緱小平

(寧夏財(cái)政廳 財(cái)政政策研究中心，寧夏 銀川 750001)

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中國(guó)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)拐點(diǎn)問題研究
——基于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和微積分學(xué)的實(shí)證分析

緱小平

(寧夏財(cái)政廳 財(cái)政政策研究中心，寧夏 銀川 750001)

經(jīng)濟(jì)拐點(diǎn)是經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度由上升轉(zhuǎn)變?yōu)橄陆档臅r(shí)間節(jié)點(diǎn)，也是確定經(jīng)濟(jì)波動(dòng)周期的波峰和波谷的依據(jù)，對(duì)于判斷經(jīng)濟(jì)走勢(shì)、制定相應(yīng)政策措施具有重要意義。輿論和學(xué)術(shù)界對(duì)中國(guó)最近一次經(jīng)濟(jì)拐點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間有各種不同看法，但都是基于經(jīng)驗(yàn)判斷。文章以計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和微積分學(xué)為研究工具，對(duì)2001-2015年中國(guó)GDP時(shí)間序列和31個(gè)省市自治區(qū)的GDP面板數(shù)據(jù)進(jìn)行分析測(cè)試，發(fā)現(xiàn)GDP對(duì)于時(shí)間變量的發(fā)展規(guī)律可以使用一元三次函數(shù)來表達(dá)，通過計(jì)量建模、數(shù)學(xué)解析，推導(dǎo)出中國(guó)最近一次經(jīng)濟(jì)拐點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間為2011年，各省市自治區(qū)經(jīng)濟(jì)拐點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間各有不同。如果環(huán)境因素不發(fā)生變化，經(jīng)濟(jì)增速下降的趨勢(shì)將會(huì)傳遞到“十三五”時(shí)期。

GDP；經(jīng)濟(jì)拐點(diǎn)；計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)；微積分

一、引言

自1978年實(shí)施改革開放到2015年，中國(guó)經(jīng)濟(jì)經(jīng)歷了37年快速發(fā)展，取得令人矚目的巨變。國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)從1978年的3650億元發(fā)展到2015年的676708億元，增加了184倍，年均名義增長(zhǎng)率達(dá)到15.2%，剔除價(jià)格變動(dòng)因素，年均實(shí)際增長(zhǎng)9.7%①[1]。中國(guó)經(jīng)濟(jì)進(jìn)入“十二五”以來，繼續(xù)保持中高速發(fā)展，經(jīng)濟(jì)總量已經(jīng)躋身世界第二，但受經(jīng)濟(jì)下行壓力影響，增長(zhǎng)勢(shì)頭明顯放緩，實(shí)際增長(zhǎng)率從2011年的9.5%開始下滑，到2012年和2013年各7.7%、2014年的7.3%，直到2015年的6.9%，經(jīng)濟(jì)發(fā)展步入“新常態(tài)”的趨勢(shì)已經(jīng)顯現(xiàn)。

輿論和學(xué)術(shù)界紛紛探討中國(guó)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的拐點(diǎn)是否已經(jīng)出現(xiàn)，經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)是否已經(jīng)探底，對(duì)經(jīng)濟(jì)拐點(diǎn)的出現(xiàn)提出不同看法。時(shí)任國(guó)務(wù)院發(fā)展研究中心副主任的劉世錦在中國(guó)發(fā)展高層論壇2013年經(jīng)濟(jì)峰會(huì)上表示，“歷經(jīng)30多年高速增長(zhǎng)之后，中國(guó)經(jīng)濟(jì)正在轉(zhuǎn)入中速增長(zhǎng)區(qū)，增長(zhǎng)拐點(diǎn)大概出現(xiàn)在2015年，之后會(huì)逐步穩(wěn)定在6%到7%之間”[2]。《人民日?qǐng)?bào)》2014年初引述世界銀行報(bào)告，標(biāo)題為“全球經(jīng)濟(jì)迎來加快增長(zhǎng)拐點(diǎn)，中國(guó)經(jīng)濟(jì)將持續(xù)強(qiáng)勁增長(zhǎng)”[3]，對(duì)中國(guó)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)表達(dá)了十分樂觀的態(tài)度。在2015中國(guó)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)與周期國(guó)際高峰論壇上有專家認(rèn)為，“中國(guó)經(jīng)濟(jì)正從過去兩位數(shù)的高速增長(zhǎng)轉(zhuǎn)為7%左右的中高速增長(zhǎng)，但是經(jīng)濟(jì)還在探底過程中，經(jīng)濟(jì)下行的壓力很大，還未在年均7%左右的中高速增長(zhǎng)中穩(wěn)定下來。如果改革發(fā)力、政策得當(dāng)，7%或者6. 5%左右的增速應(yīng)該能夠維持到2020年，甚至更長(zhǎng)一段的時(shí)間?！盵4]《人民日?qǐng)?bào)》2016年5月9日頭版刊登標(biāo)題為“開局首季問大勢(shì)——權(quán)威人士談當(dāng)前中國(guó)經(jīng)濟(jì)”的訪談文章，提出如下觀點(diǎn)：“綜合判斷，我國(guó)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行不可能是U型，更不可能是V型，而是L型的走勢(shì)。這個(gè)L型是一個(gè)階段，不是一兩年能過去的。”

