王育飛，孫路，張劍云，薛花

（1.上海電力學(xué)院電氣工程學(xué)院，上海200090；2.國網(wǎng)義烏供電公司工程管理部，浙江義烏322000）

0 引 言

交流電弧爐作為電力系統(tǒng)中典型的沖擊性負荷，對供電網(wǎng)的電能質(zhì)量具有重大影響，其中電壓波動問題最為顯著、也最難以克服［1］。國內(nèi)外對電弧爐引起的供電網(wǎng)電壓波動問題進行了大量的研究，主要集中在電弧爐模型的建立［2-3］和電壓波動的抑制兩個方面［4-8］。模型研究大多將電弧爐作為一個隨機負載，根據(jù)實際電弧的物理機理建立微分方程數(shù)學(xué)模型來模擬電壓波動。但由于電弧的變化具有高度非線性和強隨機性，建立精確、實用的電弧爐數(shù)學(xué)模型非常困難，而目前的研究也反映了這一點。電壓波動抑制措施研究主要通過在電弧爐供電網(wǎng)側(cè)加裝無功功率補償裝置來降低電壓波動的水平。目前工程上多采用SVC就近補償無功來抑制電壓波動，但SVC內(nèi)部晶閘管的開通和關(guān)斷存在觸發(fā)延遲［9］，致使無功實際補償時刻與預(yù)補償時刻不一致，實時補償能力有限，電壓波動抑制效果很難得到進一步提高。

事實上，電弧爐系統(tǒng)是一個十分復(fù)雜的系統(tǒng)，供電網(wǎng)電壓波動受眾多因素影響，因此通過建立精確的電弧爐數(shù)學(xué)模型不太現(xiàn)實。而混沌理論可以對表面貌似隨機、無序的現(xiàn)象進行分析建模，已在各領(lǐng)域復(fù)雜對象的分析研究中得到了應(yīng)用［10-14］。電弧弧長的變化雖然表現(xiàn)出隨機性，但電弧位于整個電弧爐系統(tǒng)的末端，這種隨機性未必能夠在系統(tǒng)首端即供電網(wǎng)側(cè)得到保持，因為同一供電網(wǎng)往往連接著其它負載，它們對供電網(wǎng)的電壓也存在一定的影響。因此可以利用混沌理論對電弧爐供電網(wǎng)波動電壓進行分析研究，同時利用該理論的預(yù)測功能對電壓進行預(yù)測，若能與SVC有效結(jié)合，將大大提高電壓波動的抑制效果。目前國內(nèi)外利用混沌理論對電弧爐系統(tǒng)參數(shù)進行研究的文獻較少，且都局限于對靠近電弧爐末端的參數(shù)研究，未考慮供電網(wǎng)側(cè)參數(shù)的變化，而供電網(wǎng)電壓正是電力工作者極為關(guān)注的對象，它關(guān)系到電力系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。

基于某煉鋼廠采集得到的電弧爐供電網(wǎng)電壓有效值時間序列，首先，通過相空間重構(gòu)技術(shù)建立電壓時間序列的分析模型和計算時間序列最大Lyapunov指數(shù)，從定性和定量兩方面確定系統(tǒng)混沌特性；然后，分別采用最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測法和加權(quán)一階局域預(yù)測法對電壓進行超短期預(yù)測并作對比分析。結(jié)果表明，兩種方法都能夠很好地預(yù)測系統(tǒng)的超短期變化趨勢，而加權(quán)一階局域預(yù)測法相較于最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測法能在更寬的時間范圍內(nèi)對電壓進行較準確的預(yù)測。通過混沌預(yù)測，提前掌握電弧爐供電網(wǎng)的超短期電壓變化情況，對于結(jié)合SVC有效提高電壓波動的抑制水平，保證供電網(wǎng)及電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定具有重要的實際意義。

1 電弧爐供電網(wǎng)電壓的測量

選取某煉鋼廠交流電弧爐供電系統(tǒng)作為電壓檢測對象，如圖1所示。其中，T1為工廠用電配電變壓器，T2為電弧爐供電系統(tǒng)變壓器。通過安裝在變壓器T1二次側(cè)的電壓互感器測量33 kV母線上某相相電壓的有效值。電弧爐在熔化期電壓波動最為劇烈，因此電壓測量時間設(shè)置在熔化期。由于目前SVC的響應(yīng)時間已達到毫秒級，理想狀態(tài)下為20 ms左右［15］，故設(shè)定電壓有效值采樣時間為Δt=0.02 s，即一個工頻周期。圖2是測量得到的電弧爐系統(tǒng)相電壓有效值時間序列數(shù)據(jù)，在60 s內(nèi)共3 000個數(shù)據(jù)。

