王永剛,孫 偉,2,徐張建

(1.西北綜合勘察設計研究院,陜西 西安 710003; 2.成都理工大學 地質災害防治與地質環(huán)境保護國家重點實驗室,四川 成都 610059)

水下巖巷圍巖蠕變Norton-Hoff解法與分析

王永剛1,孫 偉1,2,徐張建1

(1.西北綜合勘察設計研究院,陜西 西安 710003; 2.成都理工大學 地質災害防治與地質環(huán)境保護國家重點實驗室,四川 成都 610059)

富水環(huán)境中巖體巷道的長期穩(wěn)定性與水的滲流、巖體流變等因素緊密相關。文章假設圍巖蠕變行為服從Norton-Hoff定律,建立水下巖巷擾動區(qū)蠕變的計算模型,并利用Laplace變換以及有效應力原理解答水下巖巷受力與變形的時效問題;在Norton-Hoff解法基礎上獲得了與時間相關的水下巖巷變形計算式,并對擾動區(qū)的蠕變變形進行參數(shù)敏感性分析。研究表明:隨著巖石黏滯系數(shù)的增大,巖巷蠕變變形逐漸減小,呈現(xiàn)非線性特性;水力傳導系數(shù)僅對深處圍巖的時效變形產生影響,增大該系數(shù),巖巷圍巖深處任一點位的位移分布增大。該研究可為更復雜的水下巖巷蠕變變形的數(shù)值計算提供理論參考。

巖體巷道;時效變形;Norton-Hoff定律;Laplace變換;有效應力

巖體作為地下工程圍巖受力的介質,其與時間相關的力學特性直接影響到工程的長期穩(wěn)定[1]。在水電工程中,巖巷圍巖長期處于有水賦存的狀態(tài)中,滲流將是影響巖石流變力學性質的一個重要因素[2];巖巷開挖擾動會引起原巖破裂,增大巖體暴露面積,從而增加巖體滲流路徑,滲流的不利影響得以擴大，隨著時間的推移巖巷周圍巖體可能出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象進而造成重大事故的發(fā)生[3]。因此,水下巖巷蠕變變形的分析研究具有一定的理論意義,并且對于富水環(huán)境中巖體巷道長期穩(wěn)定運行具有重要的工程實踐意義。

解析法可快速高效地定量評價巖巷工程力學響應,也可直觀反映介入參數(shù)的物理意義[2],優(yōu)于但也同樣難于數(shù)值分析法。文獻[4-8]研究了水作用下巖巷開挖擾動圍壓力學響應的瞬態(tài)解,對巖體巖巷滲流工況的計算有一定參考意義;但是這些研究忽略了巖體流變效應。在深埋巖巷開挖擾動作用下,圍巖受力大多表現(xiàn)出塑性工作狀態(tài)[9-11],也就是說,巖巷周邊存在塑性圈;當存在水的弱化作用時,圍巖塑性行為得以加劇[12]。此外在巖巷長期運行過程中,巖體出現(xiàn)突出的與時間相關的不可逆應變,即黏塑性蠕變變形[13]。針對水下巖巷時效變形,文獻[14]假設圍巖蠕變行為服從Norton-Hoff定律,且為彈塑性不可壓縮體,該假設可為計算黏塑性巖體巷道近似封閉解提供可能性,但是該研究未考慮滲流影響。文獻[15]從理論上深化了多孔黏塑性巖體巷道長期變形力學分析,但是該研究局限于巖體穩(wěn)定蠕變這種特殊狀態(tài)。

本文在文獻[14]基礎上,對水下巖巷的蠕變變形進行探討,假設圍巖蠕變行為服從Norton-Hoff蠕變定律,基于水下巖巷蠕變變形的計算模型解答了其受力與變形的時效問題;借助Norton-Hoff解法,獲得了與時間相關的水下巖巷蠕變變形計算式;最后探討了有關參數(shù)的敏感性。

