金 瑾，趙浩嵐

(1.貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系，貴州 畢節(jié) 551700；2.貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院循環(huán)經(jīng)濟(jì)研究院，貴州 畢節(jié) 551700；3.上海金融學(xué)院國(guó)際經(jīng)貿(mào)學(xué)院，上海 201209)

復(fù)差分多項(xiàng)式的虧量

金 瑾1，2，趙浩嵐3

(1.貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系，貴州 畢節(jié) 551700；2.貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院循環(huán)經(jīng)濟(jì)研究院，貴州 畢節(jié) 551700；3.上海金融學(xué)院國(guó)際經(jīng)貿(mào)學(xué)院，上海 201209)

利用亞純函數(shù)的Nevanlinna值分布理論，研究了差分多項(xiàng)式的虧量問(wèn)題，得到了關(guān)于有限級(jí)亞純函數(shù)差分多項(xiàng)式虧量的一些結(jié)果，其中部分結(jié)果可視為微分多項(xiàng)式相應(yīng)結(jié)果的差分模擬，這些結(jié)果推廣了前人已有的結(jié)論.

差分多項(xiàng)式；亞純函數(shù)；有限級(jí)；虧量

1 主要結(jié)論

假定讀者熟悉Nevanlinna關(guān)于亞純函數(shù)值分布理論的標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)和主要結(jié)果，如：m(r,f),N(r,f),T(r,f),δ(a,f)等.[1-20]

近年來(lái)，許多學(xué)者致力于研究亞純函數(shù)不同微分表達(dá)式的值分布問(wèn)題，并得到了豐富的結(jié)果.[1-6]特別地，Hayman[3]研究了亞純函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的Picard例外值，得到以下結(jié)論：

定理A設(shè)f(z)是超越整函數(shù).則：

(ⅰ) 當(dāng)n≥3且a≠0時(shí)，Ψ(z)=f′(z)-afn(z)無(wú)窮多次取到任意有限復(fù)數(shù)；

(ⅱ) 當(dāng)n≥2時(shí)，Ψ(z)=f′(z)fn(z)無(wú)窮多次取到任意有限非零復(fù)數(shù).

隨后，文獻(xiàn)[5]考慮了微分多項(xiàng)式的虧量問(wèn)題，對(duì)定理A進(jìn)行了推廣，得到下面結(jié)論.

定理B設(shè)f(z)是超越整函數(shù)且滿足N(r,f)+N(r，1/f)=S(r,f)，Ψ(z)形如

Ψ(z)=∑a(z)fl0(z)(f(z))l1…(f(k)(z))lk

為f(z)的微分多項(xiàng)式，且Ψ(z)中不含常數(shù)項(xiàng).又設(shè)Ψ(z)的次數(shù)n>1，且滿足l0

定理C設(shè)f(z)和Ψ(z)如定理B所述，且Ψ(z)的所有項(xiàng)中至少有兩項(xiàng)具有不同次數(shù)，即Ψ(z)是非齊次的.則對(duì)所有的a≠∞，有δ(a,Ψ)<1-1/2n.

2011年，鄭秀敏和陳宗煊在文獻(xiàn)[6]中研究了差分多項(xiàng)式

(1)

的有限個(gè)差分乘積的和.其中I是指標(biāo)λ=(λλ,0,λλ,1，…，λλ,n)的有限集，c1,c2,…,cn是不同的復(fù)常數(shù).對(duì)P(z,f)的每一個(gè)單項(xiàng)式aλ(z)f(z)iλ,0f(z+c1)iλ,1f(z+c2)iλ,2…f(z+cn)iλ,n，記其次數(shù)為d(λ)=iλ,0+iλ,1+iλ,2+…+iλ,n.記P(z,f)的次數(shù)與下次數(shù)分別為

設(shè)d(P)≥1，得到了下面結(jié)論.

定理D設(shè)f(z)是有限級(jí)超越亞純函數(shù)且滿足N(r,f)+N(r,1/f)=S(r,f)，又設(shè)P(z,f)為形如(1)式的差分多項(xiàng)式，其系數(shù)為f(z)的小函數(shù)，且P(z,f)中只有一個(gè)多項(xiàng)式具有最高次d(P).則

T(r,P(z,f))=d(p)T(r,f)+S(r,f).

定理E設(shè)f(z)是有限級(jí)超越亞純函數(shù)且N(r,f)+N(r,1/f)=S(r,f)，又設(shè)P(z,f)為形如(1)式的差分多項(xiàng)式，其系數(shù)為f(z)的小函數(shù)，P(z,f)中只有一個(gè)多項(xiàng)式具有最高次d(P).若d*(P)>0，則對(duì)任意的非零常數(shù)a，有

本文首先考慮差分多項(xiàng)式(1)，得到了下述定理.

