李海紅，李海霞

(1.吉林建筑大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)部，吉林 長(zhǎng)春 130024； 2.長(zhǎng)春光華學(xué)院商學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130033)

·研究簡(jiǎn)報(bào)·

隨機(jī)多種群競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的漸近行為

李海紅1，李海霞2

(1.吉林建筑大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)部，吉林 長(zhǎng)春 130024； 2.長(zhǎng)春光華學(xué)院商學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130033)

研究了隨機(jī)Lotka-Volterra多種群競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng).利用構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的方法證明了系統(tǒng)正解的存在唯一性，并得到了系統(tǒng)存在不變分布，具有遍歷性.

Lyapunov函數(shù)；伊藤公式；存在唯一性；遍歷性

眾所周知，競(jìng)爭(zhēng)是生態(tài)系統(tǒng)[1-3]中種群之間的重要關(guān)系之一，Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)可描述為

(1)

其中：xi是第i個(gè)種群的密度，ri是第i個(gè)種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，Ki是第i個(gè)種群對(duì)環(huán)境的容納量.這里考慮到環(huán)境白噪聲的影響，令aii=ri/Ki，則上式變?yōu)?/p>

(2)

1 系統(tǒng)正解的存在唯一性

研究種群系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，首先考慮系統(tǒng)是否存在全局解.本文采用文獻(xiàn)[4-5]中的方法證明了系統(tǒng)(2)存在唯一的全局正解.

P{τm≤T}≥ε.

(3)

由伊藤公式可得

其中

(4)

其中1Ωm表示Ωm的特征函數(shù).令m→∞，得到矛盾.因此τ∞=∞ a.s..定理1證畢.

2 系統(tǒng)存在平穩(wěn)分布且具有遍歷性

下面給出系統(tǒng)(2)存在平穩(wěn)分布且具有遍歷性的結(jié)果.

定理2令x(t)是帶有初始條件0

且

根據(jù)文獻(xiàn)[6]有

從而

這表明文獻(xiàn)[6]中引理3.2的條件(B2)滿足，從而解x(t)在區(qū)域U是常返的，結(jié)合文獻(xiàn)[6]中引理3.3和注3.3，x(t)在任意有界區(qū)域D?D0是常返的.另外，?M：?D，

滿足

從而文獻(xiàn)[6]中引理3.2的條件(B1)滿足.因此系統(tǒng)(2)存在平穩(wěn)分布μ(·)，且是遍歷的.

[1] 高芳.帶有食餌避難的Leslie-Gower捕食者-食餌擴(kuò)散系統(tǒng)的穩(wěn)定性及最優(yōu)稅收[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，46(2)：1-8.

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[6] JIANG D Q，JI C Y，LI X Y，Analysis of autonomous Lotka-Volterra competition systems with random perturbation [J].Math Anal Appl， 2012，390： 582-595.

Theasymptoticbehaviorofastochasticmulti-competitivesystem

LI Hai-hong1，LI Hai-xia2

(1.Department of Basic Science，Jilin Construction University，Changchun 130024，China； 2.School of Business，Changchun Guanghua University，Changchun 130033，China)

An-species competition system with stochastic perturbation is considered.First，by using the method of constructing Lyapunov function，the unique positive solution of the system is proved.Then，the existence of the stationary distribution of the system is given，which implies the system is ergodicity.

Lyapunov function；Ito formula；existence and uniqueness；ergodicity

1000-1832(2017)04-0158-03

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.04.028

2016-11-07

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171350).

李海紅(1983—)，女，博士，主要從事微分方程研究.

O 211.63學(xué)科代碼110·44

A

(責(zé)任編輯：李亞軍)