翟聰 巫威眺 黃玲 劉偉銘 鄭麗媛

(1. 華南理工大學 土木交通學院， 廣東 廣州 510640

2. 佛山科學技術學院 交通與土木建筑學院， 廣東 佛山 528000)

基于時變安全距離的跟馳模型反饋控制*

翟聰1,2巫威眺1?黃玲1劉偉銘1鄭麗媛1

(1. 華南理工大學 土木交通學院， 廣東 廣州 510640

2. 佛山科學技術學院 交通與土木建筑學院， 廣東 佛山 528000)

為了更真實地反映交通流特性,在Konishi提出的耦合映射(CM)跟馳模型基礎上,考慮不同速度下車輛的不同安全距離,設計了新的安全距離表達式,隨后提出了一類基于時變安全距離的CM跟馳模型,并對模型的穩(wěn)定性進行了研究;基于穩(wěn)定性理論,給出了模型滿足穩(wěn)定和交通擁擠現象不會出現的充要條件,在此基礎上設計了一類滯后反饋控制器以更好地抑制交通擁堵;最后通過仿真算例,對比了Konishi模型和新跟馳模型在抑制交通擁堵和車輛行駛過程中二氧化碳排放方面的性能.仿真算例表明：與Konishi跟馳模型相比,基于時變安全距離的跟馳模型的收斂性更強;所設計的控制器能通過調整車隊速度有效緩解交通擁堵和降低車輛二氧化碳排放.

CM跟馳模型;時變安全距離;穩(wěn)定性;滯后反饋控制器;二氧化碳排放

隨著機動化水平和城市化水平的提升，越來越多的交通問題也隨之產生.為了緩解交通問題，一方面，學者們提出了一系列交通需求管理策略引導出行行為，如擁擠收費策略等；另一方面，有學者從車流運行演化角度探索交通擁擠形成機理，并提出了各類交通流模型，包括跟馳模型[1]、元胞自動機模型[2]、水動力模型[3]等.傳統(tǒng)的跟馳模型和水動力模型利用微分方程或者偏微分方程建立交通流的具體表達形式，然而，當考慮的因素較多時，模型的復雜程度會呈指數增長，因而不利于仿真和求解.元胞自動機模型則利用一系列交通規(guī)則更新交通狀態(tài)，有效降低了模擬計算的復雜度，但是此類模型僅能夠初略再現特定現象，很難分析現象的形成機理，因此，整合這兩類模型的優(yōu)勢顯得很有意義.

了解決上述問題，Yukawa等[4- 5]利用耦合映射理論對傳統(tǒng)的跟馳模型進行離散化處理，提出了耦合映射跟馳模型，與以往模型相比，該模型具有結構簡單、易于分析仿真的特點.至此之后，學者們運用耦合映射跟馳模型從不同角度對交通問題進行分析，比較有代表性的有：Konishi[6]在Bando提出的最優(yōu)速度函數基礎上，對不允許超車的單車道耦合映射跟馳模型的穩(wěn)定性問題進行研究；Zhai等[7- 9]考慮駕駛員的時變滯后反應時間，從駕駛員特性角度建立了時變滯后耦合映射跟馳模型，并對模型的穩(wěn)定性問題進行了探討；Huang等[10]分析了車間通訊對車流運行穩(wěn)定性的影響;葛紅霞等[11]提出了優(yōu)化速度函數中涉及前方兩輛車車頭間距的耦合映射跟馳模型;韓祥臨等[12]考慮智能交通誘導提供的前

車信息,對耦合映射跟馳模型進行改進;Han等[13]提出了一種駕駛員帶有非恒定靈敏度的耦合映射跟馳模型;Fang等[14]探討了耦合映射跟馳模型的混沌問題;其余的相關文獻可參考文獻[15- 16].另有一些文獻在分析車輛跟馳行為的基礎上研究消除擁擠現象的方法.例如,孫棣華等[17]從融合交通信息系統(tǒng)和交通物理系統(tǒng)的角度,運用反饋控制理論,提出了考慮最鄰近前車綜合信息的交通擁堵反饋控制方案;Zhao等[18]在Konishi的基礎上,設計了含滯后項的反饋控制器,發(fā)現在抑制交通擁擠方面更加有效;Fang等[19]考慮相鄰車輛速度差對車流穩(wěn)定性的影響,設計了靜態(tài)和動態(tài)的反饋控制項以抑制交通擁擠現象.

