彭瑀，趙金洲，李勇明

（油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（西南石油大學(xué)），成都 610500）

基于分?jǐn)?shù)階黏彈性本構(gòu)方程的井眼蠕變模型

彭瑀，趙金洲，李勇明

（油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（西南石油大學(xué)），成都 610500）

為精確模擬井眼蠕變歷程，預(yù)測和預(yù)防井壁坍塌、套管擠毀和卡鉆等工程事故，在前人研究的基礎(chǔ)上，將彈簧壺元件引入經(jīng)典元件模型中，得到了分?jǐn)?shù)階模型的蠕變?nèi)崃?，并?yàn)證了分?jǐn)?shù)階模型的擬合效果。研究認(rèn)為分?jǐn)?shù)階模型能夠?qū)崿F(xiàn)少參數(shù)、高精度的模擬，并且相應(yīng)參數(shù)的物理意義也更加明確。通過黏彈對應(yīng)性原理，模擬了鉆進(jìn)和壓井過程中的井眼蠕變情況，通過調(diào)整求導(dǎo)階數(shù)可以使該模型在理想彈性體模型和標(biāo)準(zhǔn)固體模型之間轉(zhuǎn)化，因此，基于標(biāo)準(zhǔn)固體本構(gòu)方程和理想彈性體本構(gòu)方程建立的井眼縮徑模型僅是該模型的特例。分析模擬結(jié)果認(rèn)為調(diào)整分?jǐn)?shù)階元件的階數(shù)，可以在加快瞬態(tài)蠕變的同時(shí)降低穩(wěn)態(tài)蠕變的速度，對蠕變曲線進(jìn)行非對稱調(diào)整，經(jīng)典模型則無法通過調(diào)整單一參數(shù)達(dá)到這一目的，分?jǐn)?shù)階黏彈性本構(gòu)方程擬合高度非線性實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的能力更強(qiáng)。圖6參25

黏彈性本構(gòu)方程；分?jǐn)?shù)階模型；彈簧壺元件；井眼縮徑；巖石蠕變；井壁穩(wěn)定性

0 引言

井眼蠕變縮徑一般發(fā)生在鹽膏、煤巖、泥巖和頁巖等具有明顯黏彈性力學(xué)特征的地層中[1-4]，會(huì)造成井壁坍塌、套管擠毀、卡鉆等嚴(yán)重的工程事故[5-7]。巖石蠕變對煤層氣、頁巖氣和致密油氣等非常規(guī)資源開發(fā)的影響更加明顯[8-9]。巖石黏彈性力學(xué)研究結(jié)果顯示，蠕變模擬的核心問題是黏彈性本構(gòu)方程的確定與應(yīng)用[10-11]。近些年來，分?jǐn)?shù)階微積分獲得了長足發(fā)展，Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義的提出，規(guī)避了分?jǐn)?shù)維初值條件無法給出的問題[12-13]，使分?jǐn)?shù)階黏彈性本構(gòu)方程以物理意義明確、后期衰減速度低和擬合效果好等特點(diǎn)，逐漸在各種材料的黏彈性行為模擬中推廣應(yīng)用[14-16]。筆者在前人研究的基礎(chǔ)上，研究了彈簧壺元件的蠕變和松弛特點(diǎn)，并將其引入經(jīng)典黏彈性本構(gòu)方程中，對比了經(jīng)典和分?jǐn)?shù)階黏彈性本構(gòu)方程的擬合效果，通過黏彈對應(yīng)性原理，將其應(yīng)用到了井眼蠕變模擬中，指導(dǎo)工程實(shí)踐。

