何聲清，綦春霞

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八年級學生數學概念表征及其對學業(yè)成績的影響機制——基于Z省的大規(guī)模測試

何聲清1，綦春霞1，2

（1．北京師范大學 教育學部，北京 100875；2．北京師范大學 未來教育高精尖創(chuàng)新中心，北京 100875）

依托大規(guī)模紙筆測試，以Z省34?412名八年級學生為被試考察數學概念表征及其對學業(yè)成績的影響機制．結果表明，概念表征得分排序從高到低依次是符號表征、語言表征、圖象表征及結構表征；男生結構表征顯著優(yōu)于女生，女生在其它表征方面均顯著優(yōu)于男生；結構表征通過其它表征對數學學業(yè)成績及各內容領域成績的間接影響均達顯著，且貢獻大于直接影響；在間接影響路徑中，通過符號表征的影響最大，通過語言表征的影響次之；概念表征對三大內容領域的影響機制存在差異．對課程與教學的建議有：關注學生數學體系的整體建構；培養(yǎng)學生多元表征及其相互轉化的能力；重視數學符號意識及數學交流能力的培養(yǎng)；關注概念表征對不同內容領域學業(yè)成績影響的差異；關注概念表征的性別差異．

八年級；符號表征；圖象表征；語言表征；結構表征；學業(yè)成績

1 問題提出

除了理論分析以外[9-12]，中國研究者已然對學前[13]、小學[14-15]、初中[16-17]及高中[18-19]階段學生數學概念表征的現(xiàn)狀及年級差異[20-21]、群體差異[22-23]、影響因素[24-26]等進行了諸多實證研究．此外，已有研究也一再證實了概念表征對于數學概念理解[27-28]、問題解決[29-30]及學業(yè)成績[31-32]的積極影響．數學概念的表征具有多元性[33]．數學學業(yè)測試在知識和能力要求上則具有綜合性，而當前有關數學概念表征對學業(yè)成績影響的研究多聚焦于某一類表征，尚缺乏多元表征對學業(yè)成績影響及其具體機制的考察．此外，數學學科的不同內容領域在概念表征的側重上有所差異，因此各類表征對不同內容領域的影響機制也可能存在差異．除了上述具體形式的表征之外，對數學知識結構、體系的整體把握是知識建構的必要前提[34]．例如，有關概念圖[35-37]、數學聯(lián)接[38-39]、變式教學[40-41]等領域的研究都一再表明，整體把握知識之間的結構（層級關系、包含關系、類比關系，等）對數學概念的形成和發(fā)展有重要意義．在學業(yè)測試等綜合性的測試中，也應將概念的結構表征置于其他具體表征之前．鑒于此，通過構建數學概念表征對學業(yè)成績影響的模型，依托中國基礎教育質量監(jiān)測的大規(guī)模紙筆測試，考察八年級學生數學概念表征及其對學業(yè)成績的影響機制，并據此對課程和教學提出相應建議．

2 研究方法

2.1 被試

基于大規(guī)模紙筆測試從Z省收集數據，該省是中國東部某發(fā)達省份，其經濟、教育基本處于上等水平．采取分層隨機取樣方法，從該省11個市的城市、縣城、鄉(xiāng)鎮(zhèn)3類地區(qū)抽取八年級被試34?412名，其中男性被試18?033名，女性被試16?379名．選取八年級學生為被試的原因是，國際范圍內的數學學業(yè)成就測試（如，TIMSS[42]和PISA[43]）均以八年級為對象，這為中國數學學業(yè)質量監(jiān)測提供了理論和實踐基礎．

表1 被試情況

2.2 測試工具

（1）概念表征問卷．

結合八年級學生的認知水平和測試需要，對已有的概念表征模型進行適當修訂，形成了包含符號表征、圖象表征、語言表征及結構表征的四維表征問卷．其中，符號表征是指用數學符號、公式等解釋和理解數學概念；圖象表征是指用畫圖、列表等解釋和理解數學概念；語言表征是指用語言文字解釋和理解數學概念；結構表征是指通過將當前概念與其它概念聯(lián)系、對比等理解數學概念．以函數=2+1為例，4類表征的基本形式如圖1．

