彭瑀，趙金洲，李勇明

（油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室（西南石油大學），成都 610500）

基于分數(shù)階黏彈性本構(gòu)方程的井眼蠕變模型

彭瑀，趙金洲，李勇明

（油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室（西南石油大學），成都 610500）

為精確模擬井眼蠕變歷程，預測和預防井壁坍塌、套管擠毀和卡鉆等工程事故，在前人研究的基礎(chǔ)上，將彈簧壺元件引入經(jīng)典元件模型中，得到了分數(shù)階模型的蠕變?nèi)崃浚Ⅱ炞C了分數(shù)階模型的擬合效果。研究認為分數(shù)階模型能夠?qū)崿F(xiàn)少參數(shù)、高精度的模擬，并且相應參數(shù)的物理意義也更加明確。通過黏彈對應性原理，模擬了鉆進和壓井過程中的井眼蠕變情況，通過調(diào)整求導階數(shù)可以使該模型在理想彈性體模型和標準固體模型之間轉(zhuǎn)化，因此，基于標準固體本構(gòu)方程和理想彈性體本構(gòu)方程建立的井眼縮徑模型僅是該模型的特例。分析模擬結(jié)果認為調(diào)整分數(shù)階元件的階數(shù)，可以在加快瞬態(tài)蠕變的同時降低穩(wěn)態(tài)蠕變的速度，對蠕變曲線進行非對稱調(diào)整，經(jīng)典模型則無法通過調(diào)整單一參數(shù)達到這一目的，分數(shù)階黏彈性本構(gòu)方程擬合高度非線性實驗數(shù)據(jù)的能力更強。圖6參25

黏彈性本構(gòu)方程；分數(shù)階模型；彈簧壺元件；井眼縮徑；巖石蠕變；井壁穩(wěn)定性

0 引言

井眼蠕變縮徑一般發(fā)生在鹽膏、煤巖、泥巖和頁巖等具有明顯黏彈性力學特征的地層中[1-4]，會造成井壁坍塌、套管擠毀、卡鉆等嚴重的工程事故[5-7]。巖石蠕變對煤層氣、頁巖氣和致密油氣等非常規(guī)資源開發(fā)的影響更加明顯[8-9]。巖石黏彈性力學研究結(jié)果顯示，蠕變模擬的核心問題是黏彈性本構(gòu)方程的確定與應用[10-11]。近些年來，分數(shù)階微積分獲得了長足發(fā)展，Caputo分數(shù)階導數(shù)定義的提出，規(guī)避了分數(shù)維初值條件無法給出的問題[12-13]，使分數(shù)階黏彈性本構(gòu)方程以物理意義明確、后期衰減速度低和擬合效果好等特點，逐漸在各種材料的黏彈性行為模擬中推廣應用[14-16]。筆者在前人研究的基礎(chǔ)上，研究了彈簧壺元件的蠕變和松弛特點，并將其引入經(jīng)典黏彈性本構(gòu)方程中，對比了經(jīng)典和分數(shù)階黏彈性本構(gòu)方程的擬合效果，通過黏彈對應性原理，將其應用到了井眼蠕變模擬中，指導工程實踐。

1 彈簧壺元件

黏彈性本構(gòu)方程主要分為經(jīng)驗模型、機理模型和元件模型3類[17]。經(jīng)驗模型通過實測參數(shù)擬合得到，由于函數(shù)形式的選擇比較自由，其擬合效果很好，但物理意義不明確，時間和維度的外推性能都無法得到保障；機理模型考慮損傷和微裂縫的影響，但一些參數(shù)需要人為設(shè)定，會干擾模擬結(jié)果；元件模型有比較明確的物理意義，有時間和維度外推的基礎(chǔ)，但是對大多數(shù)的黏彈性材料而言，達到模擬精度需要的元件數(shù)量過多[18]，極大地增加了工作量。隨著分數(shù)階模型的不斷發(fā)展，眾多學者均認為分數(shù)階黏彈性模型的衰減速度更低，采用較少的元件即可模擬復雜黏彈性行為[19-20]。

分數(shù)階元件在一些文獻中被稱為軟體元件[21]或者Abel黏壺，在此沿用文獻[19]和[20]的命名，稱其為彈簧壺（Springpot）。因為該元件兼有彈簧（Spring）和黏壺（Dashpot）兩種元件的特性，其元件名稱同樣也應該具有兩者的要素。

