徐章韜

(華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院 430079)

1 引言

內(nèi)容和學生是數(shù)學教育研究的兩個重要對象．若把關(guān)注點放在學科內(nèi)容上，可以展開一種數(shù)學教育學；若把關(guān)注點放在學生學習心理上，也可以展開一種數(shù)學教育學．HPM(數(shù)學史與數(shù)學教育)與PME(數(shù)學教育心理)是數(shù)學教育的兩大主要研究領(lǐng)域．HPM是從數(shù)學或數(shù)學史的角度切入數(shù)學教育，其著眼點在于數(shù)學內(nèi)容，PME是從學生或?qū)W生心理的角度切入數(shù)學教育．基于HPM或PME均可以設(shè)計很好的教學設(shè)計，并進入課堂教學實踐，這些都已經(jīng)為教學實踐所證實．對教學設(shè)計及其課堂教學而言，沒有最好，只有更好．凡方法，皆有長有短，HPM或PME亦然．現(xiàn)在這里的問題是，能不能架HPM與PME的溝通之橋，在相互溝通中，取長補短，使教學設(shè)計及其課堂教學更好？這里先進行一些經(jīng)驗性的探討．

2 典型例子

2.1 在教學設(shè)計中的溝通

PME和HPM在教學設(shè)計中，可以很好地溝通，共同克服難點．

例1橢圓方程的推導

文[1]用歷史上的和差術(shù)推導橢圓方程，課后的調(diào)查表明，學生對此方法不太適應(yīng)．和差術(shù)是一種重要的方法，文[2]在信息技術(shù)的支持下，使和差術(shù)的價值得到彰顯．現(xiàn)在，從學生已有的經(jīng)驗中尋找推導橢圓面積的方法．

聯(lián)立(*)和(**)，橢圓方程自然得到了，和差術(shù)也得到了．

這里，PME先行，HPM隨之，難點迎刃而解．

例2數(shù)學歸納法的教學設(shè)計

PME[3]認為數(shù)學歸納法的認知圖式由函數(shù)圖式與邏輯圖式協(xié)調(diào)而成．其難點在于對Q=(p(n)→p(n+1))的認識．對命題Q而言，其是“若p，則q”的結(jié)構(gòu)，其真假，不是由p(n)或p(n+1)而決定，而是由p(n)是否推得出p(n+1)來決定．換言之，即使p(n)和p(n+1)都為假，但只要p(n)是能推得出p(n+1)，那么命題Q也是正確的．舉一個例子，除非太陽從西邊出，黃河水才向西流．前后兩個判斷都是假的，但整句話卻表達一個真值．因此，這里面的難點在于，首先，要會判斷關(guān)于自然數(shù)n的命題的真假，最好能形成命題值函數(shù)的認知圖式；其次，要把Q=(p(n)→p(n+1))這個蘊含過程壓縮，使之不再是一個過程，而是一個認知、反省的對象，能形成蘊含值函數(shù)的圖式．最后，還要加上一個肯定前言的假言推理過程，也是說，整個過程是從假設(shè)條件成立為前提，然后再進行推導，得到結(jié)論，并確認結(jié)論成立．

人類文明花了兩千年才認識到“ 從n=k時命題成立，證明n=k+1時命題成立”這一步驟的重要性，這一步顯然是認知上的難點．HPM和PME在這點上“英雄所見略同”．HPM采用了遞歸的處理法：充分利用上次的成果，把這次的結(jié)果建立在上次的成果之上，前后兩次之間存在有機的邏輯關(guān)系．[4]也就是把后一步正確性歸結(jié)為前一步的正確性，從而避免“除非太陽從西邊出，黃河水才向西流”這樣一種邏輯推理模式．

我們曾給出過基于數(shù)學史的數(shù)學歸納法的教學設(shè)計，這里借用APOS理論再重新解讀此設(shè)計．APOS理論認為，數(shù)學概念的形成要經(jīng)過活動(Action)、過程(Process)、對象(Object)和圖式(Schema)．

