段翔兮，佃松宜，鄭萬里

（四川大學(xué)電氣信息學(xué)院，成都610065）

0 引 言

DC/DC變換器因其體積小、重量輕以及高效率和可靠性等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)傳輸與信息通信、航空航天、工業(yè)儀器、醫(yī)療設(shè)備、高壓直流輸電以及智能電網(wǎng)等領(lǐng)域，是電力電子技術(shù)研究的一個(gè)熱點(diǎn)［1］。DC/DC變換器的建模是各項(xiàng)研究的基礎(chǔ)，建立兼顧精確度和復(fù)雜度的模型是其分析設(shè)計(jì)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)［2-4］。

離散時(shí)間模型已經(jīng)成為DC/DC變換器非線性動(dòng)力學(xué)分析和數(shù)字控制器設(shè)計(jì)的首選模型［5］。通常建模方法主要有狀態(tài)空間平均法、精確離散映射和近似離散迭代映射，但分別有忽略了開關(guān)特性不能真實(shí)的反映其動(dòng)態(tài)特性［6-7］；運(yùn)算量非常大而難以適用于數(shù)字控制場(chǎng)合［8］；消去了矩陣指數(shù)和積分進(jìn)行了大量近似，使得模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)明顯偏離了實(shí)際電路動(dòng)力學(xué)行為的缺點(diǎn)［5］。離散演化映射建模方法基于哈密頓理論［9］，既保留了DC/DC變換器的動(dòng)力學(xué)行為又兼顧了模型的精確度和復(fù)雜度［10］，目前此方法大多應(yīng)用于機(jī)電系統(tǒng)，應(yīng)用于開關(guān)功率變換器領(lǐng)域的建模分析非常少［11］，僅文獻(xiàn)［9］采用拉格朗日力學(xué)變分積分建立了Boost電路的離散演化映射模型，模型計(jì)算量小、精確度高，但是未考慮DC/DC變換器的混雜特性。由于離散的開關(guān)動(dòng)作，DC/DC變換器是一個(gè)典型的連續(xù)（或離散）時(shí)間狀態(tài)變量和離散事件相互作用的混雜系統(tǒng)［12］。文獻(xiàn)［13］采用ν步離散法建立了DC/DC變換器在CCM模式下的分段仿射模型；文獻(xiàn)［14］對(duì)CCM模式下的Boost變換器進(jìn)行了混合邏輯動(dòng)態(tài)建模，但文獻(xiàn)［13-14］都未建立系統(tǒng)在DCM模式下的模型，不能完整的描述系統(tǒng)的各個(gè)工作狀態(tài)。文獻(xiàn)［15］引入混雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)和切換線性系統(tǒng)的概念，研究了PWM DC/DC變換器的能控性和能觀性；文獻(xiàn)［16］利用混雜系統(tǒng)理論對(duì)基本DC/DC電路在CCM和DCM工作模式下進(jìn)行了建模，運(yùn)用最小二乘法對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，但文獻(xiàn)［15-16］建立的連續(xù)時(shí)間模型并未離散化，不適用于數(shù)字控制［8］。

本文將哈密頓原理和混雜系統(tǒng)理論有效的結(jié)合起來。針對(duì)Buck變換器，先依據(jù)哈密頓原理，采用變分積分器對(duì)其各個(gè)工作狀態(tài)直接離散化，得到在CCM和DCM模式下的離散演化映射模型。然后基于混雜系統(tǒng)理論，將CCM和DCM模式統(tǒng)一起來，建立了Buck變換器的混合邏輯動(dòng)態(tài)模型，以描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性、切換規(guī)律和約束關(guān)系。

1 離散變分原理和混合邏輯動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

1.1 離散變分原理

離散變分原理的主要思想來源于處理力學(xué)的變分性質(zhì)，在離散化的情況下保持這種變結(jié)構(gòu)，并以一階（或更高階）直接離散化歐拉-拉格朗日方程。變分原理可以很容易的從連續(xù)的拉格朗日函數(shù)得到離散化的歐拉-拉格朗日方程［17］。