二、文獻(xiàn)述評(píng)

目前國(guó)內(nèi)針對(duì)經(jīng)濟(jì)拐點(diǎn)問題專門進(jìn)行定量研究的文獻(xiàn)尚屬鳳毛麟角，見諸于文獻(xiàn)的多為宏觀經(jīng)濟(jì)波動(dòng)周期的測(cè)度和研究。謝太峰、王子博(2013)指出，“國(guó)內(nèi)相關(guān)研究逐漸由定性分析向定量研究轉(zhuǎn)變，多集中于經(jīng)濟(jì)周期波動(dòng)特征的研究，對(duì)經(jīng)濟(jì)周期拐點(diǎn)預(yù)測(cè)的研究尚處于起步階段。對(duì)于經(jīng)濟(jì)周期拐點(diǎn)預(yù)測(cè)，還沒有形成一個(gè)可行的分析方法，或者說沒有給出一個(gè)將經(jīng)濟(jì)理論分析和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)實(shí)證驗(yàn)證有機(jī)結(jié)合的預(yù)測(cè)思路?！盵5]然而，對(duì)經(jīng)濟(jì)拐點(diǎn)的測(cè)度和識(shí)別，是經(jīng)濟(jì)周期研究中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。董進(jìn)(2006)提出，“如何更好地測(cè)度經(jīng)濟(jì)波動(dòng)周期的起止時(shí)間也一直是經(jīng)濟(jì)學(xué)家們研究的主要問題之一。如何界定經(jīng)濟(jì)周期以及如何量化一個(gè)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列與經(jīng)濟(jì)波動(dòng)周期本身的協(xié)動(dòng)，這是經(jīng)濟(jì)波動(dòng)周期領(lǐng)域中兩個(gè)最主要的問題?！盵6]研讀國(guó)內(nèi)研究經(jīng)濟(jì)波動(dòng)周期的文獻(xiàn)，有以下特征：

1.從研究對(duì)象和所覆蓋的時(shí)期上看，均以全國(guó)的經(jīng)濟(jì)波動(dòng)周期為研究對(duì)象，所采集的數(shù)據(jù)為全國(guó)數(shù)據(jù)，所涉及的時(shí)期多為2011年以前。尚未見分省市自治區(qū)研究的文獻(xiàn)。董進(jìn)(2006)對(duì)中國(guó)1952-2005年的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，使用了2005年全國(guó)經(jīng)濟(jì)普查后的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。謝太峰、王子博(2013)應(yīng)用中國(guó)1978-2011年潛在經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率等變量，結(jié)合對(duì)中國(guó)經(jīng)濟(jì)周期特征和規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)判斷形成預(yù)測(cè)思路。鄭挺國(guó)、王霞(2013)使用1992-2011年中國(guó)季度GDP同比增長(zhǎng)率識(shí)別了同期經(jīng)濟(jì)周期變化[7]。

