楊 鵬，劉 琦

(西京學(xué)院理學(xué)院，陜西 西安 710123)

均值方差準(zhǔn)則下時間一致的再保險和投資策略選擇

楊 鵬，劉 琦

(西京學(xué)院理學(xué)院，陜西 西安 710123)

基于兩種相依保險業(yè)務(wù)，研究了最優(yōu)的再保險和投資策略選擇問題.研究的目標(biāo)是使保險人選擇時間一致的最優(yōu)再保險-投資策略，最大化終止時刻財富均值的同時，最小化終止時刻財富的方差.應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃理論，求得了時間一致的最優(yōu)再保險和投資策略以及相應(yīng)值函數(shù)的顯式解.最后利用算例并結(jié)合理論分析，給出了模型參數(shù)對最優(yōu)再保險和投資策略的影響.

理賠相依；均值-方差準(zhǔn)則；時間一致；隨機控制；再保險；投資

0 引言

文獻[1]首次在均值-方差準(zhǔn)則下，研究了最優(yōu)策略選擇.進入21世紀(jì)，越來越多的學(xué)者關(guān)注于均值-方差問題.文獻[2]提出了研究均值-方差問題的線性二次控制方法；文獻[3]把均值-方差問題引入到保險風(fēng)險模型；文獻[4]將均值-方差問題引入到資產(chǎn)負債管理模型；文獻[5]研究了CEV模型的均值-方差策略選擇問題；文獻[6]把均值-方差問題推廣到隨機微分博弈中.

上面提到的策略均為時間不一致策略，時間一致的策略是指對于固定的時刻t和時間的增加量Δt>0，最優(yōu)策略在時刻t和時刻t+Δt一致.現(xiàn)實中，投資者在不同時間的投資偏好可能會有所不同，但投資者在多數(shù)情況下都想尋找時間一致的策略.文獻[7]在經(jīng)典保險模型下，研究了時間一致的再保險和投資策略選擇；文獻[8]在Heston模型中，考慮了時間一致的策略選擇問題；文獻[9]在跳-擴散金融市場下，研究了時間一致的策略選擇問題；文獻[10]把時間一致策略問題推廣到了CEV模型.文獻[11-12]也研究了時間一致的策略問題.

運用隨機控制理論研究保險風(fēng)險模型的最優(yōu)再保險和投資問題，是保險精算中的一個熱點問題.文獻[13]首先提出并探討了此類問題；文獻[14-15]在最小化破產(chǎn)概率下，研究了風(fēng)險模型的最優(yōu)再保險和投資問題；文獻[16-17]在最大化期望紅利的條件下，研究了風(fēng)險模型的最優(yōu)再保險和投資問題；文獻[18-19]在最大化終止時刻財富的期望效用下，研究了風(fēng)險模型的最優(yōu)再保險和投資問題.盡管有非常多的文獻研究這類問題，但是很少有文獻研究理賠相依的再保險問題.文獻[20]在理賠業(yè)務(wù)相依的保險模型中，以破產(chǎn)概率最小為準(zhǔn)則，研究了最優(yōu)再保險問題；文獻[21]考慮了與文獻[20]類似的保險模型，在終止時刻財富的最大化情形下，研究了最優(yōu)再保險問題.

基于文獻[20-21]，本文研究了兩種理賠相依的保險業(yè)務(wù).研究目標(biāo)是求得最優(yōu)時間一致策略，在最大化終止財富均值的同時，使終止財富的方差最小.應(yīng)用隨機控制理論，建立了值函數(shù)滿足的HJB方程.通過求解財富過程對應(yīng)的HJB方程，得到了時間一致的再保險和投資策略的顯式解.最后利用算例并結(jié)合理論分析，給出了模型參數(shù)對最優(yōu)再保險和投資策略的影響.

