江友華，常建，唐忠

（上海電力學(xué)院電子與信息工程學(xué)院，上海200090）

0 引 言

隨著配電網(wǎng)內(nèi)越來越多的非線性裝置或分布式電源的使用，諧波源相互之間的影響也越來越強(qiáng)，諧波源之間的耦合變得越來越不容忽視。諧波耦合將使諧波責(zé)任區(qū)分變得模糊，影響用戶責(zé)任的定量分析，使諧波治理中的濾波器協(xié)調(diào)控制變得困難，同時電網(wǎng)中諧波電流的疊加、抵消可能導(dǎo)致諧波放大甚至諧振的產(chǎn)生。由此可知，面對電網(wǎng)中諧波源電壓等級不同、類型各異、分布面廣等構(gòu)成的多目標(biāo)、非線性強(qiáng)耦合狀況，如何實(shí)現(xiàn)它們之間的解耦，使得多諧波源的責(zé)任區(qū)分、諧波源定位及治理能夠像單個諧波接入點(diǎn)一樣物理清晰，將是多諧波源宏觀研究所面臨的挑戰(zhàn)。國內(nèi)外針對多諧波源系統(tǒng)解耦策略也有相應(yīng)的研究。文獻(xiàn)［1］出于工程實(shí)踐的考慮，忽略了基波潮流與諧波潮流的相互影響，對每個方程進(jìn)行獨(dú)立迭代，實(shí)現(xiàn)諧波與基波潮流的解耦。文獻(xiàn)［2-3］針對系統(tǒng)與諧波源的相互影響，提出迭代分析法求解系統(tǒng)方程和非線性方程。文獻(xiàn)［4］提出的解耦法，考慮了基波、諧波對各節(jié)點(diǎn)的注入電流的影響，計算精度高。但這種方法計算量較大，占用內(nèi)存較多。文獻(xiàn)［5］中運(yùn)用完全解耦的方法，雖然此算法具有速度快，收斂性能好，程序設(shè)計簡單的特點(diǎn)，但是它沒有考慮到在基波迭代的過程中諧波對其的影響，具有精度不高的問題。

為此本文提出一種基于奇異值分解理論（SVD）的解耦算法，該解耦算法極大的降低了計算量，尤其是在數(shù)據(jù)矩陣維數(shù)較高時優(yōu)勢明顯，大大提高了計算的準(zhǔn)確性和有效性，然后通過MATLAB/SIMULINK仿真分析計算，篩選出諧波耦合特性強(qiáng)的節(jié)點(diǎn)，用于指導(dǎo)諧波治理裝置的優(yōu)化配置，為多諧波源的責(zé)任區(qū)分、諧波源定位提供清晰的思路。

1 多諧波源的耦合模型

電網(wǎng)是多個諧波源并存的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，因此對其進(jìn)行諧波分析，就不能僅限于單個諧波源建立模型，需要建立起整個諧波源網(wǎng)絡(luò)的模型［6］。諧波源網(wǎng)絡(luò)中各個節(jié)點(diǎn)的連接狀況可用導(dǎo)納矩陣來反映。

諧波源的計算是諧波網(wǎng)絡(luò)方程與諧波源特性方程在數(shù)學(xué)上的結(jié)合?？紤]諧波源基波與高次諧波的影響，以及不同諧波源不同頻率諧波電流的影響，對應(yīng)的諧波網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)方程如下：

其中Ik=［Ik，1Ik，3Ik，5…］T（k=1，2，…，m），表示第k個諧波源的基波電流與各奇次諧波電流，是個列向量；（i=1，2，…，m，j=1，2，…n），即第i個諧波源的h次諧波電流與第j個諧波源的各次諧波節(jié)點(diǎn)電壓的導(dǎo)納向量，是個常量；Uk=［Uk，1Uk，3Uk，5…］T（k=1，2，…，n），即第k個諧波源的基波電壓與各奇次諧波電壓。以I3即第3個諧波源的諧波電流為例，假設(shè)有5個諧波節(jié)點(diǎn)電壓：