盡管目前有較多耦合映射跟馳模型的研究成果,但是仍然存在著一些局限性.在安全管控方面,以往的模型均假設每輛車的安全距離是恒定的,而這一假設與實際車輛安全距離分布情況明顯不符.通過駕駛模擬發(fā)現,車輛安全距離在不同行駛狀態(tài)下是有所差異的[20].另外,當車輛的制動加速度恒定時,為保證車輛不發(fā)生碰撞,車速較高的車輛比低速行駛的車輛需要更大的安全距離,因此,車輛的安全距離和車輛的行駛速度(制動速度)呈現正相關的關系.制動距離在道路設計與運行管理中是控制視距的一項重要指標,道路上高速行駛的車輛在遇到突發(fā)事件需要緊急制動時因車輛制動距離過長和車輛制動不穩(wěn)定而發(fā)生的事故頻發(fā),因此,有必要從安全管控角度研究車輛跟馳模型,并依此設計車隊運行控制機制,為交通安全管理提供理論基礎.

有鑒于此,文中提出一種時變安全距離的耦合映射跟馳模型,在構造安全距離與速度關系表達式的基礎上,對該模型的穩(wěn)定性進行分析.為了抑制交通擁堵,本研究設計了時滯的反饋控制器,同時給出了控制器的具體形式,最后通過仿真算例對該方法在緩解交通擁堵和降低廢氣排放方面的有效性進行了驗證.

1 模型建立

N輛車行駛在單車道上時的模型如圖1所示.

為了研究單車道的車輛跟馳行為,根據Konishi提出的CM跟馳模型,文中假設頭車勻速運動,則頭車的運動軌跡可通過下式給出：x0(n+1)=v0T+x0(n)

(1)

其中,x0(n)表示頭車在t=nT時刻的位置,v0(v0>0)表示頭車的速度,T代表采樣時間.與此類似,后續(xù)跟馳車輛的運行軌跡可表示為

xi(n+1)=vi(n)T+xi(n)

(2)

(i=1,2,…,N)

其中,xi(n)表示第i輛車在t=nT時刻的位置,N表示總的車輛數,vi(n)>0代表第i輛車在t=nT時刻的瞬時速度,其中vi(n)可通過如下表達式得到：

(3)

為了保證方法的可比性,文中仍沿用文獻[8]提出的最優(yōu)速度函數：

(4)

其中飽和函數Hsat(·)為

在以往研究中,安全車間距ηi設為恒定值,而該假設明顯不符合實際情況,根據上述討論,車輛制動距離與行駛速度呈正相關關系.為了充分反映該特性,文中提出如下車輛安全距離表達式：

ηi(n)=ηlim+βvi(n)T

(5)

基于此,文中提出帶時變安全距離的CM跟馳模型,表達如下：

(6)

圖1 N輛車行駛在單車道上時的模型Fig.1 A platoon of N cars running on a single lane

當β=0時,式(6)所示模型可轉化為文獻[8]所提出的CM跟馳模型,所以文獻[8]的CM跟馳模型是文中模型的一個特例.

2 穩(wěn)定性分析

考慮前車(i-1)以速度v0勻速行駛,則車輛i的動態(tài)方程可表示為

(7)

式(7)所示系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為

(8)

(9)

式(9)所示系統(tǒng)的特征多項式為

Pi(z)=z2+aiz+bi

(10)

其中,ai=αiT+βαiriT2-2,bi=1-αiT+(1-β)αiriT2.

基于Jury準則,可得到式(9)所示系統(tǒng)滿足穩(wěn)定的充要條件.

定理1 當下列條件

(11)

成立時,式(9)所示系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

證明根據Jury穩(wěn)定性判據,系統(tǒng)(9)滿足穩(wěn)定的充要條件為

{Pi(1)>0

Pi(-1)>0

|Pi(0)|<1

(12)

當不等式(11)滿足時,式(12)同樣滿足條件,證畢.

當前車(i-1)遭受外部干擾無法以恒定速度v0勻速行駛時,則車輛i的誤差方程可表示為

(13)

則關于δvi-1(n)到δvi(n)的轉移函數可表示為

(14)

其中,Pi(z)=z2+aiz+bi.

根據交通流系統(tǒng)原理可知,當Pi(z)滿足穩(wěn)定,且‖Gi(z)‖∞≤1時,則可知交通擁擠現象將不會出現.

定理2 當車隊中所有車輛運行的參數滿足如下不等式時：

(1)如果1-αiT+(1-β)αiriT2>0

(15)

(2)如果1-αiT+(1-β)αiriT2<0

(16)

則交通擁擠現象不會出現.

證明通過定理1可知,當滿足式(11)時,系統(tǒng)(9)滿足穩(wěn)定性,下面僅驗證當不等式(15)和(16)滿足時,能夠滿足‖Gi(z)‖∞≤1.

首先,狀態(tài)轉移函數的絕對值‖Gi(z)‖可利用下式進行表述：

(17)

(18)

其中：

則原問題‖Gi(z)‖∞≤1可轉化為

(19)

根據式(15)和(16)，可知下列條件

成立，則條件(19)成立.

