息加工.然后，利用步驟化呈現(xiàn)的方式對(duì)圖形進(jìn)行移動(dòng).通過(guò)引導(dǎo)性的移動(dòng)，增強(qiáng)連結(jié)性，有助于學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)材料的組織與加工.外部信息分步驟進(jìn)入學(xué)生已有知識(shí)系統(tǒng)，先前學(xué)習(xí)的知識(shí)片段作為后面學(xué)習(xí)知識(shí)片段的生長(zhǎng)點(diǎn)，最后在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中重新構(gòu)成整體，從而減少學(xué)生的外在認(rèn)知負(fù)荷.[13]通過(guò)移動(dòng)可以看出，移動(dòng)后的圖形(圖4⑤)與原圖中第二步代數(shù)式的意義相同：c2等于一個(gè)小正方形的面積加上兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積，使圖形移動(dòng)與代數(shù)展演過(guò)程一一對(duì)應(yīng).以圖導(dǎo)文，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)圖像的理解.

這樣移動(dòng)的妙處在于，通過(guò)移動(dòng)可以得到兩個(gè)正方形，把兩個(gè)正方形的邊框加上.其中一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為b，另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為a.為了更加清晰地突出圖形之間的關(guān)系，將多余信息刪除.[14]從而得到c2=a2+b2.圖形展示完后，再讓學(xué)生觀看圖4⑦，讓學(xué)生感知原圖與復(fù)制圖形之間的關(guān)系.在此課件制作過(guò)程中，注意同一圖形在每頁(yè)課件中的位置不變，使選取組織耗用的認(rèn)知資源降低，減少視覺(jué)對(duì)圖形位置改變的處理，避免分散注意力.

2.2 畢達(dá)哥拉斯證明方法

畢達(dá)哥拉斯證明方法：以斜邊c為基準(zhǔn)，外接直角三角形，構(gòu)造c2.

第一步：同理，在對(duì)圖形進(jìn)行移動(dòng)之前，先把原圖復(fù)制一份，并把復(fù)制圖形中所有字母去掉(如圖6①).

第二步：對(duì)復(fù)制圖形進(jìn)行步驟化移動(dòng)：把上方三角形下移(如圖6②)，左邊三角形上移(如圖6③)，右邊三角形左移(如圖6④).移動(dòng)后得到兩個(gè)正方形，邊長(zhǎng)分別為a和b(如圖6⑤)，面積對(duì)應(yīng)為a2、b2(如圖6⑥).

① ② ③

④ ⑤ ⑥圖6

第三步：把原圖與復(fù)制圖形中多余的信息去掉，得到對(duì)應(yīng)面積分別為c2和a2、b2(如圖7).

圖7

第四步：教師引導(dǎo)學(xué)生得出勾股定理：c2=a2+b2.

設(shè)計(jì)意圖同理，利用步驟化呈現(xiàn)方式對(duì)圖形進(jìn)行移動(dòng).通過(guò)移動(dòng)可以看到，移動(dòng)后的圖形6④與第二步代數(shù)式的意義相同：c2等于大正方形的面積減去兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積.移動(dòng)后可以得到兩個(gè)正方形，它們的邊長(zhǎng)分別為a和b，面積分別對(duì)應(yīng)為a2和b2.原圖與移動(dòng)后的圖形中四個(gè)三角形的面積是相等的，除了三角形面積之外，剩下的正方形面積是什么關(guān)系呢？通過(guò)構(gòu)造這兩個(gè)正方形，得出c2與a2、b2之間的關(guān)系.為了避免產(chǎn)生干擾，同樣可以刪除多余信息，得出c2=a2+b2.圖形展示完后，再讓學(xué)生觀看圖6⑥，讓學(xué)生感受它們之間的關(guān)系.