式（2）表示第3個諧波源的基波電流與各奇次諧波電流；式（3）表示每個節(jié)點(diǎn)各次電壓對第3個諧波源各次電流的影響大??；式（4）表示每個節(jié)點(diǎn)的基波電壓和各奇次諧波電壓。

以上公式可簡寫為：

式（5）就是本文提出的諧波耦合矩陣模型，Ih為諧波電流注入向量；Uh為諧波節(jié)點(diǎn)電壓向量；Yh稱為諧波耦合導(dǎo)納矩陣，其中矩陣元素的物理意義如上所述。基波電壓對諧波電流的影響比諧波電壓的影響要小的多。該模型適用范圍廣，能體現(xiàn)出各個諧波源電壓和電流之間的耦合關(guān)系。

2 多諧波源系統(tǒng)的耦合因子分析

2.1 輸電線諧波傳導(dǎo)分析

上級電網(wǎng)主要通過輸電線路對下級電網(wǎng)產(chǎn)生諧波耦合。為了方便分析，采用π型電路等效輸電線，如圖1輸電線路所示的輸電線等值電路，其線路阻抗可表示如下：

圖1 輸電線路等值電路Fig.1 Equivalent circuit of transmission line

式中ZCh、γh分別為對應(yīng)于h次諧波的線路特征阻抗和傳播常數(shù)，均為復(fù)數(shù)；l為線路長度，則對應(yīng)于其h次諧波，有如下電路方程：

式中Uoh，Ioh分別為線路始、末端h次諧波電壓和電流。若在電路始端有h次諧波電流源Iih，經(jīng)線路傳輸l距離后流入電路末端的h次諧波電流源Iih，因此可得輸電線路諧波傳遞系數(shù)為：

式中Zlh為對應(yīng)h次諧波的傳輸線路阻抗。

由式（6）可以看出，隨著諧波次數(shù)和線路距離的增大，城市高壓電網(wǎng)諧波傳遞系數(shù)的阻抗和導(dǎo)納與輸電線路傳遞系數(shù)將發(fā)生變化，使得輸電線路的諧波傳導(dǎo)與耦合效應(yīng)已不能被忽略。

2.2 耦合因子分析

針對多諧波源的耦合因子［7］求解問題，本文采用諧波源的戴維南等效電路，如圖2所示。

圖2 多諧波源戴維南等效電路Fig.2 Th even in equivalent circuit of multiple harmonic sources

以下公式推導(dǎo)均省略上標(biāo)h，表示在h次諧波下進(jìn)行。當(dāng)供電側(cè)諧波源單獨(dú)作用時，在PCC處產(chǎn)生的諧波電壓為：

Ick為諧波源Uck單獨(dú)作用下支路的電流，在此，稱為“理論電流”。那么，得出供電側(cè)諧波源和用戶側(cè)諧波源分別單獨(dú)作用下的諧波電壓后，由疊加定理，就可以得到PCC處的諧波電壓，即：

由此，得出支路中的某一諧波對PCC處的諧波貢獻(xiàn)量為：

同樣方法，可計算出諧波源Ucj單獨(dú)作用下的相關(guān)參數(shù)：為除Zcj外，其他阻抗的并聯(lián)阻抗。

Icj為諧波源Ucj單獨(dú)作用下支路的電流。由此，可推斷出諧波源Uck單獨(dú)作用下支路的“實(shí)際電流”：

從而更改 λk為 λkj，即：

由此公式即可看出，在其他諧波源的影響下，該諧波源對PCC處諧波電壓的貢獻(xiàn)量，發(fā)生了明顯的變化，即諧波之間產(chǎn)生了耦合。定義耦合因子：

