周 輝， 周 睿， 朱景原， 丁澤華， 曹浩峰， 曹 毅

(1.江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 無錫 江蘇 214122；2.上海交通大學(xué) 系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 上海 200240；3.江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 無錫 江蘇 214122)

六自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

周 輝1， 3， 周 睿1， 3， 朱景原1， 3， 丁澤華1， 3， 曹浩峰1， 3， 曹 毅1， 2， 3

(1.江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 無錫 江蘇 214122；2.上海交通大學(xué) 系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 上海 200240；3.江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 無錫 江蘇 214122)

混聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)合了并聯(lián)機(jī)構(gòu)和串聯(lián)機(jī)構(gòu)兩者的優(yōu)點(diǎn)，有效地?cái)U(kuò)大了機(jī)器人的應(yīng)用范圍.提出了一種由兩個(gè)不同的三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)串接而成的混聯(lián)機(jī)構(gòu)，對其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，分別求取上下兩個(gè)并聯(lián)模塊的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程，從而得到整個(gè)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解.通過給定機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)和驅(qū)動(dòng)輸入?yún)?shù)，用一組算例求得運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)平臺位姿，并畫出三維機(jī)構(gòu)位姿狀態(tài)圖模型，更加直觀地了解機(jī)構(gòu)的位姿狀態(tài).然后求解其運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，按照運(yùn)動(dòng)學(xué)正解結(jié)果，給定機(jī)構(gòu)的兩組位姿，求得此時(shí)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)輸入?yún)?shù)及各轉(zhuǎn)動(dòng)副的狀態(tài)，對比正反解的結(jié)果，進(jìn)而驗(yàn)證了雙并聯(lián)型混聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解模型的正確性.最后，在運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的基礎(chǔ)上，利用極限坐標(biāo)搜索法，結(jié)合混聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解，給出機(jī)構(gòu)工作空間求解的算法.給定機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，考慮桿長約束、關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)副約束及桿件干涉等影響條件下，利用數(shù)值搜索法在圓柱坐標(biāo)系中搜索工作空間的邊界.在Matlab軟件中仿真得到混聯(lián)機(jī)構(gòu)在給定不同姿態(tài)下的位置工作空間和給定位置下的姿態(tài)工作空間.

混聯(lián)機(jī)構(gòu)； 運(yùn)動(dòng)學(xué)； 極限坐標(biāo)搜索法； 工作空間

混聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)合了傳統(tǒng)的串聯(lián)機(jī)構(gòu)和并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)，具有承載能力強(qiáng)、剛度大、精度高、工作空間大等優(yōu)點(diǎn)，有效地?cái)U(kuò)大了機(jī)器人的應(yīng)用領(lǐng)域[1-2].混聯(lián)位置分析是機(jī)構(gòu)分析中的基礎(chǔ)問題，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置分析具有反解簡單、正解復(fù)雜的特點(diǎn)，而串聯(lián)機(jī)構(gòu)正好相反.兩者綜合起來，混聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解和反解都變得極為復(fù)雜[3].

目前對于混聯(lián)機(jī)構(gòu)整體位置正反解的研究較少.Pisla等[4]研究了一種由PARAMIS機(jī)器人和一個(gè)新型串聯(lián)定位模塊組成的混聯(lián)機(jī)構(gòu)，并給出了數(shù)值解.Zeng等[5]研究了空間多回路運(yùn)動(dòng)支鏈的串并聯(lián)型混聯(lián)機(jī)構(gòu)，提出了一種分析輸出位移子集和空間多支鏈機(jī)構(gòu)的自由度的方法.文獻(xiàn)[6]提出了一種適用于重載操作的串并聯(lián)鍛造機(jī)械臂，根據(jù)機(jī)構(gòu)的幾何約束求得了封閉形式的運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解.劉海濤等[7]研究了一類由二自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)和一條通過移動(dòng)副與之串接的兩轉(zhuǎn)動(dòng)一移動(dòng)串聯(lián)運(yùn)動(dòng)鏈組成的五自由度可重構(gòu)混聯(lián)機(jī)械手的設(shè)計(jì)和尺度綜合問題.Lu等[8]提出了一種上端由3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，下端由3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)串接起來的混聯(lián)機(jī)構(gòu)，分析了機(jī)構(gòu)的位置正反解、速度、加速度、位置工作空間和姿態(tài)工作空間.