1 模型

給定一個完備的附流概率空間(Ω，F(xiàn)，P)，這里P是一個實值概率，流F∶={F(t)|t∈[0，T]}滿足通常條件(關(guān)于F右連續(xù)，關(guān)于P是完備的)，T<∞.金融市場包含無風(fēng)險資產(chǎn)(銀行存款、債券等)和風(fēng)險資產(chǎn).無風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程滿足常微分方程dB(t)=rB(t)dt，其中r>0表示無風(fēng)險利率.風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程滿足幾何Levy過程dP(t)=P(t)[μdt+σdW(t)].其中μ>r(常數(shù))為風(fēng)險資產(chǎn)的預(yù)期平均收益率，σ>0(常數(shù))為風(fēng)險資產(chǎn)的波動率，{W(t)|t≥0}是一個布朗運動過程.

本文考慮理賠相依的保險風(fēng)險模型.假設(shè)保險公司有兩個相互依賴的保險業(yè)務(wù)，{Xi|i=1，2，…}為第一類業(yè)務(wù)的理賠額，它們的共同分布函數(shù)為F(x)；{Yi|i=1，2，…}為第二類業(yè)務(wù)的理賠額，它們的共同分布函數(shù)為G(y).記μ11=E(X)，μ21=E(Y)，μ12=E(X2)，μ22=E(Y2).因此，兩類保險業(yè)務(wù)對應(yīng)的累積理賠額滿足

其中M1(t)=N1(t)+N(t)，M2(t)=N2(t)+N(t).這里N1(t)，N2(t)和N(t)分別是強度為λ1，λ2和λ的齊次泊松過程，并假設(shè)它們之間是相互獨立的.兩種保險業(yè)務(wù)的相依性，通過共同的泊松過程N(t)體現(xiàn).為了使研究的問題有意義，假設(shè)λ1，λ2，λ和理賠額的一階矩、二階矩滿足下面關(guān)系：

(1)

總的累積理賠額表示為

(2)

定義理賠相依的風(fēng)險模型為X(t)=x0+ct-S(t).其中x0≥0為保險公司最初的財富，c>0為保險公司單位時間的保費率，S(t)表示到時刻t為止總的理賠金額滿足(2)式.

設(shè)再保險水平為1-q1(t)和1-q2(t)，這里q1(t)，q2(t)稱為保險公司的自留額.當(dāng)0≤q1(t)≤1，0≤q2(t)≤1時表示保險公司采取了再保險；當(dāng)q1(t)>1，q2(t)>1表示保險公司購買了新業(yè)務(wù)，文獻[3]等考慮了類似問題.設(shè)θ是再保險公司的負載，再保險保費依據(jù)期望值原理計算，則再保險保費為

ξ(q1，q2)=(1-q1(t))a1+(1-q2(t))a2，

這里a1=(1+θ)(λ1+λ)μ11，a2=(1+θ)(λ2+λ)μ21.采取比例再保險或購買新業(yè)務(wù)后，保險公司的盈余變?yōu)?/p>

(3)

設(shè)u(t)為時刻t在風(fēng)險資產(chǎn)上投資的金額，記π(t)=(q1(t)，q2(t)，u(t))，則再保險與投資后的財富過程滿足

即

(4)

定義1一個再保險和投資策略u(t)=(a(t)，π(t))是可行的，若其滿足如下條件：

(ⅰ)q1(t)，q2(t)和u(t)關(guān)于F是循序可測的，并且它們都存在左極限且是右連續(xù)的；

(ⅳ) 方程(4)對于策略π(t)有唯一的強解.

記所有可行的保險和投資策略集合為Π.

2 問題的提出

這里給出時間一致的均值-方差再保險-投資策略選擇問題.時間一致的策略是指：對于固定的時刻t和時間的增加量Δt>0，最優(yōu)策略在時刻t和時刻t+Δt一致.為此給出目標(biāo)函數(shù)

(5)

這里(t，x)∈T×R，Et，x[·]=E[·|X(t，u)=x]，γ>0(常數(shù))表示保險人的風(fēng)險厭惡程度.

由定義2可知時間一致策略恰好等于平衡策略，最優(yōu)值函數(shù)恰好等于平衡值函數(shù).下文中分別稱平衡策略u*和平衡值函數(shù)為最優(yōu)時間一致的策略和最優(yōu)值函數(shù).

