陳健，袁慎芳，王卉，邱雷

南京航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院 機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室，南京 210016

基于高斯權(quán)值-混合建議分布粒子濾波的疲勞裂紋擴展預(yù)測

陳健，袁慎芳*，王卉，邱雷

南京航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院 機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室，南京 210016

飛行器結(jié)構(gòu)的疲勞裂紋擴展預(yù)測對保障結(jié)構(gòu)安全、實現(xiàn)視情維護(hù)具有重要意義。結(jié)合粒子濾波算法和結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測方法進(jìn)行在線的疲勞裂紋擴展預(yù)測是近年來剛剛開始研究的新方法，該方法通過狀態(tài)空間模型表征疲勞裂紋擴展過程中的不確定性，同時通過貝葉斯方法將結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測所獲取的結(jié)構(gòu)實際裂紋觀測值用于修正裂紋擴展模型的預(yù)測誤差，實現(xiàn)更準(zhǔn)確的疲勞裂紋擴展在線預(yù)測。由于該方法的研究剛剛開展，已有研究中粒子濾波算法的重要性密度函數(shù)往往簡單選取為先驗轉(zhuǎn)移概率密度，存在嚴(yán)重的粒子退化問題。另一方面出于簡單考慮，僅采用表征裂紋穩(wěn)定擴展區(qū)的Paris模型。針對上述問題，本文提出一種基于高斯權(quán)值-混合建議分布粒子濾波的疲勞裂紋在線預(yù)測方法，基于表征裂紋全擴展區(qū)域的NASGRO裂紋擴展模型建立疲勞裂紋擴展?fàn)顟B(tài)方程，以主動Lamb波監(jiān)測方法實現(xiàn)結(jié)構(gòu)裂紋的在線監(jiān)測，借助在線結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的優(yōu)勢，在粒子濾波時選取重要性密度函數(shù)為觀測概率密度和先驗轉(zhuǎn)移概率密度的混合分布，同時基于先驗估計獲取高斯權(quán)值進(jìn)行權(quán)值更新。本文進(jìn)一步進(jìn)行了仿真研究，結(jié)果表明所提出的方法優(yōu)化了疲勞裂紋擴展預(yù)測的準(zhǔn)確性。

故障預(yù)測與健康管理；結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測；裂紋擴展預(yù)測；粒子濾波；NASGRO模型；混合建議分布

隨著現(xiàn)代飛行器的復(fù)雜程度和綜合化程度越來越高，傳統(tǒng)的事后維修和定期維護(hù)策略已經(jīng)無法滿足飛行器保障維護(hù)的要求。近年來，故障預(yù)測與健康管理(Prognostics and Health Manage-ment，PHM)技術(shù)在航空航天領(lǐng)域得到越來越多的重視和應(yīng)用[1]。PHM技術(shù)通過傳感器在線獲取飛行器的實際健康狀態(tài)，并預(yù)測其退化情況，從而制定最佳運行和維護(hù)策略，以實現(xiàn)視情維護(hù)和自主式保障。據(jù)估計，PHM技術(shù)可使飛行器的故障不能復(fù)現(xiàn)率減少82%，維修人力減少20%～40%，后勤規(guī)模減小50%，出動架次提高25%，使飛行器的使用保障費用減少50%以上[2]。作為飛行器的主要承載平臺，飛行器結(jié)構(gòu)的服役環(huán)境復(fù)雜并且承受各種交變載荷，容易產(chǎn)生疲勞裂紋[3]。疲勞裂紋的存在和擴展將嚴(yán)重削弱結(jié)構(gòu)的承載能力，甚至導(dǎo)致災(zāi)難性事故的發(fā)生。在線準(zhǔn)確地預(yù)測飛行器結(jié)構(gòu)的疲勞裂紋擴展是飛行器PHM技術(shù)的重要組成部分，對實現(xiàn)飛行器PHM具有重要意義。