彈簧壺的本構(gòu)方程為：

其中，分數(shù)階導數(shù)算子采用Caputo定義[12-13]：

當應力一定時，可得到彈簧壺的蠕變模型：

當應變一定時，可得到彈簧壺的松弛模型：

不同階數(shù)的蠕變和松弛曲線見圖1。

圖1 不同階數(shù)下彈簧壺的蠕變和松弛曲線

（1）—（3）式中的求導階數(shù)α即是分數(shù)階模型的特有參數(shù)。當α趨近于0時，模擬對象的性質(zhì)更接近于理想彈性體，當α趨近于1時，模擬對象的性質(zhì)逐步向黏性流體轉(zhuǎn)變。當α在0～1變化時，即可模擬具有不同蠕變或松弛特征的黏彈性材料力學行為。

由圖 1可見，不同階彈簧壺元件的蠕變和松弛曲線差異很大。以求導階數(shù)為0.5的蠕變或者松弛曲線作為分界線可以發(fā)現(xiàn)，低衰減速度區(qū)曲線系的稠密程度明顯大于高衰減速度區(qū)。彈簧壺元件描述低速蠕變和低速松弛現(xiàn)象的擬合優(yōu)度更高。因此，彈簧壺元件更適宜于描述巖石這一類明顯偏向彈性的黏彈性材料。

2 黏彈對應性原理

在黏彈性力學中，當瞬時應力隨時間變化的函數(shù)為階躍形式時，瞬時應變（應變響應）可表示為：

在應力變化函數(shù)比較復雜時[22]，需通過增量模型將（4）式轉(zhuǎn)化成卷積形式：

在三向應力情況下引入求和約定，采用體積模量和剪切模量表示本構(gòu)方程，可得：

根據(jù)黏彈對應性原理，當邊界的位置和邊界條件類型不發(fā)生變化時，拉氏空間中的彈性方程組與黏彈性方程組僅在本構(gòu)方程上有差異。拉氏空間中的彈性本構(gòu)方程為：

拉氏空間中的黏彈性本構(gòu)方程可由（6）式、（7）式得到[23]：

將（10）式、（11）式分別代入（8）式和（9）式，即可得到黏彈性問題在拉氏空間中的解：

在實際的巖石力學測試中，常用差應力和軸向應變計算彈性模量，其代換形式可由類似推導得到：

3 分數(shù)階蠕變本構(gòu)方程與實例驗證

在一般的元件模型中，1個元件引入 1個待定參數(shù)，而彈簧壺元件會引入 2個待定參數(shù)。在進行不同本構(gòu)方程的對比時，應該以待定參數(shù)的數(shù)量作為指標。目前，用于模擬瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)蠕變的經(jīng)典黏彈性本構(gòu)模型主要有Kelvin模型，標準固體模型和Burgers模型[22]，如圖2所示。

圖2 經(jīng)典黏彈性模型

由圖2可見Kelvin模型是兩參數(shù)模型，標準固體模型是三參數(shù)模型，如果將其中的黏壺換成彈簧壺，會得到三參數(shù)和四參數(shù)的分數(shù)階模型（見圖3）。

圖3 分數(shù)階黏彈性模型

圖2a、圖2b和圖2c的蠕變?nèi)崃糠謩e為：

圖3a和圖3b的蠕變?nèi)崃糠謩e為[24]：

（16）式、（17）式和（19）式等號右邊的第一項為彈性應變，這些模型可以模擬在 0時刻就具有彈性應變的單軸實驗曲線。而（2）式、（15）式和（18）式不具有彈性部分，應減去單軸實驗曲線的彈性應變再進行模擬，否則瞬態(tài)蠕變部分的擬合效果會很差。采用上述各式對文獻[16]的鹽巖蠕變實驗數(shù)據(jù)進行了擬合，擬合的目標是使表征擬合優(yōu)度的相關(guān)系數(shù)在規(guī)定的迭代次數(shù)內(nèi)達到最大，擬合結(jié)果見圖4。

圖 4a中，Burgers模型和分數(shù)階標準固體模型都是四參數(shù)模型，但分數(shù)階標準固體模型的相關(guān)系數(shù)為0.997 6，大于Burgers模型的0.992 0，標準固體模型的相關(guān)系數(shù)為0.985 0，擬合優(yōu)度最差。此外，分數(shù)階標準固體模型在瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)蠕變階段都能很好地契合實驗數(shù)據(jù)，僅在瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)蠕變的銜接段有所偏離；而Burgers模型對瞬態(tài)蠕變的模擬不太準確。