通過(guò)這兩種證明方法，讓學(xué)生很好地感知勾股定理的含義：在直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.認(rèn)知負(fù)荷理論視角下的勾股定理教學(xué)課件設(shè)計(jì)，通過(guò)感覺(jué)記憶、工作記憶和長(zhǎng)時(shí)記憶這三種記憶模式相互結(jié)合對(duì)各種信息進(jìn)行處理.但是工作記憶的容量是有限的，一次最多只能存儲(chǔ)7±2條基本信息或信息組塊.如果同時(shí)進(jìn)入工作記憶的信息組塊數(shù)量超過(guò)這一限制，記憶容量超出負(fù)荷，導(dǎo)致信息加工活動(dòng)受阻或根本無(wú)法有效展開(kāi).這就要求教師在進(jìn)行勾股定理教學(xué)時(shí)，不宜一次呈現(xiàn)過(guò)多信息，對(duì)重要信息進(jìn)行突出、強(qiáng)調(diào).同時(shí)，工作記憶對(duì)于新知識(shí)信息的保存時(shí)間也較短，大約1—2分鐘，新信息只有得到進(jìn)一步地加工進(jìn)入長(zhǎng)時(shí)記憶，才可以長(zhǎng)期保留.依據(jù)這一原理，在勾股定理教學(xué)中，要有效組織兩種方法同時(shí)教學(xué)，鞏固新信息進(jìn)入長(zhǎng)時(shí)記憶，長(zhǎng)時(shí)記憶內(nèi)容的變化則標(biāo)志著持久意義上的學(xué)習(xí)的發(fā)生.通過(guò)這樣的教學(xué)，才能讓學(xué)生真正理解勾股定理的含義，及其勾股定理體現(xiàn)的多元數(shù)學(xué)文化，使學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)達(dá)到自動(dòng)化，彌補(bǔ)個(gè)體學(xué)習(xí)者工作記憶容量有限的缺點(diǎn)，降低工作記憶的負(fù)荷總量.[15]

3 勾股定理課件中設(shè)計(jì)原則的體現(xiàn)

基于認(rèn)知負(fù)荷理論，勾股定理的教學(xué)課件中體現(xiàn)出以下設(shè)計(jì)原則.

3.1 簡(jiǎn)潔明了

在制作課件過(guò)程中，盡量減少符號(hào)的使用，避免冗余信息對(duì)學(xué)生視覺(jué)的干擾，減少進(jìn)入工作記憶的信息組塊數(shù)量.體現(xiàn)了認(rèn)知負(fù)荷理論的冗余原則.[16]例如在勾股定理課件制作中，先畫(huà)一個(gè)直角三角形，標(biāo)出它的每條邊分別為a、b、c.在畫(huà)趙爽弦圖證明方法以及畢達(dá)哥拉斯證明方法時(shí)，可以不用把每一個(gè)直角三角形的各邊長(zhǎng)都標(biāo)示出來(lái)，這樣可以使畫(huà)面更加干凈，整潔.避免冗余信息對(duì)學(xué)生視覺(jué)的干擾.

3.2 同時(shí)呈現(xiàn)

在有多種信息來(lái)源的情況下，學(xué)習(xí)者的注意力會(huì)分散到不同來(lái)源的多種信息上.課件制作過(guò)程中，相互提及的信息資源在空間和時(shí)間上應(yīng)當(dāng)相互接近，才能達(dá)到好的教學(xué)效果.體現(xiàn)了認(rèn)知負(fù)荷理論的注意力分散原則.[17]勾股定理教學(xué)課件設(shè)計(jì)中，數(shù)形結(jié)合，兩種證明方法同時(shí)教學(xué)，有助于學(xué)生思維的整合，并且讓圖形移動(dòng)與代數(shù)推演過(guò)程一一對(duì)應(yīng)，通過(guò)對(duì)圖形的理解，讓代數(shù)生義.以圖導(dǎo)文，增強(qiáng)對(duì)圖像的理解.

3.3 雙管齊下

混合視聽(tīng)模式比單一模式呈現(xiàn)信息更有可能增加有效工作記憶容量，降低認(rèn)知負(fù)荷.體現(xiàn)了認(rèn)知負(fù)荷理論體現(xiàn)通道原則.[18]也就是說(shuō)，當(dāng)僅采用一種通道加工信息時(shí)，如果需求超載，負(fù)擔(dān)過(guò)重，可以讓其他通道也參與進(jìn)來(lái)，來(lái)共同分擔(dān)處理其中某些信息.