文[4]的案例1和案例2通過正反兩個案例，闡述引入數(shù)學歸納法的必要性．在這里是通過“計算—猜想”這種活動，初步直觀感知要學習的對象的存在性．

案例3通過一個恒等式的證明，經(jīng)歷數(shù)學歸納法形成的過程，初步把數(shù)學歸納法當作一個對象．在“過程”階段，通過對外顯活動的辯證思考，發(fā)現(xiàn)這種推理模式有兩大特點：一是“沒完沒了”，涉及到無窮，二是雖然“沒完沒了”，卻有一個統(tǒng)一的模式．進而可以脫離物理操作，把物理操作中蘊含的模式，通過抽象、概括等一系列心理操作，抽象出數(shù)學歸納法的本質(zhì)特征．數(shù)學歸納法歷史發(fā)展過程中的重要階段構(gòu)成了設(shè)計“過程”階段的極好素材，這正是HPM的認知歷史發(fā)生原理所倡導的．正是讓學生經(jīng)歷了這種歷史相似性過程，學生才明白了數(shù)學歸納法兩大步驟的可行性和合理性．

按APOS理論，“對象”階段是對“過程”階段的壓縮，使其成為一個具體的“對象”，將數(shù)學歸納法作為一個新的“對象”來認識．也就是把數(shù)學歸納法中涉及到的遞歸原理的兩大步驟處理一個完整的過程．應(yīng)當來說，在短短的一節(jié)課中，要求學生實現(xiàn)從“過程”到“對象”的飛躍，是有難度的．故HPM用案例4示意性地幫助學生來完成這個過程．應(yīng)當指出，要完全達到“對象”過程，必須有后續(xù)應(yīng)用課跟進，故在實際的教學中，數(shù)學歸納法的教學往往需要2-3個課時才能達到教學目標．

至于“圖式”則是指個體在經(jīng)歷活動、過程、對象以及多種情境下的訓練、反思之后，圍繞概念進行局部組織，使之成為認知結(jié)構(gòu)中的一部分，并能當作一種“圖式”工具來解決相關(guān)問題．形成圖式所需要的時間更長了，圖式的形成也更難了．這時，就需要教師精心編制習題訓練系統(tǒng)，幫助學生實現(xiàn)認知的快速飛躍，這正是教學的效率所在．

經(jīng)過PME的分析，基于數(shù)學史的教學設(shè)計的課堂教學能達到哪一步，就看得非常清楚了．故在實際的教學中，教師不僅要上好概念課、命題課，還要上好習題課，設(shè)計好訓練系統(tǒng)，才能保證學生認知“對象”“圖式”的形成，才能破解學生“聽得懂課，卻不會做題”的現(xiàn)象．

類似地可以分析、比較基于PME、HPM下函數(shù)概念的教學設(shè)計及其效果．

例3平面概念的教學設(shè)計

Procept理論認為，數(shù)學知識的認知發(fā)展出三種不同的途徑，對應(yīng)著三個不同的數(shù)學世界．第一個世界被稱為“概念—具體化世界”(conceptual-embodied world)．這個世界源自對物理世界和思維世界的感知．學習者基于個人頭腦中已經(jīng)建立起來的關(guān)于以往經(jīng)驗的連接，通過操作、反思來想象并不存在于物理世界中的事物．第二世界被稱為“過程—符號化世界”(proceptual-symbolic world)．該世界開始于行為，并在反省抽象的過程中，利用符號將行為壓縮成概念，這些符號可以幫助我們在過程和概念之間來回轉(zhuǎn)換，形成圖式，這些符號有助于進行計算和推理．在這個世界里，物理操作中蘊含的道理被凝聚壓縮成心理操作，實現(xiàn)數(shù)學學習由過程到對象的飛躍．第三個世界是“形式公理化世界 (formal-axiomatic world)．在這個世界里，以幾個基本結(jié)論和通用規(guī)則為出發(fā)點，以符號對象為基本元素，構(gòu)建起一個自足的邏輯體系．