1 彈簧壺元件

黏彈性本構(gòu)方程主要分為經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?、機(jī)理模型和元件模型3類[17]。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ屯ㄟ^實(shí)測參數(shù)擬合得到，由于函數(shù)形式的選擇比較自由，其擬合效果很好，但物理意義不明確，時(shí)間和維度的外推性能都無法得到保障；機(jī)理模型考慮損傷和微裂縫的影響，但一些參數(shù)需要人為設(shè)定，會(huì)干擾模擬結(jié)果；元件模型有比較明確的物理意義，有時(shí)間和維度外推的基礎(chǔ)，但是對大多數(shù)的黏彈性材料而言，達(dá)到模擬精度需要的元件數(shù)量過多[18]，極大地增加了工作量。隨著分?jǐn)?shù)階模型的不斷發(fā)展，眾多學(xué)者均認(rèn)為分?jǐn)?shù)階黏彈性模型的衰減速度更低，采用較少的元件即可模擬復(fù)雜黏彈性行為[19-20]。

分?jǐn)?shù)階元件在一些文獻(xiàn)中被稱為軟體元件[21]或者Abel黏壺，在此沿用文獻(xiàn)[19]和[20]的命名，稱其為彈簧壺（Springpot）。因?yàn)樵撛嬗袕椈桑⊿pring）和黏壺（Dashpot）兩種元件的特性，其元件名稱同樣也應(yīng)該具有兩者的要素。

彈簧壺的本構(gòu)方程為：

其中，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子采用Caputo定義[12-13]：

當(dāng)應(yīng)力一定時(shí)，可得到彈簧壺的蠕變模型：

當(dāng)應(yīng)變一定時(shí)，可得到彈簧壺的松弛模型：

不同階數(shù)的蠕變和松弛曲線見圖1。

圖1 不同階數(shù)下彈簧壺的蠕變和松弛曲線

（1）—（3）式中的求導(dǎo)階數(shù)α即是分?jǐn)?shù)階模型的特有參數(shù)。當(dāng)α趨近于0時(shí)，模擬對象的性質(zhì)更接近于理想彈性體，當(dāng)α趨近于1時(shí)，模擬對象的性質(zhì)逐步向黏性流體轉(zhuǎn)變。當(dāng)α在0～1變化時(shí)，即可模擬具有不同蠕變或松弛特征的黏彈性材料力學(xué)行為。

由圖 1可見，不同階彈簧壺元件的蠕變和松弛曲線差異很大。以求導(dǎo)階數(shù)為0.5的蠕變或者松弛曲線作為分界線可以發(fā)現(xiàn)，低衰減速度區(qū)曲線系的稠密程度明顯大于高衰減速度區(qū)。彈簧壺元件描述低速蠕變和低速松弛現(xiàn)象的擬合優(yōu)度更高。因此，彈簧壺元件更適宜于描述巖石這一類明顯偏向彈性的黏彈性材料。

2 黏彈對應(yīng)性原理

在黏彈性力學(xué)中，當(dāng)瞬時(shí)應(yīng)力隨時(shí)間變化的函數(shù)為階躍形式時(shí)，瞬時(shí)應(yīng)變（應(yīng)變響應(yīng)）可表示為：

在應(yīng)力變化函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)[22]，需通過增量模型將（4）式轉(zhuǎn)化成卷積形式：

在三向應(yīng)力情況下引入求和約定，采用體積模量和剪切模量表示本構(gòu)方程，可得：

根據(jù)黏彈對應(yīng)性原理，當(dāng)邊界的位置和邊界條件類型不發(fā)生變化時(shí)，拉氏空間中的彈性方程組與黏彈性方程組僅在本構(gòu)方程上有差異。拉氏空間中的彈性本構(gòu)方程為：

拉氏空間中的黏彈性本構(gòu)方程可由（6）式、（7）式得到[23]：

將（10）式、（11）式分別代入（8）式和（9）式，即可得到黏彈性問題在拉氏空間中的解：

在實(shí)際的巖石力學(xué)測試中，常用差應(yīng)力和軸向應(yīng)變計(jì)算彈性模量，其代換形式可由類似推導(dǎo)得到：

3 分?jǐn)?shù)階蠕變本構(gòu)方程與實(shí)例驗(yàn)證

在一般的元件模型中，1個(gè)元件引入 1個(gè)待定參數(shù)，而彈簧壺元件會(huì)引入 2個(gè)待定參數(shù)。在進(jìn)行不同本構(gòu)方程的對比時(shí)，應(yīng)該以待定參數(shù)的數(shù)量作為指標(biāo)。目前，用于模擬瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)蠕變的經(jīng)典黏彈性本構(gòu)模型主要有Kelvin模型，標(biāo)準(zhǔn)固體模型和Burgers模型[22]，如圖2所示。

