王金蓮，閔小花，易才鳳

(1.江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)雜志社，江西 南昌 330022；2.江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西 南昌 330022)

一類復(fù)微分方程無窮級(jí)解的角域測(cè)度及Borel方向

王金蓮1，閔小花2，易才鳳2

(1.江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)雜志社，江西 南昌 330022；2.江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西 南昌 330022)

運(yùn)用亞純函數(shù)的Nevanlinna理論及整函數(shù)的相關(guān)理論，研究了復(fù)方程f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A1f′+A0f=0的無窮級(jí)解的角域測(cè)度及Borel方向.

微分方程；無窮級(jí)；測(cè)度；虧值；Borel方向

0 引言和主要結(jié)果

本文采用亞純函數(shù)Nevanlinna值分布理論的標(biāo)準(zhǔn)記號(hào).[1-2]記亞純函數(shù)f(z)在整個(gè)復(fù)平面上的增長(zhǎng)級(jí)為ρ(f)，此外，令0<β-α≤2π，記

Ω(α，β)={z|α0}，

其增長(zhǎng)級(jí)為

另外，應(yīng)用文獻(xiàn)[3]給出的如下定義：假設(shè)f(z)是ρ(0<ρ<∞)級(jí)整函數(shù)，對(duì)于某個(gè)固定的θ，若ρ(θ)=ρ，則稱Lθ：argz=θ為f(z)的1條ρ級(jí)射線，且ρ級(jí)射線充滿的角域稱為f(z)的ρ級(jí)射線角域(由文獻(xiàn)[3]可知f(z)的ρ級(jí)射線角域不會(huì)退化為1條射線).

G.G.Gunderson等人指出：若A(z)和B(z)為有限級(jí)整函數(shù)且滿足ρ(A)<ρ(B)，則2階微分方程

f″+Af′+Bf=0

(1)

的每個(gè)非零解f均為無窮級(jí).在此基礎(chǔ)上，周志進(jìn)等[4]考慮了當(dāng)方程(1)的所有非零解f均為無窮級(jí)時(shí)，以原點(diǎn)為始點(diǎn)的無窮級(jí)射線角域問題，得到了：

定理A假設(shè)A(z)和B(z)是有限級(jí)整函數(shù)且ρ(A)<ρ(B)(1/2≤ρ(B)<∞)，則使得方程(1)的每個(gè)非零解f為無窮級(jí)的θ，滿足mes(θ|ρθ(f)=∞)≥π/ρ(B)，其中θ是由原點(diǎn)出發(fā)的射線的輻角，即滿足argz=θ(0≤θ<2π).

定理B假設(shè)A(z)和B(z)是有限級(jí)整函數(shù)且ρ(A)<ρ(B)，其中B(z)具有有限條Borel方向和q個(gè)有窮虧值.則使得方程(1)的每個(gè)非零解f為無窮級(jí)的θ滿足mes(θ|ρθ(f)=∞)≥qπ/ρ(B).

關(guān)于高階微分方程

f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A1f′+A0f=0，

(2)

陳宗煊等[5]證明了結(jié)果：若Ai(z)(i=0，1，…，k-1)是整函數(shù)且ρ(Ai)<ρ(A0)，則方程(2)的所有非零解f均為無窮級(jí).關(guān)于方程(2)的無窮級(jí)解的討論還有不少結(jié)果，如文獻(xiàn)[6-12]等.本文研究的問題是：當(dāng)方程(2)的每個(gè)非零解f為無窮級(jí)時(shí)，以原點(diǎn)為始點(diǎn)無窮級(jí)射線的角域測(cè)度究竟有多大.另外，受文獻(xiàn)[13-14]關(guān)于方程(1)的無窮級(jí)解的Borel方向研究的啟發(fā)，還討論了無窮級(jí)解的Borel方向，證明了下面2個(gè)定理.

