渠東劍

(南京市秦淮區(qū)教師發(fā)展中心 南京市高中數(shù)學渠東劍工作室 210002)

課本，一定意義下是課程標準的具體化，是教師教、學生學的最權(quán)威媒體，是教學研究、教學評價與各類考試命題的重要依據(jù).課本的編寫，是眾多專家智慧的結(jié)晶，并經(jīng)過了教學實踐的檢驗，而不斷優(yōu)化與發(fā)展起來的.在教學實踐中，課本理應(yīng)得到高度重視.如果說教學要“用教材教，而不是教教材”，那么首先要“用”課本，用好課本，而用好課本的前提是理解課本，尊重課本.

例題，是數(shù)學課本的重要組成部分；例題教學，是數(shù)學教學的重要內(nèi)容.按現(xiàn)代漢語詞曲，例，用來幫助說明或證明某種情況或說法的事物.數(shù)學課本例題，則是以題目(含解題過程)的形式，進一步詮釋教學內(nèi)容、深化知識應(yīng)用與理解、突出分析問題與解決問題的過程與方法、示范解題過程的書寫.課本例題具有基礎(chǔ)性、典型性與發(fā)展性：例題往往是初學知識的“第一次”應(yīng)用，是解決相關(guān)問題的開始，故一般難度不大，適宜學生學習；在寸土寸金的課本中，例題占有一席之地，其選擇一定是精挑細選的、典型的與必要的，隨后的練習題等大都有例題的影子，讓學生的解題從模仿開始，一定意義下、一定程度地降低了客觀存在的學習難度；課本例題一般具有豐富的內(nèi)涵，因而具有發(fā)展性，例如，一些例題常被稱作“母題”，由此變式引申拓展，去解決一類問題，幾乎每一套高考試卷，均有較大數(shù)量的題目來自課本例、習題的組合、改編，絕大多數(shù)題目都可以在課本例題中找到它的影子.所以，高度重視、深刻理解、認真研究課本例題，并在實踐中努力教好課本例題，是數(shù)學教學的必然要求.重視課本必須重視課本例題，用課本教就要用好課本例題；重視課本例題就是重視課本，就是在“用課本教”.

然而，環(huán)顧當下的高中數(shù)學教學，不重視課本、甚至遠離課本已成為普遍現(xiàn)象.無論是新授課教學，還是高考復(fù)習教學，一些教師對課本例題不屑一顧，認為其“基本”、“平?！?、“單調(diào)”，對課本例題教學敷衍了事，甚至置之不理.尤其是時下導(dǎo)學案教學風靡一時，愈演愈烈，其中可能出現(xiàn)了背離教學規(guī)律的現(xiàn)象：教學設(shè)計服從于解題教學，解題教學追求題型模式，題型模式追求“高、大、上”——忽視學生學習的基本現(xiàn)實，肆意拔高教學要求，執(zhí)意強調(diào)題型全面，變式與拓展脫離實際，使學生的學習無法落地生根，……學生的學習深一腳淺一腳，教師的教學失去了定盤星.

有鑒于此，筆者選擇蘇教版教材上的一些典型例題為例，試圖去理解題目內(nèi)涵，揣摩編者用意，挖掘題目價值，探索教學實踐，……思考例題教學的應(yīng)有之義，以期拋磚引玉，使課本例題的教學回到其應(yīng)有的、重要的位置上來.

1 從學生認知視角理解課本例題

蘇教版必修1—1第三章“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”，第3.3節(jié)“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”.在3.3.1 “單調(diào)性”中，給出“導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系”的結(jié)論之后就是例題1：

確定函數(shù)f(x)=x2-4x+3在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)；

在3.3.2“最大值與最小值”中，給出“求最大值與最小值的步驟”之后，接下來就是例題，其中第1道題是：

求函數(shù)f(x)=x2-4x+3在區(qū)間[-1,4]上的最大值與最小值.

這兩道例題所研究的對象，是學生再熟悉不過的二次函數(shù)，所要解決的問題(單調(diào)性、最大值與最小值)早已為學生所掌握，而且從初中到高中不止一次地研究過，可以說這兩道題所要研究的問題，對學生而言是已經(jīng)解決的問題，似乎在這里再出現(xiàn)已無必要.正因為如此，一些教師、甚至一些學生對此有所不屑，教學要么一帶而過，要么棄之不用.然而，將題目放在例1的位置，明明是要突出其重要性的.那么，編者為什么要這樣安排呢？

