李 媛

利用基本圖形解三角形

李 媛

圖形，是幾何學(xué)科的研究對(duì)象，而出現(xiàn)在幾何問題中的每一個(gè)幾何圖形，無論是怎樣的簡單還是怎樣的復(fù)雜，經(jīng)過觀察和分析，都一定可以發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)事實(shí)：即它是由一個(gè)或者若干個(gè)最簡單、最基本也是最重要的圖形組合而成的.如能在一些較復(fù)雜的圖形中辨認(rèn)出或者構(gòu)造出這些基本圖形，從而根據(jù)基本圖形的性質(zhì)，擇取有用的信息和結(jié)論，就能迅速地找出解題思路和方法.

一、準(zhǔn)確地辨認(rèn)、提取基本圖形是解決問題的基礎(chǔ)

例1 （2017·黃石）如圖1所示，為了測量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一測量人員在該建筑物附近C處，測得建筑物頂端A處的仰角大小為45°，隨后沿直線BC向前走了100米后到達(dá)D處，在D處測得A處的仰角大小為30°，則建筑物AB的高度約為________米.

（注：不計(jì)測量人員的身高，結(jié)果按四舍五入保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：

圖1

【分析】求線段AB的長，只要抓住圖形中的兩個(gè)基本的直角三角形：Rt△ADB和Rt△ABC，但由于每個(gè)直角三角形中除了直角外都只有一個(gè)已知的銳角，所以只利用其中的一個(gè)基本圖形無法求出所需要的線段或邊的長度.由于要求的線段AB是Rt△ADB和Rt△ABC的公共邊，若設(shè)AB=x，由∠ACB=45°得BC=AB=x，又BD=BC+CD，所以BD=x+100，根據(jù)tan∠ADB=可得關(guān)于x的方程，解之可得答案.

解：設(shè)AB=x，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=45°，∴BC=AB=x，

則BD=BC+CD=x+100，

在Rt△ABD中，∵∠ADB=30°，

解得：x=50+503≈137.

即建筑物AB的高度約為137米.

二、正確地完善、構(gòu)造基本圖形是解決問題的關(guān)鍵

例2 （2016·紹興）如圖2，某社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組實(shí)地測量兩岸互相平行的一段河的寬度，在河的南岸邊點(diǎn)A處，測得河的北岸邊點(diǎn)B在其北偏東45°方向，然后向西走60m到達(dá)C點(diǎn)，測得點(diǎn)B在點(diǎn)C的北偏東60°方向，如圖3.求出這段河的寬.（結(jié)果精確到1m，備用數(shù)據(jù)

圖2

圖3

【分析】作BD⊥CA交CA的延長線于D，設(shè)BD=x，根據(jù)正切的定義，用含x的代數(shù)式表示出CD、AD，根據(jù)題意列出方程，解方程即可.

解：作BD⊥CA交CA的延長線于D，

設(shè)BD=x，在Rt△BCD中，∵∠BCA=30°，

圖4

在Rt△ABD中，∵∠BAD=45°，

∴AD=BD=x，

答：這段河的寬約為82m.

【點(diǎn)評(píng)】“化斜為直”是解三角形的基本思路，常需作垂線段（高），原則上不破壞特殊角（30°、45°、60°）.

根據(jù)問題中出現(xiàn)的應(yīng)用條件，找到基本圖形，這時(shí)就會(huì)出現(xiàn)兩種情況：一是所有分析、找到的基本圖形都是完整的，這樣應(yīng)用這些基本圖形的性質(zhì)就不會(huì)有什么困難，問題自然也就得到了解決，這時(shí)也就不存在添輔助線的問題，如例1；二是在分析、找到的基本圖形中，有一個(gè)或者若干個(gè)是不完整的，這樣在應(yīng)用這些基本圖形性質(zhì)的時(shí)候就會(huì)很困難，從而就要求我們?cè)趹?yīng)用這些基本圖形的性質(zhì)之前，必須要先將不完整的基本圖形補(bǔ)完整，這就出現(xiàn)了添輔助線的需要.由此也就可以發(fā)現(xiàn)：添輔助線的實(shí)質(zhì)也就是將不完整的基本圖形補(bǔ)完整的問題，如例2.這時(shí)討論添輔助線的問題時(shí)，我們的著眼點(diǎn)已經(jīng)不再聚焦在作為圖形的局部的“線”上，而是著眼到一個(gè)完整的“圖形”上.因此，添輔助線也已經(jīng)不再僅僅是一個(gè)添線的問題，其實(shí)質(zhì)應(yīng)是一個(gè)補(bǔ)圖的問題，是一個(gè)基本圖形完整化的問題.

在中考試題中，關(guān)于解三角形的問題，只要大家能主動(dòng)聯(lián)想熟悉的基本模型，抓住直角三角形，找準(zhǔn)線段之間的關(guān)系，問題就很容易解決了.

江蘇省宿遷市鐘吾初級(jí)中學(xué)）