圖1 函數概念的多元表征

內部一致性系數分析表明，問卷具有較高的同質性信度（=0.759）．

（2）數學學業(yè)測試．

數學學業(yè)測試以《義務教育數學課程標準（2011年版）》為依據，結合現(xiàn)行教材的內容設置，從內容維度（數與代數、圖形與幾何及統(tǒng)計與概率）和認知維度（了解、理解、掌握及運用）兩方面考察八年級學生數學學業(yè)表現(xiàn)．以A卷M8AO061題為例，該題在內容維度上屬于“數與代數”，在認知維度上屬于“理解”，主要考察學生利用函數圖象刻畫變量間關系的能力，在情境設置上貼近生活實際和日常經驗．

小晴在蕩秋千，在不加推力的情況下，可以描述她蕩秋千過程中高度隨時間變化的圖象是（ ）．

在該測試中，使用了A、B兩套平行卷，每一個測試題目都明確厘定了其考察的內容維度和認知維度并進行了編碼．內部一致性系數分析表明，兩套測試卷均具有較高的同質性信度（A卷=0.908；B卷=0.897）．

（3）測試程序．

借鑒國際大規(guī)模測試的經驗，命題組在從試題設計到組織施測的過程中，先后經歷了組建命題專家隊伍、制定測試方案、編制測試框架及細目表、征集題目、6人訪談、300人預測試、國際專家評審等環(huán)節(jié)，其間幾易其稿，明確了每個測試題考察的內容和能力水平，確保了測試的科學性和規(guī)范性[44]．

（4）模型構建．

鑒于綜合性測試對學生數學知識的整體考察，將結構表征作為影響學業(yè)表現(xiàn)的直接變量（）；鑒于不同數學內容領域知識在表征形式（符號表征、圖象表征、語言表征）側重上有所差異，將上述3類表征作為影響學業(yè)成績的間接變量（分別記為1、2、3）．

3 研究結果

3.1 八年級學生數學概念表征的傾向性

對Z省八年級學生數學概念表征進行總體分析，數學概念表征得分從高到低依次是符號表征（=3.4，=0.811）、語言表征（=3.28，=0.854）、圖象表征（=3.21，=0.859）及結構表征（=2.76，=0.948）．

為進一步證實八年級學生概念表征傾向性的差異，對Z省11個地級市八年級學生數學概念表征進行具體分析（圖2），各市學生數學概念表征的得分排序基本一致，從高到低依次均是符號表征、語言表征、圖象表征及結構表征．這再一次說明，八年級學生對于符號表征的傾向性較高，而結構表征的傾向性較低．

圖2 Z省11個地級市八年級學生數學概念表征傾向性比較

男、女生概念表征的得分排序也基本一致，從高到低依次均為符號表征、語言表征、圖象表征及結構表征（圖3）．

對不同性別學生概念表征得分進行差異檢驗，男生結構表征顯著優(yōu)于女生（Δ=0.09，=8.835，＜0.001），女生在符號表征（Δ=-0.111，=-12.787，＜0.001）、圖象表征（Δ=-0.156，=-16.913，＜0.001）及語言表征（Δ=-0.074，=-8.02，＜0.001）方面均顯著優(yōu)于男生．

圖3 男女生概念表征傾向性比較

3.2 概念表征對數學學業(yè)成績的影響

（1）描述性統(tǒng)計結果．

若不考慮人口學變量“性別”，其他關涉變量間均存在顯著性正相關（所有＜0.001）．具體而言（表2），數學總分與各類表征的相關介于0.15~0.27之間，三大內容領域得分與各類表征的相關介于0.088~0.252之間，說明學生的數學學業(yè)成績及各內容領域的學業(yè)成績均與學生的概念表征密切相關，符合理論預期．此外，性別與數學學業(yè)成績、各內容領域成績及概念表征之間均存在顯著性相關（所有＜0.001），因此在后續(xù)分析中將其作為控制變量．