圖2 經(jīng)典黏彈性模型

由圖2可見Kelvin模型是兩參數(shù)模型，標(biāo)準(zhǔn)固體模型是三參數(shù)模型，如果將其中的黏壺?fù)Q成彈簧壺，會(huì)得到三參數(shù)和四參數(shù)的分?jǐn)?shù)階模型（見圖3）。

圖3 分?jǐn)?shù)階黏彈性模型

圖2a、圖2b和圖2c的蠕變?nèi)崃糠謩e為：

圖3a和圖3b的蠕變?nèi)崃糠謩e為[24]：

（16）式、（17）式和（19）式等號(hào)右邊的第一項(xiàng)為彈性應(yīng)變，這些模型可以模擬在 0時(shí)刻就具有彈性應(yīng)變的單軸實(shí)驗(yàn)曲線。而（2）式、（15）式和（18）式不具有彈性部分，應(yīng)減去單軸實(shí)驗(yàn)曲線的彈性應(yīng)變再進(jìn)行模擬，否則瞬態(tài)蠕變部分的擬合效果會(huì)很差。采用上述各式對文獻(xiàn)[16]的鹽巖蠕變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合，擬合的目標(biāo)是使表征擬合優(yōu)度的相關(guān)系數(shù)在規(guī)定的迭代次數(shù)內(nèi)達(dá)到最大，擬合結(jié)果見圖4。

圖 4a中，Burgers模型和分?jǐn)?shù)階標(biāo)準(zhǔn)固體模型都是四參數(shù)模型，但分?jǐn)?shù)階標(biāo)準(zhǔn)固體模型的相關(guān)系數(shù)為0.997 6，大于Burgers模型的0.992 0，標(biāo)準(zhǔn)固體模型的相關(guān)系數(shù)為0.985 0，擬合優(yōu)度最差。此外，分?jǐn)?shù)階標(biāo)準(zhǔn)固體模型在瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)蠕變階段都能很好地契合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，僅在瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)蠕變的銜接段有所偏離；而Burgers模型對瞬態(tài)蠕變的模擬不太準(zhǔn)確。

圖4b中，分?jǐn)?shù)階Kelvin模型為三參數(shù)模型，相關(guān)系數(shù)為0.997 5，擬合優(yōu)度最高，而彈簧壺元件的相關(guān)系數(shù)為0.973 9，略低于Kelvin模型的0.975 4。彈簧壺元件和Kelvin模型都是兩參數(shù)模型，但彈簧壺元件的相關(guān)系數(shù)更低，說明采用單一元件模擬時(shí)，分?jǐn)?shù)階元件并不具有顯著優(yōu)勢。當(dāng)彈簧壺元件與其他元件組合時(shí)，僅多引入一個(gè)參數(shù)就可以使相關(guān)系數(shù)提高到 0.99以上，超過經(jīng)典四參數(shù)模型的擬合優(yōu)度。

比較分?jǐn)?shù)階標(biāo)準(zhǔn)固體模型和分?jǐn)?shù)階Kelvin模型可知，兩者的相關(guān)系數(shù)幾乎相等，說明分?jǐn)?shù)階標(biāo)準(zhǔn)固體模型引入的彈簧元件僅代表了鹽巖的彈性變形部分，只是將圖4b的曲線進(jìn)行了向上平移，物理意義非常明確。相比Kelvin模型，標(biāo)準(zhǔn)固體模型引入的彈簧元件使相關(guān)系數(shù)發(fā)生改變，說明彈簧元件不完全代表彈性變形。圖4a中分?jǐn)?shù)階標(biāo)準(zhǔn)固體模型的截距與初始彈性變形重合，而標(biāo)準(zhǔn)固體模型和Burgers模型都發(fā)生了一定偏離，也說明在分?jǐn)?shù)階模型中引入的彈簧元件物理意義更加明確。

