吳穎康，鄧少博，楊 潔

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數學教育中學習進階的研究進展及啟示

吳穎康，鄧少博，楊 潔

（華東師范大學 數學系，上海 200241）

學習進階的概念源于美國科學教育領域．從國際視野來看，數學教育中的學習進階研究正處于起步階段，可基本分為兩大類．第一類是關于學習進階的基礎性研究，即以實證方法建立描述學生關于某數學學習主題認知縱深發(fā)展的學習進階，第二類是學習進階在數學課程、教學和評價等領域的應用性研究．在簡述學習進階涵義和特征之后，以因數概念為例介紹學習進階的建立過程和方法，呈現并分析學習進階在數學評價、課程和教學等領域的應用性研究示例，最后指出要充分認識學習進階在數學教育中的理論價值和實踐意義，要以學習進階的基礎性研究為根基，積極推廣其在數學課程、教學和評價等領域中的應用性研究．

學習進階；數學教育；研究；啟示

學習進階的概念源于美國科學教育領域．2005年美國國家研究理事會（National Research Council，簡稱NRC）在關于K-12年級科學成就測試的工作報告中正式提出了學習進階的概念，以克服美國科學課程內容分散且缺少聯系的弊端，促使課程和評估的一體化．近年來，學習進階逐漸進入數學等其它學科的教育教學領域．從國際視野來看，數學教育中的學習進階研究正處于起步階段，可基本分為兩大類．第一類是關于學習進階的基礎性研究，即以實證方法建立描述學生關于某數學學習主題認知縱深發(fā)展的學習進階，第二類是學習進階在在數學課程、教學和評價等領域的應用性研究．這里首先簡述學習進階的涵義和特征，其次以因數概念為例介紹學習進階的建立過程和方法，接著呈現學習進階在數學評價、課程和教學等研究領域中的應用性研究示例，最后在分析中國學習進階研究現狀的基礎上提出若干建議，以期對推動中國學習進階的研究有所啟示和裨益．

1 學習進階的涵義和特征

學習進階尚未有統一定義，歸結起來可分為如下4類．（1）過程論：Songer等認為“學習進階是學生對學習主題思考、推理和探究的過程”[1]；Merrit等將學習進階定義為“描述學生對某一主題由淺入深、逐漸復雜的概念理解過程”[2]．（2）假設論：Salinas提出學習進階是“以實證為基礎的、可檢驗的假說，它闡釋了在一段時間內經過適當的教學，學生對科學核心概念、科學解釋以及科學實踐的理解和運用是如何逐漸發(fā)展、逐步深入的”[3]；Duncan 等認為“學習進階其實是一種假設，是一系列以實證為基礎、可檢測的假設，是對學生在適當的教學條件下，隨著時間的推移，對核心科學概念、科學解釋以及相關的科學實踐的理解和應用能力逐漸變得復雜的一種假設——驗證過程”[4]．（3）方法論：Smith等將學習進階描述為“在學生學習過程中，以內容為載體，相互聯結、不斷深入復雜、循序漸進的一種推理探究方法”[5]．（4）序列論：Roseman等認為學習進階是一條由小學延續(xù)到高中的、有邏輯的、符合學生認知發(fā)展規(guī)律的“概念序列”[6]；Alonzo與Steedle認為學習進階是“學生對某一概念理解的有序描述”[7]．

目前被廣泛接受的是由美國國家研究理事會（NRC）提出的定義[8]，融合了過程論與假設論，即在一個較大時間跨度內，學生對某一學習主題的思考和認識不斷豐富、精致和深入的一種過程，旨在揭示學生在學習和探索某一主題時，對該主題的思考、理解與實踐活動在相當長的一段時間內是如何從簡單到復雜、從低水平到高水平、從新手到專家逐步發(fā)展的，是在大量實證研究的基礎上形成的一種假定性描述，可以通過實踐加以檢驗．