1.2 混合邏輯動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

MLD理論是一種應(yīng)用于混雜系統(tǒng)建模的重要理論，主要思想是通過計(jì)算邏輯變量和混雜系統(tǒng)的約束構(gòu)成不等式，從而確定系統(tǒng)的工作狀態(tài)。它能描述諸如分段仿射系統(tǒng)、約束線性系統(tǒng)、有限狀態(tài)機(jī)等一大類系統(tǒng)［18］?；祀s系統(tǒng)的通用MLD模型如圖1所示，圖1中的MLD模型統(tǒng)一描述了連續(xù)時(shí)間動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)和離散事件動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，并通過數(shù)字—模擬（D/A）和模擬—數(shù)字（A/D）兩類接口獲得不同動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)間的相互聯(lián)系。其中Xc、δo、δi等都是設(shè)定的輔助邏輯變量，在模型中采用布爾量進(jìn)行表示，Zi為輔助變量。

2 Buck變換器的離散演化映射模型

2.1 Buck變換器的工作模態(tài)

圖1 通用MLD模型Fig.1 General MLD model

根據(jù)Buck變換器電感電流的連續(xù)和斷續(xù)情況，工作模式可分為連續(xù)模式（CCM）和斷續(xù)模式（DCM）。工作在DCM時(shí)分為三種模態(tài)（模態(tài)1～模態(tài)3），工作在CCM時(shí)只有兩種模態(tài)（模態(tài)1～模態(tài)2），各個(gè)工作模態(tài)的等效電路如圖2所示。

圖2 Buck變換器及其等效電路圖Fig.2 Buck converter and its equivalent circuit diagram

2.2 在CCM模式下Buck變換器的離散演化映射模型

在開關(guān)功率變換器系統(tǒng)中，首先需要確定一個(gè)合適的初始開關(guān)位置參數(shù)u（即工作模態(tài)），u=0時(shí)，開關(guān)管閉合，u=1時(shí)，開關(guān)管關(guān)斷。然后分別定義Tu和Vu為電路系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能。用Fu表示電路的瑞利耗散函數(shù)，Vu，nc為非保守的勢(shì)函數(shù)［17］。對(duì)于Buck變換器，可得到以下表達(dá)式：

式中qL為電感中的循環(huán)電荷；qC為存儲(chǔ)在輸出電容中的電荷分別為電感電流和電容電流；常數(shù)參數(shù)L為電感；C為電容；R為負(fù)載電阻值；E為直流電源值，一個(gè)非保守的拉格朗日函數(shù)定義如下：

式中Ln，c是指保守的拉格朗日函數(shù)。運(yùn)用參數(shù)法離散拉格朗日函數(shù)，可得離散的保守拉格朗日函數(shù)：

非保守力項(xiàng)表示為：

采用單點(diǎn)正交法則近似，最終耗散力可表示為：

選取自由參數(shù)α=1/2（即中點(diǎn)法則單步積分子），位置的迭代計(jì)算規(guī)則如下式所示：

其中 pk=（pL，k，pC，k）T和 qk=（qL，k，qC，k）T，此外

根據(jù)式（8）首先獲得qk+1的迭代表達(dá)式：

最終得到qk+1的標(biāo)量形式：

式中vk=1-uk，表示開關(guān)位置參數(shù)。下一時(shí)刻的動(dòng)量方程表達(dá)式進(jìn)行更新：

那么，通過計(jì)算（12）式，動(dòng)量方程的迭代規(guī)則可表示如下：

在Buck變換器的離散演化映射模型中，第一個(gè)狀態(tài)變量為電感中的循環(huán)電荷qL，則輸入電流表示為第二個(gè)狀態(tài)變量被定義為輸出電容的電壓，表示為x2=qC/C。最終，得到Buck變換器離散演化映射模型，其中 x1，k+1=pL，k+1，x2，k+1=qC，k+1，x1，k=pL，k為輸入電流，x2，k=qC，k為輸出電容電壓。模型如下：

