， ，

(天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 力學(xué)系，天津 300072)

界面應(yīng)力傳遞重新分析及Cohesive模型參數(shù)的確定

王坎盛，沈珉，于濟(jì)菘

(天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院力學(xué)系，天津300072)

在經(jīng)典剪滯理論中引入雙線性cohesive模型表征纖維/基體之間的非理想界面，重新分析了纖維增強(qiáng)復(fù)合材料中的應(yīng)力傳遞機(jī)理，得到了考慮界面因素的應(yīng)力分布。用上述結(jié)果解釋了單絲段裂實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的現(xiàn)象，討論了界面參數(shù)和材料性能對(duì)應(yīng)力分布的影響?；谏鲜隼碚?，建立了用cohesive單元表征界面的模擬單絲段裂實(shí)驗(yàn)的三維有限元模型，結(jié)合單絲段裂實(shí)驗(yàn)結(jié)果，提出了一種估測(cè)cohesive界面剛度參數(shù)的新方法。數(shù)值和理論分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，吻合良好，可以為材料的界面性能分析和材料設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。

剪滯理論； cohesive模型； 界面； 單絲段裂； 有限元模擬

1 引 言

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料因其具備高比強(qiáng)度、高比剛度等特點(diǎn)，應(yīng)用日益廣泛[1]。許多學(xué)者從不同角度研究了復(fù)合材料的性能。肖穎[2]等從材料宏觀結(jié)構(gòu)的角度通過(guò)對(duì)復(fù)合材料層合板等效模量的反演推算，得到了單向板的彈性常數(shù)。王唱舟[3]等分析了復(fù)合材料微觀結(jié)構(gòu)對(duì)材料力學(xué)性能的影響。由于界面承擔(dān)了基體和增強(qiáng)相之間的應(yīng)力傳遞功能[4]，對(duì)復(fù)合材料性能影響很大。孫志剛[5]等研究了界面幾何結(jié)構(gòu)對(duì)復(fù)合材料力學(xué)性能的影響。除了和基體、增強(qiáng)相材料本身性能有關(guān)外，復(fù)合材料的性能在很大程度上受細(xì)觀界面性能的影響[6]。

Cox應(yīng)用剪滯理論分析了纖維增強(qiáng)復(fù)合材料纖維/基體間的應(yīng)力傳遞[7]，但沒(méi)有考慮非理想界面因素的影響，即認(rèn)為纖維和基體之間是理想粘接的。而實(shí)際上，界面一般都存在缺陷。Shetty等在剪滯理論中引入了界面摩擦特性來(lái)描述界面的脫粘情況[8]。Chen等利用線性界面準(zhǔn)則考慮了界面損傷對(duì)復(fù)合材料斷裂韌性的影響[9]。目前，描述復(fù)合材料纖維基體間界面的力學(xué)行為主要有三種模型，分別是線性彈簧模型[10]、三相材料模型[11]和內(nèi)聚力模型(CZM)[12]。其中CZM用牽引力同分離量函數(shù)關(guān)系曲線表征纖維/基體的界面力學(xué)行為，模擬界面硬化、軟化直至破壞的過(guò)程，在理論和數(shù)值模型中被廣為應(yīng)用。Needleman應(yīng)用CZM研究了金屬基復(fù)合材料的增強(qiáng)相脫粘[13]。李巾錠[14]等在有限元分析中引入CZM模擬了C/SiC復(fù)合材料的纖維頂出過(guò)程。CZM的本構(gòu)關(guān)系有多種形式：理想塑性模型[15]、梯形模型[16]和雙線性模型[17]等，其中的雙線性本構(gòu)模型應(yīng)用最為廣泛。

