劉文蘭，許允斗, 2，姚建濤, 2，陳亮亮，王輝，趙永生, 2,*

1.燕山大學(xué) 河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島 066004 2.燕山大學(xué) 先進(jìn)鍛壓成型技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島 066004 3.中國(guó)空間技術(shù)研究院 西安分院，西安 710100

3R-3URU可展單元機(jī)構(gòu)及其在構(gòu)架式可展天線中的應(yīng)用

劉文蘭1，許允斗1, 2，姚建濤1, 2，陳亮亮1，王輝3，趙永生1, 2,*

1.燕山大學(xué) 河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島 066004 2.燕山大學(xué) 先進(jìn)鍛壓成型技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島 066004 3.中國(guó)空間技術(shù)研究院 西安分院，西安 710100

提出了一種空間單自由度(DOF)可展單元機(jī)構(gòu)3R-3URU。首先，基于螺旋理論和修正的G-K公式分析了RURUR單閉環(huán)機(jī)構(gòu)的自由度，建立了該機(jī)構(gòu)中主動(dòng)關(guān)節(jié)和被動(dòng)關(guān)節(jié)速度之間的解析關(guān)系式，基于此關(guān)系式和3個(gè)RURUR機(jī)構(gòu)共用首尾轉(zhuǎn)動(dòng)副的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)推導(dǎo)了3R-3URU單元機(jī)構(gòu)的自由度，得到了3R-3URU機(jī)構(gòu)具有1個(gè)自由度時(shí)各運(yùn)動(dòng)副的方向和位置滿足的幾何關(guān)系式。其次，將3R-3URU機(jī)構(gòu)應(yīng)用于3RR-3RRR四面體可展單元及其組成的球面構(gòu)架式可展天線中，得到了具有收攏和調(diào)姿兩種自由度的新型可展機(jī)構(gòu)。最后，利用Adams軟件對(duì)3R-3URU可展單元機(jī)構(gòu)的自由度和其在四面體構(gòu)架式可展天線中的應(yīng)用進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。該3R-3URU可展單元機(jī)構(gòu)具有單自由度、鉸鏈種類少、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，可用于曲面構(gòu)架式可展天線的支撐機(jī)構(gòu)中，實(shí)現(xiàn)大折疊比。

可展單元；自由度；螺旋理論；折疊比；可展天線

可展機(jī)構(gòu)在儲(chǔ)存和運(yùn)輸時(shí)處于收攏狀態(tài)，占據(jù)運(yùn)載裝置較小的空間，當(dāng)需要工作時(shí)可完全展開(kāi)。因具有這種特點(diǎn)可展機(jī)構(gòu)在航空航天、新型建筑等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景，是當(dāng)今國(guó)際上的一個(gè)研究熱點(diǎn)。

自可展機(jī)構(gòu)起源以來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已提出了多種可展機(jī)構(gòu)。文獻(xiàn)[1-6]基于剪叉機(jī)構(gòu)提出了不同的可展機(jī)構(gòu)；李波和楊毅[7]研究了一種可展開(kāi)平板天線支撐機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題；文獻(xiàn)[8-11]各提出了一種平面可展機(jī)構(gòu)；楊毅和丁希侖[12-13]分別基于7桿閉環(huán)機(jī)構(gòu)和空間多面體向心機(jī)構(gòu)提出了一種四棱錐可展單元和一種新型六面體機(jī)構(gòu)，可組合成大型平面可展機(jī)構(gòu)和伸展臂；Ding等[14]提出了一種新型的三棱柱可展機(jī)構(gòu)；Vu等[15]提出了一類空間可展單元結(jié)構(gòu)；陳向陽(yáng)和關(guān)富玲[16]提出了一種利用伸縮桿驅(qū)動(dòng)的六棱柱可展單元，在此單元的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種大型構(gòu)架式拋物面天線；關(guān)富玲等[17-18]提出了一種由四面體可展單元組成的構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)；文獻(xiàn)[19-21]分別研究了Bennett、Bricard和Myard連桿機(jī)構(gòu)在可展機(jī)構(gòu)中的應(yīng)用。盡管目前已提出多種可展單元，但應(yīng)用于航天構(gòu)架式可展天線的為數(shù)不多，其中，四面體單元應(yīng)用最為廣泛，然而僅含轉(zhuǎn)動(dòng)鉸鏈的四面體構(gòu)架式可展天線[17-18,22-23]和含特殊材料(如形狀記憶聚合物材料)鉸鏈的四面體構(gòu)架式可展天線[24]主要靠鉸鏈間隙或桿件彈性變形達(dá)到理想收攏末態(tài)，這里理想收攏末態(tài)是指構(gòu)架式可展天線反射面和背架層的節(jié)點(diǎn)構(gòu)件均達(dá)到彼此靠攏的狀態(tài)。針對(duì)此，本文提出一種空間可展單元3R-3URU(R和U分別表示轉(zhuǎn)動(dòng)副和虎克鉸)，將其應(yīng)用于僅含轉(zhuǎn)動(dòng)鉸鏈的四面體構(gòu)架式可展天線的支撐機(jī)構(gòu)中，克服原機(jī)構(gòu)靠桿件彈性變形和鉸鏈間隙達(dá)到理想收攏末態(tài)的不足。