此時計算的ω是諧波源j對諧波源k的影響大小，下面計算在所有諧波源同時存在的情況下，各諧波源對某個諧波源影響因子的大小。

此處 Vλk=λk-λ′k，λk為由諧波源發(fā)射出的諧波電流作用的指標(biāo)因子，λ′k為其他所有諧波源加入之后的指標(biāo)因子，ωi為式（18）計算的某一個ω，即兩兩之間的耦合因子，那么ζi就是要計算的綜合指標(biāo)耦合因子。各次諧波下的公式組合如下：

簡寫成：

用偏最小二乘法估計得：

3 基于奇異值分解的多諧波源系統(tǒng)解耦

3.1 SVD的基本理論知識

奇異值分解法是正規(guī)矩陣酉對角化的延伸，在解決最優(yōu)化、最小二乘法以及多元統(tǒng)計分析等應(yīng)用領(lǐng)域有著廣泛地應(yīng)用［8］。在統(tǒng)計學(xué)中的應(yīng)用為主成分分析，用來找出大量數(shù)據(jù)中所隱含的模式。

非奇異矩陣A的SVD分解形式為：

矩陣U、D、V將在下面做詳細(xì)介紹。

其優(yōu)點(diǎn)是正交矩陣參與計算不放大誤差，且正交矩陣求逆很方便，因此本文將采用該方法對多諧波源進(jìn)行降維從而實(shí)現(xiàn)解耦。

設(shè)A為m×n階矩陣，秩為r，則存在m階正交矩陣U，其列由AAT的特征向量組成，n階正交矩陣V，其列由ATA的特征向量組成，使得式（23）成立。其中，。特征值λ1≥λ2≥…λr＞0是矩陣ATA的非零特征值的全體，而（i=1，2，…，r），稱 σi（i=1，2，…，r）為A的奇異值，而式（23）稱為A的奇異值分解式。記U=（u1，u2，…，um）、V=（v1，v2，…，vn），式（23）可寫成：

式中O表示分塊矩陣，元素為0。將式（23）進(jìn)行變換如下：

矩陣A能夠進(jìn)行SVD分解的必要條件是：

當(dāng)m＞n時，式（25）可寫為：

當(dāng)m=n時，式（25）可寫為：

當(dāng)m＜n時，式（25）可寫為：

由式（26）～式（28）可以得到：

由式（29）可得：

U、V的構(gòu)造方式如下：

構(gòu)造V=（v1，v2，…，vn），V為n×n的正交陣，若：

顯然，（u1，u2，…，ur）為ATA的特征值（i=1，2，…，r）所對應(yīng)的特征向量。在m階空間域中，補(bǔ)充向量ur+1，ur+2，…，um，使得（u1，u2，…，um）為m階空間域中的一個規(guī)范正交基，再令U=（u1，u2，…，ur，…，um）為m階空間域中的一個正交矩陣，則由式（31）和式（32）可得：

從上面的討論可知，矩陣A總可以分解為式（23）所示的形式。

用SVD分解法求解線性方程組Ax=B，設(shè)A為m×n階矩陣，x為n×n階矩陣，B為m×m階矩陣。再設(shè)U=（U1，U2）、V=（V1，V2），其中U1為U中前r列正交向量組構(gòu)成的m×r階矩陣，V1為V中前r列正交向量組構(gòu)成的n×r階矩陣。定義矩陣A的廣義逆矩陣為：

那么方程組Ax=B的解為：

當(dāng)m＞n時，Ax=B為超定方程，將最小二乘法理論運(yùn)用在SVD分解法中，由式（35）得：

當(dāng)m=n時，若矩陣A的秩Rank（A）=n，則方程有唯一解，由式（35）可得結(jié)果依然是式（36）所示；若矩陣A的秩與其增廣矩陣的秩相同，Rank（A）=Rank（A|B）=r（r＜n），則等式有無窮解，通過式（35）求出一個特解x*與矩陣A零空間列向量的線性組合，即：