基于數(shù)學“三個世界”學習理論，分析基于數(shù)學史的平面概念的教學設(shè)計[5]．

案例1是引導學生觀察平面的表象，然后用語詞表述之．這要求學生展開充分的想象，在現(xiàn)實生活中為平面這個意象尋找認知的固著點．這正是符合“概念—具體化世界”的要求．初步形成平面的意象之后，還需要深入了解其性質(zhì)，深化對其認識．性質(zhì)是在與其他事物相互作用的過程中表現(xiàn)出來的一種屬性．這就需要考慮幾何的基本元素點、線、面之間的相互作用．案例2通過平面割幾何體表面的活動，引導學生進行觀察、歸納，通過學生已經(jīng)熟知的直線的“直”“無限延伸”這種經(jīng)驗來獲得平面“平”“無限延展”的屬性．這是平面的公理1．進而獲得平面公理1的器用：可以用來判定點、線是否落在平面上．得到公理1，先是借助實物操作經(jīng)歷活動具體世界中的活動過程，然后對具體世界中活動過程進行抽象、反思，使之能成為在心理中操作的活動過程，并得到確認，最后，把這活動過程中的認識成果固化下來，用符號化的語言表述出來，就完成了“過程-符號化世界”的整個歷程．案例3則從畫法上保證了平面的存在性，與“兩點確定一條直線”具有某種相似性．意想中的概念如果能作得出來，則更容易被人們接受．如，歷史上，高斯在復平面上給出復數(shù)的幾何表示之后，以前爭議很大的復數(shù)便迅速被人們接受了．案例3通過“實物操作——心理抽象——心理壓縮”，使學生從具體世界走向符號化世界．案例4 的設(shè)計流程與案例2、3是一樣的．

上述分析表明，基于數(shù)學史的平面概念的教學設(shè)計符合數(shù)學“三個世界”學習理論的要求．HPM與PME在此達成了一致．至于要達到“形式公理化”世界，在一節(jié)課中是無論如何也達不到的，只能進行一些有意識地學試．如文[6]給出了局部組織策略，嘗試指導學生局部組織位置關(guān)系的邏輯鏈條，讓學生體會公理的作用．比如直線與平面的位置關(guān)系．直線與平面之間有兩種位置關(guān)系，選擇直線在平面內(nèi)作為公理1，直線不在平面內(nèi)就是該公理的否定，就不用再用公理規(guī)定了．學生經(jīng)歷局部組織的過程，就能體會公理的作用．

2.2 在訓練系統(tǒng)設(shè)計中溝通

變易理論及其教學應(yīng)用，是中國數(shù)學教學的重要特征之一．就變式而言，有概念變式和過程變式．概念性變式在變化與比較中凸顯本質(zhì)屬性，在復合與分離中，克服背景干擾，這些都有助于學生獲得準確的概念．過程性變式在化歸與遞變中，指向問題解決，在分類與貫通中，關(guān)注知識間的聯(lián)系．[7]知識技能化，有層次推進的變式訓練是必不可少的．這已在實踐中廣為應(yīng)用．

以數(shù)學史料為背景，構(gòu)建有層次的訓練系統(tǒng)，從數(shù)學史吸取智慧，也可以在教學中落實變易理論．

例4如何解一元二次方程

在數(shù)學史上，人們首先解決了形如x3+px=q(*)方程，然后，把一般的帶有二次項的三次方程，通過變換將二次項消去，化歸為(*)型方程，從而可解；類似地，在解一元四次方程ax4+bx3+cx2+dx+e=0(**)，把其簡化為y4+py2+qy+r=0的形式，這樣類型的方程是能解的，從而(**)可解．由此，你能受到啟發(fā)嗎，能給出一元二次方程ax2+bx+c=0的解法嗎？

解一元二次方程有配方法，花拉子米的幾何法等，通過取材于數(shù)學史料的變式習題訓練的編制，為教學提供有益的素材，也開闊了學生的眼界．

例5如何判斷同余

在16世紀以前，方程一直是代數(shù)學的中心問題．花拉子米稱方程是“還原”與“對消”的學問．在解方程的過程中，人們積累了很多的思想和方法，這些方法若能靈活運用之，數(shù)學史的智慧即為我所用矣．

設(shè)x，y均為整數(shù)，若5|(x+9y)，求證：5|(8x+7y)．這是一個標準的數(shù)論問題，用方程的思想解之，別開生面．用消元法，消去x，則有(8x+7y)-8(x+9y)=-65y，這樣，因為8(x+9y)+(-65y)是5的倍數(shù)，故8x+7y是5的倍數(shù)．