由于界面的特殊性，表征界面的CZM參數(shù)很難直接獲得。在理論和數(shù)值分析模型中使用的CZM參數(shù)多是根據(jù)實(shí)驗(yàn)或者半經(jīng)驗(yàn)的方法來(lái)估測(cè)[18]。王曉宏等結(jié)合電阻實(shí)驗(yàn)和單絲段裂實(shí)驗(yàn)的方法估測(cè)了纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的界面剛度[19]，該方法只適用于纖維材料為導(dǎo)體的情況。韓庚等建立了單絲段裂有限元模型，從實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬的角度討論了不同組份相參數(shù)對(duì)于單絲段裂過(guò)程的影響[20]，但沒(méi)有給出理論解釋。Bentang等結(jié)合單絲段裂實(shí)驗(yàn)和有限元模擬，反向估測(cè)了界面參數(shù)[21]。上述分析界面的模型多采用二維模型，沒(méi)有考慮三維模型情況。

實(shí)驗(yàn)研究方面，張鴻[22]等分析了陶瓷基復(fù)合材料的單纖維拔出過(guò)程。Kelly和Tyson通過(guò)對(duì)埋入基體中的單絲纖維進(jìn)行段裂實(shí)驗(yàn)來(lái)研究界面的粘接質(zhì)量[23]。這是目前研究界面應(yīng)用較為廣泛的方法。Beckermann等學(xué)者應(yīng)用該方法得到了植物纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的界面剪切強(qiáng)度[24]。C. Guillebaud-Bonnafous等利用該實(shí)驗(yàn)方法得到大麻纖維增強(qiáng)樹(shù)脂基復(fù)合材料界面強(qiáng)度為21MPa，但利用摩擦模型得到約為15.5MPa[25]，存在一定差異。

本文在經(jīng)典剪滯模型中，引入雙線性cohesive模型表征界面，重新分析了纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的纖維/基體之間的應(yīng)力傳遞機(jī)理。用理論分析和有限元模擬結(jié)果解釋了單絲段裂實(shí)驗(yàn)中的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。討論了不同的分析參數(shù)對(duì)應(yīng)力分布結(jié)果的影響。建立了利用cohesive單元表征界面的復(fù)合材料單絲段裂三維有限元模型。提出了一個(gè)估測(cè)界面參數(shù)的新方法。

2 理論分析

2.1 雙線性cohesive模型

雙線性CZM是表征纖維基體界面最有效也是最常用的一種模型。本文應(yīng)用該模型表征纖維基體間的非理想界面的力學(xué)行為，其沿界面切向的牽引力-分離關(guān)系曲線如圖1所示。

圖1 雙線性內(nèi)聚力理論模型Fig.1 Theoretical model of bilinear CZM

圖1中，OA段為彈性階段，應(yīng)力值隨著分離量的增加而線性增加，其斜率K即為界面剛度。當(dāng)應(yīng)力達(dá)到峰值后，進(jìn)入表示損傷累積的AB階段，此階段應(yīng)力值隨著分離量的增加而線性降低，直至應(yīng)力為0，此后進(jìn)入完全脫粘的BC段，應(yīng)力保持為0。本文提出了一個(gè)確定K的新方法。

2.2 應(yīng)力傳遞分析

圖2為應(yīng)力傳遞分析的簡(jiǎn)化模型，模型長(zhǎng)度為2L，中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，基體受應(yīng)變載荷ε0作用。由彈性力學(xué)基本方程：平衡方程，物理方程，幾何方程，對(duì)模型中的纖維和基體分別進(jìn)行應(yīng)力分析。

圖2 應(yīng)力傳遞分析模型Fig.2 Model of transfer analysis for stress

對(duì)纖維進(jìn)行應(yīng)力分析可以得到：

(1)

σf=Efεf

(2)

(3)

對(duì)基體進(jìn)行應(yīng)力分析可以得到：

2πr0τθ=2πrτ

(4)

(5)

τ=Gmrm

(6)

其中，τθ為纖維基體界面上的切應(yīng)力；r0為纖維的半徑；σf和εf分別為纖維的軸向應(yīng)力和軸向應(yīng)變，二者都是關(guān)于x的函數(shù)；uf為纖維的軸向位移；rm為基體沿x方向的剪切應(yīng)變；w(x,r)為x處距纖維中心距離為r處基體的位移；τ(x,r)為距離纖維中心為r處基體沿x方向的剪應(yīng)力；Gm為基體的剪切彈性模量。利用上述方程和剪滯理論的基本假定，可以得到如下方程。

