金博楠，徐曉蘇，張 濤，李 瑤

(東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院 微慣性儀表與先進(jìn)導(dǎo)航技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096)

基于TDOA定位的陣列布放結(jié)構(gòu)研究

金博楠，徐曉蘇，張 濤，李 瑤

(東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院 微慣性儀表與先進(jìn)導(dǎo)航技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096)

不同結(jié)構(gòu)陣列在TDOA定位中對(duì)定位精度有較大影響。為了掌握和減小陣列帶來(lái)的影響，從TDOA定位解算方程組的角度分析了平面陣列在空間定位中高度方向產(chǎn)生較大誤差的原因；又從單個(gè)基線的角度分析了影響基線定位敏感度的因素，而為分析陣列定位效果提供了理論依據(jù)。然后對(duì)七種代表性的平面陣列進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了陣列結(jié)構(gòu)對(duì)定位精度的影響關(guān)系。根據(jù)平面陣列的經(jīng)驗(yàn)又設(shè)計(jì)了三種空間陣列，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)證明了對(duì)陣列結(jié)構(gòu)研究的正確性。

TDOA; 陣列結(jié)構(gòu);傳感器布放;長(zhǎng)基線定位

E-mail:jinbonan@seu.edu.cn

0 引言

基于到達(dá)時(shí)間差(Time Difference of Arrival，TDOA)的長(zhǎng)基線定位技術(shù)作為水下聲學(xué)定位中的重要研究方向，受到了越來(lái)越多的關(guān)注。由于接收端不需要與發(fā)射端進(jìn)行時(shí)鐘同步[1]，在接收端完全可以被動(dòng)地探測(cè)和定位正在發(fā)射信號(hào)的目標(biāo)，因此在反潛、追蹤、勘探、搜救等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[2-4]。影響TDOA定位精度的因素主要分為前端接收和后端解算兩個(gè)部分，前端誤差指水聽(tīng)器接收信號(hào)并分析時(shí)間差過(guò)程中產(chǎn)生的誤差，主要包括噪聲干擾、多途效應(yīng)、信號(hào)衰減等帶來(lái)的觀測(cè)誤差以及聲速變化，時(shí)延提取過(guò)程中的計(jì)算誤差；后端誤差主要包括選用算法的估計(jì)誤差、陣列布放結(jié)構(gòu)和安裝誤差未補(bǔ)償?shù)仍斐傻恼`差。長(zhǎng)基線定位發(fā)展至今，基于TDOA的定位算法層出不窮，涌現(xiàn)出包括SI、SX、Chan、Taylor等許多經(jīng)典算法，還有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、蟻群算法、二階錐規(guī)劃以及基于概率論的濾波算法[5]。關(guān)于水聽(tīng)器陣列布放規(guī)則對(duì)定位精度的影響的研究并不深入，文獻(xiàn)[6-7]研究針對(duì)平均圓周分布的中心平面陣進(jìn)行了對(duì)比，這種陣列有一定的局限性。本文主要針對(duì)陣列的布放陣型的布放準(zhǔn)則，從單個(gè)基線的角度進(jìn)行了研究，并基于此在二維平面下對(duì)多個(gè)代表性的陣列結(jié)構(gòu)進(jìn)行了對(duì)比仿真。分析了三維方向上的靈敏度問(wèn)題，對(duì)空間定位中的三維陣列布放問(wèn)題進(jìn)行了研究設(shè)計(jì)，并對(duì)通用陣型的布放準(zhǔn)則提出一些建議。

1 靈敏度分析

1.1 高度方向靈敏度

很多算法將三維問(wèn)題簡(jiǎn)化至二維平面進(jìn)行分析，雖然這種過(guò)渡理論上沒(méi)有問(wèn)題，但實(shí)際應(yīng)用上由于條件限制，空間定位往往還是以平面陣列居多，這就帶來(lái)了高度方向上的誤差。