3 時間一致策略的求解

定理1(檢驗定理) 設(shè)F(t，x)，G(t，x)，H(t，x)為定義在[0，T]×R上的函數(shù)，其關(guān)于t連續(xù)、可微，關(guān)于x是二階連續(xù)、可微的.如果F，G，H滿足：

(6)

F(T，x)=x；

(7)

G(T，x)=x；

(8)

H(T，x)=x2.

(9)

則

V(t，x)=F(t，x)，G(t，x)=Et，x[X(T，u*)]，H(t，x)=Et，x[X2(T，u*)].

(10)

u*(t)=(a*(t)，π*(t))是最優(yōu)時間一致的再保險和投資策略.

證明本定理的證明可參考文獻[11]中定理2.1或文獻[12]中定理2.1的證明過程，此處略去.

由(5)式和定理1，

從而

(11)

綜合考慮盈余過程的結(jié)構(gòu)和邊界條件F(T，x)=x和G(T，x)=x，與文獻[9，14]類似地將F(t，x)和G(t，x)形式地構(gòu)造如下：

(12)

(13)

其偏導(dǎo)數(shù)為：

將(11)—(13)式以及上面的各偏導(dǎo)數(shù)代入(6)式后化簡得

(14)

其中

A1(u)=(μ-r)u(t)A(t)-0.5σ2u2(t)m2(t)，

(15)

(16)

?A2(q1，q2)/?q1=-(λ1+λ)γm2(t)μ12q1(t)-λγm2(t)μ11μ21q2(t)+θ(λ1+λ)μ11A(t)，

?A2(q1，q2)/?q2=-(λ2+λ)γm2(t)μ22q2(t)-λγm2(t)μ11μ21q1(t)+θ(λ2+λ)μ21A(t).

令其偏導(dǎo)數(shù)為0，可得

(17)

證明將A2(q1，q2)關(guān)于q1，q2求二階偏導(dǎo)數(shù)有

[A′(t)+rA(t)]x+B′(t)/γ+(c-a1-a2)A(t)+l3A2(t)/m2(t)=0，

(18)

其中

由(18)式可得

A′(t)+rA(t)=0，A(T)=1，

(19)

B′(t)/γ+(c-a1-a2)A(t)+l3A2(t)/m2(t)=0，B(T)=0.

(20)

[m′(t)+rm(t)]x+n′(t)/γ+(c-a1-a2)m(t)+l4A(t)/m(t)=0，

(21)

其中

從而

m′(t)+rm(t)=0，m(T)=1，

(22)

n′(t)/γ+(c-a1-a2)m(t)+l4A(t)/m(t)=0，n(T)=0.

(23)

求解(19)和(22)式得

A(t)=m(t)=er(T-t).

(24)

將(24)式分別代入(20)和(23)式得

(25)

(26)

綜上，有下面結(jié)論成立.

定理2對于財富過程(4)，最優(yōu)的時間一致再保險策略為

(27)

最優(yōu)的時間一致的投資策略為

(28)

平衡值函數(shù)為

F(t，x)=xer(T-t)+B(t)/γ；

(29)

在最優(yōu)策略和終止時刻T下，財富過程的方差為

(30)

這里B(t)和n(t)分別滿足(25)式和(26)式.

人才隊伍建設(shè)是圖書館轉(zhuǎn)型過程中的重要環(huán)節(jié)，合理的人力資源配置有利于各類型圖書館日常業(yè)務(wù)的開展。21世紀(jì)以來，隨著國內(nèi)外圖書館事業(yè)的發(fā)展和信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用，各類型圖書館對人才的需求發(fā)生了明顯的變化。當(dāng)前圖書館人力資源建設(shè)存在哪方面需求，各類型圖書館的人力資源需求呈現(xiàn)什么特征，圖書館學(xué)教育如何滿足圖書館人力資源需求，國內(nèi)外圖書館界對這些問題進行了一定的探討。

平衡值函數(shù)可通過(12)，(24)與(25)式求得.財富過程的方差可由(11)—(13)式得到.

4 敏感性分析

將(27)式關(guān)于γ求偏導(dǎo)得

從而最優(yōu)再保險策略關(guān)于γ單調(diào)遞減.這是由于γ表示投資者的風(fēng)險厭惡程度，隨著風(fēng)險厭惡程度的增大，投資者會減少保留額，把風(fēng)險轉(zhuǎn)嫁給再保險者.