本文提出的混聯(lián)機(jī)構(gòu)由兩個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊串接而成，每個(gè)并聯(lián)模塊由兩條SPS六自由度的支鏈，由于其具有6個(gè)自由度，故只需對另外一條支鏈進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析即可.然后分析了機(jī)構(gòu)的位置工作空間和姿態(tài)工作空間，對該混聯(lián)機(jī)構(gòu)的推廣應(yīng)用提供一定的理論基礎(chǔ).

1 混聯(lián)機(jī)構(gòu)的描述

混聯(lián)機(jī)構(gòu)由兩個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)串聯(lián)起來，每個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)都有3個(gè)自由度.如圖1所示，位于混聯(lián)機(jī)構(gòu)下端部分的并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有兩條SPS支鏈和一條RPR支鏈，其中RPR支鏈3個(gè)運(yùn)動(dòng)副呈R1⊥P⊥R2.上面的并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有兩條SPS支鏈和一條RRR支鏈，其中RR支鏈的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副相互垂直，呈R3⊥R4⊥R5. R2和R3的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線相互垂直.下面并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的驅(qū)動(dòng)是位于3條分支上的3個(gè)移動(dòng)副，上面并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的驅(qū)動(dòng)是兩個(gè)位于分支上的移動(dòng)副和另一條支鏈上中間的R4轉(zhuǎn)動(dòng)副.上下兩個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺和靜平臺都是正三角形.

圖1 混聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of the hybrid mechanism

1.1 自由度計(jì)算

正確分析計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度是機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)，是機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的重要內(nèi)容.機(jī)構(gòu)自由度分析為確定機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)數(shù)目及進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析提供了依據(jù).

位于底部的并聯(lián)機(jī)構(gòu)2SPS+RPR稱為并聯(lián)模塊1，位于上端的并聯(lián)機(jī)構(gòu)2SPS+RRR稱為并聯(lián)模塊2.整個(gè)混聯(lián)機(jī)構(gòu)總的構(gòu)件數(shù)目n=15，包括一個(gè)靜平臺，一個(gè)動(dòng)平臺，一個(gè)中間平臺.運(yùn)動(dòng)副有g(shù)= 18，包括8個(gè)球副S，5個(gè)移動(dòng)副P，5個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R.由于SPS支鏈都可以繞著自身兩端的球副旋轉(zhuǎn)，所以每條SPS支鏈存在一個(gè)局部自由度[9]，因此ζ=4.運(yùn)用計(jì)算空間機(jī)構(gòu)自由度的Grübler-Kutzbach公式得到此混聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度[10]為

(1)

式中：fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù)；ν為并聯(lián)冗余約速，這里不存在.

由式(1)可知，此雙并聯(lián)型混聯(lián)機(jī)構(gòu)具有6個(gè)自由度.

1.2 六自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系建立

混聯(lián)機(jī)構(gòu)附坐標(biāo)系的機(jī)構(gòu)簡圖如圖2所示.R2和R5轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線分別垂直于支鏈A3B3和B3D3，它們分別與B3B2和D3D2重合.參考坐標(biāo)系OXYZ以A3為原點(diǎn)置于靜平臺上，OX軸與A3A2共線，坐標(biāo)原點(diǎn)O與A3點(diǎn)重合.坐標(biāo)系O1X1Y1Z1的Z1軸附于支鏈A3B3上，坐標(biāo)原點(diǎn)O1與A3點(diǎn)重合.O2X2Y2Z2附于中間平臺上，O2X2軸與B3B2共線，坐標(biāo)原點(diǎn)O2與B3點(diǎn)重合.R2和R3的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線相互垂直.坐標(biāo)系O3X3Y3Z3和坐標(biāo)系O4X4Y4Z4分別固定在支鏈B3D3的兩端，Z3軸和Z4軸與B3D3重合，坐標(biāo)原點(diǎn)O3和O4分別與B3和D3點(diǎn)重合.O5X5Y5Z5位于上部并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺上，O5X5的軸線即轉(zhuǎn)動(dòng)副的R5的軸線沿著D3D2方向，坐標(biāo)原點(diǎn)O5與D3點(diǎn)重合.

