詹婉榮， 于 海

(洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 河南洛陽 471934)

基于Hellinger距離的判斷矩陣排序方法

詹婉榮， 于 海

(洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 河南洛陽 471934)

本文基于Hellinger距離提出了一種判斷矩陣排序方法， 并研究了該排序方法的保序性、 置換不變性、 相容性等性質(zhì).最后通過實例將基于Hellinger距離的排序方法與特征向量法、 和積法以及方根法進(jìn)行比較， 理論分析和數(shù)值結(jié)果均表明該方法是有效的.

層次分析法；判斷矩陣；Hellinger距離；排序方法

層次分析法(AHP)是系統(tǒng)分析與決策中的一種有效的綜合評價方法[1-6].這種方法能夠統(tǒng)一處理決策中的定性和定量因素,具有實用性、 系統(tǒng)性、 簡潔性等優(yōu)點,特別適合在社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的決策分析中使用.與此同時, 有關(guān)層次分析法中的判斷矩陣排序理論和方法也在不斷發(fā)展, 傳統(tǒng)的、 單一的特征向量排序方法已不能滿足理論的發(fā)展和應(yīng)用的需要， 大量具有良好性能的最優(yōu)化排序方法不斷出現(xiàn).這些方法大致可分為近似計算和最優(yōu)化排序兩大類.其中和積法和方根法是最常用的兩種近似算法. 本文基于Hellinger距離， 提出了一種判斷矩陣的排序方法,并從保序性及合理的排序方法應(yīng)具有的性質(zhì)等幾個方面對該方法進(jìn)行了討論.理論分析和仿真結(jié)果表明， 它是用于判斷矩陣排序的一種好方法.

1 預(yù)備知識

1.1 正互反矩陣和排序向量

aik·akj=aij,i,k,j=1,2,…,n， 則稱A為一致性正互反矩陣.

全體n階正互反矩陣構(gòu)成的集合記作Pn, 全體排序向量構(gòu)成的集合記作Δn， 即

若A為一致性正互反矩陣， 將A歸一化后， 列向量均是該判斷矩陣的排序向量.然而在實際問題中， 給出的判斷矩陣一般不滿足一致性條件， 而只能近似滿足.層次分析法所要解決的數(shù)學(xué)問題之一就是， 如何對這樣的判斷矩陣給出一種近似計算排序向量的方法.在層次分析法中， 用對應(yīng)判斷矩陣的最大特征根的特征向量作為排序向量， 然而計算矩陣的特征根和特征向量是相當(dāng)困難的， 特別是矩陣的階數(shù)較高的時候.所以計算排序向量可以采用近似算法.目前最常用的近似算法是和積法與方根法.

和積法的計算公式為

方根法的計算公式為

和積法實際上是將判斷矩陣A的列向量歸一化后取算術(shù)平均值， 作為A的排序向量.因為當(dāng)A為一致陣時， 它的每一列向量都是排序向量. 所以若A的不一致性不嚴(yán)重， 則取A的列向量的算術(shù)平均值作為近似排序向量是合理的. 而方根法是對列向量取幾何平均值， 再歸一化得到的向量作為近似排序向量.

1.2 Hellinger距離定義

在概率論和統(tǒng)計理論中， Hellinger距離被用來度量兩個概率分布的相似度[7].

對于連續(xù)概率分布， 設(shè)f(x)和g(x)分別為兩個連續(xù)分布P和Q的概率密度函數(shù)， 則這兩個分布之間的Hellinger距離定義為

對于兩個離散概率分布P=(p1,p2,…,pn)和

Q=(q1,q2,…,qn)， 它們的Hellinger距離定義為

Hellinger距離具有如下性質(zhì)：

(1) 0≤H(P,Q)≤1;

(2)H(P,Q)=H(Q,P);

(3)H(P,Q)=0當(dāng)且僅當(dāng)P=Q.

兩個分布之間的Hellinger距離是非負(fù)和對稱的.

2 判斷矩陣排序方法

由Hellinger距離的性質(zhì)可知， Hellinger距離可以作為兩個離散分布相似程度的一個度量， 本節(jié)就以Hellinger距離作為優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)， 提出一種判斷矩陣的排序方法.

設(shè)W=(w1,w2,…,wn)為判斷矩陣A的排序向量， 由于W是歸一化的， 因而可以視為一個離散分布.

判斷矩陣A的排序向量W為滿足下面最優(yōu)化模型的解.

定理1 在上面的最優(yōu)化模型中， 函數(shù)J(W)在Δn中可以確定W的一組最優(yōu)解W=(w1,w2,…,wn),且W可以表示為下式

(1)

證明 用拉格朗日乘數(shù)法將條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值. 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

令

從(1)式可以看出， 基于Hellinger距離排序方法得到的排序向量實際上可以這樣得到： 首先將判斷矩陣A按列歸一化， 對每一行的元素取根號， 然后將每一行求和， 再平方， 得到一個列向量， 最后將該向量歸一化得到的向量就是排序向量.

3 排序方法的性質(zhì)

一種排序方法， 可以看作由全體n階正互反矩陣構(gòu)成的集合Pn到全體排序向量構(gòu)成的集合Δn的一個映射， 記作W=T(A)， 稱W是判斷矩陣A確定的排序向量.

定義2[8]一個排序方法稱為強(qiáng)條件下保序的， 如果akj≥alj(?j),能得到排序權(quán)值wk≥wl， 且當(dāng)前者所有等式嚴(yán)格成立時， 有wk=wl.

定理2 基于Hellinger距離的排序方法是強(qiáng)條件下保序的.