定理1假設(shè)Ai(z)(i=0，1，…，k-1)是有限級(jí)整函數(shù)，且

ρ(Ai)<ρ(A0)(1/2<ρ(A0)<∞；i=1，2，…，k-1)，

則使得方程(2)的每個(gè)非零解f為無窮級(jí)的θ(0≤θ<2π)滿足

mes(θ|ρθ(f)=∞)≥π/ρ(A0)，

并且對(duì)任意的θ0∈{θ|ρθ(f)=∞}，由原點(diǎn)發(fā)出的射線Lθ0：argz=θ0均為f的無窮級(jí)Borel方向.

另外，當(dāng)條件改為ρ(Ai)<ρ(A0)(0<ρ(A0)≤1/2;i=1，2，…，k-1)，或者Ai(z)(i=1，…，k-1)是多項(xiàng)式，A0(z)是零級(jí)超越整函數(shù)時(shí)，則方程(2)的每個(gè)非零解f沿徑向Lθ：argz=θ(?θ∈[0，2π))的增長(zhǎng)級(jí)ρθ(f)=∞，并且復(fù)平面內(nèi)由原點(diǎn)發(fā)出的射線均為f的無窮級(jí)Borel方向.

定理2假設(shè)Ai(z)(i=0，1，…，k-1)是有限級(jí)整函數(shù)，

ρ(Ai)<ρ(A0)(i=1，…，k-1;1/2<ρ(A0)<∞)，

并且A0(z)具有p(0

1 幾個(gè)引理

引理1[3]若f(z)是級(jí)為ρ(1/2≤ρ<∞)的整函數(shù)，那么f(z)至少存在1個(gè)ρ級(jí)射線角域，并且每個(gè)ρ級(jí)射線角域的開度不小于π/ρ.

注1若ρ=0.5，則至多除去一條例外，復(fù)平面內(nèi)由原點(diǎn)發(fā)出的射線均是f(z)的ρ級(jí)射線.

的θ具有正測(cè)度，則方程(2)的每個(gè)非零解f滿足ρα β(f)=∞.

引理3[7]設(shè)f(z)是復(fù)平面上的無窮級(jí)亞純函數(shù).則由原點(diǎn)出發(fā)的射線argz=θ為f(z)的1條無窮級(jí)Borel方向的充要條件是?ε>0，都有ρθ-ε，θ+ε(f)=∞.

引理4[13]設(shè)f(z)為ρ(0<ρ<1/2)級(jí)整函數(shù)，則復(fù)平面內(nèi)由原點(diǎn)發(fā)出的射線均為f(z)的ρ級(jí)射線.

成立的φ(0≤φ<2π)值構(gòu)成的集合Ejv的測(cè)度mesEjv>K(δ，q，ρ)>0，這里K(δ，q，ρ)是僅依賴于δ，q，ρ的正數(shù).

log|f(Rjeiφ)-a0|<-ηU(Rj)

的φ(0≤φ<2π)構(gòu)成的集合Ej的測(cè)度大于正數(shù)K′(不依賴于j)，則對(duì)于充分小的正數(shù)α和大于1的正數(shù)Q(Q<1/4α)，當(dāng)j充分大時(shí)，在區(qū)域Dj：(Rj/Q≤|z|≤QRj)∩(φ1+10α≤argz≤φ2-10α)上，有

mesE{φ|φ1<φ<φ2，log|f(Rjeiφ)-a1|<-ηU(Rj)}>K′，

mesE{φ|φ3<φ<φ4，log|f(Rjeiφ)-a2|<-ηU(Rj)}>K′

成立，則φ3-φ2≥π/ρ，(φ1+2π)-φ4≥π/ρ.

引理8[3]若f(z)為ρ(0<ρ<∞)級(jí)整函數(shù)，Lθ：argz=θ是f(z)的任意ρ級(jí)射線角域的1條邊界，則Lθ必為f(z)的1條ρ級(jí)Borel方向.