空間可展單元機(jī)構(gòu)具有高度非線性和耦合性，其自由度分析比較困難，目前針對(duì)此類機(jī)構(gòu)自由度分析方法的研究文獻(xiàn)較少，主要有去除不影響機(jī)構(gòu)自由度的運(yùn)動(dòng)子鏈法[25-26]、拆分桿組法[27]、等效法[23,28-29]、分流標(biāo)記法[30]、基于多面體框架理論的方法[31]，等等，其通用性均不夠強(qiáng)。本文擬結(jié)合3R-3URU單元的結(jié)構(gòu)約束特點(diǎn)，采用傳統(tǒng)自由度分析方法——螺旋理論和修正的G-K公式分析該空間多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)的自由度。

1 3R-3URU可展單元機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)及自由度分析

1.1 結(jié)構(gòu)組成

3R-3URU可展單元機(jī)構(gòu)由1個(gè)頂花盤、3根搖擺桿、6根連桿、6個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副(R)和6個(gè)虎克鉸(U)組成，如圖1所示，其中，U副用兩個(gè)軸線相交的R副表示。3根搖擺桿等長(zhǎng)，其上端分別通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副R4、R5和R6與頂花盤連接，且R4、R5和R6副的軸線共面；搖擺桿1下端通過(guò)虎克鉸U11和U32分別與連桿11和連桿32相連，搖擺桿2下端通過(guò)虎克鉸U12和U21分別與連桿12和連桿21相連，搖擺桿3下端通過(guò)虎克鉸U31和U22分別與連桿31和連桿22相連，轉(zhuǎn)動(dòng)副R1連接的連桿11和連桿12等長(zhǎng)，轉(zhuǎn)動(dòng)副R2連接的連桿21和連桿22等長(zhǎng)，轉(zhuǎn)動(dòng)副R3連接的連桿31和連桿32等長(zhǎng)。

記3根搖擺桿的軸線相交于點(diǎn)H，其下端點(diǎn)分別為I、J和K，點(diǎn)O為三角形IJK的外心，則R4、R5和R6副的軸線分別垂直于平面IOH、JOH和KOH，R1副的軸線與連桿11和連桿12的軸線均垂直，R2副的軸線與連桿21和連桿22的軸線均垂直，R3副的軸線與連桿31和連桿32的軸線均垂直，虎克鉸Uij(i=1,2,3,j=1,2)靠近連桿的轉(zhuǎn)軸沿連桿軸線方向、另一個(gè)轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)動(dòng)副Ri的軸線平行。不失一般性，R1、R2和R3副的軸線與平面IJK不平行。

任意一個(gè)球副(S)的運(yùn)動(dòng)與空間3個(gè)軸線相交于一點(diǎn)的R副的運(yùn)動(dòng)等效，因此，3R-3URU可展單元機(jī)構(gòu)中，虎克鉸Ui1和Ui2靠近連桿的轉(zhuǎn)軸以及轉(zhuǎn)動(dòng)副Ri可由一個(gè)S副代替，得到3R-3URU可展單元機(jī)構(gòu)的等效機(jī)構(gòu)3R-3RSR，如圖2所示。

圖1 3R-3URU可展單元機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Schematic of 3R-3URU deployable mechanism

圖2 3R-3URU可展單元的等效機(jī)構(gòu)Fig.2 Equivalent mechanism of 3R-3URU deployable unit

1.2 自由度分析

3R-3URU可展單元機(jī)構(gòu)可以看做是由3個(gè)單閉環(huán)機(jī)構(gòu)RURUR共用首尾兩端的R副連接而成，即由單閉環(huán)機(jī)構(gòu)R4U11R1U12R5、R5U21R2U22R6和R6U31R3U32R4組成。在分析3R-3URU機(jī)構(gòu)的自由度前先選取其中一個(gè)單閉環(huán)機(jī)構(gòu)進(jìn)行研究，如圖3所示，在虎克鉸U11和U12中心連線的中點(diǎn)O1建立坐標(biāo)系O1-x1y1z1，x1軸沿虎克鉸U11和U12中心的連線，z1軸與平面IJK的法線OH平行，y1軸根據(jù)右手定則確定。