其實，這要從學生認知發(fā)展的角度去理解.學生剛剛學習的新知識，其認識是膚淺的，認知結(jié)構(gòu)是不穩(wěn)固的，尚缺乏心理認可.特別是，這里的單調(diào)性、最大值與最小值問題，研究的方法變了，結(jié)論的形式是新的.面對新舊認知的矛盾與沖突，學生難免會產(chǎn)生一些疑惑.例如，此單調(diào)性與彼單調(diào)性、此最值與彼最值相同嗎？若相同，為何對已研究過的問題還要重新研究？這里的結(jié)論可信嗎？……按建構(gòu)主義理論，學生學習建構(gòu)新知識，要基于已有認知結(jié)構(gòu)，打破已有的認知結(jié)構(gòu)，將新知識納入到已有的認知結(jié)構(gòu)中去.具體到這里，就需要打通單調(diào)性與最值新舊知識之間的聯(lián)系，用已有的知識去理解新知識，并建立新舊知識間的聯(lián)系，實現(xiàn)認知的發(fā)展.此時，借用學生所熟悉的簡單的二次函數(shù)作為載體，用剛剛得到的結(jié)論去研究其單調(diào)性與最值，自然會與原有的認知相互印證，從而達到心理認可，產(chǎn)生積極的學習效果.

因此，用聯(lián)系的觀點、比較的方法去教好這兩道“簡單題”，讓學生“起好步”，是必要的、不可跳過的一步.如果我們借口題目簡單，且屬于已經(jīng)解決了的問題，將其舍棄，直接進入較為復(fù)雜的例題教學，例如，選擇一些非用導(dǎo)數(shù)不能解決單調(diào)性或最值問題的函數(shù)，則可能打破認知的連續(xù)性，違反了循序漸進的認知規(guī)律.

當然，基于這樣的認知起點，實現(xiàn)認知的循序漸進，還在于認知的深化與發(fā)展.例如，課本緊接著上面的兩例，各自給出相應(yīng)的例2，對象為三次函數(shù)，即分別研究三次函數(shù)的單調(diào)性與最值問題.而三次函數(shù)就沒有了上述已有的認知基礎(chǔ)，相對學生而言是陌生的，相對于問題的解決，已有的知識與方法不能解決新的問題了，怎么辦？矛盾的沖突自然開啟“非用導(dǎo)數(shù)不可”的話題.而這個新的方法則是剛剛學過的、為已有認知所檢驗過的、深信不疑的.這正是認知的自然發(fā)展、學習新知識的動力所在.從這一點看，編者這樣的安排，由淺入深，自然而然，確是匠心獨運的了.

2 從整體結(jié)構(gòu)視角理解課本例題

蘇教版必修4第一章“三角函數(shù)”第1.4節(jié)“三角函數(shù)的應(yīng)用”，課本給出2道例題和一個探究案例，其中例2是：

一半徑為3m的水輪如圖1所示，水輪圓心O距離水面2m,已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動4圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時(圖中點P0)開始計算時間.

(1)將點P距離水面的高度z(m)表示為時間t(s)的函數(shù)；

(2)點P第一次到達最高點大約要多長時間？

圖1

按照本節(jié)標題分析該例題的教學，似乎主要是體現(xiàn)“三角函數(shù)的應(yīng)用”，具體地，就是正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的應(yīng)用，教學也應(yīng)圍繞如何“用”知識解決實際問題去展開.其實不盡然.

首先，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)是描述較為復(fù)雜周期現(xiàn)象的數(shù)學模型：從函數(shù)關(guān)系分析，可以認為是由正弦函數(shù)、一次函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)；從幾何背景觀察，相對于點(cosα,sinα)刻畫單位圓上質(zhì)點的勻速運動(角速度為1，從點A(1,0)出發(fā))而言，可以刻畫更為一般的圓周運動(半徑A≠1，角速度ω≠1，可以從一般位置出發(fā))；從生活背景理解，富有豐富的現(xiàn)實意義，例如刻畫潮汐現(xiàn)象的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+K，其中的A,ω,φ,K都有明確的現(xiàn)實意義.因此，研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)，自然要明白它的來龍去脈.

其次，圍繞函數(shù)y=Asin(ωx+φ)知識的發(fā)展線索，我們整體把握課本組織結(jié)構(gòu)：以“摩天輪情境”引入課題，建立三角函數(shù)的概念，在研究函數(shù)y=sinx,y=cosx的圖象與性質(zhì)時，偶有涉及正弦型函數(shù)，主要是“五點法”作圖、換元法求其單調(diào)區(qū)間與最值，等；爾后，專門用一節(jié)的篇幅研究了函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)，不過用“告知”的方式交代了該函數(shù)的生活、物理與工程等背景，故而這個函數(shù)怎么來的，為什么會是這種形式，似乎還缺乏應(yīng)補的一課.

