■河南省鄲城縣第一高級(jí)中學(xué) 彭梅榮

基本不等式知識(shí)結(jié)構(gòu)與拓展

■河南省鄲城縣第一高級(jí)中學(xué) 彭梅榮

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)框架

二、結(jié)構(gòu)分析

基本不等式是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的難點(diǎn),也是高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)之一?；静坏仁娇梢员硎鰹?兩個(gè)非負(fù)數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的正等比中項(xiàng),當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)數(shù)相等時(shí),取得等號(hào)?；静坏仁匠Ｓ糜谇笞钪?解決此類問題往往需要構(gòu)造兩個(gè)數(shù)的和為定值或積為定值。常用的解題技巧有:添項(xiàng)、拆項(xiàng)、平方、湊系數(shù)、常值代換和分離常數(shù)等。另外,基本不等式也會(huì)與函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)相結(jié)合進(jìn)行命題,常以求參數(shù)范圍、比較大小、證明不等式等形式呈現(xiàn)。

三、實(shí)例分析

分析：消元(消去x或y)或?qū)+2y視為一個(gè)整體,使用基本不等式。

解法2：由x+2y+2xy=8得,2xy=8-(x+2y)。因?yàn)?xy=x·2y≤(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí) ,等號(hào)成立),所以8-解得x+2y≥4或x+2y≤-8。又因?yàn)閤＞0,y＞0,所以x+2y的最小值為4。

小結(jié)：以上兩種解法都用到了基本不等式,容易出錯(cuò)的地方是解題后忘記檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件。解法1的突破點(diǎn)是消元,分離常數(shù);解法2的突破點(diǎn)是將x+2y視為一個(gè)整體,構(gòu)造滿足基本不等式的條件。

分析：求出定點(diǎn)P的坐標(biāo),將其代入直線方程得m與n的關(guān)系式,常值代換后可利用基本不等式解題。

解：令x+3=1,得x=-2,所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(-2,1),代入直線mx-ny+4=0得2m+n=4。又因?yàn)閙·n＞0,所以n=2時(shí),等號(hào)成立。

小結(jié)：已知兩個(gè)變量和的形式為定值,又涉及求最小值時(shí),往往使用常值代換,結(jié)合基本不等式求解。

變式2：設(shè)x＞0,y＞0,且x+3y=5xy,求3x+4y的最小值。(答案:5)

分析：分離出參數(shù)λ,把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題,利用基本不等式求最值。

解：因?yàn)閍,b∈R,所以可以分三種情況進(jìn)行討論:

(1)當(dāng)b(a+b)=0時(shí),λ∈R。

綜上,實(shí)數(shù)λ的取值范圍為-8≤λ≤4。

小結(jié)：本題容易出錯(cuò)的地方:一是忽略對(duì)b(a+b)的符號(hào)進(jìn)行討論,二是忽略使用基本不等式的前提條件(一正、二定、三相等)。另外恒成立問題和有解問題也是高中數(shù)學(xué)的重要題型,兩者均轉(zhuǎn)化為求最值問題,求最大值還是最小值,要結(jié)合不等式的方向來看。

分析：可以先對(duì)所求式子平方,消元,拼湊系數(shù),然后利用基本不等式求解。

小結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是將所求式子平方消元,最容易錯(cuò)的地方是最后結(jié)果忘記開方。當(dāng)兩個(gè)變量有某種關(guān)系時(shí),可考慮消元,消元后發(fā)現(xiàn)式子的和為定值,可以考慮用基本不等式求最值。另外,對(duì)本題也可平方,消元,然后將x2視為一個(gè)整體,利用二次函數(shù)求最值。

四、跟蹤練習(xí)

1.當(dāng)x∈(0,1)時(shí),求函數(shù)y=x·(1-x)2的最大值。

函數(shù)y=x·(1-x)2的最大值為

小結(jié)：求解本題的關(guān)鍵是將(1-x)2看成(1-x)·(1-x),拼湊系數(shù)后可以發(fā)現(xiàn)三個(gè)數(shù)的和為定值,而求的是它們積的最大值,此時(shí)可以考慮用不等式。

(責(zé)任編輯 徐利杰)