(7)

2.3 引入雙線性cohesive模型

在式(7)中，左側(cè)積分下限為纖維基體界面位置，即r=r0處位移。積分上限為基體邊界處，即r=R處位移。顯然，直接利用式(7)積分得到的是纖維和基體在界面上位移一致時(shí)的結(jié)果。而由于基體同纖維之間存在相對(duì)滑移，所以在界面處基體的位移同纖維的位移是不等的。引入雙線性cohesive模型可知，在OA線彈性段滑移量為τθ/K，由式(7)可得到，

(8)

其中

(9)

式(8)的通解為

σf=Efε0+Asinh(nx)+Bcosh(nx)

(10)

引入邊界條件，則當(dāng)x=L和x=-L時(shí)，σf=0，可得

則此時(shí)的應(yīng)力分布為

(11)

(12)

由式(11)和式(12)可以得出材料的最大拉伸應(yīng)力在纖維中心，其值為

σmax=Efε0[1-sech(nL)]

(13)

而最大界面切應(yīng)力發(fā)生在纖維兩端。

3 理論分析結(jié)果與討論

第2節(jié)中得到了不同分析參數(shù)同應(yīng)力分布結(jié)果的關(guān)系式。為了更直觀地討論這些分析參數(shù)對(duì)于復(fù)合材料應(yīng)力分布形式及單絲段裂過(guò)程的影響，引入文獻(xiàn)[25]中的實(shí)驗(yàn)相關(guān)參數(shù)，如表1所示。

表1 不同分析參數(shù)的取值

3.1 纖維彈性模量和基體彈性模量對(duì)單絲段裂過(guò)程的影響

段裂過(guò)程中，認(rèn)為當(dāng)纖維的軸向最大正應(yīng)力σmax達(dá)到其極限強(qiáng)度時(shí)纖維段裂。在σmax的表達(dá)式(13)中分別分析纖維的彈性模量Ef和基體的彈性模量Em對(duì)σmax的影響，取不同界面剛度K值，其它參數(shù)取值均見(jiàn)表1，得到σmax分別隨Ef和Em變化的曲線，如圖3和圖4所示。

圖3 不同界面剛度下纖維軸向應(yīng)力的最大值隨纖維彈性模量的變化曲線Fig.3 Maximum of axial stressfor fiber to modulus of fiber in different stiffness of interface

由圖3可知，隨著纖維彈性模量Ef的增加，纖維的軸向正應(yīng)力σmax也增加。即當(dāng)外加應(yīng)變載荷相同時(shí)，較高的Ef會(huì)產(chǎn)生更大的σmax，因此，纖維會(huì)較早的段裂。而圖4中，隨著基體彈性模量Em的增加，雖然σmax有所提高，但變化相對(duì)較小，所以Em的變化對(duì)纖維的段裂起始時(shí)刻影響不大。

圖4 不同界面剛度下纖維的軸向應(yīng)力隨基體彈性模量的變化曲線Fig.4 Maximum of axial stress of fiber to modulus of matrix in different stiffness of interface

對(duì)比圖3和圖4可知，隨著界面剛度K的增加，兩圖中的曲線都趨近于界面理想粘接時(shí)的情況(K=∞)。并且，纖維的軸向正應(yīng)力σmax隨纖維彈性模量Ef和基體彈性模量Em的變化也更趨近于線性。但圖3中，K值越大σmax隨Ef的變化幅度也越大，而圖4中K值越大，σmax隨Em的變化幅度越小。因此對(duì)于K較大的情況，提高Ef可以更有效地提高σmax，而相反情況下，則提高Em，可以更有效地提高σmax。

以上利用引入CZM表征界面因素后的應(yīng)力傳遞分析結(jié)果，討論了提高纖維彈性模量Ef和基體彈性模量Em對(duì)單絲段裂過(guò)程的影響，從理論上對(duì)韓庚等在文獻(xiàn)[20]中運(yùn)用有限元模擬和實(shí)驗(yàn)的方法分析得到的材料參數(shù)對(duì)單絲段裂過(guò)程的影響做出了解釋。文獻(xiàn)[20]中的結(jié)果如表2所示。

