劉麗亞，谷 峰

(杭州師范大學理學院，浙江 杭州 310036)

乘積b-度量空間中擴張型映象的公共不動點定理

劉麗亞，谷 峰

(杭州師范大學理學院，浙江 杭州 310036)

在完備的乘積b-空間中，建立一個擴張型條件，研究了公共不動點的存在性和唯一性，從而得到了一個新的公共不動點定理，改進了相關文獻的結果.

完備乘積b-空間；擴張型映象；公共不動點

擴張型映象是一類重要的非線性映象,其不動點的存在性備受關注.Czerwik在文[1]中介紹了b-度量空間的概念，文[2-7]在b-度量空間中研究了滿足一定壓縮條件下非線性算子不動點的存在性問題，得到了一些新結果.

2008年，Bashirov等[8-9]介紹了乘積度量空間的概念.2012年，Florack等[10]研究了在乘積度量空間中的一些實際應用.此后，文[11-14]進一步討論了乘積度量空間中的不動點問題，得到了相關的公共不動點定理.文[15]利用映象對相容和弱相容的條件，討論了完備度量空間中4個映象的一類新的壓縮映象的公共不動點問題.

受上述文獻的啟發(fā)，本文引入了乘積b-度量空間的定義，在完備乘積b-度量空間中研究擴張型映象的不動點存在性問題，得到了幾個新的不動點定理，推廣了一些已知的相關結果，而且也是度量空間中某些經典結果在錐度量空間的進一步推廣.

1 預備知識

定義1[1]設X是一非空集，令d:X×X→R+滿足

(b-1)d(x,y)=0，若x=y；

(b-2)d(x,y)=d(y,x), ?x,y∈X且x≠y；

(b-3)d(x,y)≤k(d(x,z)+d(z,y)),?x,y,z∈X,k≥1.

則稱函數d是X上的一個b-度量，稱(X,d)為b-度量空間，其中k為其系數.

定義2[8]設X是一非空集，令d:X×X→R+滿足

(M-1)d(x,y)≥1，?x,y∈X;

(M-2)d(x,y)=1當且僅當x=y,?x,y∈X；

(M-3)d(x,y)=d(y,x)，?x,y∈X；

(M-4)d(x,y)≤d(x,z)·d(z,y),?x,y,z∈X.

則稱函數d是X上的一個乘積度量，稱(X,d)為乘積度量空間.

定義3[8]設X是一非空集，令d:X×X→R+滿足

(Mb-1)d(x,y)≥1，?x,y∈X；

(Mb-2)d(x,y)=1當且僅當x=y,?x,y∈X；

(Mb-3)d(x,y)=d(y,x), ?x,y∈X；

(Mb-4)d(x,y)≤(d(x,z)·d(z,y))k,?x,y,z∈X,k≥1.

則稱函數d是X上的一個乘積b-度量，稱(X,d)為乘積b-度量空間，其中k為其系數.

例1設X是一非空集, (X,d)是一b-度量空間，其中k≥1為其系數.定義d:X×X→R+滿足d(x,y)=ed(x,y)，從而可知函數d在X上滿足條件(Mb-1)，(Mb-2)和(Mb-3).且易得，對于?z∈X，有

由此證得(X,d)是一乘積b-度量空間，且k是其系數.

例2定義函數d:(R+)n×(R+)n→R如下：

其中x=(x1,x1,…,xn),y=(y1,y1,…,yn)∈(R+)n,且|·|:R+→R+定義為

其中實數k>1.顯然易知d是定義在R+上的乘積b-度量，且k為其系數.

定義4[15]設X是一非空集，(X,d)為乘積b-度量空間.序列{xn}?X,n∈+，如果存在x∈X，使得則稱序列{xn}收斂于x，也稱x為序列{xn}的極限，記為x.

定義5[15]設X是一非空集，(X,d)為乘積b-度量空間.{xn}?X，如果對于任意的ε>1，存在+，使得對于任意的m,n≥+，有d(xn,xm)<ε.則稱{xn}為(X,d)上的柯西列.

定義6[15]設X是一非空集，(X,d)為乘積b-度量空間.如果對于(X,d)上的每個柯西列在X上都是收斂的，則稱(X,d)為完備的乘積b-度量空間.

引理1設X是一非空集，(X,d)為乘積b-度量空間，其中實系數k≥1.序列{xn}和{yn}?X分別收斂于x和y∈X，則有

證明由條件(Mb-4)可得

d(xn,yn)≤(d(xn,x)·d(x,yn))k=(d(xn,x))k·(d(x,yn))k≤

(d(xn,x))k·(d(x,y))k2·(d(y,yn))k2.