表2 關涉變量的均值與標準差及相關系數

注：***表示<0.001

（2）概念表征對數學學業(yè)成績的影響機制．

以性別為控制變量，以結構表征為自變量，以符號表征、圖象表征及語言表征為中介變量，以數學總分為因變量，采用Bootstrap方法重復抽樣5?000次進行回歸系數的顯著性檢驗，以獲得參數估計的穩(wěn)健標準誤（）及95%偏差校正的信賴區(qū)間（），結果如表3所示．

結構表征對符號表征（1=0.281，=0.272~0.289）、圖象表征（2=0.383，=0.374~0.391）及語言表征（3=0.354，=0.346~0.363）均有顯著的直接正向影響，對數學總分（=1.313，=1.045~1.58）也有顯著的直接正向影響．符號表征（1=5.694，=5.349~6.039）及語言表征（3=2.402，=2.068~2.736）對數學總分均有顯著的直接正向影響，圖象表征（2=-0.632，=-0.96~-0.304）對數學總分有顯著的直接負向影響．

結構表征通過符號表征（11=1.597，=1.478~1.718）及語言表征（33=0.851，=0.723~0.981）對數學總分有間接正向影響且均達顯著，通過圖象表征（22=-0.242，=-0.374~-0.117）對數學總分有間接負向影響且達顯著．

整體而言，結構表征對數學學業(yè)成績的直接影響（1=1.313，=1.045~1.58，效應量為37.3%）及間接影響（2=2.207，=2.049~2.361）均達到顯著．在3條間接影響路徑中，通過符號表征的影響最大（效應量為45.37%），通過語言表征的影響次之（效應量為24.18%），通過圖象表征有一定負向影響，且上述路徑之間差異顯著（符號-圖象=1.839，=1.648~2.038；符號-語言=0.746，=0.547~0.944；圖象-語言=-1.093，=-1.297~-0.895）．

（3）概念表征對數學內容領域成績的影響機制比較．

以性別為控制變量，以結構表征為自變量，以符號表征、圖象表征及語言表征為中介變量，分別以“數與代數”、“圖形與幾何”及“統(tǒng)計與概率”三大內容領域得分為因變量，采用Bootstrap方法重復抽樣5?000次進行回歸系數的顯著性檢驗，以獲得參數估計的穩(wěn)健標準誤（）及95%偏差校正的信賴區(qū)間（），結果如表4所示．

表3 概念表征對數學學業(yè)成績的影響機制分析

注：各系數均為非標準化值，下同

表4 概念表征對數學三大內容領域的影響機制比較

注：結構表征，1符號表征，2圖象表征，3語言表征

概念表征對三大內容領域的影響機制存在差異．在“數與代數”領域，結構表征對該領域成績的直接影響（1=0.929，=0.783~1.076）及間接影響（2=1.03，=0.947~1.113）均達顯著．在3條間接影響路徑中，通過符號表征的影響最大（11=0.833，=0.768~0.895），通過語言表征的影響次之（33=0.414，=0.346~0.484），通過圖象表征有一定負向影響（22=-0.217，=-0.284~-0.145），且上述路徑之間差異顯著（符號-圖象=1.05，=0.943~1.152；符號-語言=0.419，=0.312~0.524；圖象-語言=-0.63，=-0.741~-0.526）；在“圖形與幾何”領域，結構表征對該領域成績的直接影響（1=0.358，=0.24~0.476）及間接影響（2=0.961，=0.891~1.029）均達顯著．具體而言，通過圖象表征的影響未達顯著（22=-0.013，=-0.068~0.044），在兩條顯著的影響路徑中，通過符號表征的影響最大（11=0.619，=0.567~0.673），通過語言表征的影響次之（33=0.355，=0.297~0.411），且兩條路徑之間差異顯著（符號-語言=0.263，=0.176~0.352）；在“統(tǒng)計與概率”領域，結構表征對該領域成績的直接影響（1=0.025，=-0.007~0.057）不顯著，間接影響（2=0.216，=0.198~0.235）達到顯著．具體而言，通過圖象表征的影響未達顯著（22=-0.012，=-0.027~0.003），在兩條顯著的影響路徑中，通過符號表征的影響最大（11=0.146；=0.132~0.161），通過語言表征的影響次之（33=0.082；=0.066~0.097），且兩條路徑之間差異顯著（符號-語言=0.064；=0.041~0.088）．