第三，從課程標準“內(nèi)容與要求”分析.課程標準相關(guān)“內(nèi)容與要求”是：“結(jié)合具體事例，了解y=Asin(ωx+φ)的實際意義……會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是周期現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.”筆者認為，具體到該例題的教學，應(yīng)從以下幾個方面去把握：例題教學就是“結(jié)合具體事例”的絕好機會，而且就整體把握教材而言是最后的機會了；問題的解決過程，正是“用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題”的過程；例題的教學過程，既是用三角函數(shù)解決實際問題，是在教學生“會用……”，又是通過解決問題的建模過程，達到 “結(jié)合具體事例，了解……”的目的.學習數(shù)學模型的最好方法是親身經(jīng)歷建立模型的過程，讓學生從實際背景出發(fā)，將實際問題抽象為數(shù)學問題，并圍繞數(shù)學問題的解決，去經(jīng)歷一系列探究活動過程：怎樣想到建立坐標系的，如何建立坐標系，并聯(lián)系回顧周期概念……就顯得十分重要.至于三角函數(shù)的應(yīng)用，自然融合在上述過程中了.

第四，立足于學生能力的發(fā)展，該例題的教學，必然要突出建立數(shù)學模型的全過程，體現(xiàn)解決現(xiàn)實問題的一般方法，促進學生分析問題與解決問題的提高.即從審題開始，將現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型，解決數(shù)學問題(數(shù)學模型)，回應(yīng)回答現(xiàn)實問題.這樣的過程，既要讓學生親歷親為，又要在“小結(jié)與拓展”階段，啟發(fā)引導(dǎo)學生去感悟、總結(jié)，以期達到對知識的再回顧，對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的再建構(gòu)，對研究方法認識的再深化.

基于上述分析，我們對該例題的教學就不那么茫然、輕率了.相反，該例題的教學要承載更多的內(nèi)涵，教學具有挑戰(zhàn)性，也將大有可為.

3 從思想方法視角理解課本例題

蘇教版必修5第三章“不等式”第3.2節(jié)“一元二次不等式”，課本首先以具體的一元二次不等式的例子，利用數(shù)形結(jié)合方法，借助于一元二次函數(shù)圖象，探究出解一元二次不等式的一般步驟：第一步，解方程；第二步，畫出拋物線的草圖；第三步，觀察圖象，得不等式的解集.緊隨其后，給出例1：

解下列不等式：

(1)x2-7x+12>0； (2)-x2-2x+3≥0；

(3)x2-2x+1<0； (4)x2-2x+2>0 .

其后的解題示范過程就是重復(fù)上述的解一元二次不等式的步驟.

這組不等式是較為簡單的，也是學生所熟悉的.雖然此前沒有課本相關(guān)章節(jié)去專題解決這類問題，但是，就求解這類不等式問題來說，學生可能并無困難.他們在“二次函數(shù)”、“集合”、“函數(shù)”等有關(guān)內(nèi)容學習過程中，已多次遇到這類不等式，也掌握了因式分解、畫圖象觀察等解題方法.那么，怎樣認識這些簡單的問題出現(xiàn)在這里，特別是在第一個例題的位置，且其解法一成不變地重復(fù)上述步驟呢？

首先，這幾個問題雖然簡單，但類型各異：二次項系數(shù)有正有負，不等號有大于(大于或等于)有小于，其判別式有正有負……但其解法都可以利用本課伊始探究的一般步驟.因而這個一般步驟具有一般的“算法”的特點，具有較強的可操作性，是學生應(yīng)該掌握的.

其次，更為重要的，該解題步驟突出了函數(shù)、方程與不等式的數(shù)學思想：解不等式——解方程——畫函數(shù)圖象，這分明是將不等式的研究統(tǒng)一到函數(shù)的大背景下，即將不等式、函數(shù)與方程聯(lián)系起來、統(tǒng)一起來，進而用函數(shù)統(tǒng)領(lǐng)函數(shù)、方程與不等式研究全局.這正是中學數(shù)學的核心知識、觀點與方法.

再次，問題解決的過程蘊含了豐富的數(shù)學思想方法：函數(shù)、方程與不等式、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論，等.看似簡單，實則寓意深遠.

