■河南省淮陽縣第一高級(jí)中學(xué) 王梓霖

本文對(duì)不等式中同學(xué)們?nèi)菀壮霈F(xiàn)的思維誤區(qū)進(jìn)行了剖析,希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)有所幫助。

思維誤區(qū)1——分式不等式求解去分母時(shí)不考慮分母的正負(fù)

錯(cuò)解:兩邊同乘以x-1得3x+2＜4(x-1),解得x＞6,所以不等式的解集為(6,+∞)。

剖析:錯(cuò)解中認(rèn)為x-1＞0,漏掉x-1＜0,從而出現(xiàn)漏解,由原不等式移項(xiàng)得(x-1)＜0,解得x＜1或x＞6。故原不等式的解集是(-∞,1)∪(6,+∞)。

注意點(diǎn):解分式不等式時(shí),若要去分母需依據(jù)“不等式兩邊同乘正數(shù)不改變方向,同乘負(fù)數(shù)改變方向”對(duì)分母大于0和小于0分類求解,每種分類下求交集,最后寫出并集。

思維誤區(qū)2——解含參數(shù)的不等式時(shí)忽略對(duì)最高項(xiàng)系數(shù)為零的討論

如果kx2+2kx-(k+2)＜0恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是____。

A.-1≤k≤0 B.-1≤k＜0

C.-1＜k≤0 D.-1＜k＜0

剖析:將kx2+2kx-(k+2)＜0認(rèn)定是一元二次不等式,忽略了k=0的情況。

當(dāng)k=0時(shí),原不等式等價(jià)于-2＜0,顯然恒成立,所以k=0符合題意。

綜上,-1＜k≤0,故選C。

注意點(diǎn):一元二次不等式恒成立問題常需借助圖形進(jìn)行“雙看”:一看開口方向,即看二次項(xiàng)的系數(shù)是大于0還是小于0;二看圖像與x軸交點(diǎn)情況,即考慮判別式的符號(hào)。對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)的不等式有可能為非一元二次不等式,要對(duì)參數(shù)討論。

強(qiáng)化訓(xùn)練2:若不等式mx2+2mx-4＜2x2+4x對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____。

正解:原不等式mx2+2mx-4＜2x2+4x合并同類項(xiàng)得m-2( )x2+2m-2( )x-4＜0,當(dāng)m=2時(shí),不等式成立。當(dāng)m≠2時(shí),x∈ -2,2( )。綜上,x∈(-2,2]。

思維誤區(qū)3——線性規(guī)劃的逆向思維中缺少“運(yùn)動(dòng)變化的觀念”

圖1

剖析:已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)閳D1中的△ABC及其內(nèi)部,三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3,1),B(4,2),C(1,2)。將目標(biāo)函數(shù)變形得y=-kx+z,當(dāng)z最小時(shí),直線的縱截距最小。結(jié)合動(dòng)直線y=-kx+z繞定點(diǎn)A的“旋轉(zhuǎn)分析”易經(jīng)過點(diǎn)(3,1)時(shí)縱截距最小。故所求實(shí)數(shù)k

注意點(diǎn):已知目標(biāo)函數(shù)在某點(diǎn)處取得最值,可以將目標(biāo)函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的斜截式,依據(jù)傾斜角和斜率的意義,繞該點(diǎn)靈活 “旋轉(zhuǎn)分析”,準(zhǔn)確分析動(dòng)直線,進(jìn)而求得斜率的取值范圍。

A.[-1,2] B.[-2,1]

C.[-3,-2] D.[-3,1]

正解:作出約束條件表示的可行域,如圖2所示的△ABC內(nèi)部(含邊界),其中A(1,1),

已知y=-ax+z的最大值為2a+4,最小值為a+1,說明z在點(diǎn)C處取得最大值,在點(diǎn)A處取得最小值,則有kBC≤

圖2

2,所以-1≤-a≤2,即-2≤a≤1,故選B。

思維誤區(qū)4——線性規(guī)劃應(yīng)用中忽略目標(biāo)函數(shù)的幾何意義

A.-1 B.0 C.1 D.2

錯(cuò)解:選B。

剖析:誤認(rèn)為最優(yōu)解在可行域邊界頂點(diǎn)處取得,將頂點(diǎn)O,A,B的坐標(biāo)直接代入比較后得最小值0,沒有理解目標(biāo)函數(shù)x2+4x+y2-2y的幾何意義。

由x2+4x+y2-2y得x2+4x+4+5,表示如圖3所示的區(qū)域上任意一點(diǎn)Nx,y( )到定點(diǎn)M-2,1( )的距離d的平方與5之差。

圖3

當(dāng)距離d的最小值為2時(shí),x2+4x+y2-2y取最小值22-5=-1,此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為0,1( )。故選A。

注意點(diǎn):線性規(guī)劃中常見的目標(biāo)函數(shù)有:(1)截距型:形如z=ax+by,轉(zhuǎn)化為直線的斜截式,通過“平行移動(dòng)法”求直線的截距的最值,間接求出a的最值;(2)距離型:形如z=(x-a)2+(y-b)2,可看成可行域內(nèi)的點(diǎn)P(x ,y)與定點(diǎn)Q(a ,b)連線的距離的平方求解;(3)斜率型:形如z=,可看成可行域內(nèi)的點(diǎn)P(x ,y)與定點(diǎn)Q(a ,b)連線的斜率求解。

思維誤區(qū)5——用基本不等式求最值時(shí)忽視各項(xiàng)均為正數(shù)的條件

思維誤區(qū)6——用基本不等式求最值時(shí)忽視“積為定值合理配湊和”的結(jié)構(gòu)形式

注意點(diǎn):用基本不等式求最值,關(guān)鍵在于由“積為定值合理配湊出和”的結(jié)構(gòu)形式。

強(qiáng)化訓(xùn)練6:已知a＞-1,b＞-2,a+1( )b+2( )=16,則a+b的最小值是( )。

A.4 B.5 C.6 D.7

正解:因?yàn)閍＞-1,b＞-2,則a+1＞0,b+2＞0。所以a+b=a+1( )+b+2( )-3≥2a+1( )b+2( )-3=8-3=5,當(dāng)且僅當(dāng)a+1=b+2,即a=3,b=2時(shí)等號(hào)成立,故選B。