圖2 混聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系簡圖Fig.2 Schematic diagram of the hybrid mechanism of coordinate system

由機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)關(guān)系可得相應(yīng)的變換矩陣為

式中：si和ci(i=1， 2， 3， 4， 5)分別表示sinθi和cosθi，θi表示i個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的角度；L3=‖A3B3‖；L6=‖B3D3‖；Ai表示坐標(biāo)系OiXiYiZi相對于坐標(biāo)系Oi-1Xi-1Yi-1Zi-1的變化(i=1， 2， 3， 4， 5).混聯(lián)機(jī)構(gòu)的變換矩陣可以寫為

A=A1A2A3A4A5

(2)

2 混聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解分析

首先，給定驅(qū)動(dòng)支鏈坐標(biāo)系及驅(qū)動(dòng)支鏈的長度為L1，L2，L3，L4，L5和驅(qū)動(dòng)角度θ4，分別求取兩個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，然后再求整個(gè)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解.末端操作器的位置相對于參考坐標(biāo)系可以寫為

rp=(AM1AM2)5rp≡A5rp

(3)

式中:AM1=A1A2，AM2=A3A4A5分別為上下兩個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的齊次變換矩陣.AM1是描述中間動(dòng)平臺相對于參考坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)的齊次變換矩陣，AM2是描述上面并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺相對于坐標(biāo)系O2X2Y2Z2的位置和姿態(tài)的齊次變換矩陣.5rp是動(dòng)平臺相對于坐標(biāo)系O5X5Y5Z5的向量.

本文中左上標(biāo)表示向量相對的坐標(biāo)系，相對于參考坐標(biāo)系OXYZ則沒有上標(biāo).

2.1 并聯(lián)模塊1的位置正解

首先定義靜平臺和動(dòng)平臺上各端點(diǎn)關(guān)于各自坐標(biāo)原點(diǎn)的向量，得到下面4個(gè)向量如式(4)～(7)所示.

OA1=(a1x，a1y， 0， 1)T

(4)

OA2=(a， 0， 0， 1)T

(5)

2O2B1=(b1x，b1y， 0， 1)T

(6)

2O2B2=(b， 0， 0， 1)T

(7)

位置向量OBi(i=1， 2)相對于參考坐標(biāo)系可以寫為

OBi=AM12O2Bi，i=1， 2

(8)

支鏈長度L1和L2(L1=A1B1，L2=A2B2)可以寫為

Li=‖OBi-OAi‖，i=1， 2

(9)

式中： ‖·‖表示歐式范數(shù).將其展開得到支鏈一和支鏈二的表達(dá)式為

(10)

(11)

化簡式(10)和(11)可以得到下列帶有未知角θ1和θ2的方程：

p1s1+p2c1=q1

(12)

f1s1+f2c1+f3s2+f4c2+f5s1s2+f6=0

(13)

式中：p1、p2、q1、f1、f2、f3、f4、f5、f6、L3的表達(dá)式為

由式(12)可以得到θ1的表達(dá)式.化簡式(12)并用三角函數(shù)萬能公式進(jìn)行代換，得到θ1的解為

(14)

得到θ1解之后，整理式(13)就可以寫為

p3s2+p4c2=q2

(15)

式中：p3=f3+f5s1；p4=f4；q2=-f1s1-f2c1-f6.

這樣，式(15)就和式(12)保持相同的形式，使用相同的三角函數(shù)萬能公式代換可求出θ2的解為

(16)

由于θ1的解有兩個(gè)，所以p3，q2的解有兩個(gè)，所以代入求θ2的解就有4種情況.得到θ1和θ2的解，把它們代入A1和A2中，就可以得到下端并聯(lián)機(jī)構(gòu)變換矩陣AM1的形式.這樣就得到了下端并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解.下端并聯(lián)模塊正解有4組解.