2.從研究方法看，學(xué)者們用多種方法對(duì)經(jīng)濟(jì)周期的測(cè)度進(jìn)行嘗試。董進(jìn)(2006)運(yùn)用線性趨勢(shì)法、H-P濾波法、B-P濾波法和生產(chǎn)函數(shù)法分別對(duì)中國(guó)經(jīng)濟(jì)波動(dòng)周期的起止時(shí)間進(jìn)行了比較。謝太峰、王子博(2013)使用Kalman濾波法，將經(jīng)濟(jì)周期特征和規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)判斷與潛在經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率趨勢(shì)變化相結(jié)合進(jìn)行拐點(diǎn)預(yù)測(cè)，得出中國(guó)經(jīng)濟(jì)以2009年為拐點(diǎn)、從2010年起進(jìn)入新一輪周期的擴(kuò)張期的論斷。鄭挺國(guó)、王霞(2013)通過構(gòu)建混頻數(shù)據(jù)區(qū)制轉(zhuǎn)移動(dòng)態(tài)因子模型，從實(shí)時(shí)分析的角度考察了該模型在中國(guó)經(jīng)濟(jì)周期研究中的適用性。

三、曲線凸性和拐點(diǎn)的概念及判別方法

圖1 函數(shù)曲線凸性及拐點(diǎn)示意圖

所謂拐點(diǎn)最初是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，特指函數(shù)曲線由下凸向上凸轉(zhuǎn)變的結(jié)點(diǎn)，或上凸向下凸轉(zhuǎn)變的結(jié)點(diǎn)。如果將函數(shù)曲線定義為物體運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程隨時(shí)間變化的軌跡，下凸函數(shù)曲線的特點(diǎn)是速度呈上升趨勢(shì)，而上凸函數(shù)曲線的特點(diǎn)是速度呈下降趨勢(shì)，雖然該物體還在向前運(yùn)行。如果該物體一直在運(yùn)行，則運(yùn)行曲線是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，那么由下凸向上凸轉(zhuǎn)變的分界點(diǎn)即為拐點(diǎn)。

四、研究方法

(一)經(jīng)濟(jì)函數(shù)概念的建立

GDP是衡量一國(guó)或一個(gè)地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展成果的主要指標(biāo)，可以看作經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的“里程”。比如寧夏GDP在2010年(X0)為1689.7億元，到2015年(X5)發(fā)展到2900.0億元，其間經(jīng)過的“里程”為1210.3億元，也可以表示為時(shí)間Xi(i=1,2, …,n)的函數(shù)，這類函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)上被稱為增長(zhǎng)模型[9]。根據(jù)研究需要，時(shí)間變量的單位可以定義為年、月、季度等。如此，可以將導(dǎo)數(shù)的概念引入GDP，用來表示GDP增長(zhǎng)速度和加速度。由此可見，如果能夠建立GDP對(duì)于時(shí)間變量的函數(shù)模型，則完全可以使用數(shù)學(xué)分析方法來研究GDP發(fā)展變化的性質(zhì)和規(guī)律。

(二)研究路徑

圖2 研究路徑圖

研究的關(guān)鍵在于建立模型?！澳Ｐ褪菍?duì)現(xiàn)實(shí)的簡(jiǎn)化呈示。模型之所以重要是由于它們的簡(jiǎn)潔可以使經(jīng)濟(jì)學(xué)家們每次只集中討論一種變量的作用效果。也就是說，它可以使我們?cè)诒３制渌蛩夭蛔兊那闆r下來研究一種因素的變化如何影響到整體的經(jīng)濟(jì)后果。[10]”從數(shù)學(xué)角度來看，事物增長(zhǎng)規(guī)律通?？梢杂萌N函數(shù)形式來表達(dá)：冪函數(shù)(形如Y=CXa)，對(duì)數(shù)函數(shù)(形如Y=Cln(X)和指數(shù)函數(shù)(形如Y=cex，以上表達(dá)式中的C, a均為常數(shù)項(xiàng))。以增長(zhǎng)速度從高到低排序依次為指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)為經(jīng)濟(jì)模型的建立和檢驗(yàn)提供了強(qiáng)有力的工具?；狙芯砍绦蚍秩阶?，第一，采集中國(guó)2001-2015年三個(gè)五年計(jì)劃期的GDP歷史數(shù)據(jù)，構(gòu)成一個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)集，用EViews計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件包繪出GDP相對(duì)于年份時(shí)間序列的描點(diǎn)圖，觀察其增長(zhǎng)特征，判斷能夠代表增長(zhǎng)特征的函數(shù)形式，并在反復(fù)模擬試算的基礎(chǔ)上確定最優(yōu)函數(shù)模型。第二，采集中國(guó)31個(gè)省市自治區(qū)2001-2015年的GDP歷史數(shù)據(jù)，構(gòu)成面板數(shù)據(jù)集(短面板)，采用確定的函數(shù)模型，通過EViews軟件包，使用面板數(shù)據(jù)回歸法進(jìn)行運(yùn)算，求出模型參數(shù)的估值，并將參數(shù)估值代入模型，建立中國(guó)GDP共性增長(zhǎng)函數(shù)和31個(gè)省市自治區(qū)各自增長(zhǎng)函數(shù)。第三，對(duì)增長(zhǎng)函數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，解出2001-2020年時(shí)間段內(nèi)中國(guó)和各省市自治區(qū)的經(jīng)濟(jì)拐點(diǎn)。