然而疲勞裂紋擴展過程是一個包含各種不確定性的過程[4]，比如材料性質(zhì)的不確定性，服役環(huán)境的不確定性，以及載荷的不確定性。這些不確定性嚴(yán)重影響了疲勞裂紋擴展預(yù)測的準(zhǔn)確性。因此一些學(xué)者提出通過基于貝葉斯理論的方法來消除這些不確定性因素的影響[5-12]，即利用結(jié)構(gòu)裂紋的實際觀測值計算裂紋狀態(tài)的后驗概率分布，修正裂紋擴展模型的預(yù)測誤差，從而實現(xiàn)更準(zhǔn)確的疲勞裂紋擴展預(yù)測。在這些方法中，貝葉斯更新方法[5-7]使用馬爾可夫鏈蒙特卡羅(Markov Chain Monte Carlo， MCMC)、拉普拉斯近似、最大相對熵更新等算法求解該后驗概率密度，但是其存在一定的不足：比如MCMC算法的計算量很大，拉普拉斯近似方法只適用于近似高斯分布的情況，最大相對熵更新方法對于實際情況難以計算貝葉斯因子等[7]。相比于貝葉斯更新方法，粒子濾波(Particle Filter，PF)方法采用重要性采樣(Importance Resampling, IS)算法序貫地求解后驗概率分布，同時具有強大的非線性和非高斯問題處理能力[13]。此外，粒子濾波算法只需要保存當(dāng)前時刻的結(jié)果，非常適合與結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(Structural Health Monitoring, SHM)方法[14-15]結(jié)合，實現(xiàn)在線的裂紋擴展監(jiān)測與預(yù)測，是近年來剛剛開展探索的新方法。Orchard和Vachtsevanos[8]以行星齒輪盤的振動特征作為裂紋長度觀測，通過標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波方法對疲勞裂紋擴展進(jìn)行了預(yù)測。Corbetta等[9]基于光纖光柵獲得的應(yīng)變分布實現(xiàn)裂紋長度監(jiān)測，并結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波方法對結(jié)構(gòu)裂紋擴展進(jìn)行預(yù)測。此外，基于主動Lamb波的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測方法具有小損傷敏感、不依賴結(jié)構(gòu)載荷等優(yōu)點，被認(rèn)為是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測領(lǐng)域中非常有前景的方法之一[14]。因此Neerukatti等[10]結(jié)合基于主動Lamb波的損傷定位算法監(jiān)測裂紋擴展，使用標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波方法實現(xiàn)疲勞裂紋擴展預(yù)測。筆者團隊[11-12]通過計算Lamb波信號的損傷因子作為裂紋長度觀測值，在標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波方法框架下進(jìn)行了疲勞裂紋擴展預(yù)測。

上述研究結(jié)果都表明了粒子濾波方法處理疲勞裂紋擴展預(yù)測問題的優(yōu)越性。但是大多數(shù)研究采用的是標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波方法，為了使算法簡便，其重要性密度函數(shù)往往選取為先驗轉(zhuǎn)移概率密度。而對于實際工程結(jié)構(gòu)，先驗定義的轉(zhuǎn)移概率密度往往同實際分布存在較大的誤差，粒子退化問題嚴(yán)重，裂紋擴展預(yù)測結(jié)果存在較大的誤差。因此對粒子濾波算法中的重要性密度函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化對于準(zhǔn)確預(yù)測裂紋擴展至關(guān)重要。已有研究中，輔助粒子濾波通過定義與觀測值相關(guān)的輔助變量，將考慮輔助變量的先驗轉(zhuǎn)移概率密度作為重要性密度函數(shù)[16]。但是如果根據(jù)輔助變量挑出的粒子集也處于似然概率密度的尾端，則結(jié)果仍然得不到改善。擴展卡爾曼粒子濾波[17]等將非線性高斯濾波方法與粒子濾波相結(jié)合，以非線性高斯濾波的結(jié)果作為重要性密度函數(shù)。但是疲勞裂紋擴展過程具有較強的非線性和非高斯特性，使得該方法的非線性和高斯近似的誤差較大。