2.2 并聯(lián)模塊2的位置正解

上端并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解可以通過和下部并聯(lián)機(jī)構(gòu)類似的求解方法得到.首先，得到以下向量：

2O2B1=(b1x，b1y， 0， 1)T

(17)

2O2B2=(b， 0， 0， 1)T

(18)

5O5D1=(d1x，d1y， 0， 1)T

(19)

5O5D2=(d， 0， 0， 1)T

(20)

位置向量O2Di(i=1， 2)相對于坐標(biāo)系O2X2Y2Z2可以寫成：

2O2Di=AM 25O5Di，i=1， 2

(21)

支鏈長度L4和L5(L4=B1D1，L5=B2D2)可以寫為

Lj=‖2O2Di-2O2Bi‖，i=1， 2；j=4， 5

(22)

將式(17)、(18)和式(21)所得的2O2D1、2O2D2代入式(22)就可以得到：

(d1xs4+d1yc4c5-b1y)2+

[d1y(c3s5+c5s3s4)+L6c3-d1xc4s3]2

(23)

(24)

將式(23)和(24)展開，并化簡可以得到下列兩個(gè)有關(guān)于未知角θ3和θ5的方程為

v1s3+v2c3=q3

(25)

w1s3+w2c3+w3s5+w4c5+
w5s3s5+w6c3c5+w7=0

(26)

式中：

式(25)是一個(gè)關(guān)于θ3的表達(dá)式.化簡式(25)并用三角函數(shù)萬能公式進(jìn)行代換，得到θ3的解為

(27)

得到θ3的解之后，就可以將式(26)寫為

v3s5+v4c5=q4

(28)

式中：v3=w3+w5s3；v4=w4+w6c3；q4=-w1s3-w2c3-w7.

運(yùn)用三角函數(shù)萬能公式，同理就可以求出θ5的解為

(29)

由θ3和θ5的表達(dá)式可知，θ3和θ5都有兩種表達(dá)形式，故θ3有兩組解，而θ5表達(dá)式中的v3、v4和q4都是關(guān)于θ3的表達(dá)式，將不同的θ3值代入v3、v4和q4中，會得到兩組不同的解，所以θ5也就有4組解.因此上部并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊也有4種情形.

2.3 雙并聯(lián)型混聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解

此六自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)的兩個(gè)并聯(lián)模塊都有4種位置正解，這樣每個(gè)并聯(lián)模塊都可以通過4種方式達(dá)到指定的位置.通過上述推導(dǎo)得到θ1，θ2，θ3和θ5的表達(dá)式，就可以求出整個(gè)六自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解變化矩陣A.

(30)

式中：

nx=c4(c1c3-c2s1s3)+s1s2s4；

ny=c2s4+c4s2s3；

nz=c1s2s4-c4(c3s1+c1c2s3)；

ox=s5(c1s3+c2c3s1)-c5[s4(c1c3-c2s1s3)-c4s1s2]；

oy=c5(c2c4-s2s3s4)-c3s2s5；

oz=c5[s4(c3s1+c1c2s3)+c1c4s2)-s5(s1s3-c1c2c3)；

ax=s5[s4(c1c3-c2s1s3)-c4s1s2]+c5(c1s3+c2c3s1)；

ay=-s5(c2c4-s2s3s4)-c3c5s2；

az=-s5[s4(c3s1+c1c2s3)+c1c4s2]-c5(s1s3-c1c2c3)；

px=L3s1+L6(c1s3+c2c3s1)；

py=-L6c3s2；

pz=L3c1-L6(s1s3-c1c2c3).

(31)

對于矩陣A前三行三列表示混聯(lián)機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器的姿態(tài)方程，式(31)為混聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置方程.

2.4 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解特性數(shù)值分析算例

根據(jù)六自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)位置正解，通過具體算例來驗(yàn)證此混聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解.定義整個(gè)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)并給定一組驅(qū)動(dòng)構(gòu)件的輸入?yún)?shù)L1、L2、L3、L4、L5、θ4，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解求解公式，采用數(shù)值法分別求出上下兩個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的位置正解的解析解.分別得到上端和下端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊靜平臺和動(dòng)平臺正三角形三個(gè)端點(diǎn)相對于世界坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)，給出位姿的三維位姿圖，更加直觀地了解機(jī)構(gòu)的位置和姿態(tài).