進一步，就概念表征對數學三大內容領域的影響路徑效應量進行了比較（表5）．結果表明，在“數與代數”領域，結構表征對學業(yè)成績的直接影響最強，其效應量近乎所有影響路徑的一半；通過符號表征的間接影響次之，其效應量達到40%以上；通過語言表征的間接影響最小，通過圖象表征的間接影響意義不大．在“圖形與幾何”領域，結構表征通過符號表征對學業(yè)成績的間接影響最強，其效應量近乎所有影響路徑的一半；結構表征的直接影響與其通過語言表征的間接影響相當．在“統(tǒng)計與概率”領域，結構表征通過符號表征的間接影響最強，其效應量高達60%以上；結構表征通過語言表征的間接影響次之；結構表征的直接影響及其通過圖象表征的間接影響均未達顯著．可見，符號表征在所有內容領域學業(yè)成績的影響路徑中均有顯著且較高的中介作用；語言表征在所有內容領域學業(yè)成績的影響路徑中也均有顯著的中介作用但效應量相對較低；符號表征在所有內容領域學業(yè)成績的影響路徑中均無顯著的正向中介作用；結構表征對“數與代數”及“圖形與幾何”領域學業(yè)成績有直接的正向作用，但對“統(tǒng)計與概率”領域的直接效果則未達顯著．

表5 概念表征對數學三大內容領域的影響路徑效應量比較

注：結構表征，1符號表征，2圖象表征，3語言表征；效應量僅作各內容領域的內部比較

4 討論與建議

4.1 關注學生數學體系的整體建構

結構表征對數學學業(yè)成績及各內容領域（除“統(tǒng)計與概率”以外）的直接影響均達顯著，但學生結構表征得分相對較低．建構主義認為，數學學習是通過建立新舊知識之間的聯(lián)系，將新知識納入原有知識體系或將原有知識適當改造以適應新知識的過程．換言之，學生對于某概念的理解除了能夠在概念的符號表征、語言表征及圖象表征之間進行內部轉換之外，還應能將該概念納入到更大的知識譜系中與其它的概念進行比較、區(qū)分或融合．尤其在數學問題解決及綜合性測試中，學生更需要綜合頭腦中已經習得的概念，進行適當提取和運用．“結構表征最有利于元認知監(jiān)視和正確解題，是最佳的表征方式．”[45]以幾何證明為例，面臨名目繁多的定義、命題、基本事實、定理等（如“過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”，“角平分線上的點到角兩邊的距離相等，角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上”），學生要對其進行語言表征，將書面的知識進行內化；在證明的過程中，學生需要用運算符號刻畫邏輯演繹的過程，這需要學生對知識進行符號表征；證明過程常常需要學生進行作圖、添加輔助線、借助幾何直觀等，這涉及到知識的圖象表征．然而，僅僅局限于以上，幾何證明常常寸步難行，而更加需要學生對各個性質、定理進行全面聯(lián)系和體系建構，在頭腦的知識體系中合理選擇論證依據，幾何證明才能水到渠成．

