尹 暉，周曉慶，張曉鳴

(1.武漢大學(xué) 測繪學(xué)院，湖北 武漢 430079；2.地球空間信息技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 430079)

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非等間距GM(1,1)建模方法對比分析及應(yīng)用

尹 暉1,2，周曉慶1，張曉鳴1

(1.武漢大學(xué) 測繪學(xué)院，湖北 武漢 430079；2.地球空間信息技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 430079)

非等間距GM(1,1)模型為實際工程變形監(jiān)測中不等間距觀測數(shù)據(jù)的處理提供較好的解決途徑。文中以兩種非等間距GM(1,1)建模方法為研究對象，通過工程實例的對比分析與實際應(yīng)用，討論兩種模型的建模差異，給出模型精度與預(yù)測評價，提出選擇非等間距GM(1,1)建模方法的參考建議。

變形監(jiān)測；非等間距；GM(1,1)模型；建模方法；對比分析

監(jiān)測工程建筑物的變形狀態(tài)及大小，采用周期性的高精度重復(fù)觀測是監(jiān)測建筑物安全狀態(tài)的有效方法。由于受工程現(xiàn)狀、觀測條件及突發(fā)因素等影響，變形觀測所獲得的數(shù)據(jù)不一定是大樣本的長期觀測序列，而是小樣本、非等間距的變形觀測數(shù)據(jù)，因此，針對小樣本數(shù)據(jù)處理的灰色系統(tǒng)理論就具有優(yōu)越性[1]。但傳統(tǒng)GM(1,1)建模要求數(shù)據(jù)序列是等間距的，對此不少學(xué)者就非等間距GM(1,1)建模方法進行研究，歸納起來大致可以分為兩類：一類是基于賦權(quán)處理的建模方法[3-5]，另一類是基于等距處理的建模方法[6-10]。本文以上述兩種非等間距GM(1,1)建模方法為研究對象，通過工程實例[4,6]對比分析，討論兩種建模方法的建模差異，并以某建筑物沉降觀測為例，采用不同維數(shù)的建模策略對上述兩種方法進行實際應(yīng)用，最后提出選擇建模方法的參考建議。

1 非等間距GM(1,1)的兩種建模方法

1.1 基于賦權(quán)處理的建模方法

基于賦權(quán)處理的非等間距GM(1,1)建模是以相鄰觀測時間間隔為權(quán)，對原始觀測數(shù)據(jù)進行加權(quán)一次累加處理，再建立非等間距GM(1,1)模型的一種建模方法。

設(shè)非等間距原始觀測序列為X(0)={x(0)(t1),x(0)(t2),…,x(0)(tn)}，x(0)(ti)為ti時刻的觀測數(shù)據(jù)；以相鄰觀測時間間隔為權(quán)，對X(0)進行加權(quán)一次累加處理：

(1)

得到序列X(1)={x(1)(t1),x(1)(t2),…,x(1)(tn)}。

對加權(quán)一次累加序列X(1)建立白化微分方程：

(2)

(3)

將求得的參數(shù)a,b帶入微分方程式，求得x(1)的預(yù)測方程為

(4)

(5)

1.2 基于等距處理的建模方法

基于等距處理的非等間距GM(1,1)建模思想：采用單位時段系數(shù)法將非等間距序列處理為等間距序列[6-10]，再按照等間距序列建立GM(1,1)模型。

設(shè)T(0)={t1,t2,…,tn}為原始觀測序列X(0)的觀測時段，其平均觀測時距為

(6)

各期觀測間距與平均觀測時距的單位時段系數(shù)為

(7)

各觀測期的差值為

(8)

則重新構(gòu)造的等間距觀測序列值為

(9)

即得等重新構(gòu)造的等間距序列：

利用序列Z(0)的一次累加序列Z(1)建立模型的白化微分方程：

(10)

(11)

求得序列Z(1)(k)和Z(0)(k)的預(yù)測式為

(12)

(13)

則處理為非等間距序列的預(yù)測式：

(14)

2 非等間距GM(1,1)模型的精度評定

灰色模型的精度通常用后驗差方法檢驗[1,11]，它是對殘差分布的統(tǒng)計特性進行檢驗，由后驗差比值C和小誤差概率P共同描述。

設(shè)原始序列的預(yù)測值為

計算殘差：

(15)

(16)

(17)

后驗差比值：

(18)

小誤差概率：

(19)

根據(jù)C,P取值的模型精度等級見表1，模型精度等級=max{P所在的級別，C所在的級別}。

表1 模型精度評價表[1]

除了用表1評價模型精度之外，通過殘差絕對值的平均值以及模型預(yù)測的平均相對誤差來檢驗?zāi)Ｐ湍M和預(yù)測結(jié)果。

(20)

(21)

3 實例分析

3.1 兩種建模方法的對比分析

文獻[4]是采用基于賦權(quán)處理的建模方法(簡稱模型1)，而文獻[6]采用的是基于等距處理的模型(簡稱模型2)，本文首先就2篇文獻的實際案例，采用兩種建模方法分別進行對比分析，兩種方法的建模結(jié)果如表2和表3所示。其中表2中模型1的結(jié)果直接取自文獻[4]；表3中模型2的結(jié)果直接取自文獻[6]。