簡(jiǎn)而言之，本文以計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和微積分學(xué)為研究工具，建立一個(gè)理論模型，采集兩套數(shù)據(jù)，使用三種回歸方法，得到兩個(gè)綜合模型表達(dá)式和31個(gè)分省模型表達(dá)式；通過數(shù)學(xué)解析，解出兩個(gè)全國(guó)綜合性經(jīng)濟(jì)拐點(diǎn)和31個(gè)分省經(jīng)濟(jì)拐點(diǎn)。研究路徑如圖2所示。

五、時(shí)間序列回歸法——中國(guó)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型的設(shè)定和解析

(一)數(shù)據(jù)描述和來源

作者采集了2001-2015年中國(guó)GDP數(shù)據(jù)，共15個(gè)樣本，借助微軟EXCEL電子表格進(jìn)行預(yù)處理，以備導(dǎo)入EViews計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件包。2001-2014年數(shù)據(jù)摘自《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒2015》，2015年引自2016年1月19日國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站公布的2015年經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)(見表1)。GDP數(shù)據(jù)均為當(dāng)年現(xiàn)值(名義值)，未經(jīng)價(jià)格調(diào)整。表中2001-2015年GDP名義增長(zhǎng)率以現(xiàn)值直接計(jì)算得出，是為了方便對(duì)比，不參與模型運(yùn)算。

表1 中國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)

(二)回歸模型設(shè)定和運(yùn)算結(jié)果

對(duì)GDP按年份時(shí)間順序繪制描點(diǎn)圖(見圖3)，可以觀察到，2001-2008年形成的曲線明顯向下凸，2009-2015年形成的曲線略向上凸，初步判斷為冪函數(shù)形式。經(jīng)反復(fù)模擬試算和優(yōu)化比對(duì)，最終將回歸模型設(shè)定如下：

圖3 我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值描點(diǎn)圖

(1)

上列模型是由冪函數(shù)組成的一元三次方程(又稱為多項(xiàng)式)，其中，GDP代表國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值，X代表年份時(shí)間變量(2001年=1, 2002年=2，…， 2015年=15)，C1，C2，C3，C4為待估系數(shù)，μ為隨機(jī)誤差項(xiàng)，代表所有環(huán)境干擾因素，如政策變化、結(jié)構(gòu)變動(dòng)、統(tǒng)計(jì)誤差等。

式(1)對(duì)于解釋變量(X)而言不是線性函數(shù)，但對(duì)于解釋變量前的系數(shù)來說是線性的?！啊€性回歸’一詞總是指對(duì)參數(shù)C為線性的一種回歸(即參數(shù)只是以它的一次方出現(xiàn))；解釋變量X則可以是或不是線性的”[11]。所以式(1)可以應(yīng)用時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的普通最小二乘法進(jìn)行線性回歸。將式(1)輸入EViews軟件包相應(yīng)模塊，以便估算出模型中的待估系數(shù)并給出統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)指標(biāo)。運(yùn)算結(jié)果如下(原輸出結(jié)果指標(biāo)較多，此處選列主要指標(biāo))：

表2 時(shí)間序列模型回歸結(jié)果摘要

(三)回歸模型擬合優(yōu)度和有效性檢驗(yàn)

從以上摘要報(bào)告可以看出，模型擬合優(yōu)度R2為0.999，表明擬合程度優(yōu)良，換言之，因變量GDP變化的99.9%能夠用等式右邊的冪函數(shù)組合來解釋。所有系數(shù)估值所對(duì)應(yīng)的t統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值都大于2，伴隨概率P值都小于5%的顯著性水平，表明這些系數(shù)估值在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，其有效性以此得到驗(yàn)證。