由上述定義可歸納出學習進階的3特征：第一，它是描述學生關于某一學習主題的理解和認識如何逐步發(fā)展的、以實證為基礎的、可檢驗的假說；第二，它具有層次性和階段性；第三，它有助于整合零碎分散的知識，形成有系統的知識序列或概念網絡．

數學教育研究領域中有一個類似的概念“學習軌跡”（Learning Trajectory），同樣刻畫了學生關于某個學習主題的認知由簡單到復雜的發(fā)展過程，具備學習進階的上述3個特征，只是更為具體詳細，涉及對發(fā)展學生認知的相關教學活動的描述[9]．鑒于學習進階和學習軌跡在本質上的一致性[10]，這里對學習進階與學習軌跡不做區(qū)分．

2 學習進階的基礎性研究：以因數概念學習進階的建立為例

學習進階包含如表1所示的5個基本要素[8，11]．學習進階的建立過程實際上就是通過評價手段明確前4個要素的過程．目前文獻中并沒有一套通用的建立學習進階的方法，但總結起來不外乎以下3個步驟：資料的收集和整理、假想的學習進階的提出、學習進階的檢驗和修正．下面以因數為例[12]對建立學習進階的這3個步驟加以解釋．學習進階的5個要素如表1所示．

表1 學習進階的5個要素

首先，研究者對數學課程綱要和教科書中有關因數與倍數的內容進行梳理，明確該內容的學習目標，并發(fā)現學生在學習因數與倍數前必須先了解“整除”以及“幾的幾倍”的概念，因而將因數與倍數的學習進階分解為整除、因數、倍數3個維度，即確定了3個發(fā)展變量．之后對整除、因數與倍數的相關文獻進行梳理，尤其關注學生的錯誤類型及其之間的聯系．

其次，在上述文獻分析的基礎上，兼顧現階段學生的實際學習表現，研究者設計了針對因數與倍數的訪談提綱，對某小學二~六年級共14位學生進行了訪談，以了解不同年級學生在因數與倍數等相關概念上的表現，為建立假想的學習進階提供依據．這里將以因數的學習進階為例進行展開．訪談結果發(fā)現，學生學習因數時遵循“因數—公因數—最大公因數”的認知發(fā)展順序，而且該順序也符合因數內容的邏輯發(fā)展順序；此外，學生必須先掌握乘除法中各成分元素彼此之間的關系，之后才能理解因數的概念．在此基礎上，研究者提出了如表2所示的因數的假想的學習進階．

依據假想的學習進階，研究者開發(fā)了因數學習進階的測試卷，以評價不同能力學生在因數內容上的表現與假想的學習進階中的水平刻畫是否相符．共有來自5所小學三~六年級的454位學生參加了測試．根據測試結果，研究者對假想的學習進階進行了修正．例如，研究者原來認為學生應在掌握因數概念后才能掌握因、倍數互逆的概念，但測試結果卻表明一部分初步掌握因數概念的學生就已經可以通過因數與倍數的關系解決簡單的因、倍數互逆問題，因此研究者將因、倍數互逆的層級位置進行了調整，在層級二中新增“能夠意會簡單的因、倍數互逆關系”的敘述．修正后的因數的學習進階如表2所示，共分6個層級，每個層級均給出了能力表現的具體描述，除最高層級外的每個層級還給出了尚未習得的知識與錯誤類型．

3 學習進階在數學教育研究領域中的應用性研究

如果說學習進階的基礎性研究回答了是什么的問題，那么學習進階的應用性研究則回答了有什么用的問題．這里將結合具體實例描述和討論學習進階在評價、課程和教學等領域中的應用．

3.1 學習進階與評價

學習進階的建立依賴于評價，因此學習進階與評價之間有著天然的聯系．以往的學習評價，無論是終結性評價還是形成性評價，都關注于描述學生在某個學習領域內的學習表現，并沒有關注學生就某個核心概念或過程的理解的縱向發(fā)展過程，基于學習進階的評價能彌補這一缺陷．通過實證手段建立的學習進階描述了學生關于某個學習主題的發(fā)展變量、發(fā)展層級和學習表現，因而基于學習進階的評價可以較好地測評學生的現有知識儲備、目前所處的學習階段、可能存在的學習障礙、現有知識體系的缺陷等，有助于教師更好地進行學情分析，優(yōu)化和改進教學過程．