如圖2所示，相電壓有效值在基準值18.95 kV附近波動，波動幅值為100 V左右，各點波動幅值之間無明顯規(guī)律。相對于基 準值，電壓波動幅值不是很大，這是因為煉鋼廠已用SVC對無功作了補償，使得電壓波動程度大大下降了。但這100 V的波動對于同一供電網(wǎng)中的其它負載仍存在危害，因此進一步降低電壓波動仍十分必要。

圖1 交流電弧爐供電系統(tǒng)Fig.1 Power supply system of AC EAF

圖2 電壓有效值測量數(shù)據(jù)Fig.2 Measured data of voltage value

2 電壓時間序列混沌特性分析

2.1 相空間重構(gòu)參數(shù)的確定

系統(tǒng)的相空間重構(gòu)可以將表面看似復(fù)雜且毫無規(guī)律的時間序列從一維擴展到多維，恢復(fù)系統(tǒng)的混沌吸引子，以此提取系統(tǒng)內(nèi)部蘊含的規(guī)律和豐富信息。將圖2所示的電壓有效值數(shù)據(jù)組成時間序列，記為 u（ti），i=1，2，…，N（N為序列長度），重構(gòu)相空間如式（1）。

其中，τ=lΔt（l=1，2，…）為延遲時間；m為嵌入維數(shù)；U（k）（k=1，2，…，M）為延遲向量，亦即相空間中的點；M=N-（m-1）l為相點的個數(shù)。

互信息法從概率的角度對時間序列的延遲時間進行確定，實際計算時，考慮到延遲時間τ是采樣時間Δt的倍數(shù)，即τ=lΔt，取互信息函數(shù)為l的函數(shù)，并定義l為延遲量?；诨バ畔⒎ù_定系統(tǒng)電壓時間序列最佳延遲量確定如圖3所示。

圖3 電弧爐系統(tǒng)電壓時間序列互信息量曲線Fig.3 Mutual information curve of EAF voltage time series

電壓時間序列互信息量在開始階段隨著延遲量的增大迅速下降，在延遲量l=1時出現(xiàn)第一個局部極小值點，確定為系統(tǒng)的最優(yōu)延遲量，最優(yōu)延遲時間τ=0.02 s。

基于Cao氏法在偽最近鄰域法中閾值選擇上的優(yōu)勢，采用Cao氏法確定電壓時間序列最優(yōu)嵌入維數(shù)?；诨バ畔⒎ù_定的最優(yōu)延遲量，引入E1（m）和E2（m）兩個變量作為最優(yōu)嵌入維數(shù)選擇標準，當(dāng)E2（m）不始終為1且E1（m）隨 m的增加達到飽和時，確定系統(tǒng)最優(yōu)嵌入維數(shù)為m+1。采用Cao氏法確定電弧爐電壓時間序列最佳嵌入維數(shù)如圖4所示。

從圖4中可以看出，嵌入維數(shù)m從1增加到16，E2（m）的值始終在數(shù)值1附近波動，而E1（m）的值逐漸增大并趨向于1值而達到飽和。當(dāng)嵌入維數(shù)增加到6維時，E1（m）的值增長速度變緩，達到飽和狀態(tài)?？纱_定電弧爐電壓時間序列最優(yōu)嵌入維數(shù)m=7。

圖4 嵌入維數(shù)變化曲線Fig.4 Changing curve of embedding dimension variation

利用確定的m和l重構(gòu)相空間，得到電弧爐電壓時間序列二維相圖如圖5所示。二維相圖曲線具有自相似軌跡，且呈現(xiàn)出雙渦卷結(jié)構(gòu)，與Lorenz混沌吸引子圖對比分析，可定性判斷出電弧爐電壓時間序列具有混沌特性。由于測得的電壓時間序列數(shù)據(jù)中大量的噪聲信號影響，在一定程度上破壞了相空間軌跡中相鄰相點之間原有的相關(guān)性，使得相點的演化發(fā)生錯位。因此與平滑的Lorenz系統(tǒng)混沌吸引子軌跡相比，電壓時間序列相圖中系統(tǒng)空間軌跡呈現(xiàn)出許多的毛刺和凸起。

