江維，肖輝，曾林俊，崔永林

（長(zhǎng)沙理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410114）

0 引 言

電力系統(tǒng)中大量電力電子裝置、波動(dòng)性負(fù)荷等非線性元件的使用，使得系統(tǒng)產(chǎn)生大量的諧波、間諧波，嚴(yán)重影響電力系統(tǒng)的安全運(yùn)行［1-2］。間諧波的存在還會(huì)引起電力系統(tǒng)電壓有效值和峰值的波動(dòng)，嚴(yán)重時(shí)造成系統(tǒng)電壓發(fā)生閃變、次同步振蕩等危害。因此，諧波、間諧波的有效治理成為電力系統(tǒng)安全運(yùn)行的重要保證，然而諧波、間諧波的精確檢測(cè)是治理的前提。

目前，對(duì)于諧波的同步采樣可以通過并聯(lián)加強(qiáng)鎖相環(huán)［3］或基波同步插值法［4-5］來實(shí)現(xiàn)，但對(duì)于間諧波而言，滿足同步采樣的窗口非常長(zhǎng)，無法滿足IEC 61000-4-7的標(biāo)準(zhǔn)，很難實(shí)現(xiàn)同步采樣，則會(huì)產(chǎn)生間諧波對(duì)諧波以及間諧波之間的泄漏問題。已有許多文獻(xiàn)針對(duì)此問題開展大量研究，文獻(xiàn)［4］利用諧波頻點(diǎn)鄰近的譜線值來估算間諧波在諧波頻點(diǎn)處的泄漏值，但當(dāng)諧波附近含有多個(gè)主導(dǎo)間諧波成分時(shí)，此時(shí)泄漏估算的線性方程維數(shù)增加，導(dǎo)致計(jì)算量較大；文獻(xiàn)［6］提出鄰近譜線抵消法來消除泄漏的間諧波對(duì)諧波頻譜的干擾，該方法把泄漏旁瓣近似認(rèn)為是線性關(guān)系，而實(shí)際間諧波的泄漏值是由主瓣向旁瓣呈一種衰減形式，因而會(huì)存在較大的誤差。對(duì)于間諧波間的頻譜干擾問題，采用補(bǔ)零法［7-8］能使難以辨別的譜峰得到改善，采用加窗插值［9-12］法在一定程度上能夠抑制間諧波的頻譜泄漏。

為進(jìn)一步提高諧波、間諧波檢測(cè)精度，本文提出對(duì)諧波鄰近譜線采用曲線擬合的方法來求取間諧波在諧波譜線上的泄漏估計(jì)值，由于間諧波的泄漏譜線由主瓣向旁瓣近似呈一種指數(shù)函數(shù)衰減，因而采用指數(shù)函數(shù)進(jìn)行曲線擬合來求取間諧波在諧波頻點(diǎn)處的泄漏值具有更高的精度，從而得到較精確的擬諧波信號(hào)。針對(duì)間諧波之間的頻譜泄漏和頻率較近易出現(xiàn)譜線難以辨別的問題，文中采用補(bǔ)零和加窗插值法相結(jié)合可得到較精確擬間諧波信號(hào)參數(shù)。通過算例仿真分析，驗(yàn)證了本文所提方法在檢測(cè)諧波和間諧波時(shí)有較高的精度。

1 諧波、間諧波的泄漏效應(yīng)

考慮電力系統(tǒng)信號(hào)為：

式中fm為信號(hào)頻率；Am和φm分別為信號(hào)的幅值和初始相角；P為信號(hào)的成分?jǐn)?shù)；t為時(shí)間。

對(duì)信號(hào)進(jìn)行離散化采樣，采樣窗口長(zhǎng)度為Tm，得到離散信號(hào)：

其中k＝0，1，… ，N－1；N為采樣點(diǎn)數(shù)，且 TS＝N／fs。

對(duì)信號(hào)x（k）進(jìn)行離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT），可得：

式中Ω＝2πfΔt，其中Δt＝1／fs，則對(duì)應(yīng)DFT為：

式中 n＝0，1，… ，N－1。

對(duì)式（3）和式（4）進(jìn)行比較，得到離散信號(hào) x（k）的DFT結(jié)果為其DTFT結(jié)果的離散化，忽略負(fù)頻譜的影響，可得：