給定整個(gè)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)如下：上下兩個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的動(dòng)平臺和靜平臺都是正三角形，假定下面并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的靜平臺邊長為0.5 m，動(dòng)平臺的邊長為0.4 m.下端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示.由于上端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的靜平臺和下面并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的動(dòng)平臺重合，所以上面并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的靜平臺邊長也為0.4 m，假定上面并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的動(dòng)平臺邊長為0.3 m.上端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示.同時(shí)，上端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的第三條支鏈長度給定L6=0.5 m.

表1 下端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Structure parameters of the lower parallel mechanism module mm

表2 上端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2 Structure parameters of the upper parallel mechanism module mm

給定六自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)輸入如表3所示.

表3 混聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)輸入Table 3 Input parameters of the hybrid mechanism

根據(jù)上述輸入，就可以得到下端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的各端點(diǎn)相對于參考坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)數(shù)值，如表4所示.上端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊各端點(diǎn)相對于參考坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)數(shù)值，如表5所示.

上述分析得到了上下兩個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊動(dòng)平臺和靜平臺各端點(diǎn)相對于各自靜平臺的位置坐標(biāo).由于上端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的靜平臺與下端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的動(dòng)平臺重合，故將上端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的靜平臺位置與下端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的動(dòng)平臺位置保持一致.只需將上端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊靜平臺的3個(gè)點(diǎn)B1、B2、B3的坐標(biāo)值乘以變換矩陣AM1，就可以得到B1、B2、B3在坐標(biāo)系OXYZ下的值.同理，將上述求得的D1、D2、D3點(diǎn)的坐標(biāo)值也需要相應(yīng)地乘以變換矩陣AM1，就可以得到如表6所示的D1、D2、D3點(diǎn)在坐標(biāo)系OXYZ下的值.

表4 下端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊正解位置坐標(biāo)Table 4 Position coordinate with forward kinematics of the lower parallel mechanism module

表5 上端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的正解位置坐標(biāo)Table 5 Position coordinate with forward kinematics of the upper parallel mechanism module

表6 坐標(biāo)系OXYZ下的各坐標(biāo)點(diǎn)算例Table 6 Numerical examples of all points in the OXYZ coordinate system

對于整個(gè)六自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)，可以得到機(jī)構(gòu)在此輸入狀態(tài)下的4種位姿情況，如圖3所示.這4種不同解析解情況下的位姿與表6給出的解析解對應(yīng).由圖4可以直觀地看出，第四組數(shù)值解支鏈之間不會發(fā)生干涉，符合要求.

(a) 第一組解 (b) 第二組解

(c) 第三組解 (d) 第四組解 圖3 雙并聯(lián)型混聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿正解算例

Fig.3Numericalexamplesofpositionandorientationofthehybridmechanism

3 混聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解分析

在給定雙并聯(lián)型混聯(lián)機(jī)構(gòu)上平臺的位姿參數(shù)，求整個(gè)機(jī)構(gòu)輸入關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是運(yùn)動(dòng)學(xué)位姿反解問題.求此混聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置反解，就是給定上端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊動(dòng)平臺上末端的位姿，求解6個(gè)驅(qū)動(dòng)，即5個(gè)移動(dòng)副Li(i=1， 2， …， 5)和1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副θ4.

3.1 雙并聯(lián)型混聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置逆解

假定給定混聯(lián)機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器的位姿用變換矩陣表示為

(32)

式中：px，py，pz表示固連在上端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊末端執(zhí)行器上的坐標(biāo)系O5X5Y5Z5原點(diǎn)O5的位置坐標(biāo).

由式(30)可以得到混聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置向量可以寫成p=(px，py，pz， 1)T，式中px，py，pz的值如式(31)所示.