引理9[3]有窮正級(jí)整函數(shù)f(z)的ρ級(jí)Borel方向必位于f(z)的ρ級(jí)射線角域內(nèi)部或邊界上.

引理10[3]設(shè)整函數(shù)f(z)的級(jí)ρ>1/2，并且f(z)的某一ρ級(jí)射線角域G內(nèi)沒有ρ級(jí)Borel方向，則G的開度必為π/ρ.

2 定理的證明

由于ρ(Ai)<ρ(A0)(i=1，…，k-1)，則?K>0及?θ∈(α，β)，有

另外，若0<ρ(A0)≤1/2，則由注1及引理4，并運(yùn)用類似于上面的證法以及整函數(shù)沿徑向上的增長(zhǎng)級(jí)的定義，即可知方程(2)的每個(gè)非零解f沿徑向Lθ：argz=θ(?θ∈[0，2π))的增長(zhǎng)級(jí)ρθ(f)=∞.

若Ai(z)(i=1，…，k-1)是多項(xiàng)式，A0(z)是零級(jí)超越整函數(shù)，也用類似于上面的證法可得方程(2)的每個(gè)非零解f沿徑向Lθ：argz=θ(?θ∈[0，2π))的增長(zhǎng)級(jí)ρθ(f)=∞.

由引理3知在以上2種情形下，復(fù)平面內(nèi)由原點(diǎn)發(fā)出的射線均為f的無窮級(jí)Borel方向.

對(duì)A0(z)，取α使得0<α

再次運(yùn)用引理6， 則在弧段{Rjeiφ|φm2+10α≤φ≤φm2+1-10α}上有

且根據(jù)引理7知G1與G2不會(huì)相鄰.類似于上面的證明， 在G1∪G2內(nèi)， 下列集合

從而由最大模原理可知A0(z)在每個(gè)角域Gv內(nèi)有界，再由引理7知，由上述q個(gè)角域Gv的邊界所構(gòu)成的另外的q個(gè)角域Ωv(v=1，2，…，q)的開度都不小于π/ρ(A0).由引理8和引理9，這q個(gè)角域Ωv(v=1，2，…，q)都是A0(z)的ρ(A0)級(jí)射線角域.再由ρ(Ai)<ρ(A0)(i=1，…，k-1)，則在A0(z)的每個(gè)ρ(A0)級(jí)射線角域Ωv(v=1，2，…，q)內(nèi)類似于定理1的證明并運(yùn)用引理2，即可證明使得方程(2)的每個(gè)非零解f為無窮級(jí)的θ，滿足mes(θ|ρθ(f)=∞)≥qπ/ρ(A0).特別地，當(dāng)p=2q時(shí)，由引理10可知這q個(gè)角域Ωv(v=1，2，…，q)的開度都等于π/ρ(A0)，所以在這種情形下上式取等號(hào).

最后，由引理3可知，?θ0∈{θ|ρθ(f)=∞}，由原點(diǎn)發(fā)出的射線Lθ0：argz=θ0均為f的無窮級(jí)Borel方向.

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TheangularmeasureandBoreldirectionofinfiniteordersolutionsofaclasscomplexdifferentialequations

WANG Jin-lian1，MIN Xiao-hua2，YI Cai-feng2

(1.Periodical Office of Journal，Jiangxi Normal University，Nanchang 330022，China；2.College of Mathematics and Informatics，Jiangxi Normal University，Nanchang 330022，China)

It was investigated that the angular measure and Borel direction of infinite order solutions of linear differential equationsf(k)+Ak-1f(k-1)+…+A1f′+A0f=0 by using the Nevanlinna theory and the correlation theory of entire function.

differential equation；infinite order；measure；deficient value；Borel direction

1000-1832(2017)04-0020-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.04.005

2016-09-28

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171170).

王金蓮(1963—)，編審，主要從事復(fù)分析和編輯學(xué)研究.

O 174學(xué)科代碼110·34

A

(責(zé)任編輯：李亞軍)