另一方面，結(jié)構(gòu)疲勞裂紋擴展過程中疲勞裂紋擴展速率的變化可以分為3個區(qū)域：裂紋萌生區(qū)域、穩(wěn)定擴展區(qū)域和快速擴展區(qū)域。出于簡單考慮，已有基于粒子濾波的疲勞裂紋擴展預(yù)測方法僅采用Paris模型[18]表征裂紋的擴展規(guī)律。然而Paris模型只能用于描述疲勞裂紋的穩(wěn)定擴展區(qū)域。因此需要更全面的裂紋擴展模型以描述疲勞擴展的整個過程。

針對上述問題，本文提出一種基于高斯權(quán)值-混合建議分布粒子濾波算法的在線疲勞裂紋擴展預(yù)測方法，采用可以描述整個裂紋擴展過程的NASGRO裂紋擴展模型[19]建立狀態(tài)方程，通過主動Lamb波結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測方法實現(xiàn)在線的裂紋長度觀測，并且在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測方法獲得的裂紋觀測值的基礎(chǔ)上，選取先驗轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)和觀測概率密度函數(shù)組成的混合分布作為重要性密度函數(shù)，同時根據(jù)先驗估計獲取高斯權(quán)值作為從觀測概率密度中采樣得到粒子的權(quán)值。最后，本文根據(jù)實際情況仿真疲勞裂紋擴展數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的主動Lamb波觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行方法驗證。

1 高斯權(quán)值-混合建議分布粒子濾波疲勞裂紋擴展預(yù)測理論

1.1 高斯權(quán)值-混合建議分布粒子濾波

在粒子濾波算法中，首先需要定義一個狀態(tài)空間模型以描述狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程以及狀態(tài)觀測過程。狀態(tài)空間模型由式(1)所示的狀態(tài)方程和式(2)所示的觀測方程組成。

xk=h(xk-1,ωk-1)

(1)

yk=g(xk,νk)

(2)

式中：k為離散的時間步；xk為k時刻的裂紋長度；h(·)為非線性函數(shù)，表征k-1時刻裂紋長度和k時刻裂紋長度的關(guān)系；ωk-1為一個隨機變量，表征疲勞裂紋擴展的不確定性；yk為在k時刻由結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測方法獲得的裂紋長度觀測值；g(·)為觀測映射，表征裂紋長度和觀測值之間的關(guān)系；νk為一個隨機變量，表征觀測過程的不確定性。上述狀態(tài)空間模型中，狀態(tài)方程的概率表征為p(xk|xk-1),稱為先驗轉(zhuǎn)移概率密度；觀測方程的概率表征為p(yk|xk),稱為似然概率密度。

(3)

式中：δ為狄利克雷函數(shù)。

理想情況下，該重要性密度函數(shù)應(yīng)為后驗概率密度p(xk|y1:k)本身，但是一般情況下難以從后驗概率密度中采樣。在標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法中，該重要性密度函數(shù)選取為先驗轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)[13]，即

(4)

(5)

(6)

因此需要考慮重要性密度函數(shù)的選取，使其更加接近后驗概率密度。而對于后驗概率密度p(xk|y1:k),根據(jù)貝葉斯理論，其實質(zhì)是由先驗概率密度和觀測信息的融合得到的。結(jié)合在線結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的優(yōu)勢，本文以先驗概率密度函數(shù)和觀測概率密度函數(shù)組成的混合建議分布作為重要性概率密度函數(shù)，即

(7)

(8)

通過式(8)計算每個粒子的權(quán)值需要同時計算3個不同的概率密度值，如果兩種概率密度函數(shù)分量的混合比例相同，即λ=1/2,則權(quán)值計算可以簡化為[20]

(9)

(10)

(11)

從式(7)所示的混合分布中采樣得到粒子，并計算其權(quán)值的步驟如下：

步驟1k時刻，獲得觀測值yk。

(12)

在獲得的后驗概率密度基礎(chǔ)上，將每個粒子向未來時刻投影得到未來時刻的疲勞裂紋長度為

(13)

(14)

最后，由于從觀測概率密度中采樣得到的第i個粒子和上一時刻的第i個粒子不相關(guān)，因此需要對粒子集進(jìn)行重采樣[13]，使得所有粒子的權(quán)值重置為1/Ns。