1 力學模型

圓形巖巷(半徑為R0)開挖于連續(xù)均質各向同性巖體中,如圖1所示。

圖1 圓形巖巷計算模型

在擾動區(qū)與未擾動區(qū)交界面處有地應力σ0與初始的遠場孔隙水壓力pw0作用,假設擾動區(qū)巖體蠕變行為服從Norton-Hoff定律[14],其應變含有彈性應變分量與黏塑性應變分量。

為了描述巖石水力學行為,可將應變和孔隙率視為狀態(tài)變量[16]。假設巖石孔隙率差值(n-n0)和應變張量εij由彈性分量(用上標“e”表示)和黏塑性分量(用上標“vp”表示)構成,計算公式為:

其中,n、n0分別為巖石的實際孔隙率與初始孔隙率;i=r,θ,z;j=r,θ,z。

根據(jù)熱力學基本不等式[16],有

(1)

其中,pw為孔隙水壓力;Ws為自由能。

由(1)式可得多孔巖石介質的彈性方程為:

(2)

(3)

b=1-K/Ks,β=(b-n0)/Ks。

其中,Ks為固相條件下介質的體積模量。

考慮到孔隙水壓力的影響,借助有效應力原理可得有效應力分量σij′與球應力σm′表達式為:

(4)

由(4)式可知,孔隙水壓力對偏應力張量沒有影響,則有:

Sij=σij-σml,Sij′=σij′-σm′l=Sij

(5)

(5)式可為多孔巖石介質的彈性力學行為構建計算思路,但由于該介質的黏塑性力學行為描述存在較大難度,因此水力耦合效應下多孔介質的本構方程仍有待補充。文獻[14]建立的多孔介質的黏塑性方程為:

(6)

根據(jù)Norton-Hoff蠕變定律[14],以及等式Sij′=Sij,可得:

φ*(σij′)=q2/(2η)

(7)

其中,φ*(σij′)為耗散勢能,與有效應力分量相關;η為巖石的黏滯系數(shù);q為Von Mises等效應力函數(shù),其計算式為:

(8)

將(8)式代入(7)式中,可得黏塑性應變率表達式為:

(9)

聯(lián)立(2)式與(9)式,可得總的應變率為:

(10)

聯(lián)立(3)式與(6)式,可得基于Norton-Hoff蠕變定律的流動方程如下：

(11)

2 水下巖巷圍巖蠕變計算

在排水條件下,不襯砌巖巷受力存在如(12)～(15)式的邊界條件。

(1) 洞壁處(r=R0)。時域條件為:

σr(R0,t)=0,pw(R0,t)=0

(12)

s-域(即變換域)條件為:

(13)

其中,r表示徑向；t為時間；s為時間t在變換域中的符號。

(2) 未擾動邊界處(r→∞)。時域條件為:

u(∞,t)=0,pw(∞,t)=pw0

(14)

s-域條件為:

(15)

將邊界條件(12)式、(13)式代入(10)式,并化簡可得:

σm′(r,t)=Kεv(r,t)-σ0+bpw0(r,t)

(16)

由此,可將(10)式進一步寫為:

(17)

在巖巷軸向方向上,(17)式可表達為:

其中,T0為松弛時間,T0=η/(3G)。

假設巖巷開挖前地應力表現(xiàn)為靜水壓力場,可知當時間t=0時,Sz(r,0)=0,可解得:

(18)

(19)

同理可解得巖巷環(huán)向偏應力張量為:

(20)

(21)

由于Sθ+Sz+Sr=0,因此可得:

(22)

平衡方程為:

(23)

由于σij=Sij+σmδij(i=r,θ,z;j=r,θ,z),σm=σm′-bpw,(23)式可化為:

(24)

將(16)式、(20)式及(22)式代入(24)式,可得:

對時間t求導,并考慮(19)式、(21)式,可得:

(25)

(26)

對(26)式進行整理,并考慮(14)式、(15)式,則有:

(27)

其中,ζ=(K+4G/3)/b,T1=T0(bζ/K)。

聯(lián)立(11)式與(27)式,并利用Laplace變換,可得:

(28)

(28)式的通解為:

φ(s)r]+

B(s)I0[φ(s)r]+pw0/s。

結合邊界條件(13)式、(15)式,可得s-域內孔隙水壓力及體積應變?yōu)?