從模型總體看，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量為2461.90，是個(gè)相當(dāng)大的數(shù)字，所對(duì)應(yīng)的P值為零，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1%的顯著性水平，表明模型總體有效；德賓-沃森(D.W.)統(tǒng)計(jì)量為1.605，在5%的顯著性水平上，D.W.檢驗(yàn)的臨界值上限(Du，樣本數(shù)15，解釋變量1)為1.361，據(jù)此查明模型不存在序列相關(guān)。對(duì)模型殘差實(shí)施正態(tài)性檢驗(yàn)，殘差服從正態(tài)分布。異方差檢驗(yàn)證明模型不存在異方差。因?yàn)槟Ｐ椭挥幸粋€(gè)解釋變量，故不存在多重共線性。以上檢驗(yàn)[12]表明，所設(shè)模型滿足經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的假設(shè)條件，模型的系數(shù)估值及方程式總體有效，可以用來進(jìn)行趨勢(shì)分析和預(yù)測(cè)。

(四)對(duì)回歸模型的數(shù)學(xué)分析和解釋

將表2所列系數(shù)估值代入回歸模型(式(1)，保留兩位小數(shù))，形式如下：

GDP=-185.91X3+6234.06X2-14407.50X+124415.60

(2)

以上模型為2001-2015年中國(guó)GDP對(duì)年份時(shí)間序列X的函數(shù)表達(dá)式。用EViews對(duì)GDP實(shí)際發(fā)生數(shù)和函數(shù)表達(dá)式回歸值繪制曲線圖如圖4。

從圖4可以觀察到，除個(gè)別年份外，通過所設(shè)GDP模型函數(shù)得出的回歸值與GDP實(shí)際發(fā)生數(shù)擬合緊密，正如前文所述擬合優(yōu)度達(dá)到99.9%，故模型函數(shù)能夠表達(dá)2001-2015年期間中國(guó)GDP的發(fā)展規(guī)律，可以以此模型為基礎(chǔ)進(jìn)行數(shù)學(xué)解析。對(duì)式(2)求二階導(dǎo)數(shù)，結(jié)果如下：

(3)

如本文第三部分所述，原函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，就是該函數(shù)曲線的拐點(diǎn)。由此得出，中國(guó)2001-2015年期間GDP拐點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間在2011年。也就是說，2001-2011年期間GDP函數(shù)向下凸，2011-2015年期間GDP函數(shù)曲線向上凸。這意味著以2011年為分界點(diǎn)，2001-2011年期間GDP增速呈現(xiàn)逐年增加趨勢(shì)，而2011-2015年期間GDP增速處于逐年降低狀態(tài)。表1所列GDP名義增長(zhǎng)率變化趨勢(shì)印證了此推導(dǎo)結(jié)論。

圖4 我國(guó)GDP實(shí)際發(fā)生數(shù)與回歸函數(shù)曲線擬合圖

可以觀察到，2008年國(guó)際金融危機(jī)發(fā)生，繼之而來的2009年出現(xiàn)GDP增速急速下降的形勢(shì)，由于中國(guó)大規(guī)模投資振興計(jì)劃的實(shí)施，2010、2011兩年經(jīng)濟(jì)增速回升，隨著邊際投資效益的遞減，2012年之后增速再次下滑?？梢酝茰y(cè)出，金融危機(jī)后的2009年本應(yīng)是中國(guó)經(jīng)濟(jì)的拐點(diǎn)，但經(jīng)濟(jì)振興計(jì)劃的作用將拐點(diǎn)推后了兩年。觀察曲線發(fā)展趨勢(shì)，如果“十三五”時(shí)期各種環(huán)境因素(如改革創(chuàng)新力度、管理體制、財(cái)政經(jīng)濟(jì)政策、經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)等)不發(fā)生重大變化，則增長(zhǎng)規(guī)律就不會(huì)受到擾動(dòng)，這種趨勢(shì)還會(huì)傳遞下去。

