陳德前（特級(jí)教師）

運(yùn)用概率估計(jì)與決策

陳德前（特級(jí)教師）

我們知道，通過數(shù)據(jù)的收集與整理可以幫助我們進(jìn)行決策.但數(shù)據(jù)的收集與整理費(fèi)時(shí)費(fèi)力，有時(shí)還有破壞性.此時(shí)，我們不妨請(qǐng)概率這個(gè)朋友來幫忙，進(jìn)行估計(jì)，做出決策.

例1 （2017·蘭州）一個(gè)不透明的盒子里有n個(gè)除顏色外其他完全相同的小球，其中有9個(gè)黃球.每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個(gè)球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復(fù)摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在30%，那么估計(jì)盒子中小球的個(gè)數(shù)n為（ ）.

A.20 B.24 C.28 D.30

【解析】利用頻率估計(jì)概率得到摸到黃球的概率為30%，再根據(jù)概率公式計(jì)算n的值.根據(jù)題意得=30%，解得n=30，所以這個(gè)不透明的盒子里大約有30個(gè)除顏色外其他完全相同的小球，選D.

【點(diǎn)評(píng)】大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率.當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)，或結(jié)果個(gè)數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般通過統(tǒng)計(jì)頻率來估計(jì)概率，再利用這個(gè)概率來解決有關(guān)問題.

例2 在一次促銷活動(dòng)中，某商場為了吸引顧客，設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤（如圖1，轉(zhuǎn)盤被平均分成16份），并規(guī)定：顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì).如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對(duì)準(zhǔn)紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得50元、30元、20元的購物券，憑購物券可以在該商場繼續(xù)購物.如果顧客不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，那么可以直接獲得購物券10元.

圖1

（1）求每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)；

（2）如果你在該商場消費(fèi)125元，你會(huì)選擇轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤還是直接獲得購物券？說明理由.

【解析】（1）算出指針對(duì)準(zhǔn)紅色、黃色、綠色的概率，求出獲購物券金額的平均數(shù)為50×

（2）通過比較做出選擇，∵11.875元＞10元，∴選擇轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤.

例3 我市長途客運(yùn)站每天6：30～7：30開往某縣的三輛班車，票價(jià)相同，但車的舒適程度不同.小張和小王因事需在這一時(shí)段乘車去該縣，但不知道三輛車開來的順序.兩人采用不同的乘車方案：小張無論如何決定乘坐開來的第一輛車；而小王則是先觀察后上車，當(dāng)?shù)谝惠v車開來時(shí)，他不上車，而是仔細(xì)觀察車的舒適狀況.若第二輛車的狀況比第一輛車好，他就上第二輛車；若第二輛車不如第一輛車，他就上第三輛車.若按這三輛車的舒適程度分為優(yōu)、中、差三等，請(qǐng)你思考并回答下列問題：

（1）三輛車按出現(xiàn)的先后順序共有哪幾種可能？

（2）你認(rèn)為選擇哪種方案乘坐優(yōu)等車的可能性大？為什么？

【解析】（1）用列舉法，三輛車按開來的先后順序?yàn)椋簝?yōu)、中、差，優(yōu)、差、中，中、優(yōu)、差，中、差、優(yōu)，差、優(yōu)、中，差、中、優(yōu)，共6種可能.

（2）用列舉法求出不同乘車方案乘坐優(yōu)等車的概率即可得到結(jié)論.根據(jù)三輛車開來的先后順序，小張乘坐的車對(duì)應(yīng)情況是：優(yōu)，優(yōu)，中，中，差，差；小王乘坐的車對(duì)應(yīng)情況是：差，中，優(yōu)，優(yōu)，優(yōu)，中.由此可知：小張乘坐優(yōu)等車的概率是，而小王乘坐優(yōu)等車的概率是.所以選擇小王的乘車方案乘坐優(yōu)等車的可能性大.

例4 在課外活動(dòng)時(shí)間，小王、小麗、小華做“互相踢毽子”游戲，毽子從一人傳到另一人就記為踢一次.

（1）若從小麗開始，經(jīng)過兩次踢毽后，踺子踢到小華處的概率是多少？（用樹狀圖或列表法說明）

（2）若經(jīng)過三次踢毽后，毽子踢到小王處的可能性最小，應(yīng)確定從誰開始踢，并說明理由.

【解析】（1）用樹狀圖或列表法求概率.樹狀圖如下：

列表法如下：

小王小王小華小麗（小王，小麗）（小華，小麗）小華（小王，小華）（小華，小王）

由樹狀圖或列表可知，所有可能的情況有4種，從小麗開始經(jīng)過兩次踢毽后毽子踢到小華處的情況只有1種，因此從小麗開始，經(jīng)過兩次踢毽后毽子踢到小華處的概率是

（2）計(jì)算三次踢毽后，毽子踢到各個(gè)人的概率，從中找出概率最小的，再確定從誰開始踢.經(jīng)過三次毽踺后，毽子踢到小王處的可能性最小，應(yīng)從小王開始踢.理由：若從小王開始踢，三次踢毽后，毽子踢到小王處的概率是，踢到其他兩人處的概率都是，因此這種

情況下毽子踢到小王處的可能性最小.

小試牛刀

1.為估計(jì)魚塘中魚的數(shù)量，可以先從魚塘中隨機(jī)打撈50條魚，在每條魚身上做上記號(hào)后，把這些魚放歸魚塘，經(jīng)過一段時(shí)間，等這些魚完全混合于魚群后，再從魚塘中隨機(jī)打撈50條魚，發(fā)現(xiàn)只有2條魚是前面做好記號(hào)的，那么可以估計(jì)這個(gè)魚塘中魚的數(shù)量約為（ ）.

A.1250條 B.1750條 C.2500條 D.5000條

2.熙熙攘攘的集市上，有人在設(shè)攤“摸彩”.他手拿一袋內(nèi)裝大小、形狀、質(zhì)量完全相同的2個(gè)綠球和2個(gè)紅球，每次讓“顧客”免費(fèi)從袋中摸出2個(gè)球，輸贏的規(guī)則是：

所摸球的顏色2個(gè)全紅1紅1綠2個(gè)全綠顧客的收益得40元失30元得40元

大家想一下，如果你們也遇到了這種情況，你選擇參加還是不參加？

（關(guān)注公眾號(hào)，回復(fù)“2017年12月數(shù)學(xué)”查答案）

江蘇省興化市教育局教研室）