式中vj∈V2（j=r+1，r+2，…，n），所對應(yīng)的σj=0（j=r+1，r+2，…，n）；若矩陣A的秩與其增廣矩陣的秩不相同，則方程無解。

當(dāng)m＜n時，若Rank（A）=Rank（A|B）=r，則方程有無窮解，形式如同式（37）；若Rank（A）≠Rank（A|B），則方程無解。

3.2 多諧波源解耦算法

諧波源解耦，在理論上表現(xiàn)為將耦合矩陣轉(zhuǎn)化為對角矩陣［9］，使諧波源之間不再相互影響、相互干預(yù)；在實(shí)際中表現(xiàn)為對系統(tǒng)參數(shù)的修改，主要是導(dǎo)納矩陣模型的修改，通用的方式是通過加濾波器實(shí)現(xiàn)，由式（18）可知，ωkj與其他諧波源電流、系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)系，在某種程度上，可以認(rèn)為式（21）中的F矩陣元素即Vλk也是由上述兩項(xiàng)決定的。假設(shè)，各諧波源對第k個諧波源的影響如公式（22）所示，由式（22）得：

因?yàn)槭菍α邢蛄康挠嬎悖虼说仁街腥矩陣的第k行。

假設(shè)存在某種關(guān)系：

其中=［k1，k2，…，kn］，表示第i（i=1，2，…，n，且i≠k）個諧波源與第k個諧波源之間的互阻抗，I=［I1，I2，…，In］T，表示各個諧波源的電流值，F(xiàn)表示在（n-1）個諧波源作用下第k個諧波源處的諧波電壓值，則：

由此，便可求出矩陣的元素，中每一行對應(yīng)的都可以用此種方法求出。公式（40）若成立，那么矩陣是滿足式（40）。在理論上，將耦合因子向量轉(zhuǎn)化成了對角向量，解除了諧波源之間的干擾。實(shí)際中，需要安置濾波器，那么濾波器的參數(shù)為：

其中［Zk1，Zk2，…，Zkn］由式（5）中Yh求逆得來。同樣方法，計算耦合因子矩陣的每一行，使得耦合矩陣被完全解耦。

4 諧波傳遞案例及諧波耦合仿真分析

圖3 上海泗涇分區(qū)下某輻射型子網(wǎng)示意圖Fig.3 Schematic diagram of a radiation type sub-network in Shanghai Sijing partition

本案例以上海泗涇分區(qū)下的219 kV小環(huán)網(wǎng)為例，其示意圖如圖3所示，利用上海市電能質(zhì)量監(jiān)測系統(tǒng)實(shí)測數(shù)據(jù)來分析不同變電站之間的諧波影響系數(shù)的取值。由圖3可知，該219 kV小環(huán)網(wǎng)共有9座219 kV變電站，包括500 kV泗涇站的219 kV母線，共有10條219 kV母線。

4.1 諧波傳導(dǎo)對諧波電流耦合影響仿真分析

本數(shù)據(jù)是在泗涇站的500 kV母線上分別加上2次至2次單位諧波源，分析諧波電壓由泗涇站500 kV母線沿著輻射型網(wǎng)絡(luò)向低電壓等級母線的傳遞情況，從而得出泗涇站對小環(huán)網(wǎng)其他母線的影響系數(shù)及諧波傳遞系統(tǒng)的計算結(jié)果。

由圖4明顯可以看出，同等變壓等級，但隨著站與站之間的電氣距離不同，其傳遞系數(shù)有所不同，即傳遞系數(shù)Kh和站與站之間的電氣距離有關(guān)，這同電網(wǎng)所建立的等值電路得到的傳遞系數(shù)式（9）相符合，也符合直觀理解，電氣距離近的兩個站，諧波更容易相互傳遞。由圖4還可以看出，傳遞系數(shù)Kh和諧波次數(shù)有關(guān)，諧波次數(shù)越高，站間影響系數(shù)越??；諧波次數(shù)越低，站間影響系數(shù)越大，影響系數(shù)隨著諧波次數(shù)的升高而降低。由此可以看出，相對于低次諧波而言，高次諧波更容易衰減。