圖4b中，分數(shù)階Kelvin模型為三參數(shù)模型，相關(guān)系數(shù)為0.997 5，擬合優(yōu)度最高，而彈簧壺元件的相關(guān)系數(shù)為0.973 9，略低于Kelvin模型的0.975 4。彈簧壺元件和Kelvin模型都是兩參數(shù)模型，但彈簧壺元件的相關(guān)系數(shù)更低，說明采用單一元件模擬時，分數(shù)階元件并不具有顯著優(yōu)勢。當彈簧壺元件與其他元件組合時，僅多引入一個參數(shù)就可以使相關(guān)系數(shù)提高到 0.99以上，超過經(jīng)典四參數(shù)模型的擬合優(yōu)度。

比較分數(shù)階標準固體模型和分數(shù)階Kelvin模型可知，兩者的相關(guān)系數(shù)幾乎相等，說明分數(shù)階標準固體模型引入的彈簧元件僅代表了鹽巖的彈性變形部分，只是將圖4b的曲線進行了向上平移，物理意義非常明確。相比Kelvin模型，標準固體模型引入的彈簧元件使相關(guān)系數(shù)發(fā)生改變，說明彈簧元件不完全代表彈性變形。圖4a中分數(shù)階標準固體模型的截距與初始彈性變形重合，而標準固體模型和Burgers模型都發(fā)生了一定偏離，也說明在分數(shù)階模型中引入的彈簧元件物理意義更加明確。

圖4 分數(shù)階和經(jīng)典黏彈性本構(gòu)方程對軸向應變和蠕變應變擬合效果的對比

4 分數(shù)階井眼蠕變縮徑模型

文獻[25]的井周應力分布公式有一些筆誤，修正后應該為：

將（20）式帶入正交坐標系的彈性本構(gòu)方程和極坐標中的幾何方程，并令r趨于無窮遠處的位移為0，代入積分常數(shù)，可以得到任意位置彈性徑向位移的表達式：

根據(jù)黏彈對應性原理，拉氏空間中彈性模量的倒數(shù)可由分數(shù)階標準固體模型的蠕變?nèi)崃勘硎荆?/p>

對（21）式進行拉氏變換，并將拉氏空間中的彈性模量作形如（22）式的代換后求逆變換，可得實空間中徑向位移的變化：

在鉆進過程中一般會不斷提高鉆井液的密度，并在完井后將鉆井液替換為密度更高的壓井液，因此可將壓力變化函數(shù)簡化為圖5所示的曲線。圖5中井眼內(nèi)壓力變化函數(shù)為：

結(jié)合拉氏變換的延遲性質(zhì)，與井眼內(nèi)壓力變化函數(shù)相關(guān)的函數(shù)A為：

圖5 井眼內(nèi)壓力變化曲線

針對圖 5所示的井眼內(nèi)壓力變化曲線，模擬了鉆井和壓井過程中井眼的縮徑情況（見圖6），并對分數(shù)階黏彈性本構(gòu)方程中的參數(shù)進行了分析。

圖6中在第7天出現(xiàn)的拐點是由于密度較低的鉆井液被高密度壓井液替換、井眼內(nèi)壓力驟然升高造成的。由于采用海維賽德函數(shù)對壓力變化函數(shù)進行了處理，井眼內(nèi)壓力發(fā)生變化后自發(fā)地形成了蠕變恢復過程。圖6a、圖6b說明，井眼發(fā)生蠕變時，最危險的區(qū)域在井壁處、最大水平主應力方向。

圖6c給出了求導階數(shù)對井眼蠕變歷程的影響。當α=1時，本構(gòu)方程退化為標準固體模型，其衰減速度很快。剛進入壓井段時，蠕變快速恢復，抵消了壓井過程中的蠕變位移，井眼縮徑量近似平行于橫坐標。當α=0時，本構(gòu)模型喪失黏性，井壁巖石成為理想彈性體，縮徑量均為彈性位移，在壓井段完全平行于橫坐標。當α為0.25、0.50、0.75時，蠕變的衰減速度會大幅降低，壓井段井壁巖石會出現(xiàn)長期低速蠕變的特性，與一直以來對巖石蠕變的研究成果相符。因此，基于標準固體本構(gòu)方程和理想彈性體本構(gòu)方程建立的井眼縮徑模型僅是本文模型的特例。