(1)

d(x,y)≤(d(x,xn)·d(xn,y))k=(d(x,xn))k·(d(xn,y))k≤

(d(x,xn))k·(d(xn,yn))k2·(d(yn,y))k2.

(2)

于式(1)，(2)，令n→∞取極限，又由定義3可得

令{yn}=z，由條件(Mb-4)可得

d(xn,z)≤(d(xn,x)·d(x,z))k.

(3)

d(x,z)≤(d(x,xn)·d(xn,z))k.

(4)

于式(3)，(4)，令n→∞取極限，又由定義3可得

證明由條件(Mb-3)可得

d(yn,t)≤(d(yn,xn)·d(xn,t))k.

(5)

于式(5)，令n→∞取上極限得

定義8[15]乘積b-度量空間(X,d)中的自映象對(f,g)稱為是弱相容的，若fx=gx,x∈X,就有fgx=gfx,即d(fx,gx)=1?d(fgx,gfx)=1.

例3[8]設X=[0,+∞)，(X,d)是乘積b-度量空間，即d(x,y)=e(x-y)2,?x,y∈X.f,g是X上的兩個自映象，分別定義為

于是可得，當且僅當x=2時，fx=gx=2,進而有fgx=gfx=2.可證得(f,g)是弱相容的.

2 主要結果

定義函數φ:[0,+∞)5→[0,+∞)滿足以下條件：

1)φ是非減的，且關于每個元素都連續(xù)；

2) 對于?t≥1，存在函數φ:[0,+∞)→[0,+∞)，使得

φ(t)=min{φ(t,t,t,t,t),φ(t,1,1,t,t),φ(t,1,t,1,t),φ(1,t,1,t,t),φ(t,t,1,t,1)}≥t.

(6)

定理1設X是一非空集，(X,d)是完備的乘積b-度量空間，其中s≥1為其系數.f,g,T,S:X→X為X上的4個自映象，且滿足以下條件:

1)fX?TX;gX?SX;

2) ?λ∈(0,1),使得?x,y∈X有

dλ(fx,gy)≥φ{ds4(Sx,Ty),ds4(Sx,fx),ds4(Ty,gy),(d(fx,gy)·d(Sx,gy))s5,(d(fx,gy)·d(Ty,fx))s5}.

(7)

如果f,g,S和T滿足下面條件之一，則f,g,S和T有唯一的公共不動點.

(a) (f,S)其中之一連續(xù)，(f,S)是相容的，(g,T)是弱相容的；

(b) (g,T)其中之一連續(xù)，(g,T)是相容的，(f,S)是弱相容的.

證明任取x0∈X,因為fX?TX,所以?x1∈X,使得fx1=Tx0,又由gX?SX,可知?x2∈X,使得gx2=Sx1,….依此類推可得到序列{yn}?X,即為

y2n=Tx2n=fx2n+1;y2n+1=Sx2n+1=gx2n+2,n=0,1,2,….

首先，由條件(Mb-4)可知

d(y2n+1,y2n+2)≤(d(y2n,y2n+1)·d(y2n,y2n+2))s.

(8)

在式(7)中令(x,y)=(x2n+1,x2n+2),又由式(8)可得

即

dλ(y2n,y2n+1)≥φ{ds4(y2n+1,y2n+2),ds4(y2n,y2n+1),ds4(y2n+1,y2n+2),ds4(y2n,y2n+1),ds4(y2n+1,y2n+2)}.

(9)

假設d(y2n+1,y2n+2)>d(y2n,y2n+1)成立，那么d(y2n+1,y2n+2)>1(否則,d(y2n,y2n+1)<1,出現矛盾).由式(6)，可將式(9)整理為

即dλ(y2n,y2n+1)≥ds4(y2n,y2n+1),出現矛盾.所以有d(y2n+1,y2n+2)≤d(y2n,y2n+1).此時由式(6)，(9)可得

即

d(y2n+1,y2n+2)≤dh(y2n,y2n+1).

(11)

同理，可證得

d(y2n,y2n+1)≤dh(y2n-1,y2n).

(12)

由式(11)，(12)可得，對于?n∈,有

d(yn,yn+1)≤dh(yn-1,yn)≤dh2(yn-2,yn-1)≤…≤dhn(y0,y1).

(13)

因此對于?m,n∈,m>n,根據條件(Mb-4)和式(13)可得

又由y2n=Tx2n=fx2n+1;y2n+1=Sx2n+1=gx2n+2,n=0,1,2,…,可知

(14)

以下證明t是f,g,S和T的公共不動點.

第一步:證明St=t.由式(7)可得

于式(15)，令n→∞,取極限，又由式(6)和引理1，可得

上式即為dλ(St,t)≥d(St,t).又由條件λ∈(0,1)和s≥1,可知d(St,t)=1,即St=t.

