尹 暉，周曉慶，張曉鳴

(1.武漢大學 測繪學院，湖北 武漢 430079；2.地球空間信息技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 430079)

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非等間距GM(1,1)建模方法對比分析及應用

尹 暉1,2，周曉慶1，張曉鳴1

(1.武漢大學 測繪學院，湖北 武漢 430079；2.地球空間信息技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 430079)

非等間距GM(1,1)模型為實際工程變形監(jiān)測中不等間距觀測數(shù)據(jù)的處理提供較好的解決途徑。文中以兩種非等間距GM(1,1)建模方法為研究對象，通過工程實例的對比分析與實際應用，討論兩種模型的建模差異，給出模型精度與預測評價，提出選擇非等間距GM(1,1)建模方法的參考建議。

變形監(jiān)測；非等間距；GM(1,1)模型；建模方法；對比分析

監(jiān)測工程建筑物的變形狀態(tài)及大小，采用周期性的高精度重復觀測是監(jiān)測建筑物安全狀態(tài)的有效方法。由于受工程現(xiàn)狀、觀測條件及突發(fā)因素等影響，變形觀測所獲得的數(shù)據(jù)不一定是大樣本的長期觀測序列，而是小樣本、非等間距的變形觀測數(shù)據(jù)，因此，針對小樣本數(shù)據(jù)處理的灰色系統(tǒng)理論就具有優(yōu)越性[1]。但傳統(tǒng)GM(1,1)建模要求數(shù)據(jù)序列是等間距的，對此不少學者就非等間距GM(1,1)建模方法進行研究，歸納起來大致可以分為兩類：一類是基于賦權(quán)處理的建模方法[3-5]，另一類是基于等距處理的建模方法[6-10]。本文以上述兩種非等間距GM(1,1)建模方法為研究對象，通過工程實例[4,6]對比分析，討論兩種建模方法的建模差異，并以某建筑物沉降觀測為例，采用不同維數(shù)的建模策略對上述兩種方法進行實際應用，最后提出選擇建模方法的參考建議。

1 非等間距GM(1,1)的兩種建模方法

1.1 基于賦權(quán)處理的建模方法

基于賦權(quán)處理的非等間距GM(1,1)建模是以相鄰觀測時間間隔為權(quán)，對原始觀測數(shù)據(jù)進行加權(quán)一次累加處理，再建立非等間距GM(1,1)模型的一種建模方法。

設非等間距原始觀測序列為X(0)={x(0)(t1),x(0)(t2),…,x(0)(tn)}，x(0)(ti)為ti時刻的觀測數(shù)據(jù)；以相鄰觀測時間間隔為權(quán)，對X(0)進行加權(quán)一次累加處理：

(1)

得到序列X(1)={x(1)(t1),x(1)(t2),…,x(1)(tn)}。

對加權(quán)一次累加序列X(1)建立白化微分方程：

(2)

(3)

將求得的參數(shù)a,b帶入微分方程式，求得x(1)的預測方程為

(4)

(5)

1.2 基于等距處理的建模方法

基于等距處理的非等間距GM(1,1)建模思想：采用單位時段系數(shù)法將非等間距序列處理為等間距序列[6-10]，再按照等間距序列建立GM(1,1)模型。

設T(0)={t1,t2,…,tn}為原始觀測序列X(0)的觀測時段，其平均觀測時距為

(6)

各期觀測間距與平均觀測時距的單位時段系數(shù)為

(7)

各觀測期的差值為

(8)

則重新構(gòu)造的等間距觀測序列值為

(9)

即得等重新構(gòu)造的等間距序列：

利用序列Z(0)的一次累加序列Z(1)建立模型的白化微分方程：

(10)

(11)

求得序列Z(1)(k)和Z(0)(k)的預測式為

(12)

(13)

則處理為非等間距序列的預測式：

(14)

2 非等間距GM(1,1)模型的精度評定

灰色模型的精度通常用后驗差方法檢驗[1,11]，它是對殘差分布的統(tǒng)計特性進行檢驗，由后驗差比值C和小誤差概率P共同描述。

設原始序列的預測值為

計算殘差：

(15)

(16)

(17)

后驗差比值：

(18)

小誤差概率：

(19)

根據(jù)C,P取值的模型精度等級見表1，模型精度等級=max{P所在的級別，C所在的級別}。

表1 模型精度評價表[1]

除了用表1評價模型精度之外，通過殘差絕對值的平均值以及模型預測的平均相對誤差來檢驗模型模擬和預測結(jié)果。

(20)

(21)

3 實例分析

3.1 兩種建模方法的對比分析

文獻[4]是采用基于賦權(quán)處理的建模方法(簡稱模型1)，而文獻[6]采用的是基于等距處理的模型(簡稱模型2)，本文首先就2篇文獻的實際案例，采用兩種建模方法分別進行對比分析，兩種方法的建模結(jié)果如表2和表3所示。其中表2中模型1的結(jié)果直接取自文獻[4]；表3中模型2的結(jié)果直接取自文獻[6]。