圖5 電壓時間序列二維相圖Fig.5 Two-dimension phase diagram of voltage time series

2.2 最大Lyapunov指數(shù)的提取

為了更加直觀的判斷電弧爐電壓時間序列的混沌特性，選取最大Lyapunov指數(shù)對系統(tǒng)特性進行定量判斷。采用小數(shù)據(jù)量法求取指數(shù)值如圖6所示。

圖6 計算最大Lyapunov指數(shù)的y（k）-k曲線圖Fig.6 The y（k）-k curve for maximum Lyapunov exponent computing

圖6中，紅線為用最小二乘法擬合的曲線y（k）-k的平均線，其斜率即為電壓時間序列最大Lyapunov指數(shù)。圖6中紅線的斜率為0.022 1，指數(shù)值大于零，說明電壓時間序列演化軌跡呈現(xiàn)出發(fā)散形態(tài)，定量判斷出電弧爐供電網(wǎng)電壓時間序列存在混沌特性。

基于電弧爐供電網(wǎng)電壓時間序列特性的定性和定量判斷，確定系統(tǒng)混沌特性?；煦缦到y(tǒng)的短期行為具有一定的確定性，因此電弧爐供電網(wǎng)電壓波動預(yù)測具有可行性。

3 電壓時間序列混沌預(yù)測

為簡便起見，不考慮采樣時間，將電壓有效值時間序列記為 u（1），u（2），…，u（N），保持重構(gòu)參數(shù)不變，則重構(gòu)相空間變?yōu)槭剑?）：

其中 u（M+（m-1）l）即為 u（N）。下面用兩種不同的方法對電壓有效值時間序列進行預(yù)測。

3.1 基于最大Lyapunov指數(shù)的電壓預(yù)測

設(shè)λ1為電壓有效值時間序列的最大Lyapunov指數(shù)，選取UM為重構(gòu)相空間中的預(yù)測中心點，尋找UM最近鄰域點UK，兩者之間的歐氏距離為dM（0），有：

其中Uj對應(yīng)UM的鄰近點，UM和UK經(jīng)一步演化，即經(jīng)過一個采樣時間后分別成為UM+1和UK+1，根據(jù)最大Lyapunov指數(shù)的定義，有：

式中對應(yīng)的未知參量只有UM+1中的最后一個分量為 UM+1，m，對應(yīng)為 u（M+1+（m-1）l）=u（N+1）為預(yù)測值，有：

其中：

式（5）中，正負號的選取可通過判斷相空間中兩矢量之間的夾角確定。當(dāng)兩向量之間的夾角較小時說明兩空間矢量越接近［16］，可通過以下方式判斷：

假設(shè)空間中的兩個矢量為：

V=（x1，x2，…，xm），W=（y1，y2…，ym）

它們之間的夾角為：

記取“+”號時的電壓有效值預(yù)測值為ui+，取“-”號時的電壓有效值預(yù)測值為ui-，u+=（ui+，ui-1，…，ui-n），u-=（ui-，ui-1，…，ui-n），u'=（uj，uj-1，…，uj-n），j=i-1，再分別計算 u+與 u'、u-與 u'的夾角，分別記為 θ+、θ-。若 θ+＜θ-，式（5）取“+”；反之，取“-”。

3.2 考慮鄰域點位置影響的電壓預(yù)測

首先確定預(yù)測中心點UM的若干個鄰域點，設(shè)定一極小的正數(shù)ε作為歐氏距離，若UM周圍的點滿足：

則確定了UM的k（k為整數(shù)）個鄰域點Uj。根據(jù)相空間軌跡，確定鄰域點Uj的下一演化點Uj+1，尋找Uj和Uj+1之間的關(guān)系，使得：

其中，A、B為擬合參數(shù)，為待求值：

A=［a1，a2，…，am］T

在 Uj+1中，僅最后一個分量 uj+1+（m-1）l為未知量，亦即預(yù)測量，有：

事實上，不同的鄰域點對預(yù)測中心點的演化影響不同，其中離預(yù)測中心點越近的鄰域點對預(yù)測結(jié)果的影響越大。為此，在式（8）中引入一權(quán)值Wi（i=1，2，…k）如下：