表2 兩種建模方法對比1

從表2、表3可見，兩種建模方法對文獻[4]和文獻[6]的實際案例進行建模預(yù)測的結(jié)果表明，基于等距處理的模型2，其擬合預(yù)測結(jié)果要略優(yōu)于基于賦權(quán)處理的模型1。

3.2 實際工程應(yīng)用

泰安市某居民樓J6號監(jiān)測點的實際沉降觀測的非等間距數(shù)據(jù)如表4所示，根據(jù)灰色系統(tǒng)理論的建模要求，本文將J6號監(jiān)測點的9期觀測數(shù)據(jù)劃分為四、五、六、七、八、九維進行建模，其中四維表示用前4期數(shù)據(jù)建模，這樣按維數(shù)大小可以建立6組不同數(shù)據(jù)序列的模型，并分別采用上述兩種建模方法進行非等間距GM(1,1)模型的求解，不同維數(shù)建立的兩種模型精度結(jié)果如表5所示，同理，模型1為基于賦權(quán)處理建立的模型，模型2為基于等距處理建立的模型。

表4 J6號監(jiān)測點的沉降觀測數(shù)據(jù)

表5 模型精度評價

從表5計算結(jié)果可知，采用兩種建模方法所建立的非等間距GM(1,1)模型，均具有較高的模型精度；但不同維數(shù)所建立的模型，其精度與建模維數(shù)大小有一定關(guān)系；整體比較而言，模型2的模型精度要比模型1的模型精度略好一些。

為進一步比較兩種方法對不同維數(shù)數(shù)據(jù)建模預(yù)測的效果，本文以四、五、六維數(shù)據(jù)為例分別采用兩種建模方法對后續(xù)各期觀測數(shù)據(jù)進行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如表6所示。

由表6預(yù)測結(jié)果可知，①兩種建模方法的預(yù)測結(jié)果與預(yù)測外推步數(shù)有關(guān)，隨著預(yù)測步數(shù)的增加，模型預(yù)測的殘差變大，表明GM(1，1)模型不適用于長期預(yù)測；②兩種模型的預(yù)測結(jié)果與建模的數(shù)據(jù)維數(shù)有關(guān)，不同維數(shù)建模的預(yù)測結(jié)果差距明顯，從表6可見，五維和六維模型的預(yù)測結(jié)果較好，四維模型的預(yù)測效果較差，表明選取合適的建模數(shù)據(jù)維數(shù)對預(yù)測結(jié)果有明顯的影響；③兩種建模方法比較而言，不論數(shù)據(jù)維數(shù)的長度變化，模型2的預(yù)測結(jié)果都比模型1的預(yù)測結(jié)果好，表明采用等距處理的建模方法其模型精度和預(yù)測效果要優(yōu)于賦權(quán)處理的建模方法。

表6 兩種建模方法用于不同維數(shù)模型的沉降量預(yù)測對比

4 結(jié) 語

非等間距GM(1,1)模型為實際工程變形監(jiān)測中不等間距觀測數(shù)據(jù)的處理提供較好的解決方案。本文以參考文獻中的工程案例和實際工程應(yīng)用為數(shù)據(jù)來源，對兩種建模方法進行了對比分析，結(jié)果表明：兩種針對非等間距GM(1,1)模型的建模方法均能獲得較好的模擬和預(yù)測結(jié)果；采用等距處理的建模方法其模型精度和預(yù)測效果要優(yōu)于賦權(quán)處理的建模方法；兩種建模方法的模型精度和預(yù)測結(jié)果均與建模數(shù)據(jù)維數(shù)有關(guān)，需要選取合適的數(shù)據(jù)維數(shù)建模，且不適合長期預(yù)測。

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[11] 黃聲享,尹暉,蔣征. 變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理[M]. 武漢：武漢大學(xué)出版社,2010.

[責(zé)任編輯：李銘娜]

Non-equidistant GM(1,1) modeling comparison and application

YIN Hui1,2, ZHOU Xiaoqing1, ZHANG Xiaoming1

(1.School of Geodesy and Geomatics, Wuhan University, Wuhan 430079,China;2.Collaborative Innovation Center for Geospatial Technology, Wuhan 430079,China)

Non-equidistant GM (1,1) modeling is an efficient solution to the non-equidistant data process for the engineering deformation monitoring projects. This paper focuses on two different non-equidistant GM (1,1) modeling methods and discuses their differences with real practical engineering applications. Both models’ precision and prediction evaluation are compared and the reference for non-equidistant GM (1,1) modeling is given.

deformation monitoring; non-equidistant; GM(1,1) model; modeling methods; comparison analysis

10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2017.02.001

2015-12-03

國家自然科學(xué)基金資助項目(51077105)；大地測量與地球動力學(xué)國家重點實驗室開放基金(SKLGED2013-3-6-E)；國家電網(wǎng)公司總部科技項目(SGSX0000YJJS(2014)457)

尹 暉(1962-)，女，博士，教授.

TU196

A

1006-7949(2017)02-0001-04

引用著錄：彭少磊，趙冬青，黃志勇.非等間距GM(1,1)建模方法對比分析及應(yīng)用[J].測繪工程，2017，26(2)：01-04.