圖4 分?jǐn)?shù)階和經(jīng)典黏彈性本構(gòu)方程對軸向應(yīng)變和蠕變應(yīng)變擬合效果的對比

4 分?jǐn)?shù)階井眼蠕變縮徑模型

文獻(xiàn)[25]的井周應(yīng)力分布公式有一些筆誤，修正后應(yīng)該為：

將（20）式帶入正交坐標(biāo)系的彈性本構(gòu)方程和極坐標(biāo)中的幾何方程，并令r趨于無窮遠(yuǎn)處的位移為0，代入積分常數(shù)，可以得到任意位置彈性徑向位移的表達(dá)式：

根據(jù)黏彈對應(yīng)性原理，拉氏空間中彈性模量的倒數(shù)可由分?jǐn)?shù)階標(biāo)準(zhǔn)固體模型的蠕變?nèi)崃勘硎荆?/p>

對（21）式進(jìn)行拉氏變換，并將拉氏空間中的彈性模量作形如（22）式的代換后求逆變換，可得實(shí)空間中徑向位移的變化：

在鉆進(jìn)過程中一般會(huì)不斷提高鉆井液的密度，并在完井后將鉆井液替換為密度更高的壓井液，因此可將壓力變化函數(shù)簡化為圖5所示的曲線。圖5中井眼內(nèi)壓力變化函數(shù)為：

結(jié)合拉氏變換的延遲性質(zhì)，與井眼內(nèi)壓力變化函數(shù)相關(guān)的函數(shù)A為：

圖5 井眼內(nèi)壓力變化曲線

針對圖 5所示的井眼內(nèi)壓力變化曲線，模擬了鉆井和壓井過程中井眼的縮徑情況（見圖6），并對分?jǐn)?shù)階黏彈性本構(gòu)方程中的參數(shù)進(jìn)行了分析。

圖6中在第7天出現(xiàn)的拐點(diǎn)是由于密度較低的鉆井液被高密度壓井液替換、井眼內(nèi)壓力驟然升高造成的。由于采用海維賽德函數(shù)對壓力變化函數(shù)進(jìn)行了處理，井眼內(nèi)壓力發(fā)生變化后自發(fā)地形成了蠕變恢復(fù)過程。圖6a、圖6b說明，井眼發(fā)生蠕變時(shí)，最危險(xiǎn)的區(qū)域在井壁處、最大水平主應(yīng)力方向。

圖6c給出了求導(dǎo)階數(shù)對井眼蠕變歷程的影響。當(dāng)α=1時(shí)，本構(gòu)方程退化為標(biāo)準(zhǔn)固體模型，其衰減速度很快。剛進(jìn)入壓井段時(shí)，蠕變快速恢復(fù)，抵消了壓井過程中的蠕變位移，井眼縮徑量近似平行于橫坐標(biāo)。當(dāng)α=0時(shí)，本構(gòu)模型喪失黏性，井壁巖石成為理想彈性體，縮徑量均為彈性位移，在壓井段完全平行于橫坐標(biāo)。當(dāng)α為0.25、0.50、0.75時(shí)，蠕變的衰減速度會(huì)大幅降低，壓井段井壁巖石會(huì)出現(xiàn)長期低速蠕變的特性，與一直以來對巖石蠕變的研究成果相符。因此，基于標(biāo)準(zhǔn)固體本構(gòu)方程和理想彈性體本構(gòu)方程建立的井眼縮徑模型僅是本文模型的特例。