(33)

代入展開可得：

(34)

令方程(34)左右兩邊的(1， 3)，(2， 3)，(3， 3)元素相等，可得：

axc5+oxs5=c1s3+s1c2c3

(35)

ayc5+oys5=-s2c3

(36)

azc5+ozs5=c1c2c3-s1s3

(37)

觀察發(fā)現(xiàn)式(31)中py的表達(dá)式與式(36)表達(dá)式右邊都有s2c3，所以把式(31)中py的表達(dá)式代入式(36)可以得到：

(38)

式中：q5=py/L6.

同理，將式(35)代入式(31)中px，式(37)代入式(31)中pz，可以得到：

L3s1=px-L6(axc5+oxs5)

(39)

L3c1=pz-L6(azc5+ozs5)

(40)

將式(39)和(40)左右兩邊同時(shí)取平方然后相加就可以得到驅(qū)動(dòng)L3的表達(dá)式為

(41)

由于θ5有兩組解，故L3也就有兩組解.將L3的值代入式(39)和(40)中，從而可以得到θ1的表達(dá)式為

θ1=ATAN2(s1，c1)

(42)

(43)

由式(43)第二行第四列左右兩邊的元素相等可得：

pyc2-s2(L3-pxs1-pzc1)=0

(44)

從而可以得到θ2的表達(dá)式為

θ2=ATAN2[py， (L3-pxs1-pzc1)]

(45)

由θ2的表達(dá)式可知，θ2有兩組解.將式(31)中px的表達(dá)式寫成：

f1s3+f2c3=f3

(46)

由式(46)，并用三角函數(shù)萬能公式就可以得到θ3的表達(dá)式為

(47)

由θ3的表達(dá)式可知，θ3有兩組解.由式(43)所得的左右兩個(gè)矩陣，令第一行第一列左右兩邊的元素與第二行第一列左右兩邊的元素分別相等可得：

c4=nx(c1c3-s1c2s3)+nys2s3-nz(s1c3+c1c2s3)

(48)

s4=nxs1s2+nyc2+nzc1s2

(49)

從而就可以得到θ4的表達(dá)式為

θ4=ATAN2(s4，c4)

(50)

由式(38)、(42)、(45)、(47)、(50)就得到了θi(i=1， 2， …， 5) 的值，由此可以寫出所有的變換矩陣Ai(i=1， 2， …， 5)的表達(dá)式.從而可以寫出移動(dòng)副驅(qū)動(dòng)的表達(dá)式為

Li=‖OBi-OAi‖，i=1， 2

(51)

Lj=‖ODi-OBi‖，i=1， 2；j=4， 5

(52)

式中：OBi=A1A22O2Bi；ODi=A5O5Di.

至此，推導(dǎo)得到了六自由度雙并聯(lián)型混聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解.已知運(yùn)動(dòng)學(xué)輸出位姿，就可以求解得到機(jī)構(gòu)5個(gè)移動(dòng)副輸入L1、L2、L3、L4、L5和1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副輸入θ4的解.由于θ5、θ2、θ3都有兩組解，所以此混聯(lián)機(jī)構(gòu)具有8組解.

3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解特性數(shù)值分析算例

根據(jù)雙并聯(lián)型混聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿逆解的分析，給定混聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)，然后給定動(dòng)平臺的位置與姿態(tài)參數(shù).選取與之前正解算例相同的結(jié)構(gòu)參數(shù)，并且以混聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解算例中得到的數(shù)值解作為反解的輸入，從而實(shí)現(xiàn)雙并聯(lián)型混聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正反解模型的相互驗(yàn)證.

給定混聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1和表2所示.由位置正解分析的三維模型位姿圖3可知，位置正解的第四組數(shù)值解支鏈之間不會發(fā)生干涉，符合要求.所以取i=4時(shí)的結(jié)果，此雙并聯(lián)型混聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿變換矩陣為

將此時(shí)的位姿狀態(tài)作為輸入，代入雙并聯(lián)型混聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解求解公式中，利用Matlab軟件求得各運(yùn)動(dòng)副的狀態(tài)如表7所示.

對逆解所得的8組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn),第八組輸入?yún)?shù)與位置正解算例中的第四組輸入?yún)?shù)相同.在此將兩組數(shù)據(jù)單獨(dú)提煉出來進(jìn)行比較分析，如表8所示.