(29)

(30)

其中,K1為第二類一階改進Bessel函數(shù)。

積分常數(shù)C(s)可通過邊界條件(12)式確定。聯(lián)立(4)式、(5)式,利用(12)式、(13)式,可得s-域內總的圍巖徑向應力為:

L[exp(-t/T0)ku(R0,t)]}

(31)

利用邊界條件(12)式、(13)式,以及Laplace變換,對(31)式進行化簡,可得:

進一步整理可得s-域內徑向位移表達式為:

(32)

利用(32)式可確定積分常數(shù)C(s),在此基礎上可獲得s-域內徑向位移的通解為:

(33)

由(29)式、(30)式、(33)式可進一步確定圍巖三向偏應力張量(18)式、(20)式、(22)式以及球張量(16)式的解析式。通過整理,可得滿足Norton-Hoff定律的圍巖受力與變形的s-域函數(shù)形式:

(34)

(35)

(36)

當遇到較為復雜的函數(shù)時,如(34)～(36)式,其時域內的計算超出了Laplace變換解答范圍,唯有借助數(shù)值反演計算,例如Stehfest算法,才能獲得解答。工程實踐中比較關心洞壁(r=R0)處的變形特性,在定義r=R0情況下,可利用Laplace逆變換將(34)～(36)式確定為時域內的解答,即

(37)

σr(R0,t)=0

(38)

(39)

(40)

由(37)式可知,即使考慮了水力耦合效應,洞壁變形特性仍與孔隙水壓力的分布無關。而此規(guī)律僅限于洞壁的水力學響應上,孔隙水壓力分布對除該處外的圍巖甚至是深處圍巖的變形均產生重要影響。

在特殊情況下,當圍巖力學性質表現(xiàn)為彈性不可壓縮,即μ=0.5時,巖石的體積模量K以及系數(shù)ζ均趨于無窮大,根據(jù)(30)式可知體應變?yōu)?。在這種情況下,Norton-Hoff解析結果得到的應力與位移計算式(33)式～(36)式中含有系數(shù)ζ的項均為0,計算結果可退化為一般巖石巷道情況[14]。

另外,若不計滲流影響,即遠場孔隙水壓力為pw0=0 MPa,則應力解(38)～(40)式將退化為文獻[17]圓形巷道應力計算式(以拉為正)。

3 水下巖巷時效變形分析

以文獻[18]所研究的黏土巖為例,對本文解析解的適用性問題以及相關重要參數(shù)的敏感性問題進行研究。計算參數(shù)如下:

R0=5 m,σ0=12 MPa,

pw0=5 MPa,E=4 GPa,

μ=0.3,Kf=2.2 GPa,

η=6 GPa·a,χh=10-17m4/(N·s),

b=0.6,n0=0.15。

為了更好地探究不同參數(shù)之間的耦合影響,更好地理解各參數(shù)的物理意義以及節(jié)省篇幅,將極徑r、時間t及洞壁位移u分別無量綱化如下:

其中,εc=σ0/(2G)。

在給定參數(shù)下,不同圍巖深處的巖巷位移時程曲線如圖2所示。

圖2 不同圍巖深處的巖巷位移時程曲線

從圖2可以發(fā)現(xiàn),巖巷開挖初期的位移發(fā)展較快,而后逐漸趨緩,本文解答能夠反映多孔黏塑性巖石介質的蠕變行為。同時,在巖巷開挖瞬間洞壁處(r*=1)的位移量最大,之后的位移發(fā)展也遠大于其他深處圍巖,集中體現(xiàn)了應力釋放作用。

巖石的黏滯系數(shù)對巖巷蠕變行為具有重要影響。不同黏滯系數(shù)下的巖巷位移時程曲線如圖3所示。從圖3可以發(fā)現(xiàn),隨著巖石黏滯系數(shù)的增大,巖巷隨時間的變形逐漸減小,而且呈現(xiàn)極強的非線性特性,當η=15 GPa·a時,巖巷位移基本不隨時間變化;此外,巖巷開挖瞬時形成的位移與巖石黏滯系數(shù)無關,可見該系數(shù)主要用于衡量巖石的時效變形特性。