六、面板數(shù)據(jù)回歸法——綜合及分省模型的設(shè)定和解析

(一)數(shù)據(jù)描述和來源

采集31個(gè)省市自治區(qū)2001-2015年GDP數(shù)據(jù)構(gòu)成面板數(shù)據(jù)集，共465個(gè)樣本觀測(cè)值。GDP單位為億元，均為當(dāng)年值，未經(jīng)價(jià)格調(diào)整。其中2001-2004年摘自《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒2006》，年鑒中2001-2003年數(shù)據(jù)為經(jīng)濟(jì)普查后修訂的數(shù)據(jù)；2005-2009年摘自《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒2010》，年鑒中2005-2008年數(shù)據(jù)為第二次經(jīng)濟(jì)普查后修訂的數(shù)據(jù)；2010-2014年摘自《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒2015》；2015年引自中國(guó)經(jīng)濟(jì)網(wǎng)(www.ce.cn)2016年1月28日整理發(fā)布的31個(gè)省市自治區(qū)2015年GDP排行榜。2015年數(shù)據(jù)是各省市自治區(qū)公布的初步統(tǒng)計(jì)數(shù)，雖然與最終核實(shí)數(shù)據(jù)會(huì)有一定的出入，但預(yù)計(jì)誤差很小，對(duì)回歸結(jié)果不會(huì)帶來顯著影響。因?yàn)閿?shù)據(jù)量較大，為節(jié)省篇幅，此處不再單獨(dú)羅列。需要注意的是，統(tǒng)計(jì)年鑒中所載同一年度各省市自治區(qū)GDP之和并不等于中國(guó)GDP總量。

(二)綜合面板數(shù)據(jù)回歸——綜合經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型

做此回歸的目的是為了將31個(gè)省市自治區(qū)的GDP面板數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合回歸，得到共同的變量系數(shù)，從而求出全國(guó)綜合經(jīng)濟(jì)拐點(diǎn)，以便與第四部分時(shí)間序列回歸法得到的全國(guó)經(jīng)濟(jì)拐點(diǎn)進(jìn)行相互印證。仍使用本文第三部分模型(1)作為面板數(shù)據(jù)模型，采用固定效應(yīng)最小二乘虛擬變量回歸方法，將31個(gè)省市自治區(qū)的面板數(shù)據(jù)輸入EViews軟件包進(jìn)行運(yùn)算，回歸結(jié)果摘要如表3。

表3 固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型回歸結(jié)果摘要

從上表可以看出，模型擬合優(yōu)度R2為0.96，表明擬合優(yōu)良；所有系數(shù)的t統(tǒng)計(jì)量在5%的顯著性水平上表現(xiàn)為統(tǒng)計(jì)顯著；F統(tǒng)計(jì)量在1%的顯著性水平上表現(xiàn)為統(tǒng)計(jì)顯著，表明模型整體有效。從上表所列結(jié)果，可以得到如下綜合模型表達(dá)式(系數(shù)保留兩位小數(shù))：

GDP=-5.81X3+197.41X2-406.21X+4385.13

(4)

對(duì)式(4)求二階導(dǎo)數(shù)，結(jié)果如下：

(5)

(三)變系數(shù)面板數(shù)據(jù)回歸——分省經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型

上文綜合面板數(shù)據(jù)回歸使用固定不變的變量系數(shù)，可以得到綜合回歸模型系數(shù)，但忽略了31個(gè)省市自治區(qū)各自的經(jīng)濟(jì)發(fā)展特性，無法得到各自的經(jīng)濟(jì)拐點(diǎn)。通過變系數(shù)面板數(shù)據(jù)回歸方法，可以求得各省市自治區(qū)各自的變量系數(shù)，從而反映它們各自的經(jīng)濟(jì)發(fā)展特征，解出每個(gè)橫截面單位的經(jīng)濟(jì)拐點(diǎn)。繼續(xù)使用上節(jié)面板數(shù)據(jù)集和模型(1)進(jìn)行回歸運(yùn)算。分省經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型之所以使用共同模型，是基于“區(qū)域趨同理論”假設(shè)，即“以正的速率創(chuàng)新的所有國(guó)家都將收斂到相同的增長(zhǎng)率。[13]”采用變系數(shù)面板數(shù)據(jù)回歸方法，EViews軟件包輸出結(jié)果如表4。