在連桿11和連桿12不共線的任意位形下，記運(yùn)動(dòng)副R4、U11、R1、U12和R5的中心在坐標(biāo)系O1-x1y1z1下的坐標(biāo)分別為(-x4,y4,z)、(-x11,0,0)、(0,y1,z1)、(x11,0,0)和(x4,y4,z)，記轉(zhuǎn)動(dòng)副R4的軸線與x1軸的夾角為α1,則運(yùn)動(dòng)副R4、U11、R1、U12和R5的單位運(yùn)動(dòng)螺旋在O1-x1y1z1下可表示為

(1)

圖3 RURUR單閉環(huán)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.3 Schematic of single closed-loop mechanism RURUR

求上述運(yùn)動(dòng)螺旋系的反螺旋可得單閉環(huán)機(jī)構(gòu)R4U11R1U12R5的約束螺旋為

(2)

式(2)表明單閉環(huán)機(jī)構(gòu)R4U11R1U12R5中不存在公共約束，則根據(jù)修正的G-K公式可得單閉環(huán)機(jī)構(gòu)R4U11R1U12R5的自由度為

6×(5-5-1)+7=1

(3)

式中：M為機(jī)構(gòu)自由度數(shù)；d為機(jī)構(gòu)的階數(shù)，且d=6-λ，λ為機(jī)構(gòu)的公共約束數(shù)；n為包含機(jī)架在內(nèi)的構(gòu)件數(shù)；g為機(jī)構(gòu)所含運(yùn)動(dòng)副個(gè)數(shù)；fk(k=1,2,…,g)為第k個(gè)運(yùn)動(dòng)副具有的單自由度數(shù)；v為冗余約束數(shù)；ξ為局部自由度數(shù)。

同理，可知單閉環(huán)機(jī)構(gòu)R5U21R2U22R6和R6U31R3U32R4均具有1個(gè)自由度，根據(jù)其共用手尾兩端R副的連接方式可得3R-3URU機(jī)構(gòu)最多具有1個(gè)自由度。

假設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R4為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，在單閉環(huán)機(jī)構(gòu)R4U11R1U12R5中驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)速度和被動(dòng)關(guān)節(jié)速度滿足：

q4O1$R4+wU11,1O1$U11,1+wU11,2O1$U11,2+

wR1O1$R1+wU12,1O1$U12,1+wU12,2O1$U12,2+

wR5O1$R5=06×1

(4)

式中：q4為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)R4的速度；wU11,1和wU11,2為被動(dòng)關(guān)節(jié)U11的速度；wU12,1和wU12,2為被動(dòng)關(guān)節(jié)U12的速度；wR1和wR5分別為被動(dòng)關(guān)節(jié)R1和R5的速度。

將式(4)變形為

J1ω1=-q4O1$R4

(5)

若6×6矩陣J1可逆，則由式(5)可得單閉環(huán)機(jī)構(gòu)R4U11R1U12R5中所有被動(dòng)關(guān)節(jié)的速度為

(6)

從式(6)可得單閉環(huán)機(jī)構(gòu)R4U11R1U12R5中被動(dòng)關(guān)節(jié)R5的速度為

(7)

根據(jù)3R-3URU機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)組成可知，單閉環(huán)機(jī)構(gòu)R4U11R1U12R5的被動(dòng)關(guān)節(jié)R5可以作為單閉環(huán)機(jī)構(gòu)R5U21R2U22R6的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，單閉環(huán)機(jī)構(gòu)R5U21R2U22R6的被動(dòng)關(guān)節(jié)R6可以作為單閉環(huán)機(jī)構(gòu)R6U31R3U32R4的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，則有

(8)

(9)

式中：wR6和wR4分別為被動(dòng)關(guān)節(jié)R6和R4的速度；O2$R5和O3$R6分別為轉(zhuǎn)動(dòng)副R5和R6在坐標(biāo)系O2-x2y2z2和O3-x3y3z3下的單位運(yùn)動(dòng)螺旋，其中，坐標(biāo)系O2-x2y2z2和O3-x3y3z3在單閉環(huán)機(jī)構(gòu)R5U21R2U22R6和R6U31R3U32R4中的建立方式與O1-x1y1z1類似；J2由運(yùn)動(dòng)副U21、R2、U22和R6在O2-x2y2z2下的單位運(yùn)動(dòng)螺旋組成；J3由運(yùn)動(dòng)副U31、R3、U32和R4在O3-x3y3z3下的單位運(yùn)動(dòng)螺旋組成。

將式(7)和式(8)代入式(9)可得單閉環(huán)機(jī)構(gòu)R6U31R3U32R4中被動(dòng)關(guān)節(jié)R4的速度為

(10)

(11)