圖6 分?jǐn)?shù)階井眼蠕變模型的參數(shù)分析

對比圖6c和圖6d可知，調(diào)整分?jǐn)?shù)階元件的階數(shù)，可以使蠕變曲線發(fā)生旋轉(zhuǎn)，在加快瞬態(tài)蠕變的同時(shí)，降低穩(wěn)態(tài)蠕變的速度，對蠕變曲線進(jìn)行非對稱調(diào)整，經(jīng)典黏彈性模型則無法通過調(diào)整單一參數(shù)達(dá)到這一目的，分?jǐn)?shù)階黏彈性本構(gòu)方程擬合高度非線性實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的能力更強(qiáng)。而稠度系數(shù)對兩個(gè)階段的調(diào)整則是一致的，只能共同加強(qiáng)或者共同減弱。在分?jǐn)?shù)階元件的階數(shù)和稠度系數(shù)的協(xié)同作用之下，分?jǐn)?shù)階黏彈性本構(gòu)方程是一種有效的黏彈性力學(xué)分析工具。

圖6d中稠度系數(shù)為300和375 MPa·sα?xí)r，井眼最大縮徑量出現(xiàn)在替換壓井液之前。這是因?yàn)榫鄣目s徑是由原地應(yīng)力對井眼的縮徑作用和內(nèi)壓力對井眼的擴(kuò)張作用共同造成的，當(dāng)巖石的瞬態(tài)蠕變大大強(qiáng)于穩(wěn)態(tài)蠕變時(shí)，內(nèi)壓力在每一時(shí)刻的微小增量都會(huì)形成很強(qiáng)的瞬態(tài)蠕變，在原地應(yīng)力對井眼的縮徑作用進(jìn)入穩(wěn)態(tài)階段時(shí)，整體縮徑量會(huì)微弱的下降。

5 結(jié)論

分析了彈簧壺元件的蠕變和松弛模型，認(rèn)為該元件更適宜于模擬巖石等蠕變速度較低的黏彈性材料。

引入雙參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)，推導(dǎo)得到了分?jǐn)?shù)階Kelvin模型和分?jǐn)?shù)階標(biāo)準(zhǔn)固體模型的蠕變?nèi)崃?，將其與經(jīng)典模型進(jìn)行了對比，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階模型的擬合優(yōu)度更高，并且對應(yīng)參數(shù)的物理意義更加明確。

基于分?jǐn)?shù)階標(biāo)準(zhǔn)固體本構(gòu)方程和黏彈對應(yīng)性原理，建立了鉆進(jìn)和壓井過程中的井眼蠕變縮徑模型，該模型中α的變化范圍為0～1。模擬結(jié)果證實(shí)，基于標(biāo)準(zhǔn)固體本構(gòu)方程（α=1）和理想彈性體本構(gòu)方程（α=0）建立的井眼縮徑模型僅是該模型的特例。

在井眼蠕變時(shí)，最危險(xiǎn)的區(qū)域在井壁處、最大水平主應(yīng)力方向；調(diào)整分?jǐn)?shù)階元件的階數(shù)，可以在加快瞬態(tài)蠕變的同時(shí)，降低穩(wěn)態(tài)蠕變的速度，對蠕變曲線進(jìn)行非對稱調(diào)整，經(jīng)典黏彈性模型則無法通過調(diào)整單一參數(shù)達(dá)到這一目的，分?jǐn)?shù)階黏彈性本構(gòu)方程擬合高度非線性實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的能力更強(qiáng)，是一種有效的黏彈性力學(xué)分析工具。