將(27)式關(guān)于θ求偏導(dǎo)得

從而最優(yōu)再保險策略關(guān)于θ單調(diào)遞增.這是因為θ是再保險公司的安全負載，θ增大再保險公司的保費增大，因此保險人會增加自身的保留額.

將(27)式關(guān)于r求偏導(dǎo)有

從而再保險策略關(guān)于r單調(diào)遞減.由于r為無風(fēng)險資產(chǎn)的利率，隨著r的增大，無風(fēng)險資產(chǎn)的預(yù)期收入將增大，從而為了減少面臨的投資風(fēng)險，保險人會減少保留額，把更多風(fēng)險轉(zhuǎn)嫁給再保險者.

將(27)式關(guān)于t求偏導(dǎo)有

因此再保險策略關(guān)于t單調(diào)遞增.這表明伴隨著投資終止時刻的到來，投資者會保留更多的保險業(yè)務(wù).

下面選取λ，λ2兩個參數(shù)來討論兩種保險業(yè)務(wù)的相依性.兩種保險業(yè)務(wù)的理賠分布函數(shù)為

F(x)=1-e-x，x>0；G(y)=1-e-2y，y>0.

從而μ11=1，μ12=2，μ21=0.5，μ22=0.5.

例1λ1=3，λ2=4，r=0.05，T=10，t=5，θ=1，λ∈[2，5].

例2λ1=3，λ=4，r=0.05，T=10，t=5，θ=1，λ2∈[2，9].

圖1 λ對最優(yōu)再保險策略的影響

圖2 λ2對最優(yōu)再保險策略的影響

5 總結(jié)

在保險實務(wù)中，保險公司一般都會采取多種再保險業(yè)務(wù).不同的再保險業(yè)務(wù)之間是相互依存的，但目前還很少有學(xué)者研究這種問題，因此本文研究了兩種理賠相依的最優(yōu)再保險和投資問題.研究目標(biāo)是使保險人選擇時間一致的最優(yōu)再保險-投資策略，最大化終止時刻財富的均值，同時最小化終止時刻財富的方差.應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃理論，求得了時間一致的最優(yōu)再保險和投資策略以及相應(yīng)值函數(shù)的顯式解.最后利用算例并結(jié)合理論分析，給出了模型參數(shù)對最優(yōu)再保險和投資策略的影響.

雖然本文得到了理想的結(jié)果，但是仍有很多問題值得進一步研究.比如：(1)風(fēng)險資產(chǎn)滿足CEV模型.近年來有很多文獻研究基于CEV模型的最優(yōu)再保險和投資策略選擇問題，但是考慮再保險時，沒有發(fā)現(xiàn)研究理賠相依性的文獻.(2)本文的投資終止時刻T是確定不變的，但若T是不確定的時間，研究起來會更有意義.

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Time-consistentreinsuranceandinvestmentstrategyselectionundermean-variancecriterion

YANG Peng，LIU Qi

(Department of Science，Xijing University，Xi’an 710123，China)

An optimal reinsurance and investment strategy selection in a risk model with two dependent classes of insurance business is considered.The objective of the insurer is to choose an optimal time-consistent reinsurance-investment strategy so as to maximize the expected terminal surplus while minimizing the variance of the terminal surplus.By using the dynamic planning approach，closed-form solutions for the optimal reinsurance and investment strategies and the corresponding value functions are obtained.Numerical examples and theoretical analysis are also provided to illustrate how the optimal reinsurance and investment strategies changes when some model parameters vary.

claims dependent；mean-variance criterion；time-consistent；stochastic control；reinsurance；investment

1000-1832(2017)04-0025-07

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.04.006

2016-06-03

陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計劃項目(2016JM1024，2016JM1032)；陜西省教育廳科研計劃項目(15JK2183).

楊鵬(1983—)，男，講師，主要從事數(shù)理金融、保險精算與風(fēng)險理論研究.

O 211·6學(xué)科代碼110·74

A

(責(zé)任編輯：李亞軍)