圖4 解耦前500 kV母線至35 kV母線的傳遞系數(shù)Fig.4 Transfer coefficient from 500 kV bus to 35 kV bus before decoupling

圖5是解耦前后傳遞系數(shù)的對比圖，虛線表示解耦前的傳遞系數(shù)，實(shí)線為解耦后的傳遞系數(shù)，由對比看出，解耦后，傳遞系數(shù)減小。傳遞系數(shù)與電氣距離和諧波次數(shù)有很大關(guān)系。解耦之后，傳遞系數(shù)有所降低，即傳輸線路上級對下級的影響程度變小。有利于改善因諧振引起的諧波放大現(xiàn)象，使得下級線路及設(shè)備電壓浮動變小，減少了線路損耗。

4.2 多諧波源的耦合因子仿真分析

本文采用IEEE13節(jié)點(diǎn)模型進(jìn)行仿真，該系統(tǒng)有2臺發(fā)電機(jī)組、7個PQ節(jié)點(diǎn)、13條母線、12條支路和7臺變壓器組成。令Bus3作為關(guān)注母線X，母線8、10、13接諧波源負(fù)荷，其中母線8接牽引機(jī)車的牽引變電站，母線10接分布式發(fā)電電源，如整流器、調(diào)頻器等電力電子設(shè)備，母線13為工業(yè)用電中的電 弧爐。圖6為IEEE 13節(jié)點(diǎn)示意圖，三諧波源共同作用時PCC處電流如圖7所示。

圖5 解耦前后500 kV母線至35 kV母線的傳遞系數(shù)Fig.5 Transfer coefficient from 500 kV bus to 35 kV bus before and after decoupling

諧波源8、10、13在Bus3處共同作用后的波形見圖7。

利用2章節(jié)的公式計算出耦合因子ξ。結(jié)果如表1所示。

圖6 IEEE 13節(jié)點(diǎn)示意圖Fig.6 Schematic diagram of IEEE 13 node

表1表明，諧波源8和諧波源10之間的影響比諧波源10和諧波源13的影響作用大的多。因諧波源8與諧波源13之間的電氣距離較遠(yuǎn)，計算出來的結(jié)果趨于零，這與實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)相符合。因此，有必要對諧波源8、10進(jìn)行解耦，以保證它們對Bus3的責(zé)任區(qū)分的相對獨(dú)立。

圖7 三諧波源共同作用時PCC處電流Fig.7 Effect of three common harmonic sources at PCC current

表1 多諧波源系統(tǒng)耦合因子Tab.1 Coupling factor of multi harmonic sources system

4.3 解耦前后的責(zé)任區(qū)分對比

支路中的諧波電流并非諧波源發(fā)射的電流，而是各諧波電流疊加的結(jié)果。用支路中的諧波電流計算諧波責(zé)任［10］，不能代表用戶應(yīng)當(dāng)承擔(dān)的責(zé)任。諧波源發(fā)射的諧波電流在關(guān)注母線處引起的諧波電壓，所占母線總諧波電壓的比例是真實(shí)的責(zé)任大小［11］。

通用諧波責(zé)任公式如下：

首先計算考慮諧波耦合時，即正常運(yùn)行下電網(wǎng)中諧波源的責(zé)任區(qū)分。利用公式（42）計算諧波源8、10、13對關(guān)注母線的諧波責(zé)任如表2所示。

由表2可以看出，諧波源8的諧波責(zé)任在5、7次諧波下為負(fù)數(shù)，是因?yàn)樵陉P(guān)注母線3處，諧波源8產(chǎn)生的諧波電壓與諧波源10、13產(chǎn)生的諧波電壓相位相反，即削弱了諧波源10、13對關(guān)注母線電壓的影響。