從輸出結(jié)果看，模型擬合優(yōu)度R2為0.999，說明擬合優(yōu)度優(yōu)良；除了貴州X3的系數(shù)外，其他30個(gè)省市自治區(qū)的所有系數(shù)在1%的顯著性水平上都表現(xiàn)為統(tǒng)計(jì)顯著，說明貴州省的GDP增長(zhǎng)規(guī)律不適合使用共同一元三次函數(shù)模型，應(yīng)單獨(dú)設(shè)立貴州GDP模型；F統(tǒng)計(jì)量在1%的顯著性水平上表現(xiàn)為統(tǒng)計(jì)顯著，表明模型整體有效。限于篇幅，上表僅選列了內(nèi)蒙古、貴州和寧夏三個(gè)橫截面單位的系數(shù)估值(各省市自治區(qū)系數(shù)估值列于表5)及其對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量，其中X的系數(shù)估值(-264.2924)為所有單位所共有，X3和X2的系數(shù)估值為各單位所特有。截距C的估值由兩部分組成，第一部分為所有單位所共有(3623.721)，第二部分(固定效應(yīng)系數(shù))為各單位所特有，兩部分之和即為該單位的完整截距估值。依據(jù)輸出參數(shù)，將各單位對(duì)應(yīng)系數(shù)估值代入式(1)，即可得到各個(gè)單位獨(dú)立模型表達(dá)式，比如寧夏GDP模型可做如下表達(dá)(系數(shù)保留兩位小數(shù))：

GDPNINGXIA=-10X3+552X2-2649X+(3623.72-2917.88)

(6)

對(duì)式(6)求二階導(dǎo)數(shù)，結(jié)果如下：

(7)

表4 變系數(shù)面板數(shù)據(jù)模型回歸結(jié)果摘要

表5 各省市自治區(qū)面板模型輸出結(jié)果、導(dǎo)數(shù)分析及拐點(diǎn)

續(xù)表5

定量定義 及表達(dá)式地區(qū) 原函數(shù)模型的變量系數(shù)估值(1)原函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)變量系數(shù)(2)二階導(dǎo)數(shù)的解(3)對(duì)(3)取整數(shù)(4)GDP=C1X3+C2X2+C3X+C4(GDP)″=C5X+C6拐點(diǎn)C1C2C3C4C5C6XX江蘇-11.86471.07-264.299178.79-71.15942.1513.2413浙江-11.20344.34-264.297342.31-67.20688.6910.2510安徽-3.18152.43-264.293247.04-19.11304.8615.9515福建-3.45168.16-264.294163.53-20.71336.3216.2416江西-3.34133.20-264.292388.22-20.05266.3913.2813山東-15.15486.83-264.299056.58-90.90973.6510.7110河南-9.39300.55-264.295362.02-56.33601.1010.6710湖北-3.03181.12-264.293776.35-18.18362.2319.9319湖南-3.78190.45-264.293678.92-22.68380.9016.7916廣東-16.84538.26-264.2912242.46-101.051076.5110.6510廣西-3.36133.66-264.292404.79-20.19267.3113.2413海南-1.6654.88-264.29963.14-9.97109.7711.0111重慶-1.81106.42-264.292072.21-10.88212.8319.5619四川-4.81209.71-264.294145.78-28.86419.4114.5314貴州-0.4463.69-264.291615.04-2.62127.3848.6048云南-1.8697.13-264.292472.58-11.19194.2617.3717西藏-1.4140.15-264.29617.91-8.4780.309.489陜西-3.56146.77-264.292004.68-21.35293.5313.7513甘肅-2.5180.34-264.291462.39-15.08160.6910.6610青海-1.7150.75-264.29712.91-10.24101.519.929寧夏-1.9055.92-264.29705.84-11.39111.849.829新疆-2.3688.29-264.291845.72-14.15176.5812.4812

注：表中X代表年份時(shí)間變量，2001=1, 2002=2，…，2020=20，即定義域?yàn)閇1,20].

從表5可以觀察到，經(jīng)濟(jì)拐點(diǎn)最早出現(xiàn)的是山西省(2008年)，最晚出現(xiàn)的有湖北省和重慶市(2019年)。貴州省拐點(diǎn)超出了模型定義域，說明本文所設(shè)立的模型不適合描述貴州省經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)規(guī)律。