從式（5）可知，若fmTs為整數(shù)，則DFT值在n＝fmTs時(shí)值為NAmejφm，在其他頻點(diǎn)處的值都為零，即為同步采樣。若fmTs為非整數(shù)，即當(dāng)采樣窗口長(zhǎng)度不是信號(hào)周期整數(shù)倍時(shí)，其就會(huì)在各離散頻點(diǎn)存在泄漏，該泄漏成份會(huì)干擾其他頻率成份，即為非同步采樣（如圖1所示）。此時(shí)X（ejΩ）在任何頻點(diǎn)的值都是信號(hào)中各譜線的分量在此點(diǎn)對(duì)應(yīng)值的矢量疊加，從而造成檢測(cè)結(jié)果出現(xiàn)偏差。

圖1 頻譜泄漏示意圖Fig.1 Schematic diagram of the spectrum leakage

2 基于曲線擬合的諧波檢測(cè)

間諧波的非同步采樣造成實(shí)際檢測(cè)的諧波譜線包含兩部分，一部分是諧波本身的譜線值，另一部分是間諧波在諧波頻點(diǎn)處泄漏的譜線值。

現(xiàn)對(duì)某一頻率為fm的間諧波信號(hào)在非同步采樣下分別從實(shí)部和虛部進(jìn)行頻譜分析，本文取信號(hào)頻率 fm＝70 Hz，采樣頻率 fs＝256 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)N＝200的信號(hào)進(jìn)行FFT仿真分析，得到的間諧波泄漏的譜線實(shí)部和虛部泄漏頻譜分別如圖2、圖3所示。

假設(shè)k處存在一諧波信號(hào)，取k及其附近k－2、k－1、k＋1和k＋2五個(gè)頻點(diǎn)進(jìn)行譜線分析，對(duì)應(yīng)的FFT值為 X（k－2）、X（k－1）、X（k）、X（k＋1）、X（k＋2）。由于X（k）在任何頻點(diǎn)的值都是信號(hào)中各個(gè)分量在此點(diǎn)對(duì)應(yīng)值的疊加，可由式（6）表示：

由于對(duì)諧波的同步采樣，則諧波在其他頻點(diǎn)上無泄漏值，所以在諧波頻點(diǎn)外的其它頻點(diǎn)值為間諧波單獨(dú)引起的泄漏值，則式（6）可以簡(jiǎn)化為：

從圖2、圖3可以看出，實(shí)部和虛部旁瓣對(duì)應(yīng)的鄰近頻譜線近似呈指數(shù)函數(shù)衰減，譜線間隔設(shè)定為5 Hz（IEC推薦的采樣時(shí)長(zhǎng)來確定，如圖2、圖3虛線所示），不妨設(shè)衰減函數(shù)為：

圖2 間諧波信號(hào)的頻譜泄漏實(shí)部圖Fig.2 Real part of spectra leakage of inter-harmonics

圖3 間諧波信號(hào)的頻譜泄漏虛部圖Fig.3 Image part of spectra leakage of inter-harmonics

根據(jù)圖2譜線 X實(shí)部（k－2）、X實(shí)部（k－1）、X實(shí)部（k＋1）、X實(shí)部（k＋2）的值，調(diào)用 MATLAB中的 H（x）函數(shù)模型進(jìn)行指數(shù)擬合，在最大擬合程度情況下（不同擬合程下的 m，n，p，q值不同），獲得最優(yōu) m，n，p，q值，則可求得 H實(shí)部（k）的值，同理可得 H虛部（k）的值。則有：

當(dāng)信號(hào)中存在多個(gè)間諧波時(shí)，間諧波泄漏值為每個(gè)間諧波單獨(dú)泄漏值實(shí)部和虛部的分別疊加，實(shí)部和虛部泄漏值疊加的譜線依然滿足式（8）函數(shù)關(guān)系。則各諧波真實(shí)估計(jì)值：因此，可推導(dǎo)得出頻率為fm的諧波頻譜估計(jì)值通用公式：

3 基于補(bǔ)零和加窗插值的間諧波檢測(cè)