4.2 培養(yǎng)學生多元表征及其交互的能力

數學概念的多元表征協(xié)同影響了數學學業(yè)成績．結構表征盡管對綜合性的學業(yè)測試有直接影響（37.3%），但它的影響更多地是通過其它表征而間接實現(xiàn)（62.7%）．“統(tǒng)計與概率”領域的學業(yè)成績甚至完全依賴于結構表征的間接影響，這或許因為義務教育階段所涉及的該領域內容不多，學生對其尚未發(fā)展成系統(tǒng)的知識結構，進而其它表征的作用被凸顯．概念的多元表征及其交互對數學學習有積極影響，這也得到了相關研究的支撐：概念表征間的轉換和交互能加深數學理解[46]及有助于問題解決[47]．不同的表征形式反映了概念的不同側面，從整合的表征中獲取的信息比從單一的表征中獲取的要多[48]．仍以函數概念為例，它有4種基本的表征形式（列表、公式、圖象及語言）．其中列表形式的函數比較直觀地呈現(xiàn)了自變量和因變量的對應關系，但是不利于進行運算；公式形式是函數最抽象的表征方式，它簡要地刻畫了變量之間的數學關系；圖象形式是函數最直觀的表征方式，它不僅刻畫了自變量和因變量的對應關系，更生動地描述了兩者的相依及變化關系；語言形式是用文字描述函數的概念和意義，是學生理解函數概念必要的環(huán)節(jié)．此外，《課程標準（2011年版）》還對函數概念各類表征的適當選擇及其相互轉換提出了基本要求[8]：“能用適當的函數表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關系”；還強調了生活背景（現(xiàn)實情境表征）對于函數概念理解的重要意義，指出“能舉出函數的實例，能結合圖象對簡單實際問題中的函數關系進行分析”．

4.3 重視數學符號意識及數學交流能力的培養(yǎng)

在結構表征的基礎上，符號表征及語言表征對學業(yè)成績的中介效果均達顯著；在“圖形與幾何”及“統(tǒng)計與概率”領域，通過符號表征的間接效果貢獻甚至大于結構表征的直接效果．符號表征是數學抽象化過程中的必要環(huán)節(jié)，僅僅停留在數學的直觀表征層面則無法企及數學概念的深層次理解．數學交流是指學生用自己的語言對數學概念、觀點等進行闡述，是一個對數學概念深度內化的過程，能夠幫助學生獲得對數學概念的個性化理解．《課程標準（2011年版）》對上述兩類表征都做了明確的強調[8]，把“符號意識”作為學生數學能力的十個關鍵詞之一，“符號意識是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性．建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式．”在“綜合與實踐”中則提出“會反思參與活動的全過程，將研究的過程和結果形成報告或小論文，并能進行交流．”

4.4 關注概念表征對不同內容領域學業(yè)成績影響的差異

概念表征對數學三大內容領域的影響路徑效應量存在較大差異，這也基本符合各內容領域知識屬性的特征：中學階段“數與代數”領域知識量較大且基本形成了前后連貫的知識體系，這對學生的結構表征提出了較高要求；其承載的核心能力主要有數感、符號意識、運算能力、模型思想、推理能力等，這對學生的符號表征及語言表征提出了較高的要求．“圖形與幾何”領域在知識量上也有較大比重，符號化的幾何證明是該領域的特征之一，這對學生的符號表征提出了較高要求；此外，該領域的核心目標之一是邏輯推理能力的培養(yǎng)，而在演繹推理的語境之下，除了符號表征以外，學生的語言表征能力也扮演著重要角色；當然，該領域充斥著大量的性質、定理且它們之間存在嚴格的邏輯遞進關系，這需要學生在其知識體系中形成相對系統(tǒng)的結構表征，以便在邏輯推理中靈活運用；比較意外的是，該領域還承載著幾何直觀、空間觀念等能力的培養(yǎng)，然而圖象表征對該領域學業(yè)成績的間接影響未達顯著．“統(tǒng)計與概率”領域在知識量上相對較少，且義務教育階段在該領域內容的設置上相對松散，更多的該領域知識在高中階段才正式學習．在綜合性測試中，該領域知識的考查范圍也常常有限，對學生的結構表征相對而言沒有過高的要求，因而結構表征對該內容領域學業(yè)成績的直接影響未達顯著．盡管如此，該領域承載著數據分析能力的培養(yǎng)，而在此過程中，學生的運算能力及符號意識也扮演者較為重要的角色．