七、結(jié)論

(一)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型

通過反復(fù)試算驗(yàn)證建立的2001-2015年中國(guó)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型為一元三次函數(shù)，表達(dá)式為GDP=C1X3+C2X2+C3X+C4+μ。根據(jù)區(qū)域趨同理論假設(shè)，此模型也可以代表中國(guó)30個(gè)省市自治區(qū)(不包括貴州省)同時(shí)期經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)規(guī)律?？梢灶A(yù)見，時(shí)期不同，樣本容量不同，得到的增長(zhǎng)模型表達(dá)式將會(huì)有所不同。如果按此方法對(duì)中國(guó)各個(gè)時(shí)期的GDP數(shù)據(jù)分段設(shè)立模型并解析，將會(huì)找到經(jīng)濟(jì)波動(dòng)周期的若干個(gè)拐點(diǎn)(時(shí)間界限)。本文所使用的經(jīng)濟(jì)拐點(diǎn)研究方法，現(xiàn)有文獻(xiàn)中尚未見論及。根據(jù)這種研究方法的特點(diǎn)，可將其概括為“多項(xiàng)式擬合函數(shù)求導(dǎo)法”。

(二)模型表達(dá)式和數(shù)學(xué)解析結(jié)論

建立了能夠代表經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)規(guī)律的模型表達(dá)式，采集2001-2015年時(shí)間序列和面板兩套數(shù)據(jù)集，使用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件分別進(jìn)行時(shí)間序列、綜合面板和變系數(shù)面板三種回歸運(yùn)算，計(jì)算出模型變量所對(duì)應(yīng)的系數(shù)估值，得到兩個(gè)綜合模型表達(dá)式(時(shí)間序列模型和面板數(shù)據(jù)模型)和31個(gè)分省模型表達(dá)式。通過計(jì)算模型函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，解出兩個(gè)全國(guó)綜合性經(jīng)濟(jì)拐點(diǎn)和31個(gè)分省經(jīng)濟(jì)拐點(diǎn)。兩個(gè)綜合模型將中國(guó)經(jīng)濟(jì)拐點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間均指向2011年，30個(gè)省市自治區(qū)拐點(diǎn)出現(xiàn)的區(qū)間在2008-2019年間，貴州省經(jīng)濟(jì)拐點(diǎn)不在定義域內(nèi)。通過二階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式可以驗(yàn)證，在這些拐點(diǎn)之前的年份，擬合函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)均大于零，說明經(jīng)濟(jì)增速呈上升趨勢(shì)；而在拐點(diǎn)之后的年份，擬合函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)均小于零，意味著經(jīng)濟(jì)增速呈現(xiàn)下降趨勢(shì)。

(三)模型的預(yù)測(cè)功能

本文建立的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型較好的擬合了2001-2015年三個(gè)五年計(jì)劃期的GDP數(shù)據(jù)，擬合優(yōu)度指標(biāo)R2在96%以上，代表了GDP中短期增長(zhǎng)規(guī)律，可以用于預(yù)測(cè)未來5年的GDP發(fā)展水平。

[注 釋]

② 二階導(dǎo)數(shù)變量系數(shù)C5=C1×6，C6=C2×2; 二階導(dǎo)數(shù)的解X=(-C6)/C5.

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[責(zé)任編輯：安 錦]

Study on the Issue of China’s Economic Inflection Point— An Empirical Analysis on the Basis of Econometrics and Calculus

GOU Xiao-ping

(Ningxia Fiscal Research Center,Ningxia Department of Finance,Yinchuan 750001,China)

Economic inflection point contains significant information of economic development, which is a turning point indicating economic growth changing from upward trend to downward trend. Numerous discussions concerning China’s economic inflection point have been holding among Chinese academic circle and news media, however, conclusions reached vary dramatically. This paper, applying Econometrics and Calculus as basic instruments, has studied China’s GDP pattern on national and provincial level respectively from year 2001 to 2015. An econometric model, which is a univariate cubic equation, tracking China’s economic development vs. time sequence, has been established after a number of trials and tests. According to criterion of convexity of a function, a second derivative is applied to the model; the mathematic analyses reveal the point of inflection of China’s economy between years 2001 to 2015. The result proves that year 2011 is the turning point on which China’s economic growth trending from upward to downward, and that 31 provinces’ economic inflection points vary. If environmental factors which have been influencing China’s economy remain unchanged, the downward trend will pass on to coming 13th “Five-Year-Plan” period.

GDP; economic inflection point; econometrics; calculus

2016-09-08

緱小平(1964-)，男，甘肅天水人，寧夏財(cái)政廳財(cái)政政策研究中心調(diào)研員，碩士，從事財(cái)政政策研究.

F064.1

A

2095-5863(2017)01-0008-10