時(shí)，3R-3URU機(jī)構(gòu)具有1個(gè)自由度。

將所有運(yùn)動(dòng)副的單位螺旋表達(dá)式代入式(11)可得該式成立，因此，3R-3URU機(jī)構(gòu)具有1個(gè)自由度。若固定頂花盤，則在驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)R4的作用下3根搖擺桿分別繞轉(zhuǎn)動(dòng)副R4、R5和R6同步轉(zhuǎn)動(dòng)。

式(11)左邊的表達(dá)式僅含3R-3URU機(jī)構(gòu)各運(yùn)動(dòng)副的單位螺旋，說(shuō)明3R-3URU機(jī)構(gòu)是否具有1個(gè)自由度取決于各運(yùn)動(dòng)副的位置和方向之間的幾何關(guān)系是否滿足式(11)。

當(dāng)連桿11和連桿12共線時(shí)，虎克鉸U11靠近連桿11的轉(zhuǎn)動(dòng)副和虎克鉸U12靠近連桿12的轉(zhuǎn)動(dòng)副共軸，存在1個(gè)局部自由度，此時(shí)機(jī)構(gòu)自由度變?yōu)?/p>

6×(5-5-1)+7-1=0

(12)

式(12)表明當(dāng)連桿11和連桿12共線時(shí)，單閉環(huán)機(jī)構(gòu)R4U11R1U12R5的自由度為0，根據(jù)3R-3URU機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可得其自由度也為0，該位形即為3R-3URU機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)的邊界奇異位形。同理，當(dāng)連桿21和連桿22共線或連桿31和連桿32共線時(shí)，3R-3URU單元機(jī)構(gòu)的自由度也為0。

綜上，3R-3URU單元機(jī)構(gòu)在其工作空間內(nèi)的邊界奇異位形下自由度為0，其他任意位形下具有1個(gè)自由度。

建立3R-3URU機(jī)構(gòu)的仿真模型，如圖4所示，其中搖擺桿和底面花盤之間固接。在轉(zhuǎn)動(dòng)副R4上添加驅(qū)動(dòng)使其轉(zhuǎn)動(dòng)速度為0.5(°)/s，則在該驅(qū)動(dòng)作用下3R-3URU機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了確定的運(yùn)動(dòng)。仿真38 s，測(cè)得轉(zhuǎn)動(dòng)副R4～R6的轉(zhuǎn)角變化如圖5所示。

圖5表明僅在1個(gè)驅(qū)動(dòng)作用下3根搖擺桿分別繞轉(zhuǎn)動(dòng)副R4、R5和R6同步轉(zhuǎn)動(dòng)，驗(yàn)證了前述對(duì)3R-3URU機(jī)構(gòu)自由度分析的正確性。

圖4 3R-3URU機(jī)構(gòu)的仿真模型Fig.4 Simulation model of 3R-3URU mechanism

圖5 轉(zhuǎn)動(dòng)副R4～R6的轉(zhuǎn)角變化Fig.5 Angular displacements of joints R4-R6

2 在構(gòu)架式可展天線中的應(yīng)用

2.1 在3RR-3RRR四面體可展天線中的應(yīng)用

根據(jù)文獻(xiàn)[27]可知圖6所示的3RR-3RRR四面體可展單元機(jī)構(gòu)具有1個(gè)自由度，若固定其頂花盤L，選取任意一個(gè)R副為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，則在驅(qū)動(dòng)作用下底面花盤A、B和C向四面體單元底面的法線P1P2同步靠近/遠(yuǎn)離，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中3個(gè)底面花盤只發(fā)生移動(dòng)運(yùn)動(dòng)，其姿態(tài)始終保持不變。當(dāng)多個(gè)3RR-3RRR四面體單元組成構(gòu)架式可展天線的支撐機(jī)構(gòu)(以下簡(jiǎn)稱為構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu))時(shí)，由于天線反射面一般為球面或拋物面等曲面，在天線的完全展開(kāi)狀態(tài)，支撐機(jī)構(gòu)位于反射面的花盤在一個(gè)曲面上，背架層的花盤位于另一曲面上。因整個(gè)機(jī)構(gòu)只有一個(gè)收攏自由度，在收攏過(guò)程中反射面和背架層花盤同步移動(dòng)，當(dāng)反射面花盤彼此靠攏時(shí)，背架層花盤兩兩之間還相距較遠(yuǎn)[27]，導(dǎo)致機(jī)構(gòu)未達(dá)到理想折疊比。例如，圖7所示的由3個(gè)3RR-3RRR四面體可展單元(① 四面體單元L-ABC、② 四面體單元N-ADE、③ 四面體單元M-AGF)組成的小型球面構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)，在完全展開(kāi)狀態(tài)，反射面花盤A、B、C、D、E、F、G位于球面上，背架層花盤L、M、N位于另一球面上，為提高機(jī)構(gòu)整體剛度，在不影響機(jī)構(gòu)原有自由度的前提下，背架層花盤兩兩之間用URS支鏈連接。