設(shè)待測(cè)目標(biāo)MS的坐標(biāo)為zp=[x,y,z]T，第i個(gè)基元BS的坐標(biāo)為si=[xi,yi,zi]T，i=0,1,2,3，…，N，其中0號(hào)BS為參考，MS與BS之間的距離關(guān)系為

i=0,1,2,3，…，N

(1)

取BS0為公共參考基元，得到一組TDOA觀測(cè)量τi,1(i=0,1,2,3，…，N)，分別表示BSi和BS0之間的信號(hào)到達(dá)時(shí)間差

ri0=cτi0=ri-r0，i=1,2,3，…，N

(2)

式(2)展開(kāi)是一個(gè)雙曲線方程，假設(shè)為視距環(huán)境下，且聲波傳播速度不變?yōu)閏，則可建立N個(gè)關(guān)于zp的雙曲面方程。求解該方程組即可得到MS的坐標(biāo)。因此，如圖1所示，二維TDOA定位從幾何上可歸結(jié)為雙曲線定位，在三維空間就是雙曲面定位。在沒(méi)有誤差的理想情況下，3個(gè)方程就可以求解3個(gè)未知數(shù)，即3個(gè)曲面的交點(diǎn)就是MS的位置。然而因?yàn)闀r(shí)間差存在誤差且可能較大，使得3個(gè)曲面不交于一點(diǎn)，曲面的多個(gè)交叉處又可能出現(xiàn)模糊解，所以往往需要5個(gè)以上的BS建立多于3個(gè)的方程來(lái)尋求最優(yōu)解。

圖1 TDOA定位原理示意圖Fig.1 The scheme of TDOA localization

i=0,1,2,3，…，N

(3)

當(dāng)i=0時(shí)，ri0=0，因此

(4)

用式(3)減去式(4)可得

i=1,2,3，…，N

(5)

考慮到實(shí)際中的噪聲，稍加整理，可得

i=1,2,3,…,N

(6)

將式(6)寫成矩陣形式

(7)

對(duì)式(7)的方程組求解，即可得出MS的坐標(biāo)[8]。

1.2 基線方向靈敏度

下面從另一個(gè)角度建模分析。MS、BS0和任意一個(gè)BS可組成一個(gè)三角形，如圖2所示，zp為MS位置，s0為BS0位置(設(shè)為原點(diǎn))，si為BSi位置，r0為中心斜距，ri為MS和BSi的斜距，di為基線長(zhǎng)度(假設(shè)和X軸重合)。

圖2 單個(gè)基線與MS的三角關(guān)系Fig.2 The triangular relationship between single baseline and MS

根據(jù)余弦定理可知

(8)

將式(2)代入式(8)，整理可得

(9)

其中,x=r0cosα，為基線方向的投影。

根據(jù)式(9)可以得到ri0在3個(gè)方向上的偏導(dǎo)數(shù)，即靈敏度：

(9)

(10)

對(duì)于空間中任意方向的基線，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸方向上的靈敏度為：

(11)

其中，A、B、C分別是基線與坐標(biāo)軸夾角，則dicosA、dicosB、dicosC為基線在各坐標(biāo)軸上的投影分量。α、β、γ分別是中心斜距與坐標(biāo)軸夾角。

此外，基線方向的靈敏度和基線長(zhǎng)度、距離差成正相關(guān)，和斜距成負(fù)相關(guān)。因此往往MS在陣列內(nèi)部時(shí)，定位精度比遠(yuǎn)離陣列時(shí)的定位精度高。

1.3 陣型類型

結(jié)合上面的計(jì)算分析，就可以對(duì)空間中可能出現(xiàn)的幾種陣列布放(或者近似型)做出一定的判斷。

1.3.1 直線陣

所有基元集中在一條直線上，即基線方向重合(假設(shè)為x方向)，陣列為直線型，這種擺放在一個(gè)方向上(x方向)有很高的精度，而在另外2個(gè)方向(y,z方向)上的精度則表現(xiàn)很差。如圖3(a)所示。

