陳德前（特級教師）

運用概率估計與決策

陳德前（特級教師）

我們知道，通過數(shù)據(jù)的收集與整理可以幫助我們進(jìn)行決策.但數(shù)據(jù)的收集與整理費時費力，有時還有破壞性.此時，我們不妨請概率這個朋友來幫忙，進(jìn)行估計，做出決策.

例1 （2017·蘭州）一個不透明的盒子里有n個除顏色外其他完全相同的小球，其中有9個黃球.每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復(fù)摸球?qū)嶒灪蟀l(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在30%，那么估計盒子中小球的個數(shù)n為（ ）.

A.20 B.24 C.28 D.30

【解析】利用頻率估計概率得到摸到黃球的概率為30%，再根據(jù)概率公式計算n的值.根據(jù)題意得=30%，解得n=30，所以這個不透明的盒子里大約有30個除顏色外其他完全相同的小球，選D.

【點評】大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.當(dāng)實驗的所有可能結(jié)果不是有限個，或結(jié)果個數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般通過統(tǒng)計頻率來估計概率，再利用這個概率來解決有關(guān)問題.

例2 在一次促銷活動中，某商場為了吸引顧客，設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤（如圖1，轉(zhuǎn)盤被平均分成16份），并規(guī)定：顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會.如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對準(zhǔn)紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得50元、30元、20元的購物券，憑購物券可以在該商場繼續(xù)購物.如果顧客不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，那么可以直接獲得購物券10元.

圖1

（1）求每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)；

（2）如果你在該商場消費125元，你會選擇轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤還是直接獲得購物券？說明理由.

【解析】（1）算出指針對準(zhǔn)紅色、黃色、綠色的概率，求出獲購物券金額的平均數(shù)為50×

（2）通過比較做出選擇，∵11.875元＞10元，∴選擇轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤.

例3 我市長途客運站每天6：30～7：30開往某縣的三輛班車，票價相同，但車的舒適程度不同.小張和小王因事需在這一時段乘車去該縣，但不知道三輛車開來的順序.兩人采用不同的乘車方案：小張無論如何決定乘坐開來的第一輛車；而小王則是先觀察后上車，當(dāng)?shù)谝惠v車開來時，他不上車，而是仔細(xì)觀察車的舒適狀況.若第二輛車的狀況比第一輛車好，他就上第二輛車；若第二輛車不如第一輛車，他就上第三輛車.若按這三輛車的舒適程度分為優(yōu)、中、差三等，請你思考并回答下列問題：

（1）三輛車按出現(xiàn)的先后順序共有哪幾種可能？

（2）你認(rèn)為選擇哪種方案乘坐優(yōu)等車的可能性大？為什么？

【解析】（1）用列舉法，三輛車按開來的先后順序為：優(yōu)、中、差，優(yōu)、差、中，中、優(yōu)、差，中、差、優(yōu)，差、優(yōu)、中，差、中、優(yōu)，共6種可能.

（2）用列舉法求出不同乘車方案乘坐優(yōu)等車的概率即可得到結(jié)論.根據(jù)三輛車開來的先后順序，小張乘坐的車對應(yīng)情況是：優(yōu)，優(yōu)，中，中，差，差；小王乘坐的車對應(yīng)情況是：差，中，優(yōu)，優(yōu)，優(yōu)，中.由此可知：小張乘坐優(yōu)等車的概率是，而小王乘坐優(yōu)等車的概率是.所以選擇小王的乘車方案乘坐優(yōu)等車的可能性大.

例4 在課外活動時間，小王、小麗、小華做“互相踢毽子”游戲，毽子從一人傳到另一人就記為踢一次.

（1）若從小麗開始，經(jīng)過兩次踢毽后，踺子踢到小華處的概率是多少？（用樹狀圖或列表法說明）

（2）若經(jīng)過三次踢毽后，毽子踢到小王處的可能性最小，應(yīng)確定從誰開始踢，并說明理由.

【解析】（1）用樹狀圖或列表法求概率.樹狀圖如下：

列表法如下：

小王小王小華小麗（小王，小麗）（小華，小麗）小華（小王，小華）（小華，小王）

由樹狀圖或列表可知，所有可能的情況有4種，從小麗開始經(jīng)過兩次踢毽后毽子踢到小華處的情況只有1種，因此從小麗開始，經(jīng)過兩次踢毽后毽子踢到小華處的概率是

（2）計算三次踢毽后，毽子踢到各個人的概率，從中找出概率最小的，再確定從誰開始踢.經(jīng)過三次毽踺后，毽子踢到小王處的可能性最小，應(yīng)從小王開始踢.理由：若從小王開始踢，三次踢毽后，毽子踢到小王處的概率是，踢到其他兩人處的概率都是，因此這種

情況下毽子踢到小王處的可能性最小.

小試牛刀

1.為估計魚塘中魚的數(shù)量，可以先從魚塘中隨機打撈50條魚，在每條魚身上做上記號后，把這些魚放歸魚塘，經(jīng)過一段時間，等這些魚完全混合于魚群后，再從魚塘中隨機打撈50條魚，發(fā)現(xiàn)只有2條魚是前面做好記號的，那么可以估計這個魚塘中魚的數(shù)量約為（ ）.

A.1250條 B.1750條 C.2500條 D.5000條

2.熙熙攘攘的集市上，有人在設(shè)攤“摸彩”.他手拿一袋內(nèi)裝大小、形狀、質(zhì)量完全相同的2個綠球和2個紅球，每次讓“顧客”免費從袋中摸出2個球，輸贏的規(guī)則是：

所摸球的顏色2個全紅1紅1綠2個全綠顧客的收益得40元失30元得40元

大家想一下，如果你們也遇到了這種情況，你選擇參加還是不參加？

（關(guān)注公眾號，回復(fù)“2017年12月數(shù)學(xué)”查答案）

江蘇省興化市教育局教研室）