圖6 3RR-3RRR可展單元機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.6 Schematic of 3RR-3RRR deployable mechanism

圖7 3個(gè)3RR-3RRR單元組成的球面機(jī)構(gòu)Fig.7 Mechanism with a spherical surface composed of three 3RR-3RRR units

圖8 圖7所示機(jī)構(gòu)完全展開(kāi)狀態(tài)的三維模型Fig.8 Three-dimensional model of mechanism shown in Fig.7 in expanded configuration

圖8為3個(gè)3RR-3RRR單元組成的球面可展機(jī)構(gòu)在完全展開(kāi)狀態(tài)的三維模型，反射面花盤的包絡(luò)圓半徑R0=0.521 9 m，背架層花盤的包絡(luò)圓半徑r0=0.385 8 m，背架層和反射面之間的最大距離h0=0.561 7 m。固定反射面中心花盤A，在單驅(qū)動(dòng)作用下反射面和背架層花盤均保持姿態(tài)不變向目標(biāo)收攏軸線同步移動(dòng)，機(jī)構(gòu)收攏末態(tài)如圖9所示，該位形下反射面花盤的包絡(luò)圓半徑Ru=0.075 5 m，背架層花盤的包絡(luò)圓半徑ru=0.138 1 m，背架層和反射面之間的最大距離hu=0.617 9 m。從圖9可以看出，在該機(jī)構(gòu)的收攏末態(tài)反射面和背架層花盤仍位于球面上，且反射面花盤已彼此靠攏，而背架層花盤間還有一定的距離，機(jī)構(gòu)的收攏效果不理想。

按照可展機(jī)構(gòu)在完全展開(kāi)狀態(tài)和收攏末態(tài)所占空間的比值計(jì)算該機(jī)構(gòu)的折疊比，則3個(gè)3RR-3RRR單元組成的球面可展機(jī)構(gòu)的折疊比λ1為

16.078 7

(13)

根據(jù)本文1.2節(jié)對(duì)3R-3URU機(jī)構(gòu)自由度的分析可知，該機(jī)構(gòu)中與轉(zhuǎn)動(dòng)副R4、R5和R6相連的桿件可分別繞R4、R5和R6轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)姿態(tài)的調(diào)整，因此，結(jié)合3RR-3RRR機(jī)構(gòu)和3R-3URU機(jī)構(gòu)得到具有收攏和調(diào)姿兩種自由度的3RR-3URU機(jī)構(gòu)，如圖10所示，其中，轉(zhuǎn)動(dòng)副R4和R7的軸線相互平行、轉(zhuǎn)動(dòng)副R5和R8的軸線相互平行、轉(zhuǎn)動(dòng)副R6和R9的軸線相互平行。

圖9 圖8所示機(jī)構(gòu)的收攏末態(tài)Fig.9 Folded configuration of mechanism shown in Fig.8

圖10 3RR-3URU機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.10 Schematic of 3RR-3URU mechanism

圖11 3RR-3URU機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)分解圖Fig.11 Structure decomposition of 3RR-3URU mechanism

根據(jù)文獻(xiàn)[28]對(duì)多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)的自由度分析方法，圖10所示機(jī)構(gòu)可以拆分為單閉環(huán)機(jī)構(gòu)R7R4U11R1U12R5R8、桿組R9R6U22R2U21和桿組U31R3U32，如圖11所示，通過(guò)分析后一個(gè)桿組對(duì)前一個(gè)桿組自由度的影響即可得到3RR-3URU單元機(jī)構(gòu)的自由度。