圖3 不同陣列示意圖Fig.3 The scheme of different sensor array placements

1.3.2 平面陣

所有基元都集中在一個(gè)平面上，即基線都在同一平面內(nèi)。三維空間定位中，若高度方向沒(méi)有基線，則在高度方向的定位精度將較差。平面陣具體又可分為中心陣和扇形陣。

中心陣正中放置參考基元，其他基元分布四周，如十字陣(圖3(b))、六角陣(圖3(d))、星型陣等。

扇形陣參考基元放在一側(cè)，其他基元分布于另一側(cè)，如L陣、爪字陣、兀字陣等(圖3(c))。

1.3.3 空間陣

種類和平面陣類似，在x、y、z3個(gè)方向上均有基線或明顯的基線分量，這種陣型能夠?qū)?個(gè)方向的精度提供保障。個(gè)別基線集中的布放可視為極端情形為直線陣，平面陣進(jìn)行分析，如圖3(e)所示。

2 仿真對(duì)比

通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真出平面下不同陣型對(duì)相同目標(biāo)的定位誤差。結(jié)合之前的理論推導(dǎo)，對(duì)不同陣型的效果進(jìn)行對(duì)比分析。之后根據(jù)平面條件下多種陣型的定位效果設(shè)計(jì)空間中的三維陣列結(jié)構(gòu)并仿真驗(yàn)證其設(shè)計(jì)的可行性。采用Chan估算初值并用Taylor算法修正的定位算法來(lái)得到MS位置估計(jì)[9]。

2.1 平面實(shí)驗(yàn)

對(duì)平面直角坐標(biāo)系下x∈[-500,500]，y∈[-500,500]的方形區(qū)域布放陣列，在x=200,y∈[-600,600]的線段上均勻地選取13個(gè)點(diǎn)作為MS的位置。距離差觀測(cè)量上疊加均值為1.5的白噪聲。每個(gè)位置以5000次的蒙特卡羅試驗(yàn)的定位誤差均值作為最終結(jié)果。本次仿真設(shè)計(jì)了7種陣型[10]，具體如表1所示。

表1 平面陣型參數(shù)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4、圖5所示，圖4是估計(jì)位置和真實(shí)位置的距離誤差曲線；圖5是在X方向和Y方向的誤差分量，圖中橫坐標(biāo)是各個(gè)MS的縱向距離。

由圖4可知，直線陣列的定位誤差較大，尤其當(dāng)MS在遠(yuǎn)離陣列時(shí)Y方向陣列發(fā)散明顯，而陣列中心位置時(shí)X方向陣列也會(huì)發(fā)散。兩端發(fā)散的現(xiàn)象在各陣列中都存在，只不過(guò)爪字型陣列的抑制效果稍好。無(wú)論是長(zhǎng)基線定位還是短基線定位，工作范圍都是有限的，一般與基線長(zhǎng)度相當(dāng)，對(duì)基陣外較遠(yuǎn)距離的目標(biāo)定位時(shí)，定位結(jié)果就不是那么精確了。這一實(shí)際情況與本文上面提到的定位誤差兩端發(fā)散現(xiàn)象是一致的，就陣列內(nèi)部的定位效果看，L字陣列定位誤差存在不對(duì)稱的大幅增長(zhǎng)，十字陣列效果一般，非垂直陣列和爪字陣列精度較高。下面具體從X和Y2個(gè)方向的誤差來(lái)分析導(dǎo)致上述區(qū)別的原因。

圖4 七種陣型定位誤差對(duì)比圖Fig.4 The error comparison of seven placements

圖5 七種陣型定位誤差：(a)X方向?qū)Ρ葓D;(b)Y方向?qū)Ρ葓DFig.5 The error comparison of seven placements： (a) in X direction; (b) in Y direction