證明 設(shè)W=(w1,w2,…,wn)是A=(aij)的基于Hellinger距離排序方法得到的排序向量， 則有

若akj≥alj(?j)， 由wk，wl的表達(dá)式易見wk≥wl；若akj=alj時，wk=wl.因此， 基于Hellinger距離排序方法是強(qiáng)條件下保序的.

定義3[9]設(shè)T(·)是一種排序方法，A是任一個給定的判斷矩陣，W=T(A).如果對于任一個置換矩陣P， 均有PW=T(PAPT)， 則稱這種排序方法是置換不變的.

定理3 基于Hellinger距離排序方法具有置換不變性.

證明 設(shè)P是置換矩陣，B=(bij)=PAPT， 其中A為判斷矩陣.設(shè)W=(w1,w2,…,wn)，X=(x1,x2,…,xn)分別是A,B的基于Hellinger距離排序向量， 經(jīng)置換后A的第i行變?yōu)锽的第k行，A的第i列變成了B的第k列. 于是

所以基于Hellinger距離的排序方法具有置換不變性.

定義4[9]設(shè)T(·)是一種排序方法，W=T(A).如果A是一致的，W必是A的固有排序向量， 則稱這種排序方法是相容的.

定理4 基于Hellinger距離排序方法具有相容性.

由于W=(w1,w2,…,wn)是A的基于Hellinger距離的排序向量， 故

所以基于Hellinger距離的排序方法具有相容性.

4 實驗驗證

為了檢驗HDM排序方法的排序有效性, 我們?nèi)∥墨I(xiàn)[10]中的判斷矩陣A如下：

四種排序方法計算A的排序向量， 結(jié)果見表1.

對于矩陣A， 此時RI=1.12， 容易計算CR=0.0282<0.1， 一致性檢驗通過.

其中EM表示特征向量法；ANC表示和積法；HDM表示基于Hellinger距離排序方法；NGM表示方根法.

表1 矩陣A

從以上排序結(jié)果可以看出, 在判斷矩陣滿足一致性要求的情況下,基于Hellinger距離排序方法(HDM ) 取得了與特征向量排序方法完全一致的排序結(jié)果, 而且不同的方法所得排序權(quán)值很相近.由于HDM方法計算簡單,是一種簡易算法， 同另外兩種簡易算法ANC和NGM相比， 由HDM得到的結(jié)果總是介于由ANC和NGM得到的結(jié)果之間， 是這兩種方法的折中.這些事實充分說明運用基于Hellinger距離排序方法對判斷矩陣進(jìn)行排序是可行且有效的.

5 結(jié)語

本文提出了一種基于Hellinger距離的判斷矩陣排序方法,豐富和發(fā)展了層次分析法的排序理論.理論分析和數(shù)值結(jié)果均表明, 這種排序方法與特征向量排序方法的排序結(jié)果是完全一致的, 與和積法、 方根法所得排序權(quán)值很相近， 而且具有簡潔、 可行、 且易于計算器或計算機(jī)上實施等優(yōu)點.

[1] 袁杰,梁雪春.層次分析法中判斷矩陣的一致性改進(jìn)[J].統(tǒng)計與決策,2014(12):15-17.

[2] 呂躍進(jìn),程宏濤,覃菊瑩.基于相對熵的互補(bǔ)判斷矩陣排序方法[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2011, 31(7):1328-1333.

[3] 雷功炎.關(guān)于將相對熵用于層次分析的簡單注記[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,1995, 15(3):65-68.

[4] 章志敏,魏翠萍.層次分析若干理論與應(yīng)用研究[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報,2013, 39(1):37-41.

[5] 王應(yīng)明.判斷矩陣排序方法綜述[J].決策與決策支持系統(tǒng),1995,5(3):104-114.

[6] 徐霄峰,上官金麗.層次分析法中一種新的保序方法[J].統(tǒng)計與決策,2011(6):35-37.

[7] 李偉湋,賈修一.基于Hellinger距離的特征選擇算法[J].計算機(jī)應(yīng)用,2010,30(6):1560-1532.

[8] 魏翠萍.關(guān)于層次分析法中和積法的最優(yōu)化理論基礎(chǔ)及性質(zhì)[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,1999,19(9):113-115.

[9] 賈蘭香,陳寶謙.層次分析決策方法排序問題的一般性質(zhì)[J].南京大學(xué)學(xué)報,1991(2):19-28.

[10] 徐澤水.層次分析中判斷矩陣排序的新方法——廣義最小平方法[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,1998,18(9):38-43.

Judgment Matrix Sorting Based on Hellinger Distance

ZHAN Wan-rong, YU Hai

(College of Mathematics and Science, Luoyang Normal University, Luoyang 471934, China)

This paper provides a sorting method of judgment matrix, studies its isotonicity, consistency and compatibility. Lastly, Hellinger distance based sorting method is illustrated with examples and compared with eigenvector method, sum-product method and square root method. Theoretical analysis and calculation have proved the effectiveness of the title method.

analytic hierarchy process; judgment matrix; Hellinger distance; sorting method

N945.1

A

1009-4970(2017)11-0004-04

2016-11-17

國家自然科學(xué)基金資助項目(61272015)； 河南省高等學(xué)校重點科研項目(15A520087，16A520064)； 校青年科研基金項目(2013-QNJJ-002)

詹婉榮(1981—)，女，陜西西安人，碩士，講師. 研究方向：模糊邏輯，粗糙集; 于海(1979—)，男，河南開封人，碩士，講師. 研究方向：機(jī)器學(xué)習(xí)，粗糙集.

[責(zé)任編輯 胡廷鋒]