符號(hào)注釋：

a，b——鉆井液密度的上升幅度，無因次；A——與井眼內(nèi)壓力變化函數(shù)相關(guān)的待定函數(shù)，MPa；Dα——分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子，s-α；eij——偏應(yīng)變張量，無因次；e?ij——拉氏空間中的偏應(yīng)變張量，無因次；E——彈性模量，MPa；E1，E2——圖2、圖3中對應(yīng)元件的彈性模量，MPa；?E——拉氏空間中的彈性模量，MPa；f，f′——函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)；G——剪切模量，MPa；?G——拉氏空間中的剪切模量，MPa；H(t)——海維賽德函數(shù)；i，j——求和約定的自由標(biāo)或啞標(biāo)，無因次；J(t)——蠕變?nèi)崃?，MPa-1；Je——切向蠕變?nèi)崃?，MPa-1；Jv——體積蠕變?nèi)崃?，MPa-1；——拉氏空間中的軸向蠕變?nèi)崃?，MPa-1；——拉氏空間中的切向蠕變?nèi)崃?，MPa-1；——拉氏空間中的體積蠕變?nèi)崃?，MPa-1；k——自然數(shù)；K——體積模量，MPa；——拉氏空間中的體積模量，MPa；p，pf——井眼內(nèi)壓力和地層壓力，MPa；p0——鉆開地層時(shí)的初始井眼內(nèi)壓力，MPa；r——極坐標(biāo)中的極徑，m；R——井眼半徑，m；s——拉氏變量，無因次；Sij——偏應(yīng)力張量，MPa；——拉氏空間中的偏應(yīng)力張量，MPa；t——時(shí)間，s；t1——替換壓井液的時(shí)刻，s；ur——徑向位移，m；ure——彈性徑向位移，m；urv——黏性徑向位移，m；α——求導(dǎo)階數(shù)，無因次；β——有效應(yīng)力系數(shù)，無因次；γ——Mittag-Leffler函數(shù)的輸入?yún)?shù)；?！ゑR函數(shù)；δ——滲透性判別系數(shù)，當(dāng)井壁有滲透時(shí)為1，井壁無滲透時(shí)為0；ε(t)——瞬時(shí)應(yīng)變，無因次；ε0——初始應(yīng)變，無因次；εii——應(yīng)變張量，無因次；——拉氏空間中的應(yīng)變張量，無因次；η——分?jǐn)?shù)階稠度系數(shù)，MPa·sα；η1，η2——圖 2、圖 3中對應(yīng)元件的稠度系數(shù)，MPa·s；θ——極坐標(biāo)中的極角，rad；σ(t)——瞬時(shí)應(yīng)力，MPa；σ0——初始應(yīng)力，MPa；σr，σθ，σz，σrθ——柱坐標(biāo)中徑向、周向和軸向的正應(yīng)力以及研究平面的切應(yīng)力，MPa；σxx，σyy，σzz，σxy——無窮遠(yuǎn)處直角坐標(biāo)中x，y，z方向的正應(yīng)力和研究平面的切應(yīng)力，MPa；σii——應(yīng)力張量，MPa；ii——拉氏空間中的應(yīng)力張量，MPa；υ——泊松比，無因次；τ——中間變量，s；φ——孔隙度，%。

[1]趙賢正, 楊延輝, 孫粉錦, 等. 沁水盆地南部高階煤層氣成藏規(guī)律與勘探開發(fā)技術(shù)[J]. 石油勘探與開發(fā), 2016, 43(2): 303-309.ZHAO Xianzheng, YANG Yanhui, SUN Fenjin, et al. Enrichment mechanism and exploration and development technologies of high rank coalbed methane in south Qinshui Basin, Shanxi Province[J].Petroleum Exploration and Development, 2016, 43(2): 303-309.

[2]CHANG C, ZOBACK M D. Creep in unconsolidated shale and its implication on rock physical properties[C]. San Francisco: American Rock Mechanics Association, 2008.

[3]LIU X, BIRCHWOOD R, HOOYMAN P J. A new analytical solution for wellbore creep in soft sediments and salt[C]. San Francisco:American Rock Mechanics Association, 2011.

[4]郭彤樓. 中國式頁巖氣關(guān)鍵地質(zhì)問題與成藏富集主控因素[J]. 石油勘探與開發(fā), 2016, 43(3): 317-326.GUO Tonglou. Key geological issues and main controls on accumulation and enrichment of Chinese shale gas[J]. Petroleum Exploration and Development, 2016, 43(3): 317-326.