圖6 分數(shù)階井眼蠕變模型的參數(shù)分析

對比圖6c和圖6d可知，調(diào)整分數(shù)階元件的階數(shù)，可以使蠕變曲線發(fā)生旋轉(zhuǎn)，在加快瞬態(tài)蠕變的同時，降低穩(wěn)態(tài)蠕變的速度，對蠕變曲線進行非對稱調(diào)整，經(jīng)典黏彈性模型則無法通過調(diào)整單一參數(shù)達到這一目的，分數(shù)階黏彈性本構(gòu)方程擬合高度非線性實驗數(shù)據(jù)的能力更強。而稠度系數(shù)對兩個階段的調(diào)整則是一致的，只能共同加強或者共同減弱。在分數(shù)階元件的階數(shù)和稠度系數(shù)的協(xié)同作用之下，分數(shù)階黏彈性本構(gòu)方程是一種有效的黏彈性力學分析工具。

圖6d中稠度系數(shù)為300和375 MPa·sα時，井眼最大縮徑量出現(xiàn)在替換壓井液之前。這是因為井眼的縮徑是由原地應力對井眼的縮徑作用和內(nèi)壓力對井眼的擴張作用共同造成的，當巖石的瞬態(tài)蠕變大大強于穩(wěn)態(tài)蠕變時，內(nèi)壓力在每一時刻的微小增量都會形成很強的瞬態(tài)蠕變，在原地應力對井眼的縮徑作用進入穩(wěn)態(tài)階段時，整體縮徑量會微弱的下降。

5 結(jié)論

分析了彈簧壺元件的蠕變和松弛模型，認為該元件更適宜于模擬巖石等蠕變速度較低的黏彈性材料。

引入雙參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)，推導得到了分數(shù)階Kelvin模型和分數(shù)階標準固體模型的蠕變?nèi)崃?，將其與經(jīng)典模型進行了對比，發(fā)現(xiàn)分數(shù)階模型的擬合優(yōu)度更高，并且對應參數(shù)的物理意義更加明確。

基于分數(shù)階標準固體本構(gòu)方程和黏彈對應性原理，建立了鉆進和壓井過程中的井眼蠕變縮徑模型，該模型中α的變化范圍為0～1。模擬結(jié)果證實，基于標準固體本構(gòu)方程（α=1）和理想彈性體本構(gòu)方程（α=0）建立的井眼縮徑模型僅是該模型的特例。

在井眼蠕變時，最危險的區(qū)域在井壁處、最大水平主應力方向；調(diào)整分數(shù)階元件的階數(shù)，可以在加快瞬態(tài)蠕變的同時，降低穩(wěn)態(tài)蠕變的速度，對蠕變曲線進行非對稱調(diào)整，經(jīng)典黏彈性模型則無法通過調(diào)整單一參數(shù)達到這一目的，分數(shù)階黏彈性本構(gòu)方程擬合高度非線性實驗數(shù)據(jù)的能力更強，是一種有效的黏彈性力學分析工具。