根據(jù)修正的G-K公式易得圖11中單閉環(huán)機(jī)構(gòu)R7R4U11R1U12R5R8具有3個(gè)自由度。桿組R9R6U22R2U21為7自由度串聯(lián)運(yùn)動(dòng)鏈，將其添加到單閉環(huán)機(jī)構(gòu)R7R4U11R1U12R5R8上，不會(huì)引入約束但增加了1個(gè)局部自由度，最終得到4自由度機(jī)構(gòu)。在這4自由度機(jī)構(gòu)中，將花盤A視為機(jī)架，則花盤B通過(guò)分支U11R1U12和含閉環(huán)子鏈的分支R4R7-(R8R5U21R2U22R6R9) 與機(jī)架A相連。根據(jù)反螺旋理論可得分支U11R1U12施加給花盤B一個(gè)與轉(zhuǎn)動(dòng)副R1軸線重合的約束力，含閉環(huán)子鏈的分支R4R7-(R8R5U21R2U22R6R9)施加給花盤B一個(gè)與轉(zhuǎn)動(dòng)副R4和R5的軸線均垂直的約束力偶、一個(gè)過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副R4與R5軸線交點(diǎn)和轉(zhuǎn)動(dòng)副R7與R8軸線交點(diǎn)的約束力，則花盤B相對(duì)于機(jī)架A具有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)和一個(gè)移動(dòng)自由度，其中，兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線位于與R4和R5軸線確定平面平行的平面內(nèi)，移動(dòng)軸線沿虎克鉸U11和U12中心的連線。同理可得在該4自由度機(jī)構(gòu)中，花盤C相對(duì)于機(jī)架A也具有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)和一個(gè)移動(dòng)自由度，其中，兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線位于與R5和R6軸線確定平面平行的平面內(nèi)，移動(dòng)軸線沿虎克鉸U21和U22中心的連線。由于整個(gè)機(jī)構(gòu)具有4個(gè)自由度，其獨(dú)立的關(guān)節(jié)參數(shù)只有4個(gè)，因此，花盤B和C的4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，另外，花盤B和C相對(duì)于機(jī)架A的兩個(gè)移動(dòng)自由度是獨(dú)立的。桿組U31R3U32為5自由度運(yùn)動(dòng)鏈，將其添加到上述4自由度機(jī)構(gòu)的花盤B和C之間，限制了兩花盤沿R3軸線方向的相對(duì)移動(dòng)，使花盤B和C的兩個(gè)移動(dòng)自由度變得相關(guān)，即桿組U31R3U32引入了1個(gè)實(shí)約束。

綜上，在3RR-3URU單元機(jī)構(gòu)中不存在公共約束和虛約束，根據(jù)G-K公式可得3RR-3URU單元機(jī)構(gòu)的自由度為

6×12-(5×9+4×6)=3

(14)

式中：uq(q=1,2,…,15)為第q個(gè)運(yùn)動(dòng)副引入的約束數(shù)。式(14)表明3RR-3URU單元機(jī)構(gòu)具有3個(gè)自由度，花盤B和C除具有向機(jī)架A的移動(dòng)自由度外還具有轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，即在3RR-3URU機(jī)構(gòu)中花盤B和C相對(duì)于機(jī)架A的姿態(tài)可變。下文中將花盤的移動(dòng)自由度和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度分別稱為收攏自由度和調(diào)姿自由度。

圖12 3個(gè)3RR-3URU單元組成的球面機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.12 Schematic of mechanism with a spherical surface composed of three 3RR-3URU units

由3個(gè)3RR-3URU單元機(jī)構(gòu)組成的球面構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)(單元之間通過(guò)URU支鏈連接)如圖12所示，為提高機(jī)構(gòu)整體剛度，背架層花盤兩兩之間仍采用URS支鏈連接。該機(jī)構(gòu)可以視做是在第1個(gè)單元機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上先后添加第2個(gè)和第3個(gè)單元機(jī)構(gòu)，然后在花盤C和D、花盤E和F、花盤B和G之間依次添加桿組URU，最后在背架層花盤L和M、花盤L和N、花盤N和M之間添加桿組URS得到的。

將花盤A視為機(jī)架，在第1個(gè)3RR-3URU單元機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上依次添加第2個(gè)和第3個(gè)單元機(jī)構(gòu)，由于這3個(gè)單元機(jī)構(gòu)僅共用機(jī)架，其自由度相互獨(dú)立，則3個(gè)3RR-3URU單元共用機(jī)架花盤A得到的機(jī)構(gòu)具有9個(gè)自由度。根據(jù)前述對(duì)單個(gè)3RR-3URU機(jī)構(gòu)的自由度分析可知，在3個(gè)3RR-3URU單元共用機(jī)架A構(gòu)成的機(jī)構(gòu)中，花盤B和C的移動(dòng)自由度相關(guān)，花盤D和E的移動(dòng)自由度相關(guān)，花盤F和G的移動(dòng)自由度相關(guān)。由于桿組URU提供1個(gè)約束限制其兩端U副連接的桿件沿R副軸線方向的相對(duì)移動(dòng)，故在花盤C和D之間添加桿組URU后，花盤C和D的移動(dòng)變得相關(guān)，在花盤E和F之間添加桿組URU后，花盤E和F的移動(dòng)變得相關(guān)，從而可得花盤B、C、D、E、F、G向機(jī)架A的移動(dòng)是相關(guān)的，此時(shí)再在花盤B和G之間添加桿組URU，引入了1個(gè)虛約束。桿組URS為6自由度運(yùn)動(dòng)鏈，在背架層花盤間添加桿組URS不會(huì)引入約束。

綜上，由3個(gè)3RR-3URU單元機(jī)構(gòu)組成的球面可展天線機(jī)構(gòu)在非邊界奇異位形，存在1個(gè)虛約束(即冗余約束)，不存在公共約束和局部自由度，則根據(jù)修正的G-K公式可得該機(jī)構(gòu)的自由度為