2.3 在DCM模式下Buck變換器的離散演化映射模型

在DCM模式下，對(duì)于Buck變換器可得以下表達(dá)式：

按上述步驟計(jì)算得到Buck變換器在DCM模式下的離散演化映射模型：

3 基于離散演化映射的MLD模型

在MLD理論的框架下，模型包含動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的所有運(yùn)行模態(tài)，xk+1=Aaxk+BaE為三種不同模態(tài)下的系數(shù)模型表達(dá)式，a=1，2，3表示模態(tài)1，2，3。各狀態(tài)量沿用之前定義，系數(shù)矩陣為：

ul∈{0，1}，當(dāng)ul為1時(shí)，開關(guān)管處于閉合狀態(tài)，當(dāng)ul為0時(shí)，開關(guān)管處于斷開狀態(tài)。通過前面對(duì)Buck變換器的運(yùn)行機(jī)制分析可知，當(dāng)變換器工作于DCM狀態(tài)時(shí)，電感電流幅值不大于0，則可推導(dǎo)只有當(dāng)ul＾iL≤0=1滿足時(shí)，變換器才工作于DCM狀態(tài)，則得到Buck變換器的混雜自動(dòng)機(jī)模型（見圖3）。

圖3 Buck變換器的混雜自動(dòng)機(jī)模型Fig.3 Hybrid automata model of a Buck converter

為了簡(jiǎn)單起見，定義輔助邏輯變量xl∈{0，1}。當(dāng)為0時(shí)，表示開關(guān)管處于關(guān)斷狀態(tài)且電感電流幅值不大于0，當(dāng)為1時(shí)，表示開關(guān)管處于閉合狀態(tài)或電感電流幅值大于0?；谏鲜龆x，為便于構(gòu)造MLD模型，可先將變換器的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型在分段仿射理論的框架下進(jìn)行描述：

將iL≤0狀態(tài)轉(zhuǎn)化為布爾量進(jìn)行描述，定義δ1，k∈{0，1}，表示：

這一定義的功能，類似前面所述的模擬-數(shù)字（A/D）端口的運(yùn)行機(jī)理。δ1，k同圖 1中的布爾量 δi相同。自動(dòng)切換規(guī)則可以全部依靠邏輯變量進(jìn)行定義：

將式（20）轉(zhuǎn)化成線性的表述形式，定義一個(gè)新的輔助邏輯變量 δ2∈{0，1}，δ2，k=1?xl，k=1∧δ1，k=1被改寫為 xl，k+1=δ2，k∨ul，k。延續(xù)同樣的方法，定義新的輔助邏輯變量 δ3∈{0，1}，δ3，k=δ2，k∨ul，k，最終得到 xl，k+1的線性表述形式：xl，k+1=δ3，k。但 δ2，k與 xl，k和δ1，k間的關(guān)系仍然是非線性，可用下述不等式組將其轉(zhuǎn)化為線性形式描述：

同樣的思路，得到 δ3，k同 δ1，k和 vl，k的線性關(guān)系：

將新定義的輔助邏輯變量代入式（18），得到：

但式（23）又產(chǎn)生了 ul，kxl，k這組非線性形式，因此定義輔助邏輯變量 δ4∈{0，1}，δ4，k=ul，kxl，k，則可得到線性的不等式組：

為了表示圖1中的數(shù)字-模擬（D/A）模塊，定義新的輔助變量z1和z2：

綜合式（23）和式（25），可得到如下表達(dá)式：

式（26）中描述了圖1中的連續(xù)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模塊。考慮到變換器實(shí)際運(yùn)行中對(duì)輸入狀態(tài)量和輸出狀態(tài)量的限制，可將（25）中非線性的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為線性的混合整數(shù)不等式組：

式中 Mzi和 mzi，其中 i∈{1，2}，表示 zi的最大和最小值。通過上述步驟，將式（21）的分段仿射系統(tǒng)形式轉(zhuǎn)化為式（27）的帶有約束的線性系統(tǒng)形式。根據(jù)MLD理論，將系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型表示為：

通過給定狀態(tài)變量xk和邏輯變量Uk的初始狀態(tài)，計(jì)算不等式組求得輔助邏輯變量δk和輔助變量Zk，確定工作模態(tài)，更新xk+1和yk輸出，到此，完成一個(gè)采樣周期的迭代運(yùn)算。