當(dāng)兩間諧波之間的頻率差遠(yuǎn)大于頻率分辨率時(shí)，可通過加窗插值法獲得較精確間諧波參數(shù)。但當(dāng)兩間諧波之間的頻率差較小，在頻率分辨率范圍附近時(shí)，甚至小于其頻率分辨率時(shí)，兩譜峰由于峰值譜線相隔太近會(huì)出現(xiàn)混頻問題。因此，如何改善譜線的分布密集度成為解決混頻問題的關(guān)鍵。

3.1 補(bǔ)零法的頻段劃分

設(shè)兩相鄰譜線間隔為 d f，其中 d f＝fs／N，fs為采樣頻率，N為采樣截?cái)鄶?shù)據(jù)長(zhǎng)度，對(duì)截?cái)嗟臄?shù)據(jù)后面補(bǔ)N1個(gè)零，則信號(hào)補(bǔ)零后的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度由N增加到N＋N1，采樣點(diǎn)數(shù)N的增加會(huì)導(dǎo)致相鄰譜線間隔d f減小，譜線變得更密集，使得譜線外觀變得平滑，能夠改善由于譜線混頻而造成間諧波檢測(cè)中的頻率漏檢問題，如圖4所示。在滿足IEC 61000-4-7規(guī)定的信號(hào)采樣時(shí)長(zhǎng)為10個(gè)基波周期時(shí)，一般N1取N就能夠達(dá)到較好的分辨效果。

從圖4可以看出，補(bǔ)零前信號(hào)的頻段在［A，B］段只含一個(gè)頻率成份，補(bǔ)零后信號(hào)含有兩個(gè)波峰，即含有兩個(gè)頻率成份。對(duì)圖4兩譜峰間的波谷M處進(jìn)行頻段劃分，則補(bǔ)零后的頻段可劃分［A，M］和［M，B］兩部分。

圖4 擬間諧波信號(hào)的補(bǔ)零FFT幅值頻譜Fig.4 Add zero FFT spectrum of quasi inter-harmonic

3.2 基于分頻段加4項(xiàng)3階Nuttall窗插值法

文中對(duì)間諧波各頻段進(jìn)行譜峰搜索，設(shè)搜索到的譜峰最大和次大譜線分別為l和l＋1，對(duì)應(yīng)的譜值為｜X（l）｜和｜X（l＋1）｜。由文獻(xiàn)［13］知 Nuttall窗具有較其它窗函數(shù)較窄的主瓣寬度和較大的旁瓣衰減速度的性能，且考慮到窗函數(shù)計(jì)算量，選擇4項(xiàng)3階Nuttall窗函數(shù)進(jìn)行雙譜線插值FFT計(jì)算，由文獻(xiàn)［9］可得Nuttall窗函數(shù)插值公式如式（12）所示，可通過MATLAB仿真求得各頻段間諧波的參數(shù)。

式中a為插值系數(shù)；b為相鄰譜峰比；A、f、φm分別為間諧波的幅值、頻率和相角。

4 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證文中在檢測(cè)諧波和間諧波的有效性，下面提供一組電壓信號(hào)的計(jì)算實(shí)例，給定信號(hào)參數(shù)如表1所示。

表1 仿真信號(hào)參數(shù)Tab.1 Simulated signal parameters

4.1 諧波的檢測(cè)

設(shè)信號(hào)采樣頻率為1 000 Hz，采樣時(shí)長(zhǎng)為0.2 s，分別采用三種方法對(duì)諧波進(jìn)行MATLAB仿真計(jì)算：

（1）方法1：直接諧波FFT計(jì)算；

（2）方法2：加hanning窗的諧波FFT計(jì)算；

（3）方法3：指數(shù)函數(shù)擬合的諧波FFT計(jì)算。

諧波信號(hào)的幅值和相位計(jì)算結(jié)果分別如表2和表3所示。

從表3、表4可知，方法2在諧波精度上較方法1有較大提高，因?yàn)榧哟昂瘮?shù)能夠在一定的程度上抑制間諧波的頻譜泄漏。文中采用指數(shù)函數(shù)擬合法來求取間諧波泄漏值，從信號(hào)疊加產(chǎn)生誤差的本質(zhì)上出發(fā)。算例結(jié)果表明，方法3采用指數(shù)函數(shù)擬合消去法具有比方法1和方法2更高的計(jì)算精度。