表2 兩種建模方法對比1

從表2、表3可見，兩種建模方法對文獻[4]和文獻[6]的實際案例進行建模預測的結(jié)果表明，基于等距處理的模型2，其擬合預測結(jié)果要略優(yōu)于基于賦權(quán)處理的模型1。

3.2 實際工程應用

泰安市某居民樓J6號監(jiān)測點的實際沉降觀測的非等間距數(shù)據(jù)如表4所示，根據(jù)灰色系統(tǒng)理論的建模要求，本文將J6號監(jiān)測點的9期觀測數(shù)據(jù)劃分為四、五、六、七、八、九維進行建模，其中四維表示用前4期數(shù)據(jù)建模，這樣按維數(shù)大小可以建立6組不同數(shù)據(jù)序列的模型，并分別采用上述兩種建模方法進行非等間距GM(1,1)模型的求解，不同維數(shù)建立的兩種模型精度結(jié)果如表5所示，同理，模型1為基于賦權(quán)處理建立的模型，模型2為基于等距處理建立的模型。

表4 J6號監(jiān)測點的沉降觀測數(shù)據(jù)

表5 模型精度評價

從表5計算結(jié)果可知，采用兩種建模方法所建立的非等間距GM(1,1)模型，均具有較高的模型精度；但不同維數(shù)所建立的模型，其精度與建模維數(shù)大小有一定關(guān)系；整體比較而言，模型2的模型精度要比模型1的模型精度略好一些。

為進一步比較兩種方法對不同維數(shù)數(shù)據(jù)建模預測的效果，本文以四、五、六維數(shù)據(jù)為例分別采用兩種建模方法對后續(xù)各期觀測數(shù)據(jù)進行預測，預測結(jié)果如表6所示。

由表6預測結(jié)果可知，①兩種建模方法的預測結(jié)果與預測外推步數(shù)有關(guān)，隨著預測步數(shù)的增加，模型預測的殘差變大，表明GM(1，1)模型不適用于長期預測；②兩種模型的預測結(jié)果與建模的數(shù)據(jù)維數(shù)有關(guān)，不同維數(shù)建模的預測結(jié)果差距明顯，從表6可見，五維和六維模型的預測結(jié)果較好，四維模型的預測效果較差，表明選取合適的建模數(shù)據(jù)維數(shù)對預測結(jié)果有明顯的影響；③兩種建模方法比較而言，不論數(shù)據(jù)維數(shù)的長度變化，模型2的預測結(jié)果都比模型1的預測結(jié)果好，表明采用等距處理的建模方法其模型精度和預測效果要優(yōu)于賦權(quán)處理的建模方法。

表6 兩種建模方法用于不同維數(shù)模型的沉降量預測對比

4 結(jié) 語

非等間距GM(1,1)模型為實際工程變形監(jiān)測中不等間距觀測數(shù)據(jù)的處理提供較好的解決方案。本文以參考文獻中的工程案例和實際工程應用為數(shù)據(jù)來源，對兩種建模方法進行了對比分析，結(jié)果表明：兩種針對非等間距GM(1,1)模型的建模方法均能獲得較好的模擬和預測結(jié)果；采用等距處理的建模方法其模型精度和預測效果要優(yōu)于賦權(quán)處理的建模方法；兩種建模方法的模型精度和預測結(jié)果均與建模數(shù)據(jù)維數(shù)有關(guān)，需要選取合適的數(shù)據(jù)維數(shù)建模，且不適合長期預測。

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[責任編輯：李銘娜]

Non-equidistant GM(1,1) modeling comparison and application

YIN Hui1,2, ZHOU Xiaoqing1, ZHANG Xiaoming1

(1.School of Geodesy and Geomatics, Wuhan University, Wuhan 430079,China;2.Collaborative Innovation Center for Geospatial Technology, Wuhan 430079,China)

Non-equidistant GM (1,1) modeling is an efficient solution to the non-equidistant data process for the engineering deformation monitoring projects. This paper focuses on two different non-equidistant GM (1,1) modeling methods and discuses their differences with real practical engineering applications. Both models’ precision and prediction evaluation are compared and the reference for non-equidistant GM (1,1) modeling is given.

deformation monitoring; non-equidistant; GM(1,1) model; modeling methods; comparison analysis

10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2017.02.001

2015-12-03

國家自然科學基金資助項目(51077105)；大地測量與地球動力學國家重點實驗室開放基金(SKLGED2013-3-6-E)；國家電網(wǎng)公司總部科技項目(SGSX0000YJJS(2014)457)

尹 暉(1962-)，女，博士，教授.

TU196

A

1006-7949(2017)02-0001-04

引用著錄：彭少磊，趙冬青，黃志勇.非等間距GM(1,1)建模方法對比分析及應用[J].測繪工程，2017，26(2)：01-04.