[5]SCHOENBALL M, SAHARA D P, KOHL T. Time-dependent brittle creep as a mechanism for time-delayed wellbore failure[J].International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2014,70(9): 400-406.

[6]吳超, 劉建華, 張東清, 等. 基于地震波阻抗的預(yù)探井隨鉆井壁穩(wěn)定預(yù)測[J]. 石油勘探與開發(fā), 2015, 42(3): 390-395.WU Chao, LIU Jianhua, ZHANG Dongqing, et al. A prediction of borehole stability while drilling preliminary prospecting wells based on seismic impedance[J]. Petroleum Exploration and Development,2015, 42(3): 390-395.

[7]CAO Y, DENG J, YU B, et al. Analysis of sandstone creep and wellbore instability prevention[J]. Journal of Natural Gas Science and Engineering, 2014, 19(7): 237-243.

[8]NOPOLA J R, ROBERTS L A. Time-dependent deformation of Pierre Shale as determined by long-duration creep tests[C]. Houston:American Rock Mechanics Association, 2016.

[9]MIGHANI S, TANEJA S, SONDERGELD C H, et al.Nanoindentation creep measurements on shale[C]. San Francisco:American Rock Mechanics Association, 2015.

[10]ORLIC B, BUIJZE L. Numerical modeling of wellbore closure by the creep of rock salt caprocks[C]. Minneapolis: American Rock Mechanics Association, 2014.

[11]RASSOULI F S, ZOBACK M D. A comparison of short-term and long-term creep experiments in unconventional reservoir formations[C]. Houston: American Rock Mechanics Association,2016.

[12]陳文. 力學(xué)與工程問題的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建模[M]. 北京: 科學(xué)出版社,2010.CHEN Wen. Fractional differential modeling of the problems of mechanics and engineering[M]. Beijing: Science Press, 2010.

[13]UCHAIKIN V V. Fractional derivatives for physicists and engineers[M]. Berlin: Springer, 2013.

[14]YIN D, WU H, CHENG C, et al. Fractional order constitutive model of geomaterials under the condition of triaxial test[J]. International Journal for Numerical & Analytical Methods in Geomechanics, 2013,37(8): 961-972.

[15]PALOMARES-RUIZ J E, RODRIGUEZ-MADRIGAL M, CASTRO LUGO J G, et al. Fractional viscoelastic models applied to biomechanical constitutive equations[J]. Revista Mexicana De Física,2015, 61(4): 261-267.

[16]WU F, LIU J F, WANG J. An improved Maxwell creep model for rock based on variable-order fractional derivatives[J]. Environmental Earth Sciences, 2015, 73(11): 6965-6971.

[17]ZHOU H W, WANG C P, HAN B B, et al. A creep constitutive model for salt rock based on fractional derivatives[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2011, 48(1):116-121.

[18]張千貴, 梁永昌, 范翔宇, 等. 基于能量守恒定律對西原模型的改進(jìn)與驗(yàn)證[J]. 重慶大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2016, 39(3): 117-124.ZHANG Qiangui, LIANG Yongchang, FAN Xiangyu, et al. A modified Nishihara model based on the law of the conservation of energy and experimental verification[J]. Journal of Chongqing University (Natural Science Edition), 2016, 39(3): 117-124.

[19]MUSTO M, ALFANO G. A fractional rate-dependent cohesive-zone model[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2015, 103(5): 313-341.

[20]PAOLA M D, PIRROTTA A, VALENZA A. Visco-elastic behavior through fractional calculus: An easier method for best fitting experimental results[J]. Mechanics of Materials, 2011, 43(12):799-806.

[21]殷德順, 任俊娟, 和成亮, 等. 一種新的巖土流變模型元件[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào), 2007, 26(9): 1899-1903.YIN Deshun, REN Junjuan, HE Chengliang, et al. A new rheological model element for geomaterials[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2007, 26(9): 1899-1903.

[22]CHRISTENSEN R M. Theory of viscoelasticity: An introduction[M].New York: Academic Press, 1982.