表7 六自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)逆解數(shù)值解Table 7 Numerical examples of inverse kinematics of the 6-Dof hybrid mechanism

表8 六自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)正逆解輸入數(shù)值解對比Table 8 Numerical solution comparison of forward and inverse solutions of the 6-Dof hybrid mechanism

經(jīng)過比較之后發(fā)現(xiàn)，雙并聯(lián)型混聯(lián)機(jī)構(gòu)的兩者之間存在微小誤差，且誤差可以忽略不計(jì).

經(jīng)過兩組解的對比，發(fā)現(xiàn)用正解得到的雙并聯(lián)型混聯(lián)機(jī)構(gòu)末端位姿作為輸入，求得的機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)輸入?yún)?shù)與一開始求正解的輸入?yún)?shù)相同，兩者之間的誤差微乎其微.驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解的正確性.

4 混聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間分析

4.1 限制工作空間的因素

工作空間分析在混聯(lián)機(jī)構(gòu)的分析中占有非常重要的地位[11].混聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間會受到很多因素的影響，機(jī)構(gòu)整體尺寸的大小，移動(dòng)副P行程的約束，轉(zhuǎn)動(dòng)副R轉(zhuǎn)角(包括虎克鉸U、球鉸S)角度值的限制，機(jī)構(gòu)中各桿件之間的干涉現(xiàn)象都會對其產(chǎn)生影響[12].機(jī)構(gòu)在不同的限定條件下，其工作空間的形狀和體積都會不一樣[13].不同的機(jī)構(gòu)根據(jù)不同的用途和應(yīng)用場合會提出不一樣的限制因素，每種因素的限制條件也不盡相同.在實(shí)際應(yīng)用中，也會考慮成本因素提出不同的限制條件[14].

4.2 工作空間的算法描述

對本文混聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置可達(dá)工作空間進(jìn)行分析，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)反解分析結(jié)果，結(jié)合極限邊界數(shù)值搜索算法，求出其位置工作空間的形狀.求解位置工作空間內(nèi)所有點(diǎn)的算法如圖4所示.給定合適的機(jī)構(gòu)尺寸，通過圓柱坐標(biāo)系逐個(gè)搜索，將Z坐標(biāo)等分成n份，然后在每個(gè)Z坐標(biāo)截面下，搜索邊界輪廓，直到在整個(gè)Z坐標(biāo)下都搜索完成后，所有的邊界輪廓組合起來就是整個(gè)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間邊界圖[15].

圖4 工作空間算法流程圖Fig.4 Workspace algorithm flow chart

運(yùn)用Matlab數(shù)學(xué)軟件采用上述的算法，結(jié)合混聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解和約束條件對工作空間的算法進(jìn)行編程，求解了給定算例的工作空間.

4.3 工作空間算例仿真

給定機(jī)構(gòu)參數(shù)與運(yùn)動(dòng)學(xué)算例保持一致.針對此雙并聯(lián)型六自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)，為了得到其位置工作空間，可以先將其末端固定在給定的姿態(tài)下，從而得到在此姿態(tài)下機(jī)構(gòu)所能到達(dá)的所有滿足約束條件的位置空間.

(a) (15°， 15°， 15°)

(b) (20°， 20°， 20°)

(c) (25°， 25°， 25°)

(d) (30°， 30°， 30°) 圖5 不同姿態(tài)下的位置工作空間

Fig.5Positionworkspacewithdifferentorientation

由圖5可知，改變機(jī)構(gòu)的姿態(tài)角，就可以得到不同定姿態(tài)的位置工作空間.這4種姿態(tài)條件下得到的位置工作空間邊界圖大致是一個(gè)從上到下邊界逐漸增大的近似拉長的連續(xù)錐形體.當(dāng)姿態(tài)角達(dá)到(20°， 20°， 20°)時(shí)，機(jī)構(gòu)的位置可達(dá)工作空間有一個(gè)凹洞，說明機(jī)構(gòu)在此位置范圍內(nèi)存在奇異位形.