1.2 基于NASGRO模型和主動Lamb波監(jiān)測的狀態(tài)空間模型

1.1節(jié)提到，粒子濾波方法需要首先定義狀態(tài)空間模型，如式(1)和式(2)所示。

對于狀態(tài)空間模型中的狀態(tài)方程，其描述了裂紋的擴展規(guī)律。本文通過NASGRO裂紋擴展模型建立狀態(tài)方程，相比于Paris模型，NASGRO裂紋擴展模型考慮了最大應(yīng)力強度因子Kmax、斷裂韌度KC、應(yīng)力強度因子幅閾值ΔKth等因素的影響，可以描述整個疲勞裂紋擴展過程，如式(15)所示。

(15)

式中：x為裂紋長度；N為載荷循環(huán)數(shù)；C、m、p和q為經(jīng)驗參數(shù);f為裂紋張開系數(shù)；R為應(yīng)力比;ΔK為應(yīng)力強度因子幅。

考慮疲勞裂紋擴展過程中的不確定性，在確定的物理模型中引入隨機變量[21]，定義狀態(tài)方程為

xk=xk-1+

(16)

另一方面，狀態(tài)空間模型中的觀測方程定義了結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測方法獲得的觀測值與裂紋長度之間的關(guān)系。對于主動Lamb波結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測方法，觀測值yk通常為從Lamb波信號中提取得到的損傷因子，假設(shè)其受到加性噪聲的影響，定義觀測方程為

yk=g(xk)+νk

(17)

式中：裂紋長度和觀測值的映射g(·)可以選取為多項式、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等模型，可以通過獲得的實驗數(shù)據(jù)訓(xùn)練這些模型，并且擬合得到觀測噪聲νk。

1.3 方法實現(xiàn)

圖1 基于高斯權(quán)值-混合建議分布粒子濾波的疲勞 裂紋擴展預(yù)測流程Fig.1 Flowchart of fatigue crack growth prediction based on Gaussian weighting-mixture proposal distribution particle filter

基于高斯權(quán)值-混合建議分布粒子濾波的疲勞裂紋擴展預(yù)測方法的實現(xiàn)流程如圖1所示。首先定義當(dāng)前結(jié)構(gòu)的疲勞裂紋擴展?fàn)顟B(tài)空間模型，即確定式(16)和式(17)中的模型參數(shù)。然后當(dāng)結(jié)構(gòu)處于服役狀態(tài)時，采用主動Lamb波結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測方法在線獲取結(jié)構(gòu)實際的裂紋觀測。每當(dāng)獲得一個新的觀測值，高斯權(quán)值-混合建議分布粒子濾波算法首先從混合建議分布中采樣得到粒子集，然后計算粒子的權(quán)值，從而得到當(dāng)前時刻裂紋長度的后驗概率分布。基于該后驗概率分布，對未來時刻的疲勞裂紋擴展過程進(jìn)行預(yù)測。

2 實驗驗證

2.1 疲勞裂紋擴展和觀測數(shù)據(jù)仿真

本文根據(jù)實際情況仿真疲勞裂紋擴展數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的主動Lamb波結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行方法驗證。選取3 mm厚的Al2024-T6板，預(yù)制中心穿透裂紋,如圖2所示，尺寸為b=200 mm,l=400 mm。假設(shè)初始裂紋x0=3 mm,并且該鋁板的疲勞裂紋擴展規(guī)律通過NASGRO裂紋擴展模型表征。通過《應(yīng)力強度因子手冊》[22]得到中心裂紋板的應(yīng)力強度因子為

(18)

式中：S為矩形板承受的名義應(yīng)力；F為幾何形狀修正系數(shù)，其表達(dá)式為

(19)

圖2 含中心裂紋矩形鋁板Fig.2 Center-cracked rectangular Al plate

xk=xk-1+

(20)

式中：ΔN取50。

文獻(xiàn)[12]通過疲勞實驗建立了基于Lamb波信號互相關(guān)損傷因子的裂紋長度觀測方程。在本仿真中，參考文獻(xiàn)[12]的監(jiān)測過程、設(shè)置及結(jié)果，確定仿真的觀測映射為

y=-5×10-5(x-x0)3+2×10-3(x-x0)2+

1.5×10-2(x-x0)

