沈 磊， 王芳貴， 王 茜

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

關(guān)于FT-投射與自內(nèi)射環(huán)

沈 磊， 王芳貴*， 王 茜

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

有限投射分解; FT-投射模; fPD(R); 自內(nèi)射環(huán); 凝聚正則環(huán)

自內(nèi)射環(huán)是一類具有重要應(yīng)用意義的環(huán)，學(xué)者們用不同的方法來刻畫自內(nèi)射環(huán)的性質(zhì)，參見文獻(xiàn)[1-4].文獻(xiàn)[5]稱R-模M有有限投射分解(finite projective resolution)，簡記為M∈FPR(R)，是指若存在正合列

0→Pn→Pn-1→…→P1→P0→M→0,

其中每個(gè)Pi是有限生成投射模.若M∈FPR(R)，則M是有限表現(xiàn)模.文獻(xiàn)[6]重新定義環(huán)R小finitistic維數(shù)為

fPD(R)=sup{pdRM|M∈FPR(R)}.

這是對(duì)文獻(xiàn)[7]定義的小finitistic維數(shù)的修正.文獻(xiàn)[8]利用有限投射分解的模類引入了FT-內(nèi)射模和FT-平坦模的概念，研究了相應(yīng)的同調(diào)維數(shù)，對(duì)環(huán)的小finitistic維數(shù)給出了一個(gè)新的刻畫.為了刻畫自內(nèi)射環(huán)的同調(diào)性質(zhì)，本文利用有有限投射分解的模類引入了FT-投射模和FT*-內(nèi)射模的概念，證明了自內(nèi)射環(huán)其實(shí)就是FT-投射意義下的半單環(huán).同時(shí)還得到了，對(duì)自內(nèi)射環(huán)R，有fPD(R)=0.

本文恒設(shè)R為有單位元的結(jié)合環(huán).如未特別聲明，模都是左模，理想都是左理想.凝聚環(huán)，自內(nèi)射環(huán)和遺傳環(huán)等分別指左凝聚環(huán)，左自內(nèi)射環(huán)和左遺傳環(huán).

1 FT-投射模

例1.11) 若R-模M是有限生成投射模，則M∈FPR(R);

2) 若R是凝聚環(huán)，M是有限表現(xiàn)R-模，且pdRMlt;∞，則M∈FPR(R).

顯然，投射模，Gorenstein投射模，文獻(xiàn)[9-10]中的FP-投射模和文獻(xiàn)[11-12]中的P-投射模都是FT-投射模.

命題1.3設(shè)P是R-模，則下列各條等價(jià):

1)P是FT-投射模;

2) 對(duì)任何滿同態(tài)g:B→C，若ker(h)∈FPR(R)，則對(duì)任何同態(tài)f:P→C，存在同態(tài)h:P→B，使得f=gh;

3) 若ξ:0→A→B→C→0是正合列，其中A∈FPR(R)，則HomR(P，ξ)也是正合列;

4) 任何形如0→A→B→P→0的正合列分裂，其中A∈FPR(R).

證明1)?3)?2) 顯然;

3)?4) 由文獻(xiàn)[13]的命題7.24即得;

3)?1) 設(shè)M∈FPR(R)，E(M)為M的內(nèi)射包，令C=E(M)/M則有正合列

命題1.4FT-投射模對(duì)直和，直和加項(xiàng)以及模擴(kuò)張是封閉的.

設(shè)0→A→B→C→0是正合列，A，C是FT-投射模，則有正合列

關(guān)于FT-投射模也有類似于投射模的Schanuel引理.

命題1.5設(shè)0→K1→P1→M→0與0→K2→P2→M→0是正合列，其中P1是FT-投射模，K2∈FPR(R)，則有以下2條成立:

2) 若還有P2是FT-投射模，K1有FPR，則K2⊕P1?K1⊕P2.

證明1) 由假設(shè)，存在同態(tài)h:P1→P2，使得f=gh，于是圖1右邊方圖誘導(dǎo)同態(tài)σ:K1→K2，使得左邊方圖也是交換圖

圖 1

由文獻(xiàn)[7]的定理2.5.7得，圖1左邊的方圖是一個(gè)推出圖，故

0→K1→K2⊕P1→P2→0

是正合列;

2) 由1)和命題1.3即得.

稱投射模P為忠實(shí)投射模，若P是忠實(shí)平坦模.