定理1設(shè)f(z)是有限級(jí)超越亞純函數(shù)，且滿足

N(r,f)=S(r,f)，

(2)

又設(shè)P(z,f)為形如(1)式的差分多項(xiàng)式，其系數(shù)函數(shù)和α(z)以及β(z)都為f(z)的小函數(shù)，且P(z,f)中只有一個(gè)單項(xiàng)式具有最高次d(P).則對(duì)任意的非零常數(shù)a，c，差分多項(xiàng)式

Q(z,f)=fn(z)(P(z,f)+α(z))+β(z)(fn(z+c)-fn(z))(n≥2)

(3)

滿足δ(a,Q(z,f))<1，從而Q(z,f)無(wú)窮多次取到任意有限非零復(fù)數(shù).

進(jìn)一步地，考慮微差分多項(xiàng)式

(4)

的有限個(gè)微差分乘積的和.其中I是指標(biāo)λ=(λλ,0,λλ,1,…,λλ,n)的有限集，c1,c2,…,cn是不同的復(fù)常數(shù).對(duì)P(z,f)的每一個(gè)單項(xiàng)式aλ(z)f(z)iλ,0(f′(z+c1))iλ,1(f″(z+c2))iλ,2…(f(n)(z+cn))iλ,n，記

定理2設(shè)f(z)是有限級(jí)超越亞純函數(shù)，且滿足

N(r,f)+N(r,1/f)=S(r,f)，

(5)

設(shè)P(z,f)為形如(4)式的微差分多項(xiàng)式，其系數(shù)是f(z)的小函數(shù)，且P(z,f)中只有一個(gè)多項(xiàng)式具有最高次d(P).若d*(P)>0，則對(duì)任意的非零有限常數(shù)a，有δ(a,P(z,f))≥d(P)/d*(P)-1.

2 幾個(gè)引理

引理1[8-9]設(shè)f(z)是非常數(shù)有限級(jí)亞純函數(shù)，則等式

T(r+c,f)=T(r,f)+S(r,f)，N(r+c,f)=N(r,f)+S(r,f)

對(duì)c>0成立，至多可能除去一個(gè)r的有限測(cè)度例外集.

在文獻(xiàn)[8]結(jié)果的基礎(chǔ)上，結(jié)合引理1可得到下面結(jié)論.

引理2設(shè)f(z)是非常數(shù)有限級(jí)亞純函數(shù)，則m(r,f(z+c)/f(z))=S(r,f)，其中c為復(fù)常數(shù).

引理3[10]設(shè)f(z)為超越亞純函數(shù)，k為任意正整數(shù)，則m(r,f(k)(z)/f(z))=S(r,f).

引理4設(shè)f(z)為超越亞純函數(shù)，k為任意正整數(shù)，c為常數(shù)，則m(r,f(k)(z+c)/f(z))=S(r,f).

證明由引理2和引理3可得

即有m(r,f(k)(z+c)/f(z))=S(r,f).

3 定理的證明

定理1的證明采用反證法.假設(shè)存在某個(gè)非零常數(shù)a使得δ(a,Q(z,f))=1成立，記

F(z)=Q(z,f)-a，

(6)

則

N(r,1/F)=N(r,1/(Q(z,f)-a))=S(r,Q(z,f)).

(7)

由(1)式及引理1可知

(8)

N(r,P(z,f))=S(r,f).

(9)

由(3)和(8)式及已知條件可得

S(r,Q(z,f))=S(r,f)，

(10)

再由(7)和(10)式，

N(r,1/F)=S(r,f).

(11)

此外，由(2)，(3)，(6)和(10)式可得

N(r,F)=N(r,Q(z,f)-a)≤4nN(r,f)+N(r,P(z,f))=S(r,f).

(12)

對(duì)(6)式兩邊同時(shí)求導(dǎo)得

F′(z)=fn-1(z)R(z,f)，

(13)

其中

顯然，由(9)式可得N(r,P′(z,f))=S(r,f)，進(jìn)一步有

N(r,R(z,f))=S(r,f).

(14)

因?yàn)閒(z)是有限級(jí)超越亞純函數(shù)，故由(6)和(9)式知F(z)也是有限級(jí)超越亞純函數(shù)，從而由(11)與(12)式得

(15)

再由(13)—(15)式，

(16)

一方面，顯然有degQ(z,f)≥degP(z)+n>0.另一方面，由(2)和(16)式可知(4)式成立，從而定理E的條件成立.因此δ(a,Q(z,f))<1，這與假設(shè)矛盾.故對(duì)任意的非零常數(shù)a，差分多項(xiàng)式(3)滿足δ(a,Q(z,f))<1，從而Q(z,f)無(wú)窮多次取到任意有限非零復(fù)數(shù).