2個(gè)不同指向布放的直線陣列，很顯然X向陣列在X方向表現(xiàn)很好，它的誤差主要來(lái)自Y方向定位能力不足，當(dāng)MS靠近基線時(shí)，計(jì)算過(guò)程容易出現(xiàn)奇異導(dǎo)致Y方向定位發(fā)散；相反，Y向陣列在X方向定位能力不足，Y方向兩端發(fā)散是因?yàn)镾M處于基線范圍以外，由式(9)可知，大部分基線的靈敏度都變得很低，因此誤差變大。見(jiàn)圖5(a)上和(b)上。

2個(gè)爪字陣列的區(qū)別在于第4條基線分別靠近2個(gè)軸，因此在軸向的基線分量彼此各有優(yōu)勢(shì)。圖5(a)中和(b)中如實(shí)地反映出這一現(xiàn)象，偏X軸的爪字陣列在X方向精度更高，而偏Y軸的爪字陣列則在Y方向精度更高。此外，MS大部分位置對(duì)于爪字陣列的每一條基線來(lái)說(shuō)都屬于內(nèi)部，即使兩端邊緣位置也不會(huì)超出基線太遠(yuǎn)，因此爪字陣列兩端發(fā)散現(xiàn)象抑制得較好。基于式(9)所體現(xiàn)的設(shè)計(jì)原則，在所有七種陣列中，爪字陣列也是效果最好的。

與爪字陣列類似的L字陣列則沒(méi)有那么好的效果，相比之下主要原因是2條較短的基線沒(méi)有充分發(fā)揮基線補(bǔ)充的作用，當(dāng)MS在靠近(200,600)時(shí)，基線靈敏度降低效益凸顯，所以定位誤差呈不對(duì)稱增長(zhǎng)且主要發(fā)生在X方向。見(jiàn)圖5(a)下和(b)下。

同理，對(duì)于十字陣列來(lái)講，MS在大部分位置都會(huì)處于2條基線外，且其4條基線長(zhǎng)度都較短，因此靈敏度不會(huì)很高，兩端發(fā)散的現(xiàn)象和爪字陣列比還是較明顯的。見(jiàn)圖5(a)下和(b)下。

設(shè)計(jì)非垂直陣列是為了觀察基線垂直與否對(duì)定位效果的影響。從圖5(a)下和(b)下來(lái)看，并沒(méi)有太大影響，MS在基線內(nèi)部時(shí)的定位精度反而非常好。將非垂直陣列的4條基線投影到軸線方向，Y方向的基線分量很小，因此非垂直陣列在Y方向上出現(xiàn)了兩端發(fā)散的現(xiàn)象。

2.2 空間實(shí)驗(yàn)

在三維情況下，根據(jù)平面實(shí)驗(yàn)結(jié)果，在陣型選取時(shí)應(yīng)當(dāng)避開(kāi)某一方向基線分量不足的情形，本文設(shè)計(jì)了三種陣型進(jìn)行比較，分別是：頂角輻射陣列、中心輻射陣列和面心輻射陣列，如圖6所示。定位誤差對(duì)比結(jié)果如圖7所示。

圖6 頂角輻射陣列(○)，中心輻射陣列(*)和面心輻射陣列(△)Fig.6 Corner radiation array(○);center radiation array(*);centroid radiation array(△)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，三種陣列都能提供較高的定位精度。從選取的MS測(cè)試位置的定位效果來(lái)看，同樣是8條基線，中心輻射陣列要比面心輻射陣列效果略好。頂角輻射陣列在只有7條基線的情況下表現(xiàn)出和中心輻射陣列同樣的效果，表明頂角輻射陣列具有較好的定位效果，基線數(shù)量不是決定定位精度的唯一因素，合理的陣型布放能夠有效改善定位精度。根據(jù)上述三種陣列的對(duì)比，在待測(cè)區(qū)域一定、基線數(shù)目一定的條件下，頂角輻射陣列可以作為優(yōu)先選擇。