PPT課件中常采用文字和圖片來(lái)呈現(xiàn)信息，由于二者都作用于視覺(jué)通道，同時(shí)呈現(xiàn)易導(dǎo)致視覺(jué)通道認(rèn)知超載.此時(shí)，如果將文本轉(zhuǎn)變?yōu)榍‘?dāng)?shù)难哉Z(yǔ)講解，可以減少學(xué)生視覺(jué)的分散，能夠集中注意力.在勾股定理課件制作中，盡量減少文字的呈現(xiàn)，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)难哉Z(yǔ)講解，可以減少學(xué)生視覺(jué)通道的負(fù)荷.

3.4 重點(diǎn)突出

在課件制作的過(guò)程中，每頁(yè)課件的重點(diǎn)要突出，增強(qiáng)刺激，其余信息要淡化、弱化，避免不必要的刺激對(duì)學(xué)生視覺(jué)的干擾.體現(xiàn)了認(rèn)知負(fù)荷理論體現(xiàn)的形式原則.[19]在勾股定理課件制作當(dāng)中，淡化不必要的信息，減少視覺(jué)上的刺激，從而突出此頁(yè)課件中要表達(dá)的思想.

3.5 位置固定

同一圖形出現(xiàn)在連續(xù)幾張課件中時(shí)，圖形位置應(yīng)固定不變，避免注意力的分散.體現(xiàn)了認(rèn)知負(fù)荷理論的一致性原則.[19—21]在課件播放過(guò)程中，學(xué)生比較容易關(guān)注動(dòng)態(tài)的圖形，位置發(fā)生改變，使相鄰兩頁(yè)課件產(chǎn)生振動(dòng)效果，不利于學(xué)生注意力的集中.勾股定理課件制作過(guò)程中，同一圖形出現(xiàn)在連續(xù)幾張課件中時(shí)，圖形位置應(yīng)固定，減少視覺(jué)對(duì)圖形位置改變的處理，降低視覺(jué)產(chǎn)生的認(rèn)知負(fù)荷.

3.6 步驟化呈現(xiàn)

利用課件對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行呈現(xiàn)時(shí)，要進(jìn)行步驟化呈現(xiàn)，讓學(xué)生親歷知識(shí)形成過(guò)程，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.體現(xiàn)了認(rèn)知負(fù)荷理論的分割原則.[22]在信息爆炸的時(shí)代，教師在教學(xué)當(dāng)中往往通過(guò)各種教學(xué)輔助軟件給出一個(gè)完整的圖形，缺乏步驟化呈現(xiàn)，導(dǎo)致學(xué)生不能很好地領(lǐng)會(huì)知識(shí)的形成過(guò)程并對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入思考，缺乏對(duì)所學(xué)知識(shí)的深刻理解.勾股定理課件設(shè)計(jì)中，對(duì)圖形進(jìn)行移動(dòng)時(shí)，采用步驟化呈現(xiàn)方式，通過(guò)圖形逐步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)代數(shù)式的理解，有助于學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)材料的組織與加工，減少外在認(rèn)知負(fù)荷.

在對(duì)勾股定理證明方法的教學(xué)中，基于認(rèn)知負(fù)荷理論，著重對(duì)知識(shí)的整合教學(xué)，數(shù)形結(jié)合，將圖形移動(dòng)與代數(shù)推演過(guò)程一一對(duì)應(yīng)，讓代數(shù)產(chǎn)生意義，使學(xué)生容易理解.通過(guò)兩者之間的整合教學(xué)，理解兩者之間的聯(lián)系，并增強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性.勾股定理及其證明作為多元文化數(shù)學(xué)教育的極好題材，在今后的研究中，有必要將各種方法之間的區(qū)別和聯(lián)系進(jìn)行一定的梳理，潛心創(chuàng)造優(yōu)秀的數(shù)學(xué) PPT 教學(xué)課件，然后呈現(xiàn)在數(shù)學(xué)課程和數(shù)學(xué)教學(xué)中，以期加強(qiáng)學(xué)生對(duì)勾股定理的理解，為促進(jìn)課堂的有效教學(xué)而努力.

致謝：感謝臺(tái)灣交通大學(xué)陳明璋老師對(duì)本文的指導(dǎo)與提供的幫助.