表2 諧波幅值參數(shù)的計(jì)算結(jié)果及其誤差對(duì)比Tab.2 Amplitude contrast of calculation result and errors

表3 諧波相位參數(shù)的計(jì)算結(jié)果及其誤差對(duì)比Tab.3 Phase contrast of calculation result and errors of harmonic phase parameters

4.2 間諧波的檢測(cè)

將表1信號(hào)減去擬諧波信號(hào)得到擬間諧波信號(hào)，如圖5所示。實(shí)際包含4個(gè)間諧波成分，MATLAB進(jìn)行仿真只含3個(gè)間諧波頻譜成份，分別在［20，60］、［60，100］、［120，160］這 3個(gè)頻段，實(shí)際給出的間諧波在［60，100］頻段有2個(gè)間諧波成份，這是由于兩間諧波頻率相對(duì)較近而造成譜峰發(fā)生混疊。

圖5 擬間諧波信號(hào)的頻譜Fig.5 Spectrum of quasi inter－h(huán)armonics

原信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)N為200，補(bǔ)零點(diǎn)數(shù)N1也取200，可得到補(bǔ)零后的信號(hào)頻譜如圖6所示。

信號(hào)在頻段［60，100］處含有兩個(gè)間諧波成分，與實(shí)際給出的信號(hào)成分相吻合，通過MATLAB可得到波谷處頻率為82.5 Hz，則可將頻段［60，100］劃分成［60，82.5］和［82.5，100］兩部份。

圖6 擬間諧波信號(hào)補(bǔ)零后的頻譜Fig.6 After add zero spectrum of quasi inter－h(huán)armonics

分別對(duì)［20，60］、［60，82.5］、［82.5，120］、［120，160］頻段進(jìn)行最大和次大譜線搜索，采用雙譜線加4項(xiàng)3階Nuttall窗進(jìn)行FFT計(jì)算，采樣0.2 s后，得到擬間諧波信號(hào)頻率、幅值和相位的計(jì)算結(jié)果分別如表4、表5和表6所示?？芍疚臋z測(cè)的間諧波精度較高。

表4 擬間諧波信號(hào)頻率加窗插值的結(jié)果Tab.4 Results of inter-harmonic signal frequency windowed interpolation

表5 擬間諧波信號(hào)幅值加窗插值的結(jié)果Tab.5 Results of inter-harmonic signal amplitude windowed interpolation

表6 擬間諧波信號(hào)相位加窗插值的結(jié)果Tab.6 Results of inter-harmonic signal phase windowed interpolation

由表4、表5和表6的檢測(cè)參數(shù)結(jié)果可知，本文算法測(cè)得間諧波精度較高，主要取決于兩方面：一是由于諧波的精確檢測(cè)，減少諧波對(duì)間諧波檢測(cè)的干擾；二是本文采用4項(xiàng)3階Nuttall窗有較高抑制頻譜泄漏能力。

5 結(jié)束語

本文從間諧波的頻譜泄漏角度出發(fā)，提出采用指數(shù)擬合的方法來求泄漏的間諧波在對(duì)應(yīng)諧波頻點(diǎn)處的泄漏值，推導(dǎo)出了譜線疊加公式的簡(jiǎn)化公式，通過指數(shù)函數(shù)式可求得間諧波在諧波處的泄漏值。為解決間諧波間頻率相對(duì)較近（5 Hz左右）而容易造成頻譜混疊的問題，采用補(bǔ)零法能夠有效改善頻譜混疊。在各頻段內(nèi)采用譜線搜索和4項(xiàng)3階Nuttall窗插值法能大大減小譜線搜索和插值的計(jì)算量，仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果得到的諧波間諧波參數(shù)較精確。

補(bǔ)零法能夠有效解決間諧波間的頻率差在分辨率（5 Hz）附近時(shí)易出現(xiàn)的混疊問題，如何提高頻率分辨率是下一步研究的重點(diǎn)。