(17)

其中

(18)

根據(jù)(4)—(5)式及引理1可知

(19)

故有d*(P)T(z,f)≤T(r,P(z,f))+S(r,P(z,f)).由d*(z)>0可知

(20)

再由(18)—(19)式可得

(21)

若a≠0，∞，則由(19)和(21)式以及第二基本定理可知

即有

(22)

由虧量的定義和(22)式有

即

[1] BHOOSNURMATH S S，KULKARNI M N，YU K W.On the value distribution of differential polynomials[J].Bull Korean Math Soc，2008，45(3)：427-435.

[2] CLUNIE J.On a result of Hayman[J].J London Math Soc，1967，42：389-392.

[3] HAYKMAN W.Picard values of meromorphic functions and their derivatives[J].Ann Math，1959，71(1)：9-42.

[4] MILLOUX H.Les fonctions meromorphes et leurs derives[M].Paris：Hermann，1940：20.

[5] YANG C C.On deficiecies of differential polynomials[J].Math Z，1970，116：197-204.

[6] 鄭秀敏，陳宗煊.某些差分多項(xiàng)式的虧量[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2011，54(6)：983-992.

[7] HALBURD R G，KORHONEN R J.Difference analogue of the lemma on the logarithmic derivative with applications to difference equations[J].J Math Anal Appl，2006，314：477-487.

[8] HALBURD R G，KORHONEN R J.Finite-order meromorphic solutions and the discrete Painleve eqations[J].Proc London Math Soc，2007，94：443-474.

[9] HAYMAN W K.Meromorphic Functions[M].Oxford：Oxford University Press，1964：28-86.

[10] 金瑾，李里.關(guān)于亞純函數(shù)φ(z)f(z)M[f]的值分布[J].華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，49(4)：483-487.

[11] 金瑾.關(guān)于亞純函數(shù)φ(z)f(z)(f(k)(z))nP[f]的值分布[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2013，26(3)：499-505.

[12] 金瑾.關(guān)于高階線性微分方程解與其小函數(shù)的增長(zhǎng)性[J].上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，47(7)：1155-1159.

[13] 金瑾.關(guān)于一類高階齊次線性微分方程解的增長(zhǎng)性[J].中山大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，52(1)：51-55.

[14] 金瑾.一類高階齊次數(shù)性微分方程解的增長(zhǎng)性[J].華中師范大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，47(1)：4-7.

[15] 金瑾，樊藝，左建軍，等.一類亞純系數(shù)高階非齊次線性微分方程解與小函數(shù)的增長(zhǎng)性[J].上海大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，20(6)：726-732.

[16] 金瑾.單位圓內(nèi)高階齊次線性微分方程解與小函數(shù)的關(guān)系[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2014，37(4)：254-264.

[17] 金瑾.高階差分方程組的亞純解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2015，28(2)：292-298.

[18] 金瑾，武玲玲，樊藝.高階非線性微分方程組的亞純?cè)试S解[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，47(1)：22-25.

[19] 金瑾.高階非線性代數(shù)微分方程組的可允許解[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，37(2)：114-119.

Deficienciesofcomplexdifferencepolynomials

JIN Jin1，2，ZHAO Hao-lan3

(1.Department of Mathematics，Guizhou University of Engineering Science，Bijie 551700，China； 2.Research Institute of Circular Economy，Guizhou University of Engineering Science，Bijie 551700，China； 3.School of International Economics and Trade，Shanghai Finance University，Shanghai 201209，China)

Using the Nevanlinna theory of the value distribution of meromorphic functions，the problem of deficiency of difference polynomial is studied.Some results on deficiencies of difference polynomials of meromorphic functions of finite order are given，some of which can be viewed as difference analogues of corresponding results of difference polynomials，these results improve previous findings.

difference polynomial；meromorphic function；finite order；deficiency

1000-1832(2017)04-0015-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.04.004

2016-04-14

貴州省科學(xué)技術(shù)基金資助項(xiàng)目(2010GZ43286，2012GZ10526)；貴州省畢節(jié)市科研基金資助項(xiàng)目(201102)；貴州省教育廳自然科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目([2015]392).

金瑾(1962—)，男，教授，主要從事復(fù)分析研究.

O 174.52學(xué)科代碼110·34

A

(責(zé)任編輯：李亞軍)