為建立學習進階所開發(fā)的測評工具就能實現上述目的．例如，研究者[12]對因數學習進階的每個層級（參見表2）均設計了相應的試題，并給出明確的評判標準．如圖1所示，對于第一道題目，如果學生能回答B(yǎng)和C為正確答案，則結合學生在其他題目上的表現歸于第2~5層級，如果學生選擇B或C為正確答案，則歸入第1層級，如果學生未作答或答案包含A者，則歸入第0層級．第二題的評判標準類似于第一題．這兩道題目能為確立學生是否達到因數學習進階中的第0~2層級提供依據．

1．已知甲、乙、丙都是大于0的整數，若甲′乙=丙是一個正確的乘法算式，則下列哪些選項的敘述是正確的呢？（ ）（A）甲是乙的因數（B）甲是丙的因數（C）乙是丙的因數2．已知甲、乙、丙都是大于0的整數，若甲?乙=丙是一個正確的乘法算式，則下列哪些選項的敘述是正確的呢？（ ）（D）乙是甲的因數（E）丙是甲的因數（F）乙是丙的因數

試題來源：林哲民．國小因數與倍數學習進程研究[D]．臺北：臺灣師范大學，2013：117．

因數是小學數學一個極小的組成部分，它和數、數的運算、數與數之間的關系等概念和過程有密切聯系．如果以學習進階為基礎體系化地構建相應的測評系統，則可以更全面地了解小學生數學學習的表現和發(fā)展．美國北卡羅萊納州立大學教育學院的研究團隊在這個方面開展了一系列的研究工作[13]．該研究團隊利用學習進階的研究成果開發(fā)了針對K-7年級學生的基于智能手機和無線技術的交互式診斷測評系統（Interactive Diagnostic Assessment System），再結合合作學習、同伴互助等學習方式改進教學，促進學生的數學學習．

表2 因數的學習進階：假想的和修正后的

注：表格中的斜體字表示假想的與修正后的學習進階的不同之處

3.2 學習進階與課程

2010年美國頒布了首部“州際核心數學課程標準”（----，以下簡稱CCSSM），標志著美國各州采用并實施統一課程標準的開始．CCSSM內容標準的研制借鑒了學生關于數學的知識、技能和理解如何發(fā)展的學習進階的現有研究成果[14]．這里以CCSSM中分數內容為例具體展開．

兒童分數概念的形成不是一個簡單的過程．由于其表征形式的不同，分數有多種意義，具體包括連續(xù)量的部分—整體關系、離散量的子集—集合關系、除法中等分除的商、數軸上的一點、比（比值）等．許多研究表明，大多數兒童的分數概念都不完整，不了解分數的意義，對分數缺乏數意識，不知道分數是數等[15]．分數概念的形成與發(fā)展與等分、數軸等概念有很大關聯．在CCSSM中分數的學習開始于小學三年級，其具體要求摘錄如圖2．

1．將單位分數1/b理解成把一個整體分成b個相等的部分后，每一部分可以用1/b表示；理解分數a/b是由a個1/b組成．2．將分數看作是數軸上的數，并能在數軸上表示出來．a. 在數軸上標出1/b．將數軸上0和1之間的區(qū)間看作一個整體，把它分成b等份，每一份的大小是1/b，數軸上從0開始的那一個等分點就可以標為1/b．b. 分數a/b表示在數軸上從0開始數a個1/b，得到的區(qū)間大小是a/b，其端點就是數軸上a/b的位置．