命題1.6設(shè)R，T是環(huán)，P是(R，T)-雙模，下列各條成立:

1) 若P是FT-投射R-模，則對(duì)任何投射左T-模Q，都有P?TQ是FT-投射左R-模;

沉箱海測(cè)及陸側(cè)拋石棱體范圍計(jì)劃采用1艘8方挖泥船進(jìn)行開挖，抓斗船平行碼頭方向布設(shè)，與碼頭預(yù)留約2米的安全距離。8方抓斗船吊臂長度大于27米，抓斗更換為4～6方的小斗，放低吊臂從側(cè)面伸入碼頭后方進(jìn)行清挖，吊臂與水平面的角度約55°～60°，抓斗可開挖距離大于13米，可滿足清挖要求。泥駁靠泊在挖斗船外側(cè)，為了便于抓斗放渣，泥駁靠在抓斗船船尾。一次駐船可同時(shí)清挖碼頭海側(cè)和陸側(cè)區(qū)域，海側(cè)和陸側(cè)區(qū)域錯(cuò)位距離約12米，為保證沉箱安全，先清挖陸側(cè)區(qū)域再清挖海側(cè)區(qū)域，且內(nèi)外標(biāo)高落差不得大于2米。

2) 若P是FT-投射R-模，則對(duì)任何有限生成投射右T-模Q，都有HomT(Q，P)是FT-投射R-模;

3) 若對(duì)任何有限生成忠實(shí)投射右T-模Q，都有HomT(Q，P)是FT-投射R-模，則P是FT-投射R-模.

2 FT*-內(nèi)射模

本節(jié)再給出FT*-內(nèi)射模的概念與性質(zhì)，以便更好的用FT-投射?？坍嫮h(huán)的結(jié)構(gòu).

定義2.1稱R-模N為FT*-內(nèi)射模，是指對(duì)任何單同態(tài)g:A→B，若A∈FPR(R)，則對(duì)任何同態(tài)f:A→N，存在同態(tài)h:B→N，使得f=hg.

顯然，內(nèi)射模是FT*內(nèi)射模.

命題2.2設(shè)E是左R-模，則下列各條等價(jià):

1)E是FT*-內(nèi)射模;

2) 對(duì)任何正合列ξ:0→A→B→C→0，若A∈FPR(R)，則HomR(ξ，E)也是正合列.

命題2.3設(shè)E∈FPR(R)，則E是FT*-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)E是內(nèi)射模.

證明設(shè)E是FT*-內(nèi)射模，ξ:0→E→B→C→0是正合列.記f:E→B，則對(duì)恒等同態(tài)1E，存在h:B→E，使得hf=1E，從而ξ分裂，故E是內(nèi)射模.

推論2.4設(shè)A是R-模B的子模，若A∈FPR(R)是FT*-內(nèi)射模，則A是B的直和加項(xiàng).

證明設(shè)ξ:0→A→B→C→0是正合列，且A∈FPR(R).由交換圖

即得.

3 自內(nèi)射環(huán)的同調(diào)刻畫

接下來用以上提到的2類模來刻畫環(huán).

定理3.1以下各條等價(jià):

1) 任何R-模是FT*-內(nèi)射模;

2) 任何R-模是FT-投射模;

3) 任何有限生成R-模是FT-投射模;

4) 任何循環(huán)R-模是FT-投射模;

5) 任何M∈FPR(R)是內(nèi)射模;

6) 任何有限生成投射R-模是內(nèi)射模;

7)R是自內(nèi)射環(huán).

證明1)?2) 設(shè)M是R-模，0→A→B→M→0是正合列，且A∈FPR(R)，由命題2.3知A是內(nèi)射模，從而該正合列分裂，由命題1.3得M是FT-投射模;

2)?3)?4) 顯然;

5)?1) 設(shè)N是R-模，ξ:0→A→B→C→0是正合列，且A∈FPR(R).由假設(shè)A是內(nèi)射模，從而ξ分裂，故HomR(ξ，N)也是正合列，由命題2.2得N是FT*-內(nèi)射模;

5)?6)?(7) 顯然;

6)?5) 設(shè)M有如下分解

0→Pn→Pn-1→…→P1→P0→M→0,

其中每個(gè)Pi是有限生成投射模，記K0=ker(P0→M)，Ki=ker(Pi→Pi-1)，i=1，2,…，n，并約定K-1=M.由假設(shè)Kn-1=Pn是內(nèi)射模，故正合列

0→Kn-1→Pn-1→Kn-2→0

分裂，從而Kn-2是有限生成投射模.再由正合列

0→Kn-2→Pn-2→Kn-3→0，

可得Kn-3是有限生成投射模.重復(fù)此步驟，可得M是有限生成投射模，從而是內(nèi)射模.

