王亮亮

(北京教育考試院 100083)

1 引言

北京中考數(shù)學(xué)幾何綜合題向來以創(chuàng)新和難度著稱，一直引起廣大師生的關(guān)注.一方面，試題對(duì)考生的幾何基礎(chǔ)、推理能力、抽象能力和論證能力等方面具有很高的要求；另一方面，試題背景新穎、內(nèi)涵豐富思想深刻、方法質(zhì)樸，對(duì)考生具有很好的區(qū)分功能.同時(shí)，也為初中數(shù)學(xué)教學(xué)指明了方向.但通過調(diào)研聽課發(fā)現(xiàn)，由于試題的難度較大，很多教師在講解時(shí)遇到了一些困難，如試題的內(nèi)涵闡述不全面等.本文將以2012，2014，2015年幾何綜合題為例，對(duì)近六年的幾何綜合題做一次總結(jié)，與大家分享試題背后的思想和試題對(duì)教學(xué)的引導(dǎo)作用，希望能給一線教師提供一點(diǎn)經(jīng)驗(yàn).

2 2012，2014，2015年試題呈現(xiàn)

2012年在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中點(diǎn)，P是線段BM上的動(dòng)點(diǎn)，將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PQ.

(1)若α=60°且點(diǎn)P與點(diǎn)M重合(如圖1)，線段CQ的延長(zhǎng)線交射線BM于點(diǎn)D，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并寫出∠CDB的度數(shù)；

(2)在圖2中，點(diǎn)P不與點(diǎn)B，M重合，線段CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D，猜想∠CDB的大小(用含α的代數(shù)式表示)，并加以證明；

圖1

圖2

(3)對(duì)于適當(dāng)大小的α，當(dāng)點(diǎn)P在線段BM上運(yùn)動(dòng)到某一位置(不與點(diǎn)B，M重合)時(shí)，能使得線段CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D，且PQ=QD，請(qǐng)直接寫出α的范圍.

2014年在正方形ABCD外側(cè)作直線AP，點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接BE，DE，其中DE交直線AP于點(diǎn)F.

(1)依題意補(bǔ)全圖1；

(2)若∠PAB=20°，求∠ADF的度數(shù)；

(3)如圖2， 若45°<∠PAB<90°，用等式表示線段AB，F(xiàn)E，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1

圖2

2015年在正方形ABCD中，BD是一條對(duì)角線.點(diǎn)P在射線CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，連接AP，平移△ADP，使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C，得到△BCQ，過點(diǎn)Q作QH⊥BD于點(diǎn)H，連接AH，PH.

(1)若點(diǎn)P在線段CD上，如圖1，

①依題意補(bǔ)全圖1；

②判斷AH與PH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明；

圖1

圖2

(2)若點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上，且∠AHQ= 152°，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)寫出求DP長(zhǎng)的思路.(可以不寫出計(jì)算結(jié)果)

3 試題綜述

3.1 通過畫圖，抽象思維化為形象思維，發(fā)現(xiàn)解決問題思路

對(duì)于畫圖的要求，這是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的基礎(chǔ).因?yàn)樵诋媹D的過程中，可以使學(xué)生體會(huì)到畫圖對(duì)于理解概念、尋求解題思路帶來的益處.更重要的是，邏輯證明的過程、形式化的結(jié)論都是在形象思維的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，這是畫圖作為幾何直觀能力基礎(chǔ)的核心要義.

2012、2014、2015年試題的第(1)問都是要求學(xué)生補(bǔ)全圖形.補(bǔ)全圖形的過程，其實(shí)質(zhì)就是將抽象的語言和研究對(duì)象“圖形化”，把需要解決的問題、證明等數(shù)學(xué)過程變的更加直觀，有助于進(jìn)行具體的操作，并在此基礎(chǔ)上有助于發(fā)現(xiàn)研究問題的思路.下面以2012(1)、2014(1)和2015(1)為例說明.