(21)

式中：y為Lamb波信號互相關(guān)損傷因子，并且受到高斯白噪聲ν～N(0,0.032)的影響。

仿真時，以圖3所示的裂紋擴展曲線為真值，該曲線通過NASGRO模型仿真獲得；每隔15 000次載荷循環(huán)進(jìn)行裂紋長度的觀測仿真，通過式(21)計算得到損傷因子，加上從觀測噪聲分布中的隨機噪聲得到仿真的觀測值。所獲得的損傷因子觀測數(shù)據(jù)如圖4所示。

圖3 仿真的疲勞裂紋擴展Fig.3 Simulated fatigue crack growth

圖4 仿真的損傷因子觀測數(shù)據(jù)Fig.4 Simulated damage index measurement data

2.2 疲勞裂紋擴展預(yù)測

針對該中心裂紋板的疲勞裂紋擴展預(yù)測，首先其狀態(tài)方程選取為式(16)，其中除了C值外的所有參數(shù)都與式(20)中保持一致。參數(shù)C選取為C=exp(-26.6)以體現(xiàn)先驗轉(zhuǎn)移概率密度不準(zhǔn)確的情形。表征裂紋擴展不確定性的狀態(tài)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為σω=1.2。此外，觀測方程由式(21)離散得到，其為

yk=-5×10-5(xk-x0)3+2×10-3(xk-x0)2+

1.5×10-2(xk-x0)+ν

(22)

其中觀測噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σv=0.03。

在粒子濾波算法中，粒子數(shù)Ns=500,高斯權(quán)值分布的標(biāo)準(zhǔn)差σg=0.35。在初始時刻所有的粒子初始化為x0,權(quán)值初始化為1/Ns。在實際情況中，作為裂紋長度觀測值的損傷因子是隨著時間在線序貫獲得的，因此在疲勞裂紋擴展過程中，一旦得到新的損傷因子，高斯權(quán)值-混合建議分布粒子濾波算法首先從混合建議分布中采樣得到粒子集，然后計算粒子的權(quán)值，從而得到當(dāng)前時刻裂紋長度的后驗概率分布。基于該后驗概率分布，對未來時刻的疲勞裂紋擴展過程進(jìn)行預(yù)測。

圖5 裂紋長度后驗估計結(jié)果Fig.5 Posterior estimation results of crack length

圖5所示為結(jié)合了所有的觀測值后得到的裂紋長度后驗估計結(jié)果。圖5中先驗?zāi)Ｐ捅碚鞯氖鞘?20)NASGRO模型的裂紋擴展結(jié)果，可以看到在裂紋長度較小時，幾種方法得到的結(jié)果都與裂紋擴展真值比較吻合，其原因在于裂紋擴展初期，裂紋擴展速率很小，導(dǎo)致裂紋長度變化很小，同時裂紋擴展過程中的不確定性累積影響也較小。但是本文提出的高斯權(quán)值-混合建議分布粒子濾波方法優(yōu)于其他方法。隨著裂紋擴展到后期，裂紋擴展速率越來越大，所以幾種方法的結(jié)果差別越來越大。由于觀測值的修正，基于粒子濾波方法的預(yù)測結(jié)果誤差變小。其中標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波裂紋長度后驗估計在觀測點處的均方根誤差為1.4 mm。而本文提出的方法，其均方根誤差為0.28 mm。

當(dāng)獲得由粒子集和權(quán)值表征的裂紋長度后驗概率密度時，將每個粒子向未來時刻投影得到疲勞裂紋擴展的預(yù)測結(jié)果。以裂紋長度18.69 mm為臨界裂紋長度，預(yù)測的裂紋擴展軌跡超過該臨界裂紋長度即認(rèn)為失效。在不同時刻預(yù)測得到失效循環(huán)載荷數(shù)的相對誤差對比結(jié)果如圖6所示，本文提出的方法明顯優(yōu)于基于標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波的方法。