符號注釋：

a，b——鉆井液密度的上升幅度，無因次；A——與井眼內(nèi)壓力變化函數(shù)相關(guān)的待定函數(shù)，MPa；Dα——分數(shù)階導數(shù)算子，s-α；eij——偏應變張量，無因次；e?ij——拉氏空間中的偏應變張量，無因次；E——彈性模量，MPa；E1，E2——圖2、圖3中對應元件的彈性模量，MPa；?E——拉氏空間中的彈性模量，MPa；f，f′——函數(shù)及其導數(shù)；G——剪切模量，MPa；?G——拉氏空間中的剪切模量，MPa；H(t)——海維賽德函數(shù)；i，j——求和約定的自由標或啞標，無因次；J(t)——蠕變?nèi)崃?，MPa-1；Je——切向蠕變?nèi)崃?，MPa-1；Jv——體積蠕變?nèi)崃?，MPa-1；——拉氏空間中的軸向蠕變?nèi)崃?，MPa-1；——拉氏空間中的切向蠕變?nèi)崃?，MPa-1；——拉氏空間中的體積蠕變?nèi)崃?，MPa-1；k——自然數(shù)；K——體積模量，MPa；——拉氏空間中的體積模量，MPa；p，pf——井眼內(nèi)壓力和地層壓力，MPa；p0——鉆開地層時的初始井眼內(nèi)壓力，MPa；r——極坐標中的極徑，m；R——井眼半徑，m；s——拉氏變量，無因次；Sij——偏應力張量，MPa；——拉氏空間中的偏應力張量，MPa；t——時間，s；t1——替換壓井液的時刻，s；ur——徑向位移，m；ure——彈性徑向位移，m；urv——黏性徑向位移，m；α——求導階數(shù)，無因次；β——有效應力系數(shù)，無因次；γ——Mittag-Leffler函數(shù)的輸入?yún)?shù)；?！ゑR函數(shù)；δ——滲透性判別系數(shù)，當井壁有滲透時為1，井壁無滲透時為0；ε(t)——瞬時應變，無因次；ε0——初始應變，無因次；εii——應變張量，無因次；——拉氏空間中的應變張量，無因次；η——分數(shù)階稠度系數(shù)，MPa·sα；η1，η2——圖 2、圖 3中對應元件的稠度系數(shù)，MPa·s；θ——極坐標中的極角，rad；σ(t)——瞬時應力，MPa；σ0——初始應力，MPa；σr，σθ，σz，σrθ——柱坐標中徑向、周向和軸向的正應力以及研究平面的切應力，MPa；σxx，σyy，σzz，σxy——無窮遠處直角坐標中x，y，z方向的正應力和研究平面的切應力，MPa；σii——應力張量，MPa；ii——拉氏空間中的應力張量，MPa；υ——泊松比，無因次；τ——中間變量，s；φ——孔隙度，%。

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A wellbore creep model based on the fractional viscoelastic constitutive equation

PENG Yu, ZHAO Jinzhou, LI Yongming
(State Key Laboratory of Oil & Gas Reservoir Geology and Exploitation,Southwest Petroleum University,Chengdu610500,China)

To simulate the evolution of wellbore creep accurately, predict and prevent severe accidents such as borehole wall sloughing,casing collapse and sticking of the drill, based on previous studies, the springpot element was introduced into the classical element model and the creep compliances of the fractional constitutive models were deduced. The good fitting effect of fractional constitutive model was verified. The study shows the fractional constitutive model can simulate creep with high accuracy and less input parameters, and the physical significance of the input parameters are clearer. According to the correspondence principle of viscoelastic theory, a wellbore creep model including drilling and killing processes was built up. By adjusting the value of fractional orders, the model can transform between the models of ideal elastic material and standard solid, which implies the classical wellbore shrinkage model based on standard solid model and ideal elastic model are just special cases of this model. If the fractional order is adjusted, the creep curve will change asymmetrically, which can be can be regulated by the speeding up of the transient creep and lowering the rate of steady creep, which can not be accomplished by adjusting one parameter in the classical models. The fractional constitutive model can fit complicated non-linear creep experiment data better than other models.

viscoelastic constitutive equation; fractional model; springpot element; wellbore shrinkage; rock creep; wellbore stability

國家自然科學基金重大項目（51490653）；四川省青年科技創(chuàng)新研究團隊專項計劃項目（2017TD0013）

TE21

A

1000-0747(2017)06-0982-07

10.11698/PED.2017.06.17

彭 瑀, 趙金洲, 李勇明. 基于分數(shù)階黏彈性本構(gòu)方程的井眼蠕變模型[J]. 石油勘探與開發(fā), 2017, 44(6): 982-988.

PENG Yu, ZHAO Jinzhou, LI Yongming. A wellbore creep model based on the fractional viscoelastic constitutive equation[J].Petroleum Exploration and Development, 2017, 44(6): 982-988.

彭瑀（1988-），男，四川成都人，西南石油大學博士研究生，主要從事油氣藏壓裂酸化理論與應用方面的研究工作。地址：四川省成都市新都區(qū)新都大道 8號，西南石油大學石油與天然氣工程學院，郵政編碼：610500。E-mail: pengyu_frac@foxmail.com

聯(lián)系作者簡介：趙金洲（1962-），男，湖北仙桃人，博士，西南石油大學教授，主要從事油氣藏壓裂酸化理論與應用方面的教學和科研工作。地址：四川省成都市新都區(qū)新都大道8號，西南石油大學，郵政編碼：610500。E-mail：zhaojz@swpu.edu.cn

2017-03-21

2017-09-06

（編輯 郭海莉）