從以上可知,當交通流系統(tǒng)滿足定理2時,該系統(tǒng)具有一定的魯棒性,也即當車輛遭受一定的外部干擾時,車隊能夠通過自身速度調節(jié),最終回到平衡狀態(tài),即交通擁擠現象不會出現;當外部干擾增加到一定程度時，車輛運行參數可能不再滿足定理2,此時交通擁擠將再次出現，下面將通過設計控制器抑制外部干擾和交通擁擠.

3 反饋控制器設計

為了抑制交通擁擠問題,基于當前車輛與上一時刻瞬時速度差信息,文中提出新的反饋控制器,在式(6)中加入速度控制項ui(n).

(20)

其中,ui(n)的具體的形式如下：

(21)

則關于δvi-1(n)到δvi(n)的轉移函數可表示為

(23)

與定理2相似,為了抑制交通擁擠,式(6)所示模型在反饋控制器ui(n)作用下應滿足:

定理3 若式(6)所示模型在式(21)所示反饋控制器作用下滿足如下條件：

(24)

(25)

(26)

4 二氧化碳排放模型

二氧化碳的過量排放直接影響著人們的正常生活,環(huán)境調查報告中指出,目前全球二氧化碳排放總量的40%來源于汽車尾氣.為了降低汽車尾氣排放,眾多學者從不同角度提出了排放模型[21- 22].與文獻[9]類似，文中引入排放模型來評價實施控制器的效果,在此沿用文獻[23]中提出的排放模型,該模型可表述為：

(27)

(28)

5 仿真算例

本節(jié)通過數值算例驗證文中所提出方法的可行性和有效性.假設有50輛車行駛在開放邊界的單車道上,且車與車之間不允許有超車行為,頭車以速度v0=20 m/s勻速行駛,車輛的最大行駛速度vmax=33.6 m/s,碰撞間距ymin=7.02 m,最短安全間距ηlim=20 m,調節(jié)系數ζ=23.3,采樣時間T=0.1 s,為了研究方便,假設每名駕駛員是同質的,即ai=2 s-1,i=1,2，…,50,下面給定每輛車的初始位置和速度,其中：

vi(0)=v*=20 m/s,i=1,2…，50.

當頭車在時間段[100 s,102 s]內突然受外部擾動影響,需要停車,即

100 s≤nT≤102 sx0(n)=0.

下面通過展示在控制器作用前后的速度-時間圖及車間距-時間圖,對比Konishi提出的經典CM跟馳模型和文中提出的時變安全距離CM跟馳模型的性能.

兩種跟馳模型在無控制器作用下車輛的車間距變化情況如圖2(a)、2(b)所示,可以看出,在Koni-shi模型中,當頭車遭受外部干擾時,車輛間的相互作用加強,使得車輛加減速頻繁,且車輛間的相互作用迅速向后傳遞,引起車隊整體運行的巨大波動,因而該模型易發(fā)生交通擁堵;相比之下,時變安全距離跟馳模型的擁擠持續(xù)時間更短,從而可知,文中模型的收斂性更強.兩種模型在加入反饋控制器后的運行特性如圖2(c)、2(d)所示,,通過求解定理3,獲得控制器的增益項k=0.4,對比圖2(c)、2(d)不難發(fā)現,相比較于圖2(a)、2(b),Konishi模型在控制器作用下,車隊整體趨于穩(wěn)定,車輛間的相互作用較低,但是仍然存在著一定的干擾,而圖2(d)與圖2(c)相比,車輛間的相互影響得到了進一步的減弱,雖然未根本消除車輛間的干擾,但是該影響已經可以近似忽略.

圖3、圖4給出了Konishi耦合映射跟馳模型和時變安全距離跟馳模型在控制器作用前后的車輛速度-時間圖,其中圖3僅對其中的第1、25、50輛車的速度進行分析,而圖4中對所有車輛進行描述.

從圖3(a)、3(b)不難發(fā)現,在Konishi模型中,越靠近車尾位置的車輛速度震蕩幅度越大,同時其震蕩時間也越長,車隊也越難以恢復到平衡狀態(tài);相比于圖3(b),在新CM跟馳模型中,除了頭車的震蕩,編號為25和50的車輛震蕩時間和幅度均大幅度減少,說明文中模型的車隊運行整體收斂性較強,車輛可以在較短的時間內重新恢復到平衡狀態(tài).通過圖3(c)、3(d)可知,在控制器作用下,編號為25和50的車輛的速度震蕩幅度得到了進一步的降低,即新CM模型在定理3所設計的控制器作用下交通擁堵發(fā)生的概率最低,通過圖4中所有車輛的速度隨時間的變化曲線可以驗證這一點.綜合圖2-4可以知道,文中所設計的時變安全距離的CM跟馳模型相比于Konishi跟馳模型車輛的收斂性得到了增強,同時新模型在文中所設計的控制器下在抑制交通擁堵方法中效果更好.