根據(jù)定姿態(tài)位置工作空間圖可以看出該混聯(lián)機(jī)構(gòu)位置在(0， 0， 1.3)時(shí)，具有較為規(guī)則的位置工作空間邊界，所以選擇在此位置進(jìn)行機(jī)構(gòu)的姿態(tài)工作空間搜索，其得到的姿態(tài)工作空間是指與末端執(zhí)行器固結(jié)在一起的坐標(biāo)系在該位置所能實(shí)現(xiàn)的所有的姿態(tài)坐標(biāo)的集合，如圖6所示.

圖6 (0， 0， 1.3)時(shí)姿態(tài)工作空間Fig.6 Orientation workspace with the position (0， 0， 1.3)

5 結(jié) 論

(1) 本文介紹了雙并聯(lián)型六自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)，求解了機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目.指定機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)構(gòu)件，通過分別對下端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊和上端并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解分析，得到整個(gè)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解.通過給定機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)和驅(qū)動(dòng)輸入?yún)?shù)，用一組算例求得運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)平臺位姿，并畫出三維機(jī)構(gòu)位姿模型.然后求解運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，按照運(yùn)動(dòng)學(xué)正解結(jié)果，給定機(jī)構(gòu)的兩組位姿，求得此時(shí)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)輸入?yún)?shù)及各轉(zhuǎn)動(dòng)副的狀態(tài)，對比正反解結(jié)果，進(jìn)而驗(yàn)證了雙并聯(lián)型混聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解模型的正確性.

(2) 根據(jù)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解，利用極限邊界搜索法給出機(jī)構(gòu)工作空間的算法.給定機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，考慮工作空間影響因素，利用數(shù)值搜索法在圓柱坐標(biāo)系中搜索工作空間的邊界.在Matlab軟件中仿真得到了混聯(lián)機(jī)構(gòu)在給定不同姿態(tài)下的位置工作空間和給定位置下的姿態(tài)工作空間.

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KinematicAnalysisofa6-DoFHybridMechanism

ZHOUHui1， 3，ZHOURui1， 3，ZHUJingyuan1， 3，DINGZehua1， 3，CAOHaofeng1， 3，CAOYi1， 2， 3

(1. School of Mechanical Engineering， Jiangnan University， Wuxi 214122， China；2. Key Laboratory of System Control and Information Processing， Shanghai Jiao Tong University， Shanghai 200240， China；3. Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology， Wuxi 214122， China)

Hybrid mechanisms combine the advantages of parallel mechanisms and series mechanisms， which can effectively expand the application field of robot. A hybrid mechanism is presented, which is combined by two different 3-DoF parallel mechanisms connected in series. Through the analysis of the kinematics of the upper and lower parallel modules， the forward kinematics solution of the whole hybrid mechanism is obtained. A set of numerical examples of position and posture of the moving platform is obtained by given the structural parameters and driving parameters， meanwhile， the 3D models of the mechanism are obtained in order to more intuitive understanding of the mechanism. Then the inverse kinematics solution is solved. According to the forward kinematic results， a group of position and posture is given to obtain the driving input parameters of the mechanism and the state of each rotation pair， by compared with the result of the forward and inverse solutions， the correctness of the forward and inverse solution is verified. Finally， on the basis of kinematics analysis， using limit coordinate searching method， algorithm of working space is put out. Considering the length constraints， joint constraint and the interference of the member， the boundary of workspace is obtained in cylindrical coordinates by given the structural parameters. Position workspace respect to a variety of postures posture and orientation-workspace respect to a variety of positions are simulated in Matlab.

hybrid mechanism； kinematics； limit coordinate search method； workspace

1671-0444 (2017)05-0709-11

2016-06-17

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50905075)；機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題資助項(xiàng)目(MSV201407)；江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題資助項(xiàng)目(FM-201402)

周 輝(1973—)，女，河北秦皇島人，講師，碩士，研究方向?yàn)榛炻?lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)理論及機(jī)器人技術(shù).E-mail：roboticscenter@qq.com

曹 毅(聯(lián)系人)，男，教授，E-mail：caoyi@jiangnan.edu.cn

TH 112

A

(責(zé)任編輯：杜佳)