4 仿真結(jié)果及分析

基于Matlab軟件搭建模擬電路，仿真參數(shù)的設(shè)置為輸入 DC 50 V，電感 L=0.05 H，電容 C=680μF，負(fù)載R=23Ω，采樣時(shí)間h為10μs，開關(guān)周期Ts為10μs，采集電感電流和輸出電壓作為狀態(tài)量。將Buck變換器的MLD模型同模擬電路進(jìn)行對(duì)比，采用開環(huán)仿真驗(yàn)證模型的正確性。MLD模型和近似離散迭代模型采用m程序基于C語言進(jìn)行編寫，并進(jìn)行對(duì)比，分析模型的精確度。

在0.2 s的時(shí)間內(nèi)，實(shí)際電路、近似離散模型和基于演化映射的MLD模型的電感電流的波形如圖4所示。

圖4 電感電流對(duì)比Fig.4 Inductor current in contrast

通過對(duì)電感電流不穩(wěn)定狀態(tài)下的輸出波形放大得到如圖5所示的波形。

圖5 電感電流局部放大對(duì)比Fig.5 Inductor current zoom in contrast

當(dāng)電感電流等于0時(shí)，變換器進(jìn)入DCM模式，對(duì)進(jìn)入DCM模式的區(qū)域放大，如圖6所示。

圖6 進(jìn)入DCM模式時(shí)電感電流放大對(duì)比Fig.6 Inductor current zoom in contrast in DCM

當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，電感電流的輸出波形如圖7所示。

圖7 穩(wěn)態(tài)下電感電流放大對(duì)比Fig.7 Inductor current of steady-state zoom in contrast

在0.2 s的時(shí)間內(nèi)，實(shí)際電路、近似離散模型和基于演化映射的MLD模型的輸出電壓波形如圖8所示。

通過對(duì)輸出電壓不穩(wěn)定狀態(tài)下的波形放大得到如圖9所示的波形，對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)下的輸出電壓波形放大見圖10。

仿真結(jié)果分析：

（1）通過與實(shí)際電路的電感電流和輸出電壓進(jìn)行對(duì)比，可得所建立的基于離散演化映射的MLD模型是正確的；

圖8 輸出電壓對(duì)比Fig.8 Output voltage in contrast

圖9 輸出電壓局部放大對(duì)比Fig.9 Output voltage partial zoom in contrast

圖10 穩(wěn)態(tài)下輸出電壓局部放大對(duì)比Fig.10 Output voltage of the steady-state partial zoom in contrast

（2）模型復(fù)雜度明顯小于精確離散映射模型，計(jì)算量小；

（3）相比于近似離散迭代模型，MLD模型與實(shí)際電路電流和電壓更加接近，精確度更高；

（4）從圖6可以看出，當(dāng)電感電流等于0時(shí)，變換器進(jìn)入DCM模式，此時(shí)近似離散模型明顯偏離實(shí)際電路，而MLD模型能夠很好的跟蹤實(shí)際電路的電感電流，完整的描述了系統(tǒng)的各個(gè)工作模態(tài)；

（5）實(shí)際電路中電感充放電導(dǎo)致電流波動(dòng)等原因形成高頻紋波，這一現(xiàn)象為DC/DC變換器固有的高頻動(dòng)態(tài)特性。從圖7可以看出，MLD模型保留了DC/DC變換器固有的高頻動(dòng)態(tài)特性，完整的反映了穩(wěn)態(tài)下電流高頻紋波的幅值與頻率；

（6）通過局部放大圖10可以看出，MLD模型與實(shí)際電路的輸出電壓信號(hào)的跟蹤精度達(dá)到了小數(shù)點(diǎn)后4位。

5 結(jié)束語

針對(duì)Buck變換器，先依據(jù)哈密頓原理，采用變分積分器對(duì)其直接離散化，得到在CCM和DCM模式下的離散演化映射模型。然后基于混雜系統(tǒng)理論，將CCM和DCM模式統(tǒng)一起來，建立了Buck變換器的MLD模型。通過仿真驗(yàn)證和分析，證明了該方法的有效性，模型完整的描述了系統(tǒng)的各個(gè)工作狀態(tài)。與精確離散模型和近似離散模型相比，基于離散演化映射的MLD模型計(jì)算量小且精確度高，還反映了穩(wěn)態(tài)下電感電流紋波這一動(dòng)態(tài)特性。基于離散演化映射的MLD模型的建立為下一步變換器的非線性動(dòng)力學(xué)行為分析和數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)做好了鋪墊。