圖2 車間距-時間圖Fig.2 Headway-time curves of all cars

圖3 第1、25、50輛車的速度-時間圖

圖4 所有車輛的速度-時間圖Fig.4 Velocity-time curves of all cars

最后,文中驗證該控制器在降低車輛行駛過程中廢氣排放方面的有效性.其中Konishi耦合映射跟馳模型和時變安全距離跟馳模型在控制器作用前后的二氧化碳排放-時間曲線如圖5、圖6所示,其中圖5僅對其中的第1、25、50輛車的速度進行分析,而圖6中對所有車輛進行描述.

圖5 第1、25、50輛車的二氧化碳排放量-時間圖

Fig.5 Carbon dioxide emission-time curves of the 1th,25th,50thcar

圖6 所有車輛的二氧化碳排放量-時間圖

根據文獻[21]可知,車輛在行駛過程中多余的廢氣排放主要是由車輛在行駛中頻繁的加減速造成的,一般情況下,交通狀況平順的路段中二氧化碳排放低于交通狀況惡劣的路段.基于此,從圖5(a)、5(b)可知,在時變安全距離跟馳模型下,車輛編號為25和50的車輛的二氧化碳排放相較于Konishi跟馳模型降低了50%.對比圖5(b)和5(d)可知,的控制器作用下,編號為25和50的車輛的二氧化碳排放得到了進一步的降低,說明該控制器可有效提高車隊運行的穩(wěn)定性,通過圖6可進一步驗證該結論.綜上分析可知,式(21)所示的控制器對于降低廢氣排放也是有效的.

6 結論

文中提出了一類時變安全距離的CM跟馳模型,并對該模型的穩(wěn)定性問題進行研究;為了抑制交通擁擠現象,文中設計了一類時滯控制器,并給出了該控制器的設計方法;最后在仿真算例中,對比了Konishi模型和新跟馳模型在抑制交通擁堵和車輛行駛過程中的二氧化碳排放情況,得到以下主要結論：

(1)新的時變安全距離跟馳模型與Konishi模型相比所表現的收斂性更好;

(2)所設計的新CM跟馳模型在滯后控制器下與文獻[8]所設計的控制器相比,有效地降低了車隊整體的整體震蕩幅度和時間;

(3)所設計的控制方法能有效降低車隊行駛中的二氧化碳排放量.

本研究對變安全距離的跟馳問題進行了詳細的研究,但是仍然有一些問題值得進一步探討,比如本研究僅對同質車輛下的變安全距離的跟馳問題進行了研究,并未把變安全距離引入到異質車輛環(huán)境下,后續(xù)工作將對異質車輛的變安全距離進行探討,以更真實地反映現實交通環(huán)境.

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FeedbackControlofCarFollowingModelontheBasisofTime-VaryingSafetyDistance

ZHAICong1,2WUWei-tiao1HUANGLing1LIUWei-ming1ZHENGLi-yuan1

(1. School of Civil Engineering and Transportation, South china University of Technology, Guangzhou 510640, Guangdong, China; 2. School of Transportation and Civil Engineering and Architecture, Foshan University, Foshan 528000, Guangdong, China)

In order to reflect the traffic flow's characteristics more realistically, on the basis of CM (Coupled-Map) car following model proposed by Konishi, a new expression of safely distance is established, with the consideration of the safe distance of vehicles at different speeds. Then, a CM car following model on the basis of time-varying safety distance is proposed subsequently, of which the stability is studied. Moreover, on the basis of stability theory, the sufficient conditions that the traffic congestion phenomenon will never occur are presented, and, in order to suppress the traffic congestion, a delay-feedback controller is designed. Finally, a comparison between the proposed model and Konishi model is made in terms of inhibiting traffic congestion and carbon dioxide emission. Simulated results show that the convergence rate of the proposed model is faster than that of Konishi model, and that the designed controller is effective in suppressing the traffic congestion and reducing the carbon dioxide emission via adjusting motorcade speed.

CM car following model; time-varying safety distance; stability; delay-feedback controller; carbon dioxide emission

2016- 07- 16

國家自然科學基金資助項目(61703165,51408237)；中國博士后科學基金資助項目(2016M600653)；華南理工大學中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助項目(D2171990)

*Foundationitems: Supported by the National Natural Science Foundation of China (61703165,51408237)and the China Postdoctoral Science Foundation (2016M600653)

翟聰 (1989-)，男，博士生，主要從事智能交通控制研究.E-mail:957083516@qq.com

?通信作者: 巫威眺 (1987-),男，博士后，主要從事智能交通系統(tǒng)研究.E-mail:ctwtwu@scut.edu.cn

1000- 565X(2017)07- 0126- 09

TP 13

10.3969/j.issn.1000-565X.2017.07.018