2012(1)

2014(1)

2015(1)

如2012(1)，補(bǔ)全圖形后發(fā)現(xiàn)，BD是△ABC的對(duì)稱軸，△CQM是在旋轉(zhuǎn)與軸對(duì)稱變換基礎(chǔ)上形成的等邊三角形等，這就為問題的解決提供了明確的思路——利用軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)研究圖形.又如2014(1)，通過補(bǔ)全圖形體會(huì)到AP是線段BE的垂直平分線，通過這一性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)后面問題研究的角度——軸對(duì)稱變換分析圖形.再如2015(1)，補(bǔ)全圖形后發(fā)現(xiàn)△BCQ是由△ADP平移得來的，可以根據(jù)平移的性質(zhì)探索研究問題的思路.

3.2 重視幾何變換，將變換性質(zhì)作為解決問題的橋梁

幾何變換是幾何體系的核心內(nèi)容，幾何變換可以看作是圖形運(yùn)動(dòng)，它是認(rèn)識(shí)圖形的基本方法，也是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想和方法的基本途徑.通過運(yùn)動(dòng)變化理解軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)和平移變換的基本性質(zhì)，可以抽象出圖形運(yùn)動(dòng)變化過程中的不變量和不變關(guān)系，從而為運(yùn)用圖形運(yùn)動(dòng)的方法研究圖形的性質(zhì)奠定基礎(chǔ)，使其成為研究圖形的橋梁.2012(2)、2014(3)、2015(1)都以幾何變換的性質(zhì)為橋梁解決問題，下面以2012(2)和2014(3)為例說明.

2012(2)以軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)變換為基礎(chǔ).在第(1)問補(bǔ)全圖形的基礎(chǔ)之上，根據(jù)BA=BC，M是AC的中點(diǎn)，可推導(dǎo)出BD是△ABC的對(duì)稱軸.根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可以連接PC和AD，進(jìn)一步推導(dǎo)出BD是四邊形ABCD的對(duì)稱軸，所要求的∠BDC就轉(zhuǎn)化成了求∠ADC.再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可以推導(dǎo)出△PCQ是等腰三角形，進(jìn)而問題可求.問題的解決是以軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)變換的基本性質(zhì)為基礎(chǔ)的，讓問題的解決更加直觀、思考問題的方向更加明確.

2012(2)

2014(4)

2014(3)以軸對(duì)稱變換為基礎(chǔ)解決線段AB，F(xiàn)E，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系.在第(1)問補(bǔ)全圖形的基礎(chǔ)之上，可知對(duì)圖形進(jìn)行的是軸對(duì)稱變換的操作.根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可以連接AE和FB，需要解決的線段AB，F(xiàn)E，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系就轉(zhuǎn)化成為了FB，F(xiàn)D，AB的數(shù)量關(guān)系.通過對(duì)圖形的進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，上述三條線段可以放到Rt△BFD中，即只需證明∠BFD=90°，而證明∠BFD=90°的核心思想也是利用軸對(duì)稱的性質(zhì)推導(dǎo)出∠ABF=∠DEA=∠ADE.問題的解決是在軸對(duì)稱性質(zhì)的基礎(chǔ)之上，不斷發(fā)現(xiàn)解決問題思路.

3.3 重視演繹推理，更加注重有條理表述思考過程

傳統(tǒng)上對(duì)于推理能力的培養(yǎng)，往往被認(rèn)為是加強(qiáng)邏輯證明的訓(xùn)練，主要的形式就是通過習(xí)題演練以掌握更多的證明技巧.這樣的認(rèn)識(shí)是有局限性的.讓學(xué)生經(jīng)歷從特定對(duì)象的本質(zhì)屬性入手，抽象、概括形成概念的過程，引導(dǎo)學(xué)生有條理地表述概念定義，引導(dǎo)學(xué)生分清條件、結(jié)論，把握條件、結(jié)論間的邏輯關(guān)系，讓學(xué)生遵循證明規(guī)則，通過數(shù)學(xué)推理、證明數(shù)學(xué)結(jié)論……，這些方面都是推理能力的表現(xiàn)形式.