資料來源：全美州長協會和首席州立學校官員理事會．美國州際核心數學課程標準：歷史、內容和實施[M]．蔡金法，孫偉，譯．北京：人民教育出版社，2016：38．

圖2中的標準1建立在等分的基礎上，并且強調了單位分數的意義，但是顯然，這里強調更多的是分數部分—整體的意義，沒有凸顯出分數作為一種數的理解．標準2指出分數可以用數軸上的點來表示，這樣就與以前學過的整數聯系起來，而且為后續(xù)要學的負數、有理數埋下伏筆．數軸的概念先前并沒有正式出現，但它對學生理解整數、分數和后續(xù)出現的其它類型的數都至關重要．這里就出現了這樣一個問題．如何處理數軸這樣一個相對抽象的概念？直接給出數軸的數學定義顯然是不現實的，中國人教版數學教材在七年級才正式出現數軸的概念．有關測量和長度的學習進階研究[16-17]指出數軸可以作為一個直觀的測量工具出現．例如Clements和Sarama[18]強調測量可以聯系形和數，指出測量與諸如傳遞性、等分、單位、標準單位的迭代、距離的累積、原點等基本概念或技能之間有重要關聯，約八歲的兒童就可以利用尺子建立自己的測量單位，并對所要測量的對象進行分割，然后再對每一段進行估計．由此，CCSSM將數軸與測量聯系起來，并在小學一年級和二年級就加以滲透，為三年級“將分數看作是數軸上的數”中的數軸內容作鋪墊．圖3給出了CCSSM一年級和二年級與數軸有關的測量內容的學習要求．一年級和二年級的標準中包含單位長度及用單位長度測量物體長度，并建立整數及其運算與長度表示之間的關系，這些內容為學生理解數軸的單位長度、方向、原點等要素提供了重要的直觀經驗．

上述關于數軸內容的處理展示了CCSSM數學內容的編排順序如何借鑒了與學生隨著時間推移獲得和發(fā)展數學知識、技能和理解能力的實證研究成果．學習進階的研究為課程標準的內容安排提供了強有力的支撐．

3.3 學習進階與教學

將學習進階應用于課堂教學的關鍵在于如何將學習進階的理論知識轉化為教師在課堂上可以直接應用的教學實踐．美國教育政策研究聯盟（Consortium for Policy Research in Education，簡稱為CPRE）[10]給出了如圖4所示的框圖，并指出轉化的核心在于開發(fā)基于學習進階的、能直接用于課堂教學實踐的工具和資源．這里以整數的乘法為例進行介紹．

一年級通過將多個相同的小物體（長度標準）首尾相連，把一個物體的長度表示為該長度標準的整數倍；理解測量物體的長度就是用相同大小的單位長度，沒有間隙、沒有重疊地進行覆蓋，所用長度標準的數量就是測量的結果（局限于所需長度標準的個數為整數的物體）．二年級1．選擇和使用恰當的工具測量物體的長度，如直尺、碼尺、米尺和卷尺等．2．用兩個不同的長度單位測量同一物體；描述兩次測量的結果與所選長度單位大小之間的關系．3．用不同的單位（如英寸、英尺、厘米和米）對長度進行估計．4．通過測量，用標準長度表示一個物體比另一物體長多少．5．用100以內的加減法解決長度單位相同的文字題．例如，借助圖示（如畫尺子來量長度的圖）或用符號表示未知量的等式來表征問題．6．在一條直線上借助長度表示從0開始的整數，等間距的點依次表示0, 1, 2,…，并在直線上表示出100以內的和與差．

資料來源：全美州長協會和首席州立學校官員理事會．美國州際核心數學課程標準：歷史、內容和實施[M]．蔡金法，孫偉，譯．北京：人民教育出版社，2016：29，33．

圖4 從學習進階研究的理論知識到課堂實踐的轉化

資料來源：DARO P, MOSHER F A, CORCORAN T. Learning trajectories in mathematics: a foundation for standards, curriculum, assessment, and instruction [EB/OL]. (2015-06-03) [2016-11-20]. Consortium for Policy Research in Education, 2011.http://www.cpre.org/sites/default/files/researchreport/1220_learningtrajectoriesinmathcciireport.pdf.DOI:10.12698/cpre. 2011. rr68.