表2 解耦前諧波責(zé)任區(qū)分Tab.2 Harmonic responsibility partitioning before decoupling

如在5次諧波下，諧波源8的諧波責(zé)任為負(fù)值，此非線性負(fù)荷吸收了一部分諧波功率，抑制了諧波畸變。仿真結(jié)果表明諧波源13比諧波源8、10承擔(dān)的責(zé)任多，說明對于關(guān)注母線3來說，諧波源13是主要的諧波源，而諧波源8、10是次要的諧波源。因此，在實(shí)施獎懲機(jī)制時，應(yīng)當(dāng)對諧波源13加大懲罰力度，而對于諧波源8可以實(shí)行獎勵的策略［12］。

接下來根據(jù)第三節(jié)所述的解耦理論，解耦后的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)發(fā)生變化。鑒于此，責(zé)任區(qū)分也將發(fā)生變化。下面給出解耦后的諧波責(zé)任區(qū)分結(jié)果：

以5次諧波為例，由表3可以看出，負(fù)荷8在解耦前的責(zé)任大小為-8.84，與精確值-18.34比相差較大，而將諧波源解耦后，責(zé)任大小變?yōu)?17.10，與精確值更加接近。再比如13次諧波下，負(fù)荷13的責(zé)任由解耦前的66.74將為解耦后的64.72，與精確值的差值變小，這說明通過本文的解耦理論，使得諧波源與諧波源之間的耦合關(guān)系得到減弱或者解除，諧波源之間的干擾減小，因此責(zé)任區(qū)分的大小更加接近精確值。

為了更直觀形象的對比解耦前后責(zé)任區(qū)分的效果，下面做出柱形圖進(jìn)行比較。將精確值、解耦前后的數(shù)值畫在同一圖形中，如圖8～圖11所示。

從上圖可以直觀看出不同次諧波下，解耦前后諧波責(zé)任的數(shù)值大小。解耦后，責(zé)任區(qū)分的數(shù)值進(jìn)一步接近精確值，使責(zé)任區(qū)分更加準(zhǔn)確公平，體現(xiàn)出奇異值分解理論的有效性和實(shí)用性。

表3 解耦后諧波責(zé)任區(qū)分Tab.3 Harmonic responsibility partitioning after decoupling

圖8 5次諧波下責(zé)任區(qū)分Fig.8 Responsibility partitioning at the 5th harmonic

圖9 7次諧波下責(zé)任區(qū)分Fig.9 Responsibility partitioning at the 7th harmonic

圖10 11次諧波下責(zé)任區(qū)分Fig.10 Responsibility partitioning at the 11th harmonic

圖11 13次諧波下責(zé)任區(qū)分Fig.11 Responsibility partitioning at the 13th harmonic

5 結(jié)束語

（1）提出一種基于奇異值分解理論（SVD）的解耦算法，核心思想是將待分解矩陣轉(zhuǎn)換成三個矩陣的乘積，將耦合矩陣轉(zhuǎn)變成對角矩陣，實(shí)現(xiàn)理論上的解耦；

（2）通過諧波傳導(dǎo)實(shí)例仿真分析，解耦之后，傳遞系數(shù)有所降低，即傳輸線路上級對下級的影響程度變小。有利于改善因諧振引起的諧波放大現(xiàn)象，使得下級線路及設(shè)備電壓浮動變小，減少了線路損耗；

（3）采用IEEE 13節(jié)點(diǎn)模型，設(shè)定不同諧波源位置，得出諧波源8、10之間存在強(qiáng)耦合關(guān)系，需要采取必要的解耦措施。結(jié)合解耦理論在責(zé)任區(qū)分中的應(yīng)用，同樣在IEEE 13節(jié)點(diǎn)中進(jìn)行，對比解耦前后諧波責(zé)任大小，可以得出解耦后的值更加接近精確值，驗(yàn)證了理論的正確性和可行性。