具體到這幾道問題的解決，也許上述三個步驟與因式分解相比沒有多大優(yōu)勢，一成不變地強調(diào)三個步驟沒有太多意義，但從課本的整體結(jié)構(gòu)把握，尤其是突出函數(shù)這一大觀點、大方法去考慮，也許結(jié)論就是相反的了.因此在這里，突出解不等式的三個步驟，并一以貫之地執(zhí)行，既是問題解決自身的需要，更是突出核心觀點方法的必然，還有著眼于知識發(fā)展的眼光——當后面遇到含有參數(shù)的一元二次不等式問題，特別是需要多層級分類討論的問題時，將更加凸顯函數(shù)思想方法的優(yōu)越性，甚至是不二的選擇.

4 從解題示范視角理解課本例題

蘇教版必修2第一章“立體幾何初步”第1.2.2節(jié)“空間兩直線的位置關(guān)系”，在公理4后給出例1及其證明過程：

如圖2，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E,F分別是AB,BC的中點，求證：

EF∥A1C1.

證明：連結(jié)AC，在△ABC中，因為E,F分別是AB,BC的中點，所以EF∥AC.

又因為AA1BB1，BB1CC1，所以AA1CC1，

從而四邊形AA1C1C是平行四邊形，所以AC∥A1C1.

從而EF∥A1C1.

圖2

一些教師認為，該題非常簡單：圖形直觀，位置關(guān)系清楚，推理過程簡單，學生學習沒有困難，故在教學中不愿著力，甚至對該例題置之不理.這是沒有深刻理解題目的表現(xiàn).

筆者認為，該例題意在做出兩個示范：一是用演繹推理方法去證明立體幾何問題，展示嚴密的邏輯推理鏈條，體現(xiàn)推理方法，明確哪些是條件，哪些是結(jié)論，從條件推得結(jié)論有何依據(jù)；二是規(guī)范的書寫表達過程，即將每一個推理的邏輯段串連而成邏輯鏈，處在中間位置的，既是上一個邏輯段的結(jié)論，又是下一個邏輯段的條件，推理步步有據(jù)，環(huán)環(huán)相扣.須知，這是蘇教版“立體幾何初步”例題中的第一道證明題，對引導(dǎo)學生執(zhí)果索因，尋找推理的源頭，用數(shù)學符號語言規(guī)范表達交流，重視演繹推理，學習理性精神，形成實事求是的科學態(tài)度，無疑具有積極的、重要的意義.

聯(lián)想這些年高考數(shù)學江蘇卷閱卷情況，對學生的書寫表達有較高的要求，特別是立體幾何證明問題，要求學生必須思路清楚、推理嚴謹、表達規(guī)范.一些教師在高三復(fù)習教學時，比較重視學生的書寫表達，立體幾何證明題尤甚.但學生的答卷卻不能令人滿意.究其原因，可能與平時教學沒有落實到位有關(guān).例如，在本例題中，雖然AA1CC1是顯而易見的，但卻是不能直接利用的現(xiàn)成結(jié)論，需要根據(jù)長方體的性質(zhì)，應(yīng)用公理4去論證.因此，在本題教學過程中，要讓學生經(jīng)歷并體會一般的解題過程：怎樣分析問題，已知什么，要證什么；而要完成這樣的證明，又要做什么；明確哪些是條件，哪些是結(jié)論，由條件推得結(jié)論的依據(jù)在哪里，為什么；怎樣用數(shù)學語言規(guī)范表達……

5 從知識發(fā)展視角理解課本例題

蘇教版必修4第二章“平面向量”第2.2.3節(jié)“向量的數(shù)乘”，先以例題形式給出“三角形中位線定理”背景下的向量共線問題情境，然后給出向量共線定理及其證明，緊接著呈現(xiàn)了如下例題：

圖3

這是一道內(nèi)涵豐富、聯(lián)系廣泛、生長潛力巨大的題目.教學不應(yīng)該就題論題，可以視學情允許，關(guān)注后續(xù)課程發(fā)展，適時進行可能的探究學習.要充分挖掘該題的價值，突出知識聯(lián)系與發(fā)展，提高學生思維能力.這里，僅就知識層面，給出該題的拓展與可能的探究方向.

圖4

圖5

(5)定比分點公式.該結(jié)論實際上是向量形式的定比分點公式，若在隨后學習向量的坐標表示時，以坐標代入，即可得到坐標形式的定比分點公式

總之，課本例題蘊含著豐富的寶藏，需要我們?nèi)ラ_發(fā).用好課本例題的前提在于讀懂例題；讀懂例題需要從多個視角，立足于教材的整體把握，著眼于學生的長遠發(fā)展利益.在讀懂課本例題的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造性地設(shè)計適合的、屬于自己的、屬于所教學生的教材.“沒有最好，只有更好.”讓我們一道努力探索下去.