第二步:證明gt=Tt=t.由t∈SX?gX,所以?u∈gX,使得gu=St=t.

由式(8)可知

于式(16)，令n→∞,取極限，又由式(6)和引理1，可得

由條件λ∈(0,1)和s≥1,可知d(t,Tu)=1,進而可知Tu=gu=t.又由(g,T)是弱相容的，從而可知gt=gTu=Tgu=Tt.

現證gt=t.在式(7)中令(x,y)=(x2n+1,t),可得

于式(17)，令n→∞,取極限，又由式(6)和引理1，可得

由條件λ∈(0,1)和s≥1,可知d(t,Tgt)=1,進而有gt=t.所以Tt=gt=t.

第三步:證明ft=t.又由式(6)，(7)可知

由條件λ∈(0,1)和s≥1,可得d(t,ft)=0,即ft=t,從而可知ft=gt=St=Tt=t.

于式(18)，令n→∞，取極限，又由式(6)和引理1，可得

由條件λ∈(0,1)和s≥1,可知d(ft,t)=1,進而有ft=t.

接下來證明ft=St成立.在式(7)中，令(x,y)=(t,x2n+2),可得

于式(19)，令n→∞,取極限，又由式(6)和引理1，可得

由條件λ∈(0,1)和s≥1,可知d(St,t)=1,從而有St=t.

重復(I)中的第二步操作，即可得gt=Tt=t.從而可知ft=gt=St=Tt=t.

類似于(I)和(II)的思路，條件(b)也可證得ft=gt=St=Tt=t,即f,g,T和S有公共不動點.

最后證明公共不動點的唯一性.

假設?t*∈X,使得ft*=gt*=St*=Tt*=t*.那么由式(6)，(7)可得

由條件λ∈(0,1)和s≥1,可知d(t,t*)=1,進而有t=t*.即f,g,T和S的公共不動點具有唯一性.

注1在定理1中如果取S=T=I(I表恒等映像)，即可證得以下結論.

推論1設X是一非空集，(X,d)是完備的乘積b-度量空間，其系數為s≥1.f,g:X→X為X上的兩個自映象，且滿足以下條件:?λ∈(0,1),使得?x,y∈X有

dλ(fx,gy)≥φ{ds4(x,y),ds4(x,fx),ds4(y,gy),(d(fx,gy)·d(x,gy))s5,(d(fx,gy)·d(y,fx))s5}，

則f和g有唯一的公共不動點.

定理2設X是一非空集，(X,d)是完備的乘積b-度量空間，其系數為s≥1.f,g,T,S:X→X為X上的4個自映象，且滿足以下條件:

1)fX?TX;gX?SX;

2) ?λ∈(0,1),使得?x,y∈X有

dλ(fx,gy)≥min{ds4(Sx,Ty),ds4(Sx,fx),ds4(Ty,gy),(d(fx,gy)·d(Sx,gy))s5,(d(fx,gy)·d(Ty,fx))s5}.

如果f,g,S和T滿足下面條件之一，則f,g,S和T有唯一的公共不動點.

(a) (f,S)其中之一連續(xù)，(f,S)是相容的，(g,T)是弱相容的；

(b) (g,T)其中之一連續(xù)，(g,T)是相容的，(f,S)是弱相容的.

證明類似于定理1的證明方法，可證得.

推論2設X是一非空集，(X,d)是完備的乘積b-度量空間，其系數為s≥1.f,g,T,S:X→X為X上的4個自映象，且滿足以下條件：

1)fX?TX;gX?SX;

2) ?λ∈(0,1)，使得?x,y∈X有

dλ(fx,gy)≥min{ds4(Sx,Ty),ds4(Sx,fx),ds4(Ty,gy)}.

如果f,g,S和T滿足下面條件之一，則f,g,S和T有唯一的公共不動點.

(a) (f,S)其中之一連續(xù)，(f,S)是相容的，(g,T)是弱相容的；

(b) (g,T)其中之一連續(xù)，(g,T)是相容的，(f,S)是弱相容的.

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ACommonFixedPointTheoremofExpandingMappingsinMultiplicativeb-metricSpaces

LIU liya, GU Feng

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

In complete multiplicativeb-metric spaces, by establishing a new expanding condition, the existence and the uniqueness of the common fixed point are studied, a new common fixed point theorem is obtained, which improves the corresponding results in some references.

complete multiplicativeb-metric space; expanding mappings; common fixed point

2016-08-23

國家自然科學基金項目(11071169)；浙江省自然科學基金項目(Y6110287).

谷 峰(1960-)，男，教授，主要從事非線性泛函分析及應用研究.E-mail：gufeng99@sohu.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.06.012

O177.91MSC201047H10；54H25

A

1674-232X(2017)06-0634-07