圖6 不同時刻失效循環(huán)數(shù)預(yù)測值相對誤差Fig.6 Relative errors of failure cycle predicted at different times

3 結(jié) 論

提出了基于高斯權(quán)值-混合建議分布粒子濾波的在線疲勞裂紋擴展預(yù)測方法。該方法基于NASGRO裂紋擴展模型定義了疲勞裂紋擴展?fàn)顟B(tài)空間模型，并且結(jié)合主動Lamb波裂紋監(jiān)測方法，采用先驗轉(zhuǎn)移概率密度和觀測概率密度的混合分布作為重要性密度函數(shù)，以粒子與先驗估計之間的高斯權(quán)值作為觀測概率分布粒子的權(quán)值。實驗驗證結(jié)果表明，本文提出的方法明顯改善了預(yù)測結(jié)果。理論上來講，本文提出的方法采用了能描述整個疲勞裂紋擴展過程的NASGRO模型，因此可以適用于疲勞裂紋擴展整個過程的預(yù)測。關(guān)鍵在于確定NASGRO模型中描述不同擴展區(qū)域的參數(shù)，以及在不同擴展區(qū)域獲取一定誤差范圍內(nèi)的裂紋觀測值。

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UsingGaussianweighting-mixtureproposaldistributionparticlefilterforfatiguecrackgrowthprediction

CHENJian,YUANShenfang*,WANGHui,QIULei

StateKeyLaboratoryofMechanicsandControlofMechanicalStructures,CollegeofAerospaceEngineering,NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Nanjing210016,China

Fatiguecrackgrowthpredictionisvitalforensuringstructuralsafetyandachievingcondition-basedmaintenanceofaircraft.Recently,novelmethodsforon-linefatiguecrackgrowthpredictionhavedrawnalotofattention,whichcombinetheparticlefilteralgorithmwithstructuralhealthmonitoring.Inthesemethods,astatespacemodelisdevelopedtorepresentuncertaintiesduringfatiguecrackgrowth,andtheactualcrackmeasurementsobtainedwithstructuralhealthmonitoringareincorporatedtoupdatetheresultderivedfromafatiguecrackgrowthmodelusingBayesiantheorem.However,mostofthosemethodsemploythepriorprobabilitydensityfunctionastheimportancedensityintheparticlefilteralgorithm,andthussufferfromtheproblemofsevereparticledegeneracy.Inaddition,theParislawthatcanonlydescribethestablecrackgrowthregioniscommonlyusedduetoitssimplicity.Toovercometheseproblems,thispaperproposesanon-linefatiguecrackgrowthpredictionmethodbasedontheGaussianweighting-mixtureproposaldistributionparticlefilter.TheNASGROmodelwhichcandescribetheentirecrackgrowthregionisemployedtoestablishthestateequationoffatiguecrackgrowth.TheactiveLambwavebasedmonitoringmethodisusedforon-linestructuralcrackmonitoring.Basedonon-linemonitoring,themixtureproposaldistributionfusingthepriorprobabilitydensityandthemeasurementprobabilitydensityisadoptedastheimportancedensityfunction,andtheGaussianweightingprocessisproposedwiththepriorestimateofthecracklength.Simulationdataareutilizedforvalidation,andtheresultshowstheproposedmethodcansignificantlyoptimizetheaccuracyoffatiguecrackgrowthprediction.

prognosticsandhealthmanagement;structuralhealthmonitoring;crackgrowthprediction;particlefilter;NASGROmodel;mixtureproposaldistribution

2016-11-10；Revised2017-04-07；Accepted2017-08-21；Publishedonline2017-09-080956

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2016-11-10；退修日期2017-04-07；錄用日期2017-08-21；< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間

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陳健，袁慎芳，王卉，等．基于高斯權(quán)值-混合建議分布粒子濾波的疲勞裂紋擴展預(yù)測J． 航空學(xué)報,2017,38(11):220925.CHENJ,YUANSF,WANGH,etal.UsingGaussianweighting-mixtureproposaldistributionparticlefilterforfatiguecrackgrowthpredictionJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(11):220925.

(責(zé)任編輯：徐曉)