表2 不同材料參數(shù)的提高對(duì)單絲段裂過(guò)程的影響Table 2 Effect of improving different parameters of materialson the single fiber fragmentation

3.2 界面剛度的影響

將沿纖維軸向的位置x視為橫軸變量，其它參數(shù)按表1，取不同界面剛度K，根據(jù)式(11)和式(12)可分別得到纖維的軸向應(yīng)力σf和界面切應(yīng)力τθ沿x方向的分布情況。如圖5和圖6所示。

圖5 不同界面剛度下纖維的軸向應(yīng)力分布Fig.5 Distribution of axial stress for fiber in different stiffness of interface

圖6 纖維長(zhǎng)度較大時(shí)不同界面剛度對(duì)應(yīng)的界面切應(yīng)力的分布圖Fig.6 Distribution of interfacial shear stress in different stiffness of interface

圖5和圖6中，由內(nèi)到外曲線對(duì)應(yīng)的K值依次增大，最外面一條曲線分別對(duì)應(yīng)K=∞(即纖維基體理想粘接)時(shí)的σf分布和τθ分布。顯然，從兩圖中可知，當(dāng)K值較小時(shí)，σf和τθ分布的變化隨著K值的變化更為顯著，隨著K值的增加，其分布漸漸趨于穩(wěn)定，極限狀態(tài)就是理想界面時(shí)的情況。

由以上的分析可知，在界面剛度K較小時(shí)，界面因素對(duì)纖維的軸向正應(yīng)力σf和界面沿纖維軸向的切應(yīng)力τθ分布影響更明顯，即對(duì)復(fù)合材料的纖維與基體間的應(yīng)力傳遞影響越大。所以經(jīng)典的剪滯理論中，認(rèn)為纖維和基體之間理想粘接，預(yù)測(cè)的應(yīng)力會(huì)偏大。

3.3 纖維長(zhǎng)度的影響

由式(13)可以看出，纖維軸向正應(yīng)力的最大值σmax是受纖維長(zhǎng)度2L影響的。除纖維長(zhǎng)度外，其它參數(shù)按表1取值，界面剛度K=1200MP/mm。如圖7所示為σmax隨纖維長(zhǎng)度的變化曲線。

圖7 纖維軸向正應(yīng)力最大值隨纖維長(zhǎng)度的變化圖Fig.7 Maximum of axial stress for fiber to the length of fiber

當(dāng)纖維長(zhǎng)度較短時(shí)，如圖8所示，得到纖維的軸向正應(yīng)力分布隨界面剛度的變化情況。此時(shí)取纖維的長(zhǎng)度為2mm，即上述的參量中L=1mm(圖4中L=5mm，纖維的長(zhǎng)度為10mm，下圖同圖4相比僅是將參數(shù)L變化后的結(jié)果)。

圖8 纖維長(zhǎng)度較小時(shí)纖維軸向正應(yīng)力分布圖Fig.8 Distribution of axial stress for a short fiber in different stiffness of interface

對(duì)比圖5和圖8可知，當(dāng)纖維的長(zhǎng)度越小時(shí)，則隨著界面剛度的變化整個(gè)軸向正應(yīng)力的分布曲線變化也越明顯，即纖維基體界面的應(yīng)力傳遞效果，隨著纖維的變短，受界面的影響越大。因此纖維長(zhǎng)徑比越小，界面的影響會(huì)越大。圖9為當(dāng)L=1mm時(shí)對(duì)應(yīng)的界面上沿纖維軸向的切應(yīng)力分布圖。

圖9 纖維長(zhǎng)度較小時(shí)纖維基體界面切應(yīng)力的分布圖Fig.9 Distribution of interfacial shear stress for a short fiber in different stiffness of interface