6×(43-54-1)+78+1=7

(15)

式(15)表明3個(gè)3RR-3URU單元機(jī)構(gòu)組成的球面可展機(jī)構(gòu)具有7個(gè)自由度，反射面花盤除具有向機(jī)架A的收攏自由度外還具有調(diào)姿自由度。

2.2 仿真驗(yàn)證

建立3RR-3URU機(jī)構(gòu)的仿真模型，如圖13所示，其中搖擺桿和底面花盤之間通過(guò)R副連接，初始狀態(tài)3個(gè)底花盤的平面不平行。根據(jù)前述分析可知3RR-3URU機(jī)構(gòu)具有3個(gè)自由度，因此，為保證機(jī)構(gòu)具有確定的運(yùn)動(dòng)，至少添加3個(gè)驅(qū)動(dòng)。

為方便驗(yàn)證3RR-3URU單元機(jī)構(gòu)的收攏自由度和調(diào)姿自由度，仿真時(shí)設(shè)定驅(qū)動(dòng)值讓底面花盤完成收攏運(yùn)動(dòng)后再進(jìn)行調(diào)姿運(yùn)動(dòng)，該機(jī)構(gòu)在收攏末態(tài)和調(diào)姿末態(tài)底面花盤的姿態(tài)如圖14所示。

3個(gè)3RR-3URU單元組成的球面可展天線機(jī)構(gòu)在半收攏狀態(tài)的仿真模型如圖15所示，為保證該機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)確定的運(yùn)動(dòng)，其仿真模型中至少添加7個(gè)驅(qū)動(dòng)。為驗(yàn)證該機(jī)構(gòu)的收攏自由度和調(diào)姿自由度，設(shè)定各驅(qū)動(dòng)大小使機(jī)構(gòu)達(dá)到圖9所示的收攏末態(tài)后，保持收攏驅(qū)動(dòng)為固定值，讓調(diào)姿驅(qū)動(dòng)繼續(xù)作用，使反射面花盤繞其與搖擺桿連接的R副轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)姿態(tài)的調(diào)整，在調(diào)姿過(guò)程中搖擺桿帶動(dòng)背架層花盤繼續(xù)向收攏目標(biāo)軸線靠攏，最終背架層花盤也緊密靠攏，如圖16所示。

選取ZYX歐拉角描述3個(gè)3RR-3URU單元組成的球面可展天線機(jī)構(gòu)在收攏過(guò)程中各花盤相對(duì)于機(jī)架花盤A的姿態(tài)。以花盤C為例，測(cè)得其質(zhì)心坐標(biāo)系相對(duì)于花盤A質(zhì)心坐標(biāo)系的歐拉角如圖17所示(α、β、γ分別表示繞X、Y、Z軸的轉(zhuǎn)角)。

圖13 3RR-3URU機(jī)構(gòu)的仿真模型Fig.13 Simulation model of 3RR-3URU mechanism

圖14 3RR-3URU機(jī)構(gòu)底面花盤的姿態(tài)Fig.14 Orientation of lower floral discs of 3RR-3URU mechanism

圖15 圖12所示機(jī)構(gòu)在半收攏狀態(tài)的仿真模型Fig.15 Simulation model of mechanism shown in Fig.12 in its middle-folded configuration

圖16 圖12所示機(jī)構(gòu)的完全收攏狀態(tài)Fig.16 Completely folded configuration of mechanism shown in Fig.12

從圖17可以看到在0～33 s內(nèi)α、β和γ始終保持初始值不變，在第33 s之后α、β和γ均發(fā)生非線性變化(其中，β近似線性變化)，說(shuō)明0～33 s為圖12所示機(jī)構(gòu)的收攏過(guò)程，期間花盤C僅發(fā)生移動(dòng)運(yùn)動(dòng)，在第33 s反射面花盤彼此靠攏，之后反射面花盤開(kāi)始調(diào)姿運(yùn)動(dòng)，在調(diào)姿過(guò)程中帶動(dòng)搖擺桿擺動(dòng)，進(jìn)而帶動(dòng)背架層花盤繼續(xù)向目標(biāo)收攏軸線運(yùn)動(dòng)，在第45 s背架層花盤也實(shí)現(xiàn)彼此靠攏，調(diào)姿運(yùn)動(dòng)結(jié)束。

圖17 花盤C相對(duì)于花盤A的歐拉角Fig.17 Euler angles of floral disc C relative to disc A

在完全展開(kāi)狀態(tài)，3個(gè)3RR-3URU單元和3個(gè)3RR-3RRR單元組成的球面可展機(jī)構(gòu)所占空間相同。在完全收攏狀態(tài)，3個(gè)3RR-3URU單元組成的球面可展機(jī)構(gòu)反射面花盤的包絡(luò)圓半徑Rv=0.077 3 m，背架層花盤的包絡(luò)圓半徑rv=0.063 6 m，背架層和反射面之間的最大距離hv=0.619 8 m，如圖16所示，則3個(gè)3RR-3URU單元組成的球面可展機(jī)構(gòu)的折疊比λ2為

