■重慶市鐵路中學(xué) 何成寶

正弦、余弦定理在三角形中的應(yīng)用

■重慶市鐵路中學(xué) 何成寶

正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個重要定理,其主要作用是將已知條件中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為純邊或純角的關(guān)系,使問題得以解決。下面舉例說明正弦、余弦定理在三角形中的應(yīng)用,僅供參考。

一、解三角形

已知三角形的某些邊或角,求三角形的其他邊與角。

在△ABC中,C=180°-A-B=120°-B。由已知條件,應(yīng)用正弦定理得:

二、判斷三角形的形狀

三角形形狀的判斷常常通過正弦定理或余弦定理,將已知條件中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊或角的關(guān)系,通過尋找邊之間的關(guān)系或角之間的關(guān)系來判定。

解法1：由已知條件,應(yīng)用余弦定理得:

整理得a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)=c2(a2+b2-c2),2a2b2-a4-b4=-c4,即c4=(a2-b2)2。

故(a2-b2+c2)(a2-b2-c2)=0,a2+c2=b2或b2+c2=a2,△ABC是直角三角形。

解法2：設(shè)△ABC外接圓的半徑為R,由已知條件,應(yīng)用正弦定理得:

2RsinAcosA+2RsinBcosB=2RsinCcosC。

故sin2A+sin2B=sin2C,sin2A+sin2B=-sin(2A+2B)。

整理得2sin(A+B)cos(A-B)=-2sin(A+B)cos(A+B)。

故2sinC·[cos(A+B)+cos(A-B)]=0,-2cosAcosB=0,A=△ABC是直角三角形。

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評注:已知三角形中的邊角關(guān)系式,判斷三角形的形狀,有兩條思考:①化邊為角,再進(jìn)行三角恒等變換求出三個角之間的關(guān)系式;②化角為邊,再進(jìn)行代數(shù)恒等變換求出三條邊之間的關(guān)系式。

三、求三角函數(shù)的值

設(shè)BE=x,在△BDE中,利用余弦定理可得:

BD2=BE2+ED2-2BE·ED·cos∠BED。

評注:本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,同時也考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形。

四、解決有關(guān)面積問題

解：如圖1,連接BD,則:

圖1

因為A+C=180°,所以sinA=sinC。

在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA=22+42-2×2×4cosA=20-16cosA。

在△CDB中,BD2=CB2+CD2-2CB·CDcosC=52-48cosC。故20-16cosA=52-48cosC,因cosC=-cosA,故64cosA=-32,即cosA=-,A=120°。

S四邊形ABCD=16sin120°

評注:本小題考查三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識以及運用三角形面積公式及余弦定理解三角形,考查同學(xué)們運用知識分析問題、解決問題的能力。

五、解決實際應(yīng)用問題

應(yīng)用正弦定理和余弦定理解決應(yīng)用問題時,應(yīng)將已知元素和未知元素弄清楚,根據(jù)題意畫出示意圖,明確題目中的一些名詞、術(shù)語的意義,如仰角、俯角、坡度、坡角、航海中的方位角等。

解：如圖2建立坐標(biāo)系以O(shè)為原點,正東方向為x軸正向。

圖2

小結(jié)：大多數(shù)三角形中的變換問題都同時含有邊和角,一般情況下都要考慮“邊、角轉(zhuǎn)換”,因此要準(zhǔn)確判斷是“邊轉(zhuǎn)換角”還是“角轉(zhuǎn)換邊”更為有利。有些三角形中的變換問題具有圖形特點,因此可考慮尋求圖形的幫助。

(責(zé)任編輯 徐利杰)