張國利, 杜智慧
(洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,河南洛陽 471934)
關(guān)于對p級數(shù)斂散性研究的注記
張國利, 杜智慧
(洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,河南洛陽 471934)
對于p級數(shù)收斂性,一般教材只給出了其隨參數(shù)p的收斂性和發(fā)散性.本文歸納總結(jié)了p級數(shù)中當(dāng)參數(shù)p取1, 2, 3時的特殊情況下的研究歷史及一般情況下的推廣.
p級數(shù);調(diào)和級數(shù);巴塞爾問題;阿佩里常數(shù);zeta函數(shù)
在p級數(shù)的教學(xué)過程中,很多教材都只給出了其斂散性的結(jié)論,對于各種情況下的斂散性研究過程卻沒有深入研究,本文嘗試對這個問題進行了一些探索.
我們把數(shù)項級數(shù)
(1)
稱為p級數(shù),也稱超調(diào)和級數(shù). 由積分判別法知, 當(dāng)p>1時級數(shù)(1)收斂,p≤1時級數(shù)發(fā)散[1].
一般情況下,稱
(2)
為黎曼zeta函數(shù),其中s為實部大于1的復(fù)數(shù)[2]. 由此可知某些情況下(1)是(2)的特例. zeta函數(shù)是數(shù)學(xué)中很重要的函數(shù),它在解析數(shù)論中有著極其重要的地位, 尤其是與素數(shù)的分布有著密切的聯(lián)系,它在物理學(xué)、概率論和應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)中也有廣泛應(yīng)用.當(dāng)s取值負整數(shù)時,歐拉[3]首先證明了此時ζ(s)為有理數(shù),并指出了它在模形式理論中的重要作用.
ζ(s)的一個積分表達式為
當(dāng)s取正偶數(shù)2n時,ζ(2n)有一個簡潔的表達式,即
由上式,我們可以計算出ζ(2)、ζ(4)、ζ(6)、ζ(8)等數(shù)值,當(dāng)s=-n,n為非負整數(shù)時,
其中Bn為伯努利數(shù),Bn用生成函數(shù)定義為
zeta函數(shù)與素數(shù)分布的密切關(guān)系體現(xiàn)在歐拉發(fā)現(xiàn)的恒等式中.
(3)
(3)式右端稱為歐拉乘積.由于s=1時,(3)式左端發(fā)散,由此可知素數(shù)有無窮多個.
1859年,黎曼證明了zeta函數(shù)滿足黎曼方程
此處Γ(s)表示gamma函數(shù).這個方程將s取負奇整數(shù)和正偶整數(shù)的zeta函數(shù)值聯(lián)系了起來. 同時,他還提出了ζ(s)的零點分布假設(shè),即著名的黎曼猜想,這也是克雷數(shù)學(xué)研究所懸賞的世界七大數(shù)學(xué)難題之一.
當(dāng)(2)式中s=1時,稱級數(shù)
(4)
假設(shè)(4)收斂,設(shè)其和為S,則
因為對任意的x>1,都有
所以
這就推出了矛盾,所以級數(shù)(4)發(fā)散.
此后,Honsberger,Leonard Gillman,Cusumano,Ecker等人也各自用不同的方法證明了(4)的發(fā)散性[4]. (4)的發(fā)散速度是很慢的,計算可得此級數(shù)的前1043項之和也不會超過100. 數(shù)學(xué)家歐拉曾證明(4)的前k項和只有一個對數(shù)級的增長速度,進一步,他還證明(4)中的n替換成素數(shù)后級數(shù)依然發(fā)散.
與(4)相關(guān)的一個級數(shù)是
(5)
稱之為交錯調(diào)和級數(shù),通過萊布尼茨判別法容易證明(5)是收斂的.在1650年Mengoli證明了
上述等式也可以在對數(shù)函數(shù)ln(1+x)的泰勒級數(shù)展開式中令x=1得到.特別地,Hudelson在2010年用圖形化的方法無字證明了此結(jié)論[5].