有這樣一道應用題，學校圖書館買了6捆書，每捆有25本，一共有多少本書？有的學生在解答時采用了連加的解題策略，即25+25+25+25+25+25=150，給出了正確答案150本．雖然答案正確，但這些學生還未掌握乘法策略，不利于后繼與乘法推理有關的小數乘法、比例等內容的學習．明確了學生的認知起點，該如何進行有針對性的課堂教學？這里就需要有相應教學工具和資源的支持．美國佛蒙特州數學評價研究項目開發(fā)了一個如圖5所示的針對乘法內容的教學框架[10]，引導教師如何根據學生情況進行教學．

圖5 乘法教學框架

資料來源：同圖4．

該框架包括3個要素：（1）描述學生乘法理解如何發(fā)展的學習進階，即非乘法策略—早期加法策略—過渡的乘法策略—乘法策略；（2）每個階段影響學生問題解決的任務結構和相關聯的概念過程分析等；（3）阻礙學生理解新概念或掌握新策略的可能的錯誤、誤解或前概念．根據情境、數值大小或數值個數等問題結構要素的變化，學生采用的策略可能會在乘法策略、過渡的乘法策略和加法策略中間來回往復．如果通過形成性測評發(fā)現學生處于加法策略的階段，教師可逐步利用框架中過渡的乘法策略和乘法策略階段的任務進行教學，幫助學生實現從加法策略到乘法策略的發(fā)展．該框架有助于教師更好地理解學生的學習表現，并在學生現有基礎上進行課堂教學活動的設計和實施．

總的來說，基于學習進階的課堂教學不僅遵循了學生的數學認知發(fā)展規(guī)律，而且有助于教師通過作業(yè)、課堂表現等分析確定學生的理解達到了哪一個層次、可能存在的學習障礙和誤區(qū)，使教學更具針對性，而學習進階的理論知識和課堂教學實踐之間的橋梁，即教學工具和資源的開發(fā)，就尤為重要．事實上，如圖5所示的乘法教學框架的建立并不是一項簡單的工作，其關鍵在于數學任務的設計和實施，需要教育研究發(fā)現和教學實踐檢驗的不斷融合和調整，也需要有教師專業(yè)發(fā)展活動的支持和引導．

4 對中國學習進階研究的啟示

根據2017年9月4日在中國知網上以“學習進階”為關鍵詞進行文獻檢索后發(fā)現，共有相關文獻98篇，其中學術期刊論文79篇，碩士學位論文16篇，博士學位論文3篇．關于學習進階的論文最早發(fā)表于2012年，之后逐年增加，表明學習進階研究在我國雖處于起步階段但正逐漸受到重視．從內容來看，這些論文中近五分之四聚焦在學習進階的理論和應用的介紹上，剩余的五分之一是關于建立某概念學習進階的實證研究，以碩博學位論文為主．從涉及的學科領域來看，這些論文幾乎都是關于物理、化學和生物的，關于數學學科領域內的學習進階研究非常稀缺．從研究方法來看，大部分論文是討論式的、介紹性的，只有少數論文采用了實證方法．基于中國學習進階研究的現狀和上述數學教育中學習進階研究的進展，特提出以下3點建議．