對(duì)比圖9和圖6可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)纖維的長(zhǎng)度較短時(shí)，界面上的切應(yīng)力在整個(gè)界面上沿纖維軸向的變化較為均勻。而當(dāng)纖維較長(zhǎng)時(shí)，則界面上的切應(yīng)力在沿纖維軸向上在中間部分比較平緩，而在靠近邊緣部分則迅速增大。所以，當(dāng)纖維越長(zhǎng)則越容易在靠近端部的地方發(fā)生界面脫粘。

4 有限元分析

4.1 單絲段裂實(shí)驗(yàn)

目前，用于表征界面應(yīng)力傳遞的細(xì)觀力學(xué)實(shí)驗(yàn)方法主要有：Broutman的纖維拔出實(shí)驗(yàn)(Pull-out)[26]、Miler等的微滴脫粘實(shí)驗(yàn)(Microdroplet，Microbonding)[27]、Kelly和Tyson的單絲段裂實(shí)驗(yàn)(Fragmentation)[23]和Mandell的頂出實(shí)驗(yàn)(Push-out，Push-in，Microdebonding)[28]。

單絲段裂實(shí)驗(yàn)應(yīng)用，是研究纖維增強(qiáng)復(fù)合材料斷裂的重要工具[29]。假設(shè)界面的剪切應(yīng)力為常數(shù)，則可以根據(jù)著名的Kelly-Tyson常剪應(yīng)力模型[23]，計(jì)算得到界面的剪切強(qiáng)度。本文引用了文獻(xiàn)[25]中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果作為對(duì)比。

4.2 有限元模擬

引入雙線性cohesive模型表征界面，利用有限元軟件ABAQUS，建立數(shù)值模型，將纖維視為各向同性的線彈性材料，直到斷裂?；w是各向同性的線彈性材料。在第二部分的理論推導(dǎo)基礎(chǔ)上，結(jié)合有關(guān)實(shí)驗(yàn)和有限元模擬的方法，得到了雙線性cohesive模型剛度。該參數(shù)可以為分析復(fù)合材料的界面性能提供參考。

圖10 有限元模型二維視圖Fig.10 Viewpoint of two-dimension model for FEM

運(yùn)用ABAQUS腳本語(yǔ)言Python控制CAE建立了三維有限元模擬的幾何模型，圖10為模型的二維視圖。

模型中采用Explicit算法，模型左端固定沿x軸方向位移，右端施加拉伸邊界條件，拉伸速度值為0.5mm/min。需要注意的是，邊界條件均是施加在基體上的。模型中材料參數(shù)如表3所示，其中σb和εb分別表示材料的極限應(yīng)力和極限應(yīng)變，其余相關(guān)的參數(shù)均由表2給出(取自文獻(xiàn)[25]中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù))。基體和纖維采用C3D8R單元，界面采用COH3D8單元。

表3 有限元模型中設(shè)定的材料參數(shù)

4.3 界面剛度的確定

此前得到纖維軸向正應(yīng)力σf沿x方向的分布為(11)式所示。顯然，當(dāng)材料模型確定后，式(11)只和外加載荷ε0以及n值有關(guān)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可知纖維開(kāi)始發(fā)生段裂時(shí)對(duì)應(yīng)的ε0，而此時(shí)σf達(dá)到極限應(yīng)力，將該ε0值和σf值代入式(13)中，便可得到對(duì)應(yīng)的n值。

由式(9)可知，此時(shí)n和cohesive模型的界面剛度K有關(guān)，即cohesive模型中的損傷起始位置δ0和界面完全脫粘位置δf不影響纖維的初始段裂時(shí)刻。圖11和圖12分別為利用有限元分析得到的纖維發(fā)生首次段裂時(shí)的應(yīng)變隨cohesive模型中的δ0和δf的變化曲線。該結(jié)果同理論結(jié)果一致。

圖11 纖維首次斷裂時(shí)應(yīng)變載荷隨CZM損傷位置的變化曲線圖Fig.11 Strain of fiber for initial fracture with different δ0

圖12 纖維首次斷裂時(shí)的應(yīng)變載荷隨CZM完全破壞位置的變化曲線圖Fig.12 Strain of fiber for initial fracture with different δf