37.773 9

(16)

對(duì)比式(13)和式(16)可以看到，與3RR-3RRR單元組成的球面可展機(jī)構(gòu)相比，3RR-3URU單元組成的球面機(jī)構(gòu)具有更大的折疊比，且球面構(gòu)架式可展天線反射面的曲率越大，3RR-3URU機(jī)構(gòu)具有大折疊比的優(yōu)勢(shì)越明顯。

綜上，由3RR-3URU機(jī)構(gòu)組成的球面可展機(jī)構(gòu)不僅具有收攏自由度還具有調(diào)姿自由度，可實(shí)現(xiàn)大折疊比。

3 結(jié) 論

1) 基于單閉環(huán)機(jī)構(gòu)RURUR提出了一種空間可展單元機(jī)構(gòu)3R-3URU，該單元機(jī)構(gòu)具有單自由度且結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、鉸鏈種類少。

2) 將3R-3URU機(jī)構(gòu)應(yīng)用于3RR-3RRR四面體球面構(gòu)架式可展天線機(jī)構(gòu)中，得到了具有收攏和調(diào)姿兩種自由度的可展機(jī)構(gòu)，克服了原機(jī)構(gòu)折疊比小的缺點(diǎn)。

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Deployableunit3R-3URUanditsapplicationindeployabletrussantenna

LIUWenlan1,XUYundou1,2,YAOJiantao1,2,CHENLiangliang1,WANGHui3,ZHAOYongsheng1,2,*

1.ParallelRobotandMechatronicSystemLaboratoryofHebeiProvince,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China2.KeyLaboratoryofAdvancedForging&StampingTechnologyandScienceofMinistryofEducation,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China3.ChinaAcademyofSpaceTechnology(Xi’an),Xi’an710100,China

Aspatialdeployableunit3R-3URUwithoneDegreeofFreedom(DoF)isproposed.TheDoFofthesingleclosed-loopmechanismRURURisanalyzed,basedonthescrewtheoryandthemodifiedG-Kformula.TheanalyticalexpressionforthevelocitiesofactivejointsandpassivejointsofthemechanismRURURarethenestablished.AccordingtothevelocityexpressionandthestructuralcharacteristicthatthreeRURURmechanismssharetheirfirstandlastrevolutejoints,theDoFofthe3R-3URUmechanismisderived.Thegeometricalrelationshipamongthepositionsanddirectionsofalljointsisalsoobtainedwhenthe3R-3URUmechanismhasoneDoF.Noveldeployablemechanismsareobtainedbyapplyingthe3R-3URUmechanismtothe3RR-3RRRtetrahedralunitandadeployabletrussantennacomposedofthetetrahedralunits,andthenovelmechanismshavetwotypesofDoFsmovementandorientationadjustment.DoFanalysisandapplicationofthe3R-3URUdeployableunitareverifiedbytheAdamssoftware.Theproposeddeployableunit3R-3URUhastheadvantagesofoneDoF,simplestructure,andsingletypeofjoints,andcanbeappliedtothesupportingmechanismofdeployabletrussantennaswithacurvedsurfacetoachievealargefoldingratio.

deployableunit;DegreeofFreedom(DoF);screwtheory;foldingratio;deployableantenna

2017-03-27；Revised2017-04-27；Accepted2017-05-21；Publishedonline2017-06-021655

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s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(51675458);KeyProjectofNaturalScienceFoundationofHebeiProvince(E2017203335);YouthTopTalentProjectofHebeiProvinceHigherEducation(BJ2017060)

.E-mailyszhao@ysu.edu.cn

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10.7527/S1000-6893.2017.421285

V243.4;TH112

A

1000-6893(2017)11-421285-11

2017-03-27；退修日期2017-04-27；錄用日期2017-05-21；< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

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國(guó)家自然科學(xué)基金(51675458)； 河北省自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(E2017203335)； 河北省高等學(xué)校青年拔尖人才計(jì)劃項(xiàng)目(BJ2017060)

.E-mailyszhao@ysu.edu.cn

劉文蘭，許允斗，姚建濤，等.3R-3URU可展單元機(jī)構(gòu)及其在構(gòu)架式可展天線中的應(yīng)用J. 航空學(xué)報(bào)，2017,38(11):421285.LIUWL,XUYD,YAOJT,etal.Deployableunit3R-3URUanditsapplicationindeployabletrussantennaJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(11):421285.

(責(zé)任編輯：李世秋)