第一，要充分認識學習進階在數學教育中的理論價值和實踐意義．學習進階刻畫了學生在一個較大時間跨度內對某一學習主題的認識、理解和實踐從簡單到復雜、從低水平到高水平的發(fā)展過程，能有效聯系數學教育研究和教學實踐中的評價、課程、教學問題，對教師培養(yǎng)也有重大意義．從評價角度來看，要凸現學習進階在描述學生學習表現上的發(fā)展性和階段性特點，診斷學生的層級水平和錯誤類型，為開展有針對性的診斷式教學做好準備；從課程角度來看，要科學安排課程內容的教學順序和學習要求，以學習進階的理論為依托促進課程的連貫性；從教學角度來看，要根據學生現有的學習表現和層級水平明確教學目標，有的放矢地設計和實施教學任務、開展教學活動，積累有助于將學習進階理論轉化為教學實踐的教學工具和資源．與此同時，學習進階的理論和實踐，尤其是與數學的課程、教學和評價整合之后的理論和實踐，有利于數學教師理解學生關于某學習主題的認知發(fā)展過程，厘清課程的發(fā)展脈絡，更好地使用評價工具服務課堂教學，反之，教師的課堂教學實踐能促進其對學習進階相關理論和研究發(fā)現的深入認識和理解，實現理論與實踐的相輔相成，協同進步．

第二，以實證方法建立描述學生關于某一學習主題認知縱深發(fā)展的學習進階是數學教育領域學習進階研究的基礎．從中國目前有關學習進階的研究來看，實證研究相當缺乏，亟待改變．此外，學習進階的建立是學習進階與數學課程、教學和評價整合的基礎，只有明確了某一學習主題下學習進階的發(fā)展變量、發(fā)展層級和學習表現，才能有效思考和研究學習進階的研究發(fā)現如何應用至數學課程連貫性的建立、診斷性評價研究的深入，以及針對性課堂教學的設計和實施．在數學教育研究領域，有大量關于學生就某一數學概念、過程或能力的學習表現的橫切面式的調查研究，但缺乏從縱深層面就學生對某一概念是如何發(fā)展的實證研究．美國北卡羅萊納州立大學教育學院的研究團隊針對小學和初中年級主要數學內容建立了計數、分數、機會和概率、位值制和小數等18個核心概念的學習進階，取得了一系列研究成果[19-22]，可以作為開展類似研究的參考．

第三，積極推廣學習進階的研究成果在數學課程、教學和評價等領域的應用性研究．從上文介紹的學習進階在數學教育領域中的應用性研究示例中可以看到，學習進階不僅能促進課程內容編排的有序性和連貫性，還能診斷學生現有知識儲備、發(fā)展層級、可能存在的學習障礙、現有知識體系的缺陷等，使教師能更好地進行學情分析，課堂教學更具針對性和更有效率．進一步地，學習進階融入教師教育后，還能促進教師對學生思維的深入了解和自身數學學科知識和數學教學知識的發(fā)展．

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[責任編校：周學智]

Progress and Implications of Learning Progression Research in Mathematics Education

WU Ying-kang, DENG Shao-bo, YANG Jie

(Mathematics department, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

The idea of learning progression origins from science education in the United States. From the global perspective, learning progression research in mathematics education has just begun, and it could be generally classified into two big categories. The first category concerns on basic research on learning progression, that is, building the learning progression of certain mathematical learning theme to describe students’ longitudinal development of understanding using empirical methods, and the other category involves applying learning progression into mathematics assessment, curriculum and instruction. On the basis of a brief introduction of its concept and characteristics, this paper describes how the learning progression of factor, a primary mathematics concept, had been established, and presents research examples of applying learning progression into mathematics assessment, curriculum and instruction. These examples not only demonstrate the theoretical and practical significance of learning progression research in mathematics education, but also reveal the approach of carrying out research in this field.

learning progression; mathematics education; research; implication

G622

A

1004–9894（2017）06–0040–07

吳穎康，鄧少博，楊潔．數學教育中學習進階的研究進展及啟示[J]．數學教育學報，2017，26（6）：40-46．

2017–06–12

2015年度上海市教育科學研究重大項目——中小學數學教材的有效設計之子課題中小學數學課程內容發(fā)展主線的頂層設計（D1508）；上海市科學技術委員會資助課題——核心數學與實踐（13dz2260400）；教育部人文社會科學重點研究基地重大項目——中國學生數學素養(yǎng)測評研究（16JJD880023）

吳穎康（1975—），女，上海人，副教授，主要從事數學教師教育和學校統計教育研究．