圖3 不同黏滯系數(shù)影響下巖巷位移時程曲線

不同蠕變時間下巖巷位移的分布曲線如圖4所示。從圖4中可以發(fā)現(xiàn),巖巷在鄰近洞壁處的變形遠大于圍巖深處,在深處圍巖的變形趨于穩(wěn)定,主要是由于深處的應力釋放受到限制;另外,隨著時間的線性增加,巖巷位移的非線性增大特性更加明顯。

圖4 不同蠕變時間下巖巷位移分布曲線

在巖石水力學中,水力傳導系數(shù)對巖巷變形也具有重要影響。不同水力傳導系數(shù)下巖巷位移的分布曲線如圖5所示。由于在巖巷洞壁處采取排水處理措施,該系數(shù)對洞壁變形沒有影響,而隨著圍巖深度的增加,該系數(shù)的敏感性越發(fā)凸顯:隨著水力傳導系數(shù)的增大,巖巷圍巖深處任一點位的位移分布增大,變形更加明顯。這主要與未擾動區(qū)有初始的遠場孔隙水壓力作用有關。

圖5 不同水力傳導系數(shù)下巖巷位移分布曲線

4 結 論

(1) 巖巷開挖初期的位移發(fā)展較快,而后逐漸趨緩,反映了多孔黏塑性巖石介質的蠕變行為;增大巖石黏滯系數(shù),巖巷時效變形逐漸減小,呈現(xiàn)非線性特性。在開挖瞬間巖巷洞壁處的位移量最大,之后的位移發(fā)展也遠大于其他深處圍巖。

(2) 巖巷洞壁處的變形遠大于深處圍巖,深處圍巖的變形趨于穩(wěn)定;水力傳導系數(shù)對洞壁變形沒有影響,而隨著圍巖深度的增加,該系數(shù)的敏感性越發(fā)凸顯;隨著水力傳導系數(shù)的增大,巖巷圍巖深處任一點位的位移分布增大。

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Norton-Hoffanalyticalsolutionforsurroundingrockcreepinrockstunnelsbelowwatertable

WANG Yonggang1,SUN Wei1,2,XU Zhangjian1

(1.Northwest Research Institute of Engineering Investigations and Design, Xi’an 710003, China; 2.State Key Laboratory of Geohazard Prevention and Geoenvironment Protection, Chengdu University of Technology, Chengdu 610059, China)

The long-term stability of rocks tunnels in the water-rich environment relates closely to the seepage and the rheology behavior. It is assumed that the creep behavior of surrounding rock complies with the Norton-Hoff law, thereby the calculation model of time-dependent deformation in rocks tunnels below the water table is established. The Laplace transform method and principle of effective stress are utilized to calculate the stress and displacement field of rocks tunnels. The expression of time-dependent deformation in rocks tunnels below the water table is given, and the sensitivity analysis of relevant parameters is carried out. The results show that time-dependent deformation gradually degrades with the increase in the viscosity, which represents nonlinearity; the rock hydraulic conductivity only has significant influence on time-dependent deformation in the deep surrounding rock, with increasing the values of this coefficient, the increase of displacement occurs everywhere except at the tunnel wall. This analytical solution provides a useful reference for the more complex numerical simulation in this respect.

rock tunnel; time-dependent deformation; Norton-Hoff law; Laplace transform; effective stress

2016-04-18；

2016-07-20

國家自然科學基金資助項目(41172279)

王永剛(1969-),男,陜西西安人,西北綜合勘察設計研究院教授級高工;

孫 偉(1980-),女,山東聊城人,西北綜合勘察設計研究院高級工程師,成都理工大學博士生,通訊作者,E-mail:43671348@qq.com;

徐張建(1964-),男,陜西大荔人,西北綜合勘察設計研究院教授級高工.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.11.017

TV672.1

A

1003-5060(2017)11-1520-06

(責任編輯 張淑艷)