當(dāng)n值已知時(shí)代入式(9)即可得到對(duì)應(yīng)的cohesive界面剛度值K。將表1和表3中的實(shí)驗(yàn)中發(fā)生首次段裂時(shí)對(duì)應(yīng)的外加應(yīng)變載荷2.1%代入式(13)，得到此時(shí)對(duì)應(yīng)的n=1.20729。將該值代入式(9)中得到對(duì)應(yīng)的界面剛度值為K=1855.35MPa/mm。將該界面剛度值作為已知量代入到有限元模型中，有限元分析過(guò)程中，外加應(yīng)變載荷達(dá)到2.18%時(shí)，纖維發(fā)生首次斷裂。同實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果吻合。圖13為有限元單絲段裂模擬分析結(jié)果。這為估測(cè)界面剛度性能提供了一種較為簡(jiǎn)便的方法。

圖13 單絲段裂的有限元分析結(jié)果剖面圖Fig.13 Result of FEM forsingle fiber fragmentation

5 結(jié) 論

1.在經(jīng)典剪滯理論的基礎(chǔ)之上，引入雙線性cohesive模型表征纖維基體界面，考慮了非理想界面因素對(duì)纖維基體間應(yīng)力傳遞的影響。得到纖維軸向正應(yīng)力分布及界面切應(yīng)力分布結(jié)果。

2.利用新的理論分析模型解釋了單絲段裂實(shí)驗(yàn)中的一些現(xiàn)象。討論了界面和材料參數(shù)對(duì)復(fù)合材料的應(yīng)力分布的影響。對(duì)界面剛度較大的情況，提高纖維彈性模量可以更有效地提高纖維軸向正應(yīng)力的峰值，而相反情況下，則提高基體彈性模量，才能更有效地提高纖維軸向正應(yīng)力的峰值。另外，在界面剛度比較小和纖維較短的情況下，復(fù)合材料中的應(yīng)力分布受界面質(zhì)量的影響更大，此時(shí)不能忽略界面因素的影響。

3.建立了利用cohesive界面單元表征復(fù)合材料界面性能的三維單絲段裂有限元模型，模擬了單絲段裂過(guò)程。結(jié)合理論分析提出了一種估測(cè)cohesive模型界面剛度的新方法，同實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好。利用以上分析結(jié)果，研究復(fù)合材料的界面性能對(duì)宏觀性能的影響以及材料的設(shè)計(jì)優(yōu)化，提供了一定依據(jù)。

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Re-analysisofInterfaceStressTransfersandParameterEvaluationforCohesiveZoneModel

WANGKansheng,SHENMin,YUJisong

(Departmentofmechanics,Schoolofmechanicalengineering,TianjinUniversity,Tianjin300072,China)

Based on the classical shear lag model, the bilinear cohesive zone model (CZM) was introduced by taking imperfect interfacial factors into consideration to reanalyze the interface stress transfer mechanism of fiber-reinforced composite materials. New stress distribution results of the fiber reinforced composite materials are obtained. Some phenomena that occurred in single fiber fragmentation experiments can be explained by these results. Effect of different interfacial parameters and material properties on the result of stress distribution was discussed. Based on the theoretical analysis, interface of cohesive element was introduced to establish a three dimensional finite element model that simulated the single fiber fragmentation experiment. Thereafter, a new method of estimating interfacial CZM parameter was put forward combining with experimental result of single fiber fragmentation. Theoretical analysis results and the FEM results are in good agreement with the result of experiment. Some support can be provided for research of interfacial properties and design of composite by these results.

shear-lag model; cohesive zone model; stiffness of interface; single fiber fragmentation; finite element method

2016-03-21；

2016-05-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10972155，11572218，81670884)

王坎盛(1990-)男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閺?fù)合材料力學(xué)。E-mail：wangkansheng1991@sina.com。

沈 珉(1963-)男，副教授，博士，主要研究方向?yàn)閺?fù)合材料材料力學(xué)。E-mail：minshen@tju.edu.cn。

1673-2812(2017)06-0945-07

TB332

A

10.14136/j.cnki.issn1673-2812.2017.06.017