2015年第(2)問設(shè)問的方式就是基于上述表現(xiàn)形式的思考進(jìn)行了一定的突破.寫思路的立足點(diǎn)是讓學(xué)生有條理的表述自己的思考過程，它的前提條件是“會(huì)做”此題.在“會(huì)做”的基礎(chǔ)上，學(xué)生能根據(jù)條件和結(jié)論間的邏輯關(guān)系，闡述所解決問題之間的聯(lián)系與區(qū)別，表達(dá)解決問題的思路.

2015(2)

通過分析可以發(fā)現(xiàn)，問題解決的核心是證明出△APH是等腰直角三角形.對(duì)兩問的條件與結(jié)論進(jìn)一步對(duì)比分析可知，證明AH=PH的過程是一模一樣的，所以對(duì)這一相同過程可以用“與②同理，可證△AHD≌ △PHQ，可得AH=PH”來闡述 .而對(duì)∠AHP=90°證明過程的分析發(fā)現(xiàn)，在(1)②中是∠AHD+∠PHD，(2)中是∠AHD-∠PHD，所以在闡述這一區(qū)別時(shí)應(yīng)該明確指出其推導(dǎo)過程“由∠AHP= ∠AHD-∠PHD=∠PHQ-∠PHD= 90°，可得△AHP是等腰直角三角形”.

對(duì)上面寫思路過程的分析發(fā)現(xiàn)，有條理的表述思考過程的要求是證明過程的一種思維升華，它不僅僅要求學(xué)生“會(huì)做”題目，還要求學(xué)生能把題目的邏輯結(jié)構(gòu)想明白、闡述清楚.

4 思考

4.1 幾何直觀能力與邏輯推理能力應(yīng)并重

幾何教學(xué)中偏向于邏輯推理能力的培養(yǎng)，忽略了幾何直觀能力的培養(yǎng).正如試題描述中的闡述，圖形有助于發(fā)現(xiàn)、描述問題，有助于探索、發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，也有助于理解結(jié)論.圖形可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)潔、明了，學(xué)會(huì)用圖形思考數(shù)學(xué)問題，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的體現(xiàn).

4.2 邏輯推理能力要落在思考過程中，而不是證明技巧中

推理能力的培養(yǎng)不能片面的認(rèn)為是通過習(xí)題演練掌握更多的技巧，而是在過程中去邏輯性思考問題，有機(jī)的把握條件、結(jié)論間的邏輯關(guān)系，對(duì)問題的結(jié)構(gòu)能有效的進(jìn)行闡述，在過程中感悟邏輯思考的思維方式.

4.3 幾何變換為橋梁，讓圖形運(yùn)動(dòng)起來，感受直觀，培養(yǎng)理性

幾何直觀與邏輯推理是密不可分的.幾何直觀常常是靠邏輯來支撐的，不僅是看到了什么，而是通過看到的圖形思考到了什么，這是非常重要的數(shù)學(xué)思考方式.通過思考，可以想象出一些可能點(diǎn)的結(jié)果或思路.利用幾何變換這一橋梁，通過幾何變換的基本性質(zhì)研究、推導(dǎo)出圖形的性質(zhì)，不僅能對(duì)圖形的本質(zhì)進(jìn)行認(rèn)識(shí)，同時(shí)也是對(duì)幾何直觀的一種提升.它們是相輔相成，密切聯(lián)系在一起的.

5 總結(jié)

本文以2012，2014，2015中考數(shù)學(xué)(北京卷)幾何綜合題為例，闡述了近幾年幾何綜合題的發(fā)展趨勢(shì)、主要特點(diǎn)和幾點(diǎn)思考，主要是想交流一下題目背后的思想和對(duì)教學(xué)的引導(dǎo)作用，如有不當(dāng)之處請(qǐng)批評(píng)指正.