消元法是解方程的重要手段之一，遷移到數(shù)論中也頗具威力．方程的思想滲透到數(shù)論中，有很多精彩的例子，這里就不再贅述了．從事高層次思維訓練的教練告訴筆者，數(shù)論是訓練學生計算能力的重要手段．由此觀之，此言不虛．

數(shù)學史提供了豐富的資源，與變易理論進行結(jié)合，進行教學訓練系統(tǒng)的編制，促進知識技能化，大有可為．

2.3 在情意系統(tǒng)中溝通

以上主要談了在認知領(lǐng)域，HPM與PME的溝通情況．對教與學而言，相對認知而言，情意可能扮演了更重要的作用．在情意領(lǐng)域，HPM與PME可以很好溝通．

一切學與教的理論都有一個潛在假設(shè)，就是我們面對的學生是理想中的學生．這些學生雖然不一定智力超群，但也一定是沒有各種“問題”的學生．然而，在現(xiàn)實的課堂中，學生不一定是天使，也不一定是惡魔，學生就是學生，學生就是在成長中的、有著各種秉性的人．有的朝氣蓬勃、活力四射，有的調(diào)皮搗蛋、不思進??；如此等等，不一而足．對教師而言，把質(zhì)優(yōu)生教好，可能不一定表明您有多么厲害，如果能把“問題”學生教好，那才顯現(xiàn)出您有卓越的教書育人的本領(lǐng)．對教與學而言，首先應(yīng)關(guān)注人，只有學生成“人”了，談?wù)J知發(fā)展才更有效果．一般心理學研究情緒、情感、意志、需要、動機、興趣、理想、信念、氣質(zhì)、性格等個性心理特征有著重要的意義，這些雖然與具體的學科教學沒有直接關(guān)系，然而卻是支持個體學習的動力系統(tǒng)．教師應(yīng)把塑造學生的情意系統(tǒng)放在基礎(chǔ)而重要的位置上．

HPM為塑造學生的情意系統(tǒng)提供豐富的素材．我們可以以人格力量豐滿的數(shù)學家為完美之人的原型來塑造“人”．如，祖沖之為了計算圓周率，至少需要對9 位數(shù)字反復進行130次以上的各種運算，包括開方在內(nèi)．即使今天我們用紙筆來算，也絕不是一件輕松的事，何況古代計算還是用算籌來進行，這需要怎樣的細心和毅力！[9]運算能力是一種重要的核心素養(yǎng)，由計算入門而進入數(shù)學的大門是一條可行的路徑，因為計算是具體的推理、推理是抽象的計算．當我們的學生害怕運算，不愿運算時，想想古人，必知恥而后勇．又如，有頑強毅力、與黑暗作斗爭有“數(shù)學英雄”之稱的歐拉，居六平方米小屋，借一盞昏暗的煤油燈，伏在床板上，借用一支筆一些草稿紙而作出“陳氏定理”的陳景潤，都是激勵我們前行的楷模．故蘇軾曾說，“古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有堅忍不拔之志”．人看志氣樹看材，沒有志氣，沒有良好的個性品質(zhì)的支持，再好的教學、學法無異于對牛彈琴．數(shù)學史本身就是一部人創(chuàng)造數(shù)學的歷史，人的因素凝結(jié)在最終產(chǎn)品——知識之中．不應(yīng)把知識當作一個可以搬運的對象來看作，而應(yīng)看作一種文化，一種可以與之進行深度交流的對象，在其中，我們既可以感嘆人類智力的深邃，更可淋浴那閃耀千古，跨越時空的精神之光．沉詠其中，我們的人品、人格、精神面貌得到了升華．成為“人”是教育的永恒話題，也是一個需要尋求有效抓手的話題，從HPM 中尋找切入，使成“人”有了一個落腳點．

3 結(jié)語

教育是個復雜系統(tǒng)，任何單一的理論不可能解釋教育中的所有現(xiàn)象和問題．各種理論相互協(xié)同、取長補短，而不陷于無謂的論爭之中，可能于實踐更有益一些．本文僅當拋磚引玉．