當(dāng)(2)式中s=2時,稱級數(shù)
的求和問題為巴塞爾問題. 這個問題是數(shù)論中的一個重要問題,由Mengoli在1644年提出.1735年,年僅28歲的歐拉得到了經(jīng)典的結(jié)果
(6)
并由此在數(shù)學(xué)界聲名大振.歐拉采用的方法如下[6].
由sinx的麥克勞林級數(shù)得
(7)
又因為
(8)
由(7) , (8)兩式,比較x2的系數(shù)得
由此即得(6)式成立.
歐拉在證明的過程中默認(8)式的分解式是唯一的,這是未加證明的結(jié)論.事實上,在100年之后數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯才給出嚴格證明,稱之為維爾斯特拉斯分解定理. 一直到1741年,歐拉才另外給出了一個嚴格的證明.更多嚴格的證明可以借助傅里葉級數(shù)、復(fù)分析和多元函數(shù)微積分等知識來給出.1821年,數(shù)學(xué)家柯西沒有借助高等數(shù)學(xué)知識,僅用一元函數(shù)極限等知識給出了這個結(jié)論的初等證明[7].
由于
所以要想證明(6)式成立,只需證明
成立,歷史上對(6)式的若干證法都是基于上式. 2003年,Robin Chapman總結(jié)了證明了(6)式的14余種方法.
正是受歐拉等數(shù)學(xué)家對此研究工作的影響,數(shù)學(xué)家黎曼在1859年定義了zeta函數(shù)這個非常重要的數(shù)學(xué)概念, 并給出了這個函數(shù)的一些基本性質(zhì).
當(dāng)(2)式中s=3時,稱級數(shù)和
(9)
為阿佩里常數(shù),它是數(shù)論和特殊函數(shù)等交叉學(xué)科中一個非常重要的數(shù),在電磁學(xué)、量子電動力學(xué)和隨機最小生成樹等數(shù)學(xué)物理問題中有重要應(yīng)用.
Apéry在1979年證明了(9)是一個無理數(shù),此證明被稱之為Apéry定理.Apéry的證明十分復(fù)雜和難懂,Beukers和Zudilin分別在1979和2002年給出了更簡潔的證明[8-9],但是至今為止還不知道(9)是否是一個超越數(shù).
早在1772年,歐拉就給出阿佩里常數(shù)的級數(shù)表達式
(9)式還有很多經(jīng)典級數(shù)表達式如
等或積分表達式如
許多數(shù)學(xué)家都試圖推廣Apéry的方法來證明ζ(2n+1)的無理性.2000年Rivoal 和Tanguy 證明了ζ(2n+1)中有無窮多個無理數(shù).2001年,Wadim 和Zudilin證明了ζ(5),ζ(7),ζ(9),ζ(11)這四個數(shù)中至少有一個是無理數(shù)[10].
在對p級數(shù)這一知識點的教學(xué)過程中,通過對參數(shù)p=1, 2, 3等特殊值的研究過程的講解以及對相關(guān)數(shù)學(xué)家的介紹,可以使學(xué)生加深對這些結(jié)論的認識,從而增加學(xué)習(xí)興趣,活躍課堂氣氛.
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A Note on the Research of thep-series’ Convergence and Divergence
ZHANG Guo-li, DU Zhi-hui
(College of Mathematics and Science, Luoyang Normal University, Luoyang 471934, China)
When teaching the convergence and divergence of thep-series, many mathematical analysis textbooks only provide the convergence and divergence with the parameterp. This paper summarizes the research history and the main conclusion whenpis 1, 2 and 3 and their generalizations.
p-series; harmonic series; Basel problem; Apery constant; zeta function
O173
A
1009-4970(2017)11-0022-03
2017-06-08
張國利(1978—), 男, 河南溫縣人, 講師.
[責(zé)任編輯 胡廷鋒]