其中，di為選取的預(yù)測中心點與對應(yīng)的第i個鄰域點Ui之間的空間距離；dmin為所有距離中的最小值。參照式（8），有：

求出式（12）中的參數(shù)，則預(yù)測點為：

3.3 預(yù)測結(jié)果及分析

以圖2中包含3 000個電壓有效值的時間序列重構(gòu)相空間，重構(gòu)參數(shù)以及最大Lyapunov指數(shù)參照上文所得結(jié)果，采用以上兩種預(yù)測方法對從第3 001個點開始的后60個數(shù)據(jù)點進行預(yù)測，并將這60個點分成前后三組，每組20個。圖7給出了兩種方法的預(yù)測值與實測值的對比結(jié)果。

圖7（a）為前20個點 （第3 001～第3 020數(shù)據(jù)點）的預(yù)測結(jié)果。兩種方法的預(yù)測值與實測值均比較接近，能動態(tài)跟蹤電壓的變化。其中，基于最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測法（簡稱方法一）的平均相對誤差為0.053%，加權(quán)一階局域預(yù)測法（簡稱方法二）的平均相對誤差為0.033%，說明方法二的預(yù)測精度比方法一要高。圖7（b）為中間20個點（第3 021～3 040數(shù)據(jù)點）的預(yù)測結(jié)果。方法一的平均相對誤差為0.062%，方法二的平均相對誤差為0.041%，與圖7（a）類似，但兩種方法的誤差均有所增加。圖7（c）為后20個點（第3 041～3 060數(shù)據(jù)點）的預(yù)測結(jié)果。方法一和方法二的相對誤差分別為0.106%和0.065%，亦較圖7（b）有所增長。由此可見，方法一和方法二均能在較短時間內(nèi)反映電壓有效值的變化趨勢，且相對誤差很小。隨著預(yù)測長度的增加，相對誤差逐漸增大，但方法一比方法增加得快，說明隨著誤差的逐漸累積，方法一最終將先于方法二超出誤差允許范圍，即可預(yù)測范圍。這可以從兩種方法的預(yù)測原理上加以解釋。方法一以最大Lyapunov指數(shù)建立電壓有效值預(yù)測模型，而最大Lyapunov指數(shù)表示的是整個相空間軌跡的平均發(fā)散程度，因此式（2）僅僅是對相空間軌跡演化真實規(guī)律的近似，用軌跡平均發(fā)散率代替動態(tài)變化的發(fā)散率必然導(dǎo)致預(yù)測誤差的逐漸積累，而且累積速度可能加快。方法二由于考慮了鄰域點位置對預(yù)測中心點的影響，通過鄰域點的演化跟蹤預(yù)測中心點的演化，從而建立兩者之間的緊密聯(lián)系，預(yù)測誤差增長較為平緩，因此該方法更適合作為電壓有效值時間序列的預(yù)測方法。

圖7 兩種方法的電壓有效值預(yù)測結(jié)果Fig.7 Voltage prediction result of the two methods

4 結(jié)束語

提出用混沌理論對交流電弧爐供電網(wǎng)電壓有效值時間序列進行特性分析并做超短期預(yù)測。通過現(xiàn)場測量得到電壓有效值時間序列，采用互信息法和Cao氏法分別確定最佳的延遲時間和嵌入維數(shù)并重構(gòu)相空間；繪制二維相空間圖，并計算最大Lyapunov指數(shù)。結(jié)果表明電壓波動具有混沌特性，可以用混沌的方法對電壓進行預(yù)測。

分別采用基于最大Lyapunov指數(shù)法和加權(quán)一階局域預(yù)測法對電壓時間序列進行超短期預(yù)測，結(jié)果表明，混沌預(yù)測能夠較好地反映交流電弧爐供電網(wǎng)電壓有效值時間序列的變化趨勢，超短期預(yù)測精度高，且加權(quán)一階局域預(yù)測法比最大Lyapunov指數(shù)法的預(yù)測精度更高，適合作為電壓有效值時間序列的預(yù)測方法。