由上述定理的證明過程中可以直接得到：

推論3.2設(shè)R是自內(nèi)射環(huán)，M是R-模，則M∈FPR(R)當(dāng)且僅當(dāng)M是有限生成投射模.從而fPD(R)=0.

例3.3R=Z4是自內(nèi)射環(huán)，但不是半單環(huán)，因此存在一個(gè)不是投射模的FT-投射模，如M=2Z4.也存在不是內(nèi)射模的FT*-內(nèi)射模.

文獻(xiàn)[6]稱環(huán)R為(同調(diào))正則環(huán)，是指R的每個(gè)有限生成理想的投射維數(shù)有限.環(huán)R是von Neumann正則環(huán)[14](簡記為VN正則環(huán))，當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)R-模都是平坦模，當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)主理想由一個(gè)冪等元生成，當(dāng)且僅當(dāng)任何主理想是R的直和加項(xiàng).

引理3.4設(shè)R是凝聚環(huán)，則R是(同調(diào))正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)任何有限表現(xiàn)左R-模的投射維數(shù)有限.

證明見文獻(xiàn)[5]定理6.2.1.

命題3.5設(shè)R是自內(nèi)射環(huán)，且任何主理想有有限投射分解，則R是VN正則環(huán).

證明設(shè)I是R的主理想，由定理3.1得I是內(nèi)射模，從而I是R的直和加項(xiàng).

推論3.6設(shè)R是凝聚(同調(diào))正則環(huán)，且為自內(nèi)射環(huán)，則R是VN正則環(huán).

證明由引理3.4和命題3.5即得.

命題3.7設(shè)R是凝聚(同調(diào))正則環(huán)，M是有限表現(xiàn)R-模，則M是FT-投射模當(dāng)且僅當(dāng)M是投射模.

證明設(shè)M是FT-投射模，取正合列ξ:0→K→F→M→0，其中F是有限生成自由模，則K是有限生成的.又R是凝聚環(huán)，從而K是有限表現(xiàn)的.又R是同調(diào)正則環(huán)，由引理3.4得K的投射維數(shù)有限，從而K∈FPR(R)，由命題1.3，正合列ξ分裂，于是有F?K⊕M，故M是投射模.

文獻(xiàn)[5]稱交換環(huán)R上的模M為可除模，是指對(duì)任何非零因子a∈R，以及任何x∈M，存在y∈M，使得x=ay.

命題3.8設(shè)交換環(huán)R是凝聚(同調(diào))正則環(huán)，則FT*-內(nèi)射模是可除模.

證明設(shè)M是FT*-內(nèi)射模，x∈M，且a∈R是非零因子，I=(a)是有限表現(xiàn)的，再由引理3.4得pdRIlt;∞，從而I∈FPR(R).于是同態(tài)f:I→R，f(ra)=rx，可以擴(kuò)張為同態(tài)g:R→E.令y=g(1)，得ay=g(a)=f(a)=x，故E是可除模.

4 FT*-遺傳環(huán)

定義4.1稱R為FT*-遺傳環(huán)，如果任何FT-投射模的子模仍是FT-投射模.

顯然遺傳環(huán)和自內(nèi)射環(huán)是FT*-遺傳環(huán).再由命題1.3可得:

命題4.2設(shè)R是FT*-遺傳環(huán)，0→A→B→C→0是正合列，且C是FT-投射模，則A是FT-投射模當(dāng)且僅當(dāng)B是FT-投射模.

定理4.3下列各條等價(jià):

1)R是FT*-遺傳環(huán);

2) 投射R-模的子模是FT-投射模;

3) 由R-模的子模是FT-投射模;

4) 任何理想是FT-投射模;

5) 若M∈FPR(R)，則idRM≤1.

證明1)?2)?3)?4) 顯然;

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MSC2010:16D50; 16E50

(編輯 陶志寧)

On FT-Projective Modules and Self-Injective Ring

SHEN Lei, WANG Fanggui, WANG Xi

(CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

FT-projective modules; finite projective resolution; fPD(R); self-Injective rings; coherent regular rings

O153

A

1001-8395(2017)06-0727-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.06.003

2016-08-31

國家自然科學(xué)基金(11671283)

*通信作者簡介:王芳貴(1955—)，男，教授，主要從事交換代數(shù)、同調(diào)代數(shù)與代數(shù)K理論的研究,E-mail:wangfg2004@163.com