圖7 (a)距離誤差;(b)X方向誤差;(c)Y方向誤差;(d)Z方向誤差Fig.7 (a) The error in distance; (b) The error in X direction; (c) The error in Y direction; (d) The error in Z direction

3 結(jié)論

由理論推導(dǎo)和平面仿真可知，某一方向若沒(méi)有基線分量或分量很小時(shí)，定位結(jié)果在該方向上容易發(fā)散。因此空間定位時(shí)，在高度方向上不能布放基元的情況下，由于條件限制，外部高度信息輔助顯得十分必要。基線方向的敏感度直接影響著該方向的定位精度、敏感度與基線長(zhǎng)度、距離差成正相關(guān)，和參考基元外的基元斜距成反比。盡可能增大基線長(zhǎng)度，避免距離基元過(guò)遠(yuǎn)的位置情況出現(xiàn)，這樣能充分發(fā)揮陣列定位性能。增加基線數(shù)目可以提高定位精度，但合適的基線結(jié)構(gòu)不僅能節(jié)約成本，還能進(jìn)一步提高定位效果。

文獻(xiàn)[6-7，10]主要對(duì)幾種平均圓周分布的中心平面陣進(jìn)行了研究比較，陣列的基本組成結(jié)構(gòu)始終沒(méi)有太大改變。本文從基線角度出發(fā)，在幾何理論上推導(dǎo)了陣列的影響因素，從本質(zhì)上分析研究影響陣列差異的原因，從而能夠?qū)ζ矫婺酥量臻g上所有可能存在的陣列布放形式作出判斷，并對(duì)多種代表性的陣列進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

有些陣型對(duì)于某些位置具有較高的局部精度，不能就此判斷好壞。MS在不同位置，定位精度各不相同，實(shí)驗(yàn)中只是選取了一些具有代表性的位置，通過(guò)多個(gè)位置的平均表現(xiàn)初步認(rèn)為文中的爪字陣列和頂角輻射陣列較為優(yōu)秀。然而陣列的結(jié)構(gòu)不勝枚舉，沒(méi)法得到最優(yōu)陣列的結(jié)論，只能通過(guò)上述準(zhǔn)則和使用需要去設(shè)計(jì)更好更合適的陣列。在今后的研究中將對(duì)各個(gè)陣列整個(gè)測(cè)量區(qū)域的精度分布進(jìn)行分析，并采取一定措施進(jìn)一步提高陣列的定位效果。

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StudyofArrayStructureforSensorPlacementinTDOA-BasedLocalization

JIN Bo-nan, XU Xiao-su, ZHANG Tao, LI Yao

(Key Laboratory of Micro-Inertial Instrument and Advanced Navigation Technology of Ministry of Education, School of Instrument Science and Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China)

Different sensor placements have a great influence on the accuracy in TDOA-based localization. In order to grasp and decrease the influence brought by the array, the causes of the large errors in the vertical direction are analyzed with TDOA localization equations when the planar array is used in the spatial orientation. Then, the factors affecting the localization sensitivity of the baseline are deduced from the perspective of a single baseline, which provides the theoretical basis for analyzing the positioning accuracy of the sensor arrays. Then the positioning errors of seven representative planar arrays are compared to verify the relationship between the array structure and the positioning accuracy. According to the application experience of planar array, three kinds of spatial sensor array placements are designed. The simulation results demonstrated the correctness of the study on array structure.

TDOA; Array structure; Sensor placements; Long baseline localization

10.19306/j.cnki.2095-8110.2017.06.005

TN961

A

2095-8110(2017)06-0029-08

2017-03-14；

2017-03-28

國(guó)家自然科學(xué)基金(61473085，51175082，51375088，61273056)

金博楠(1990-)，男，博士研究生，主要從事聲學(xué)定位和組合導(dǎo)航方面的研究。