4.5 關注概念表征的性別差異

男、女生在數學概念表征方式上存在差異，男生更傾向于結構表征，女生則更傾向于其它方面的表征．這在一定程度上反應了男、女生數學學習策略上的差異，前者注重體系建構，后者注重概念內部的多元理解．為此，教師應能適應男、女生在概念表征及理解上的差異，針對不同的學習人群進行適當的差異教學．

5 結論

八年級學生數學概念表征得分排序從高到低依次是符號表征、語言表征、圖象表征及結構表征；上述排序在各地區(qū)之間、不同性別之間均沒有差異．

男生結構表征顯著優(yōu)于女生，女生在其它表征方面均顯著優(yōu)于男生．

結構表征對數學學業(yè)成績的直接影響及間接影響均達顯著，直接影響貢獻小于間接影響；各間接影響路徑差異顯著，通過符號表征的影響最大，通過語言表征的影響次之．

概念表征對三大內容領域的影響機制存在差異．在“數與代數”領域，結構表征對該領域成績的直接影響及間接影響均達顯著，二者貢獻相當；間接影響路徑差異顯著，通過符號表征的影響最大，通過語言表征的影響次之．在“圖形與幾何”領域，結構表征對該領域成績的直接影響及間接影響均達顯著，且直接影響貢獻小于間接影響；僅通過符號表征及語言表征的影響顯著，且兩條路徑之間差異顯著，前者大于后者．在“統(tǒng)計與概率”領域，僅間接影響達到顯著；在間接影響中，僅通過符號表征及語言表征的影響顯著，且兩條路徑之間差異顯著，前者大于后者．

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[責任編校：周學智]

Eighth Graders’ Mathematical Conceptual Representation and Its Impact Mechanism on Academic Performance: Large-Scale Test in Z Province

HE Sheng-qing1, QI Chun-xia1, 2

(1. Faculty of Education, Beijing Normal University, Beijing 100875, China;2.Beijing Advanced Innovation Center for Future Education, Beijing 100875, China)

The present large-scale test chose 34?412 eighth graders from Z province as the subjects to investigate mathematical conceptual representation and its impact mechanism on academic performance. The results shown that eighth graders’ propensity of conceptual representation from high to low was symbolic representation, pictorial representation, linguistic representation and structural representation; Males shown preference to structural representation while females tend to others; The indirect impact mediated by other representations from structural representation to mathematics score and three content scores were both significant, and the effect size was bigger than direct impact; Among the indirect impact paths, the effect size was highest when mediated by symbolic representation, and linguistic representation followed; The impact mechanism was different among different content areas. Suggestions to curriculum and instruction were that, to cultivate students’ ability of multiple representation and the transformation among them; To help students constructing their own mathematics system; To attach attention to the symbols consciousness and mathematical communication ability; To pay attention to the influential path among different content areas; To pay attention to gender difference in conceptual representation.

eight graders; symbolic representation; pictorial representation; linguistic representation; structural representation; academic performance

G622.0

A

1004–9894（2017）06–0060–07

何聲清，綦春霞．八年級學生數學概念表征及其對學業(yè)成績的影響機制——基于Z省的大規(guī)模測試[J]．數學教育學報，2017，26（6）：60-66．

2017–06–04

北京師范大學未來教育高精尖創(chuàng)新中心項目——中學數學學科診斷分析工具開發(fā)與應用研究（BJAICFE2016SR-008）；2016年國家建設高水平大學公派研究生項目（留金發(fā)[2016]3100）；中國基礎教育質量監(jiān)測協(xié)同創(chuàng)新中心“區(qū)域質量健康體檢項目”子項目——中學數學學業(yè)質量診斷與反饋（105006）

何聲清（1988—），男，安徽安慶人，博士生，主要從事數學教育研究