[23]陳德坤. 鋼-混凝土組合結(jié)構(gòu)的應(yīng)力重分布與蠕變斷裂[M]. 上海:同濟(jì)大學(xué)出版社, 2006.CHEN Dekun. Stress redistribution and creep rupture of integral structure of steel and concrete[M]. Shanghai: Tongji University Press,2006.

[24]李卓. 粘彈性分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型及其在固體發(fā)動(dòng)機(jī)上的應(yīng)用[D]. 北京: 清華大學(xué), 2000.LI Zhuo. Viscoelastic fractional derivative model and its application on solid rocket motor[D]. Beijing: Tsinghua University, 2000.

[25]陳勉, 金衍, 張廣清. 石油工程巖石力學(xué)[M]. 北京: 科學(xué)出版社,2008.CHEN Mian, JIN Yan, ZHANG Guangqing. Petroleum engineering rock mechanics[M]. Beijing: Science Press, 2008.

A wellbore creep model based on the fractional viscoelastic constitutive equation

PENG Yu, ZHAO Jinzhou, LI Yongming
(State Key Laboratory of Oil & Gas Reservoir Geology and Exploitation,Southwest Petroleum University,Chengdu610500,China)

To simulate the evolution of wellbore creep accurately, predict and prevent severe accidents such as borehole wall sloughing,casing collapse and sticking of the drill, based on previous studies, the springpot element was introduced into the classical element model and the creep compliances of the fractional constitutive models were deduced. The good fitting effect of fractional constitutive model was verified. The study shows the fractional constitutive model can simulate creep with high accuracy and less input parameters, and the physical significance of the input parameters are clearer. According to the correspondence principle of viscoelastic theory, a wellbore creep model including drilling and killing processes was built up. By adjusting the value of fractional orders, the model can transform between the models of ideal elastic material and standard solid, which implies the classical wellbore shrinkage model based on standard solid model and ideal elastic model are just special cases of this model. If the fractional order is adjusted, the creep curve will change asymmetrically, which can be can be regulated by the speeding up of the transient creep and lowering the rate of steady creep, which can not be accomplished by adjusting one parameter in the classical models. The fractional constitutive model can fit complicated non-linear creep experiment data better than other models.

viscoelastic constitutive equation; fractional model; springpot element; wellbore shrinkage; rock creep; wellbore stability

國家自然科學(xué)基金重大項(xiàng)目（51490653）；四川省青年科技創(chuàng)新研究團(tuán)隊(duì)專項(xiàng)計(jì)劃項(xiàng)目（2017TD0013）

TE21

A

1000-0747(2017)06-0982-07

10.11698/PED.2017.06.17

彭 瑀, 趙金洲, 李勇明. 基于分?jǐn)?shù)階黏彈性本構(gòu)方程的井眼蠕變模型[J]. 石油勘探與開發(fā), 2017, 44(6): 982-988.

PENG Yu, ZHAO Jinzhou, LI Yongming. A wellbore creep model based on the fractional viscoelastic constitutive equation[J].Petroleum Exploration and Development, 2017, 44(6): 982-988.

彭瑀（1988-），男，四川成都人，西南石油大學(xué)博士研究生，主要從事油氣藏壓裂酸化理論與應(yīng)用方面的研究工作。地址：四川省成都市新都區(qū)新都大道 8號(hào)，西南石油大學(xué)石油與天然氣工程學(xué)院，郵政編碼：610500。E-mail: pengyu_frac@foxmail.com

聯(lián)系作者簡介：趙金洲（1962-），男，湖北仙桃人，博士，西南石油大學(xué)教授，主要從事油氣藏壓裂酸化理論與應(yīng)用方面的教學(xué)和科研工作。地址：四川省成都市新都區(qū)新都大道8號(hào)，西南石油大學(xué)，郵政編碼：610500。E-mail：zhaojz@swpu.edu.cn

2017-03-21

2017-09-06

（編輯 郭海莉）